1
00:00:05,620 --> 00:00:11,820
Hoy vamos a calcular las asíntotas de una función definida a trozos.

2
00:00:12,279 --> 00:00:14,980
Lo primero que tendremos que hacer es calcular el dominio.

3
00:00:15,679 --> 00:00:18,839
La primera función está definida para los x menores o iguales que 2,

4
00:00:19,399 --> 00:00:30,190
o sea, está definida para aquellos números reales que van desde menos infinito hasta 2.

5
00:00:31,149 --> 00:00:36,409
Pero como es una función racional, no está definida para los valores para los que se anula el denominador,

6
00:00:36,409 --> 00:00:43,990
se anula para el 1, y el 1 está en el intervalo que va desde menos infinito hasta 2, por lo tanto, habrá que excluir el 1.

7
00:00:45,509 --> 00:00:52,829
Y la segunda función está definida para los x mayores que 2, o sea, los que van desde 2 hasta infinito.

8
00:00:54,289 --> 00:01:00,130
Pero no está definida para los valores para los que se anula el denominador, el denominador se anula para x igual a menos 2.

9
00:01:00,130 --> 00:01:06,629
Como el menos 2 aquí no está incluido, pues entonces esta definida es de 2 hasta infinito.

10
00:01:07,409 --> 00:01:15,989
Bueno, pues en conclusión, el dominio de esta función, pues son todos los números reales menos el 1.

11
00:01:17,370 --> 00:01:21,189
Y bueno, podemos ver que la función está definida de la siguiente forma.

12
00:01:21,189 --> 00:01:37,819
¿Vale? Si esta es la recta real, este es el, perdón, si este es el 0 y este es el 2, bien, para los x menores o iguales que 2, ¿vale?

13
00:01:37,819 --> 00:01:42,140
La función está definida como x más 2 por x menos 1.

14
00:01:42,879 --> 00:01:48,859
Fijaos, el 1 no está incluido, ¿de acuerdo?

15
00:01:49,659 --> 00:01:51,459
El 1 no pertenece al dominio.

16
00:01:52,140 --> 00:01:54,859
Y x más 2 partido por x menos 1.

17
00:01:55,359 --> 00:01:59,000
Y para lo mayores que 2, pues está definida de la siguiente forma.

18
00:01:59,760 --> 00:02:06,340
Como 3x cuadrado menos 2x partido por x más 2.

19
00:02:08,539 --> 00:02:15,780
Para los menores que 2 está definido así y para los mayores que 2 está definido como 3x cuadrado menos 2x más 2.

20
00:02:16,319 --> 00:02:18,659
Bien, las asíndotas verticales, ¿dónde las vamos a buscar?

21
00:02:18,840 --> 00:02:21,300
Pues las vamos a buscar en los puntos donde la función está definida

22
00:02:21,300 --> 00:02:31,000
y también cuando se trate de una función definida a trozos, en los puntos o en los extremos de los intervalos donde cambia la función.

23
00:02:31,800 --> 00:02:34,800
Entonces hacemos primero el límite cuando x tiende a 1.

24
00:02:34,800 --> 00:02:42,860
Hacemos límite cuando x tiende a 1 de la función.

25
00:02:43,460 --> 00:02:47,479
Fijaos, si hacemos el límite cuando x tiende a 1, 1 se encuentra aquí.

26
00:02:47,979 --> 00:02:53,000
Se encuentra en el intervalo donde la función está definida como x más 2 por x más 1.

27
00:02:53,300 --> 00:03:01,180
Entonces hay que hacer el límite cuando x tiende a 1 de x más 2 dividido entre x menos 1.

28
00:03:02,800 --> 00:03:05,560
Para calcular este límite lo que hacíamos era sustituir.

29
00:03:05,560 --> 00:03:08,919
Sustituimos x por 1 y nos queda 3 partido por 0.

30
00:03:09,719 --> 00:03:13,360
Siempre que nos queda un número partido por 0, calculamos límites laterales.

31
00:03:14,199 --> 00:03:25,050
Límite cuando x tiende a 1 por la izquierda de la función, sustituimos nuevamente por 1,

32
00:03:25,050 --> 00:03:30,210
nos sale 3 partido por 0, y cuando hacíamos límites laterales por la izquierda o por la derecha,

33
00:03:30,689 --> 00:03:32,750
lo que hacíamos era determinar el signo del 0.

34
00:03:33,530 --> 00:03:35,030
Entonces queremos ver cómo es ese 0.

35
00:03:35,030 --> 00:03:49,050
Si yo me acerco a 1 por la izquierda, me acerco por valores como 0,9. 0,9 menos 1 es negativo, por lo tanto, esto va a ser 0 menos, y esto va a ser menos infinito.

36
00:03:50,009 --> 00:04:03,370
Y el límite, cuando x tiende a 1 por la derecha de la función, sustituimos y nos sale lo mismo, 3 partido por 0.

37
00:04:03,370 --> 00:04:24,550
Pero bueno, aquí lo que se trata es de estudiar el signo de ese 0. Si yo me acerco a 1 por la derecha, me acerco por valores como x igual a 1,1 y esa diferencia 1,1 menos 1 es positiva y esto es más infinito, más infinito.

38
00:04:24,550 --> 00:04:32,740
Bien, por lo tanto, ¿tenemos asíndota vertical en x igual a 1?

39
00:04:32,740 --> 00:04:48,639
Sí, tenemos una asíndota vertical en x igual a 1, porque para tener asíndota vertical basta con que uno de estos tres límites sea infinito o menos infinito, ¿vale?

40
00:04:48,740 --> 00:04:56,689
Y tenemos que los límites por la izquierda y por la derecha son infinito y menos infinito.

41
00:04:56,689 --> 00:05:10,959
Bien, el otro candidato a ser asíndota vertical sería en x igual a 2, entonces hacemos el límite cuando x tiende a 2 por la izquierda, cuando x tiende a 2 por la izquierda de la función,

42
00:05:11,560 --> 00:05:22,579
si nos acercamos a 2 por la izquierda nos acercamos por la función x más 2 entre x menos 1, y este límite pues sustituyendo es 4 partido por 1,

43
00:05:22,579 --> 00:05:28,779
Como no hay ningún cero, no hace falta que nos pongamos aquí a estudiar el signo del cero, pues este límite es 4.

44
00:05:29,480 --> 00:05:44,620
Y el límite, cuando x tiende a 2 por la derecha de la función, si nos acercamos a 2 por la derecha, nos acercamos por la función x cuadrado menos 2x entre x más 2.

45
00:05:45,620 --> 00:05:55,620
Bueno, pues este límite es igual a 3 por 4, 12, menos 4 partido por 2 más 2, 4.

46
00:05:56,639 --> 00:05:58,600
8 entre 4, a 2.

47
00:05:59,879 --> 00:06:01,600
Este límite es 2.

48
00:06:02,480 --> 00:06:06,660
Por lo tanto, si el límite por la izquierda es 4, el límite por la derecha es 2,

49
00:06:07,420 --> 00:06:10,639
el límite cuando x tiende a 2 no existe, ninguno de ellos es infinito,

50
00:06:10,639 --> 00:06:14,459
por lo tanto, en x igual a 2 no hay ninguna asíndota vertical.

51
00:06:14,620 --> 00:06:19,000
La única que tenemos es x igual a 1, ¿vale?

52
00:06:20,439 --> 00:06:23,759
Bien, asíndotas horizontales.

53
00:06:23,959 --> 00:06:33,540
Bueno, tenemos una asíndota horizontal, si el límite cuando x tiende a infinito o a menos infinito de la función, existe, es un número, ¿vale?

54
00:06:34,500 --> 00:06:42,019
Entonces, hacemos el límite cuando x tiende a infinito de la función.

55
00:06:42,500 --> 00:06:44,399
¿Qué trozo de la función voy a tomar?

56
00:06:44,399 --> 00:07:04,240
Pues el de los mayores que 2. 3x cuadrado menos 2x partido entre x más 2. Y este límite, pues es infinito partido por infinito. Infinito positivo partido por infinito. Indeterminación.

57
00:07:04,240 --> 00:07:18,339
Y lo resolvemos de la siguiente forma. El grado del numerador es mayor que el grado del denominador, por lo tanto, esto va a ser más infinito.

58
00:07:19,399 --> 00:07:25,560
Por lo tanto, aquí no vamos a tener ningún tipo de asíndota horizontal.

59
00:07:25,560 --> 00:07:44,899
Y el límite cuando x tiende a menos infinito de la función, ¿qué función vamos a coger ahora? Cuando x tiende a menos infinito vamos a coger x más 2 entre x menos 1, ¿vale?

60
00:07:44,899 --> 00:08:03,620
Porque aquí está el menos infinito, ¿no? Aquí está el infinito. Vale. Y este límite, pues aquí es igual. Es igual a infinito partido por menos infinito partido por menos infinito, indeterminación, indeterminación.

61
00:08:03,620 --> 00:08:10,980
y este límite, pues, ¿a qué es igual? Pues es igual al cociente de los términos de mayor grado,

62
00:08:11,079 --> 00:08:16,600
como tienen los dos el mismo grado, pues es igual al cociente de los términos de mayor grado, que es 1.

63
00:08:16,920 --> 00:08:31,029
Por lo tanto, tenemos una asíndota horizontal en y igual a 1, y igual a 1 cuando x tiende a menos infinito,

64
00:08:33,500 --> 00:08:36,159
y igual a 1 cuando x tiende a menos infinito.

65
00:08:36,159 --> 00:08:53,049
Bien, y ahora vamos a ver las asíndotas oblicuas. Bien, como tenemos una horizontal, cuando x tiende a menos infinito, asíndotas oblicuas cuando x tiende a menos infinito no va a tener, solamente las va a tener cuando x tiende a infinito.

66
00:08:53,049 --> 00:09:10,289
Las indotas oblicuas son de la forma igual a mx más n. ¿Y cómo se calcula m y n? Pues m es el límite cuando x tiende a más menos infinito de f de x partido por x.

67
00:09:10,289 --> 00:09:27,639
Y n, pues es el límite cuando x tiende a más menos infinito de f de x menos mx, ¿vale?

68
00:09:28,299 --> 00:09:33,279
Bien, vuelvo a repetir, como tenemos una asíndota horizontal cuando x tiende a menos infinito,

69
00:09:33,960 --> 00:09:37,480
no podemos tener asíndota oblicua cuando x tiende a menos infinito.

70
00:09:37,600 --> 00:09:40,659
Entonces, calculamos m cuando x tiende a infinito.

71
00:09:40,659 --> 00:09:50,070
M va a ser igual al límite, cuando X tiende a infinito, de la función.

72
00:09:51,149 --> 00:10:00,210
Cuando X tiende a infinito, pues es 3X cuadrado menos 2X partido por X más 2, dividido entre X.

73
00:10:01,309 --> 00:10:08,049
Si este límite existe, pues entonces M va a ser igual a ese límite y vamos a tener asíndota oblicua.

74
00:10:08,149 --> 00:10:11,570
Si no existe, pues entonces no podemos tener asíndotas oblicuas.

75
00:10:11,570 --> 00:10:33,330
Bien, me queda el límite, cuando x tiende a infinito, de 3x cuadrado menos 2x partido entre x cuadrado más 2x.

76
00:10:33,330 --> 00:10:36,149
Tenemos aquí producto de los extremos, producto de los medios.

77
00:10:37,289 --> 00:10:41,230
Este límite es igual a infinito partido por infinito.

78
00:10:41,570 --> 00:10:51,309
Indeterminación. Pero como el grado del numerador es igual al grado del denominador, el límite es el cociente de los términos de mayor grado, que es 3.

79
00:10:51,789 --> 00:10:59,830
Por lo tanto, vamos a tener una asíndota oblicua y la pendiente de la asíndota va a ser m igual a 3.

80
00:10:59,830 --> 00:11:24,200
Y ahora calculamos n. Pues n va a ser igual al límite cuando x tiende a infinito de 3x cuadrado menos 2x entre x más 2 menos 3 por x. 3 es el valor de m, es menos m por x.

81
00:11:24,200 --> 00:11:52,320
Menos 3 por x. Esto es igual al límite cuando x tiende a infinito de 3x cuadrado menos 2x menos, hacemos x más 2 por menos 3x, que es menos 3x cuadrado más 2 por menos 3 menos 6x partido por x más 2.

82
00:11:52,320 --> 00:12:11,240
Simplificamos y nos queda que n es igual al límite cuando x tiende a infinito de menos 8x partido por x más 2.

83
00:12:12,759 --> 00:12:19,139
Este límite es menos infinito partido por infinito, indeterminación.

84
00:12:20,080 --> 00:12:22,759
Pero como el grado del numerador es igual al grado del denominador,

85
00:12:23,600 --> 00:12:26,019
pues el límite es igual al cociente de los términos de mayor grado.

86
00:12:26,220 --> 00:12:27,960
Esto sería menos 8.

87
00:12:29,919 --> 00:12:32,460
Por lo tanto, n igual a menos 8.

88
00:12:32,460 --> 00:12:54,580
Y tenemos una asíntota oblicua en igual a 3x menos 8, cuando x tiende a infinito.

89
00:12:54,580 --> 00:13:07,879
cuando x tiende a infinito, porque cuando x tiende a menos infinito hemos visto que tiene una asíntota horizontal, ¿vale?

90
00:13:08,460 --> 00:13:21,799
Recapitulando, tenemos asíntota en igual a 3x menos 8, tenemos una asíntota horizontal en y igual a 1 y una asíntota vertical en x igual a 1.