1
00:00:00,240 --> 00:00:18,379
Hola chicos, bueno para acabar ya lo que sería en el tema 1, 2 y 3, nos quedaría por contar lo que es el rango de una matriz, el teorema de Rouchet-Frobenius y la regla de Karamen, ¿de acuerdo?

2
00:00:18,379 --> 00:00:24,679
Con esto ya se podrían hacer todos los ejercicios que hay hasta el tema 3.

3
00:00:27,059 --> 00:00:40,079
Veis el vídeo las veces que sea necesario, preguntáis las dudas en clase y el examen estará por fijar, pero no será más allá de una semana o semana y media.

4
00:00:40,079 --> 00:00:45,939
Bueno, pues empezamos. ¿Qué es el rango de una matriz?

5
00:00:48,380 --> 00:01:05,010
perdón, cogemos rango de una matriz A.

6
00:01:06,010 --> 00:01:07,569
Hay dos formas de definirlo.

7
00:01:08,790 --> 00:01:20,810
Bien, una primera forma es atendiendo a los vectores fila o columna.

8
00:01:20,810 --> 00:02:00,079
En realidad es el número de vectores fila linealmente independientes o el número de vectores columna linealmente independiente.

9
00:02:01,079 --> 00:02:21,750
da igual mirar una cosa o la otra, es decir, es lo mismo mirarlo por filas que por columnas.

10
00:02:21,750 --> 00:02:31,530
Bueno, antes que nada vamos a recordar lo que significaba linealmente independientes, ¿vale?

11
00:02:31,530 --> 00:02:48,509
Bueno, pues decíamos el año pasado que V1, V2 hasta Vn eran linealmente independientes, sí y solamente sí,

12
00:02:48,509 --> 00:03:09,150
Para cualquier ecuación del tipo lambda 1 por v1 más lambda 2 por v2 más puntos suspensivos lambda n por vn igual al vector 0,

13
00:03:10,150 --> 00:03:15,750
obligatoriamente, con los lambda suís vamos a poner los escalares,

14
00:03:18,509 --> 00:03:23,990
Recuerdo que escalares para nosotros eran números, ¿vale?

15
00:03:24,990 --> 00:03:44,009
Pues de esta ecuación obligatoriamente se deduce que todos los landas, landa 1, landa 2, hasta landa n, eran igual a 0, ¿vale?

16
00:03:44,009 --> 00:04:08,840
Si eso no ocurre, diremos que V1, V2 hasta Vn son linealmente dependientes.

17
00:04:08,840 --> 00:04:44,480
Lo poníamos como LD. Y esto significa que por lo menos hay un vector que es combinación lineal, poníamos CL, de los demás.

18
00:04:44,480 --> 00:05:08,550
Ejemplo, pues en este caso podría ser que puedo poner el Vn como un número por V1 más un número por V2 más, puntos suspensivos, un número por el Vn-1, ¿vale?

19
00:05:09,189 --> 00:05:13,430
¿De acuerdo? Entonces, este depende de estos n-1 vectores.

20
00:05:14,430 --> 00:05:16,569
Bien, consecuencias prácticas.

21
00:05:16,689 --> 00:05:28,300
es lo que a nosotros más o menos nos interesa, que es lo que vamos a usar

22
00:05:28,300 --> 00:05:31,379
vale, bueno pues

23
00:05:31,379 --> 00:05:35,100
lo primero sería que

24
00:05:35,100 --> 00:05:38,420
dos vectores

25
00:05:38,420 --> 00:05:47,220
son linealmente independientes

26
00:05:47,220 --> 00:05:50,879
si no son

27
00:05:50,879 --> 00:05:56,699
proporcionales, de acuerdo

28
00:05:56,699 --> 00:06:43,290
Por ejemplo, también nos viene muy bien para problemas, el método de Gauss permite de manera sencilla ver cuántos vectores fila son separados.

29
00:06:43,310 --> 00:06:56,110
linealmente independientes vamos pasamos a la siguiente hoja

30
00:06:56,110 --> 00:07:01,509
vamos a poner unos ejemplos bueno los ejemplos o simplemente un ejemplo no hay

31
00:07:01,509 --> 00:07:09,550
por qué hacer muchos imaginaros que nos preguntarán calcula

32
00:07:09,550 --> 00:07:12,430
el rango

33
00:07:12,430 --> 00:07:38,850
D, y nos dan la matriz A igual a 1, 2, 3, 4, menos 1, 1, 0, 2, y 2, 1, 1, 3, ¿vale?

34
00:07:38,850 --> 00:07:47,350
bueno pues si lo que queremos ver es el rango de A

35
00:07:47,350 --> 00:07:54,129
lo primero que veríamos es que las tres filas no son proporcionales

36
00:07:54,129 --> 00:07:58,069
bueno pues eso ya me dice que por lo menos el rango sería 2

37
00:07:58,069 --> 00:07:59,290
eso por lo menos

38
00:07:59,290 --> 00:08:01,449
bueno será el rango 3

39
00:08:01,449 --> 00:08:08,689
pues si aplico lo que conocemos del método de Gauss

40
00:08:08,689 --> 00:08:18,709
yo podría hacer la fila 2, va a pasar a ser la fila 2 sumada con la fila 1.

41
00:08:21,069 --> 00:08:23,649
Era lo que hacíamos el año pasado con las ecuaciones.

42
00:08:23,970 --> 00:08:29,790
Luego, esto va a ser el rango de, pongo la 1, 2, 3, 4,

43
00:08:29,990 --> 00:08:34,529
que es sobre la que voy a realizar las cuentas, y pongo el resultado.

44
00:08:34,529 --> 00:08:56,649
si sumo la 2 con la 1 me queda 0, 3, 3, 6, digo ya ahí el año pasado también hacíamos que la fila 3 era igual a la fila 3 menos dos veces la fila 1, ¿de acuerdo?

45
00:08:56,649 --> 00:09:04,610
Bueno, el acento lo pongo porque sería como la nueva fila 3, que es la que yo voy a acabar poniendo en tercera línea.

46
00:09:05,029 --> 00:09:14,850
Bueno, pues si multiplicamos esta por 2, podríamos poner aquí en pequeñito 2, 4, 6, 8,

47
00:09:14,850 --> 00:09:29,330
Y como ahora tengo que restarlos, 2 menos 2, 0, 1 menos 4, menos 3, 1 menos 6, menos 5, 3 menos 8, menos 5.

48
00:09:29,750 --> 00:09:38,590
Reviso por si acaso, 2 menos 2, 0, 1 menos 4, menos 3, 1 menos 6, menos 5, 3 menos 8, menos 5.

49
00:09:38,590 --> 00:09:50,169
¿De acuerdo? Bueno, como ya no lo necesito, para no confundirme, si vuelvo a hacer cuentas, lo borro y sigo.

50
00:09:52,090 --> 00:10:09,820
Bueno, pues para hacer el rango también podría hacer que la fila 3 sea igual a la fila 3 más la fila 2, que eso es lo que me garantizaría otro 0 más.

51
00:10:10,220 --> 00:10:20,759
Entonces tendría ahora la 1, 2, 3, 4, 0, 0, perdón, 0.

52
00:10:22,559 --> 00:10:38,580
Bueno, vamos, 0, 3, 3, 6, 0, al sumar 3 y menos 3 sale 0, menos 2 y 1, ¿vale?

53
00:10:39,460 --> 00:10:53,029
Bueno, pues ya veo que las tres filas son linealmente independientes.

54
00:10:53,429 --> 00:10:54,230
¿Por qué?

55
00:10:55,309 --> 00:11:00,090
Porque si cojo la tercera fila, multiplicándole por el número que quiera,

56
00:11:00,190 --> 00:11:03,210
me van a salir las dos primeras coordenadas cero.

57
00:11:03,809 --> 00:11:08,929
Si cojo la tercera y la segunda y la multiplico por el número que quiera,

58
00:11:08,929 --> 00:11:19,529
la fila 2 y la fila 3, la primera coordenada sería también 0, no podría ser nunca el 1, luego las 3 son linealmente independientes, ¿de acuerdo?

59
00:11:19,529 --> 00:11:39,620
Si me hubieran salido algunos iguales, pues directamente yo podría retirarlos, ¿bien? Bueno, pues seguimos, segunda manera de calcular el rango, ¿bien?

60
00:11:39,620 --> 00:11:57,500
pues es el orden máximo de sus menores no nulos.

61
00:12:01,559 --> 00:12:12,860
Si os acordáis de lo que era un menor, los menores eran los determinantes que yo sacaba de las matrices quitando filas y columnas.

62
00:12:12,860 --> 00:12:37,120
¿De acuerdo? Entonces, en realidad, yo lo que tendría que hacer ahora es para ver el rango de la matriz que me daban antes, de la 1, 2, 3, 4, menos 1, 1, 0, 2, 2, 1, 1, 3,

63
00:12:37,120 --> 00:12:41,779
pues sería quitando filas o columnas

64
00:12:41,779 --> 00:12:44,899
obtener determinantes que

65
00:12:44,899 --> 00:12:49,980
sean distintos de 0, el que sea de orden mayor

66
00:12:49,980 --> 00:12:53,559
pues si resulta un 3 por 3, pues sería de orden 3

67
00:12:53,559 --> 00:12:57,960
¿de acuerdo? aquí no lo he puesto, pero lo añado aquí

68
00:12:57,960 --> 00:13:02,179
el rango de A vale 3

69
00:13:02,179 --> 00:13:05,259
¿de acuerdo? que al final no lo pusimos

70
00:13:05,259 --> 00:13:07,899
Dijimos que las tres eran linealmente independientes

71
00:13:07,899 --> 00:13:09,919
Bueno, pues en este caso

72
00:13:09,919 --> 00:13:11,940
Hombre, antes de ponernos a hacer nada

73
00:13:11,940 --> 00:13:16,600
Yo ya vería que el rango va a ser más de uno

74
00:13:16,600 --> 00:13:21,860
Bien, para que fuera cero tendrían que ser todos los elementos cero

75
00:13:21,860 --> 00:13:22,700
No hay ninguno

76
00:13:22,700 --> 00:13:28,259
Bien, para que fuera uno tendrían que ser las filas todas proporcionales

77
00:13:28,259 --> 00:13:29,940
Bien, veo que no

78
00:13:29,940 --> 00:13:32,240
Para que el rango fuera dos

79
00:13:32,240 --> 00:13:55,730
Tendría que encontrar un determinante 2 por 2 distinto de 0. Si cojo el 1, el 2, el menos 1 y el 1, este determinante vale 3 distinto de 0, pues por lo menos es 2.

80
00:13:55,730 --> 00:14:17,730
Vale, y si encontrara 1 distinto de 0, por ejemplo, de orden 3, menos 1, 1, 0, 2, 1, 1, pues entonces sería de orden 3.

81
00:14:17,730 --> 00:14:38,409
el rango sería 3, pues esto sería 1 menos 3 más 0 menos 6 más 2 y menos 0, resultado menos 6, ¿de acuerdo?

82
00:14:38,409 --> 00:14:53,000
Bueno, pues como este es distinto de 0, el rango de A sería 3.

83
00:14:53,179 --> 00:15:01,179
Es decir, que ya tengo dos maneras de mirar el rango, o aplicando el método de Gauss o aplicando los determinantes.

84
00:15:01,740 --> 00:15:05,220
No obstante, me interesa que os fijéis en lo siguiente.

85
00:15:07,240 --> 00:15:07,639
Bien.

86
00:15:09,860 --> 00:15:12,840
¿Cuánto valdría este determinante?

87
00:15:13,679 --> 00:15:17,659
Bien.

88
00:15:18,679 --> 00:15:34,080
Bueno, pues el valor de este determinante es menos 6, ¿y cuánto ha salido este? Menos 6. ¿Por qué? Porque si os acordáis, una de las propiedades de los determinantes era que se podía aplicar el método de Gauss.

89
00:15:34,080 --> 00:15:47,860
En cierta medida lo que decíamos es que el valor del determinante no varía si a una fila o columna se le sumaba una combinación lineal de las restantes. Pues eso es lo que pasa aquí en Gauss y lo que pasa aquí.

90
00:15:48,679 --> 00:15:54,559
Bueno, pues una vez explicado lo que es el rango

91
00:15:54,559 --> 00:16:01,940
Vamos a seguir ahora con lo que sería el teorema de Rouchet

92
00:16:01,940 --> 00:16:14,360
Bien, para ello lo primero es irnos fijando en lo que sería la expresión matricial de un sistema

93
00:16:14,360 --> 00:16:19,399
Imaginaros, aquí, esta ecuación, esta ecuación, esta ecuación.

94
00:16:19,399 --> 00:16:29,720
En principio, como hay muchas incógnitas, en vez de llamarlas x, y, z, la vamos a llamar x1, x2, hasta xn.

95
00:16:30,480 --> 00:16:31,000
¿Vale?

96
00:16:31,879 --> 00:16:36,480
Y las ecuaciones que hay serán b1, b2, hasta bm.

97
00:16:36,600 --> 00:16:40,200
Es decir, que hay muchas ecuaciones, en principio, muchas incógnitas.

98
00:16:40,200 --> 00:16:55,600
Aunque nosotros al final vamos a tratar como mucho sistemas 3x3 o 4x4 o 3x4, que significa 3 ecuaciones 4 incógnitas, 4 ecuaciones 3 incógnitas o 4 ecuaciones 4 incógnitas.

99
00:16:55,740 --> 00:16:57,759
Nunca vamos a ir a cosas más grandes.

100
00:16:58,559 --> 00:17:04,099
Bueno, pues si resolvemos este sistema, tenemos diferentes opciones, ¿vale?

101
00:17:04,500 --> 00:17:07,799
Puede ocurrir que el sistema tenga solución y que ésta sea única.

102
00:17:07,799 --> 00:17:11,480
Entonces se dirá que el sistema es compatible y determinado.

103
00:17:11,980 --> 00:17:17,940
Puede ser que el sistema sea compatible e indeterminado, es decir, que tenga infinitas soluciones.

104
00:17:18,200 --> 00:17:21,059
O puede ser que el sistema sea incompatible.

105
00:17:21,559 --> 00:17:23,940
¿De acuerdo? Luego volveremos sobre ello.

106
00:17:24,759 --> 00:17:33,230
La idea es estudiar el teorema de Rouchet y luego ver la aplicación sobre esto.

107
00:17:34,190 --> 00:17:35,329
Bueno, pues...

108
00:17:35,869 --> 00:17:38,849
A ver, ¿dónde nos hemos ido? Aquí.

109
00:17:40,329 --> 00:17:45,509
vale, bueno pues

110
00:17:45,509 --> 00:17:51,680
esta de aquí

111
00:17:51,680 --> 00:17:56,900
es lo que se llama la matriz del sistema

112
00:17:56,900 --> 00:17:58,500
si veis son todos los coeficientes

113
00:17:58,500 --> 00:18:03,859
a sub 1, a sub 1, a sub 2, a sub 1, 2

114
00:18:03,859 --> 00:18:07,859
a sub 1n, a sub 1n

115
00:18:07,859 --> 00:18:09,819
aquí están las incógnitas

116
00:18:09,819 --> 00:18:12,200
x sub 1, x sub 2, x sub n

117
00:18:12,200 --> 00:18:15,480
x1, x2, xn

118
00:18:15,480 --> 00:18:19,440
y los términos independientes o segundo miembro

119
00:18:19,440 --> 00:18:21,940
b1, b2, bn

120
00:18:21,940 --> 00:18:24,640
esta es la matriz A

121
00:18:24,640 --> 00:18:26,299
matriz del sistema

122
00:18:26,299 --> 00:18:30,900
matriz de términos independientes o segundo miembro

123
00:18:30,900 --> 00:18:33,539
y esta es la matriz de las incógnitas

124
00:18:33,539 --> 00:18:34,319
¿de acuerdo?

125
00:18:35,079 --> 00:18:36,079
bueno, pues

126
00:18:36,079 --> 00:18:39,039
hay una matriz nueva

127
00:18:39,039 --> 00:18:40,759
que se llama matriz ampliada

128
00:18:40,759 --> 00:18:53,650
La que está formada por todos los elementos de la matriz A a los que le añado los elementos de B.

129
00:18:54,410 --> 00:18:58,650
Y entonces esta se le llama matriz A ampliada.

130
00:18:58,650 --> 00:19:07,650
En algunos libros lo ponen como A asterisco, en otros libros se lo pone...

131
00:19:08,150 --> 00:19:10,269
Perdón, voy a cambiar el color.

132
00:19:12,329 --> 00:19:15,150
Como A barra, ¿de acuerdo?

133
00:19:16,490 --> 00:19:18,069
Da igual, según lo nominéis.

134
00:19:18,130 --> 00:19:21,569
Lo importante es que recibe el nombre de ampliada.

135
00:19:26,430 --> 00:19:29,529
Bien, bueno, pues, ¿qué dice el teorema de Rochefrubeños?

136
00:19:29,789 --> 00:19:37,730
Dice que la condición necesaria y suficiente para que un sistema de M ecuaciones y N incógnitas sea compatible

137
00:19:37,730 --> 00:19:43,890
es que el rango de la matriz de los coeficientes sea igual al rango de la matriz ampliada.

138
00:19:44,250 --> 00:19:44,630
¿De acuerdo?

139
00:19:45,690 --> 00:19:51,950
y si estudiamos los rangos de la matriz, podemos encontrarnos con las siguientes situaciones.

140
00:19:52,569 --> 00:19:59,410
Estos dos rangos coinciden, si estos dos rangos coinciden, el sistema tiene solución, el sistema es compatible.

141
00:20:00,589 --> 00:20:05,930
Si además coinciden con el número de incógnitas, acordaros que la n eran las incógnitas,

142
00:20:05,930 --> 00:20:08,769
pues el sistema es compatible, determinado.

143
00:20:08,769 --> 00:20:15,769
Y si el rango es más pequeño que el número de incógnitas, el sistema es compatible e indeterminado.

144
00:20:17,289 --> 00:20:25,089
Si el rango de A es menor que el rango de A ampliada, el sistema es incompatible.

145
00:20:25,750 --> 00:20:30,809
En algunos sitios se pone que son distintos, pero lo que está claro es que si esta tiene una columna más,

146
00:20:31,269 --> 00:20:35,609
pues lo único que puede ocurrir es que el rango de A ampliada sea más grande que el de A.

147
00:20:35,609 --> 00:20:47,470
¿De acuerdo? Bueno, ese sería el caso del sistema incompatible. Vamos a ver, ¿qué nos interesaría a nosotros centrar aquí? ¿Cómo voy a hallar este rango?

148
00:20:47,470 --> 00:21:09,920
Bueno, pues este rango, si rango de A viene dado por un menor m,

149
00:21:09,920 --> 00:21:48,240
puedo eliminar todas aquellas ecuaciones cuyos coeficientes no estén en M.

150
00:21:48,240 --> 00:22:19,559
Y pasar al segundo miembro aquellas incógnitas cuyos coeficientes tampoco estén en M.

151
00:22:19,559 --> 00:22:48,039
Y luego resolver usando la regla que veremos luego después, regla de Kramer.

152
00:22:48,640 --> 00:22:52,920
¿De acuerdo?

153
00:22:54,660 --> 00:22:58,119
Bueno, pues seguimos adelante.

154
00:22:58,720 --> 00:23:01,099
¿Qué dice la regla de Kramer?

155
00:23:01,099 --> 00:23:23,240
Bueno, pues la regla de Cramer dice que si tengo un sistema con n ecuaciones y n incógnitas, es decir, mismo número de ecuaciones que de incógnitas, y el determinante de los coeficientes es distinto de cero, admite una solución y sólo una, es decir, el sistema es compatible y determinado.

156
00:23:23,240 --> 00:23:28,160
Bien, bueno, ¿de dónde sale el método de Cramer?

157
00:23:28,400 --> 00:23:35,619
Imaginaros, tenemos este sistema, este sistema lo podemos expresar matricialmente de esta manera,

158
00:23:36,019 --> 00:23:45,000
sería esta fila por esta columna igual a esta, que eso me daría lugar a la primera ecuación.

159
00:23:45,000 --> 00:23:56,539
Bien, esta fila por esta columna sería igual a B2, y eso sería la segunda ecuación.

160
00:23:56,920 --> 00:24:05,119
Bien, bueno, pues lo que me dicen es que esta resulta que el determinante es distinto de cero.

161
00:24:05,519 --> 00:24:09,440
Hombre, si el determinante es distinto de cero, sabemos que existe la inversa.

162
00:24:09,440 --> 00:24:20,259
Si sabemos que existe la inversa, multiplico por la inversa aquí a la izquierda y al despejar me queda que x es igual a a-1 por b.

163
00:24:20,819 --> 00:24:29,140
Bueno, si esto es a-1 por b, ¿en realidad qué es lo que ocurre?

164
00:24:29,140 --> 00:24:41,210
Bien, pues que este es el x, ¿vale? Aquí está la inversa y aquí está b.

165
00:24:41,690 --> 00:24:56,309
Cuando hago la multiplicación me queda de denominador siempre el determinante de a, arriba a sub 1, 1 por b sub 1, a sub 2, 1 por b sub 2, a sub n, 1 por b sub n.

166
00:24:56,309 --> 00:25:00,509
¿bien? igual a su 1 2 por b su 1

167
00:25:00,509 --> 00:25:03,970
a su 2 2 por b su 2, a su n 2 por b su n

168
00:25:03,970 --> 00:25:08,089
¿de acuerdo? bueno, y si me fijo

169
00:25:08,089 --> 00:25:13,640
si yo desarrollo por esta columna

170
00:25:13,640 --> 00:25:20,059
¿bien? por esta columna de aquí

171
00:25:20,059 --> 00:25:26,319
entonces me sale b su 1 por a su 1 1

172
00:25:26,319 --> 00:25:29,400
b su 2 por a su 2 1

173
00:25:29,400 --> 00:25:32,480
perdón, por el adjunto a sub 2, 1

174
00:25:32,480 --> 00:25:35,440
b sub n por el adjunto a sub n, 1

175
00:25:35,440 --> 00:25:38,099
es decir que x sub 1 en realidad

176
00:25:38,099 --> 00:25:42,220
es la matriz

177
00:25:42,220 --> 00:25:44,880
que yo tenía

178
00:25:44,880 --> 00:25:46,940
¿vale? la matriz

179
00:25:46,940 --> 00:25:51,980
a al que le falta la primera columna

180
00:25:51,980 --> 00:25:54,259
pero a cambio de la primera columna

181
00:25:54,259 --> 00:25:56,579
el a sub 1, 1, a sub 1, 2 y demás

182
00:25:56,579 --> 00:26:11,259
He metido yo los términos independientes. ¿Qué le pasa al XU2? Pues es lo mismo, la matriz A que yo tenía, pero en la columna 2 meto los términos independientes o los segundos miembros.

183
00:26:11,259 --> 00:26:29,519
De esta manera obtengo fácilmente cómo resolver un sistema con simplemente calcular determinantes, ¿vale? Bueno, pues vamos a acabar lo que sería el tema haciendo unos ejercicios.

184
00:26:29,519 --> 00:26:49,140
Para ello, a ver si me descoloca un poco las hojas, los ejercicios, lo vamos a hacer aquí y sería, vamos a elegir, imaginaros que nos piden resolver aquí el siguiente sistema.

185
00:26:49,140 --> 00:27:18,099
Es x más y más z igual a 6, 2x menos y más z igual a 3, y x más 2y más 3z igual a 14.

186
00:27:19,140 --> 00:27:24,460
si yo tengo que resolver este sistema

187
00:27:24,460 --> 00:27:31,019
bueno, pues lo primero que voy a tener que mirar es cuánto vale el rango de A

188
00:27:31,019 --> 00:27:34,180
y compararlo con el rango de A ampliada

189
00:27:34,180 --> 00:27:41,119
para ver el rango de A, lo primero que se me ocurre es mirar cuánto vale este determinante

190
00:27:41,119 --> 00:27:47,839
si me sale distinto de 0, quiere decir que el rango será 3

191
00:27:47,839 --> 00:28:04,740
¿Vale? Bueno, pues realizo la cuenta, sale menos 3, más 4 y más 1, más 1, menos 6 y menos 2.

192
00:28:04,740 --> 00:28:28,319
Entonces, reviso, menos 3, más 4, más 1, otra vez más 1, menos 6 y menos 2, perfecto, pues entonces salen positivos, resultado menos 5, ¿vale? Serían 4, 5, 6, menos 6, 0, resultado menos 5, que es distinto de 0.

193
00:28:28,319 --> 00:28:49,099
Bueno, pues por el teorema de Rouchet-Frobenius, tengo que el rango de A es igual a 3, que es igual que el rango de A ampliada, y además coincide con el número de incógnitas.

194
00:28:49,099 --> 00:29:10,259
Pues el sistema es sistema compatible determinado, pero claro, si el determinante era distinto de cero, cumple las hipótesis de la regla de Cramer.

195
00:29:10,259 --> 00:29:45,400
¿Bien? Bueno, pues entonces la X será igual aquí el determinante menos 5, la Y será igual aquí el determinante menos 5 y la Z será igual aquí el determinante menos 5.

196
00:29:45,400 --> 00:29:59,549
Habría que sustituir para el cálculo de la X la primera columna por la 6, 13, 14

197
00:29:59,549 --> 00:30:08,009
Aquí sería la segunda columna, la que se sustituiría por la 6, 13, 14

198
00:30:08,009 --> 00:30:12,009
Perdón, no 13, sería 3

199
00:30:12,009 --> 00:30:18,049
y aquí la última columna

200
00:30:18,049 --> 00:30:24,329
por las 6, 3, 14

201
00:30:24,329 --> 00:30:26,930
bueno, por allí damos el resto

202
00:30:26,930 --> 00:30:30,150
que sería 1, 1

203
00:30:30,150 --> 00:30:35,450
menos 1, 1, 2, 3

204
00:30:35,450 --> 00:30:39,349
aquí sería 1, 2, 1

205
00:30:39,349 --> 00:30:42,509
1, 1, 3

206
00:30:42,509 --> 00:31:06,750
Y este sería 1, 1, 2. Menos 1, 1, 2. Bueno, pues si yo resuelvo aquí, hago este, queda menos 18. Aquí sale más 6. Aquí sale más 14. Bien.

207
00:31:06,750 --> 00:31:32,890
Y negativos menos 14, vamos a ver, aquí no nos va a caber, lo borramos aquí abajo, y esto sería igual a menos 18 más 6 más 14.

208
00:31:32,890 --> 00:31:53,009
A ver, menos 18, más 6, más 14, luego más 14, menos 9, menos 12, menos 9, menos 12, entre menos 5.

209
00:31:53,009 --> 00:32:03,750
Positivos, menos 39, serían 12, 18, menos 30, menos 39

210
00:32:03,750 --> 00:32:13,750
Y aquí serían más 34, luego salen menos 5, entre menos 5, que esto vale 1

211
00:32:13,750 --> 00:32:15,769
Eso sería la X

212
00:32:15,769 --> 00:32:17,789
¿Cuánto valdría la Y?

213
00:32:18,930 --> 00:32:20,289
Perdón, aquí

214
00:32:20,289 --> 00:32:47,609
La Y sería igual a 9 más 28 más 6 menos 3 menos 14 y menos 36.

215
00:32:47,609 --> 00:32:52,170
entre menos 5

216
00:32:52,170 --> 00:32:55,569
bueno, pues aquí serían

217
00:32:55,569 --> 00:33:00,210
34, 43

218
00:33:00,210 --> 00:33:04,650
53, luego menos 10

219
00:33:04,650 --> 00:33:08,529
entre menos 5, igual a 2

220
00:33:08,529 --> 00:33:11,890
y de la misma manera, si resolvéis este

221
00:33:11,890 --> 00:33:16,329
el z sale 3, bien, bueno, pues ya hemos

222
00:33:16,329 --> 00:33:26,569
resuelto el primero aplicando la regla de kramer el sistema era compatible determinado vale bueno

223
00:33:26,569 --> 00:33:38,329
imaginaros ahora que nos piden estudiar y resolver el siguiente sistema x más y más z igual a 6

224
00:33:38,329 --> 00:34:01,599
2X menos Y más Z igual a 3, y 4X más Y más 3Z igual a 15.

225
00:34:01,599 --> 00:34:08,820
Bien, bueno, pues lo primero que haría es ver lo que vale el rango de A

226
00:34:08,820 --> 00:34:13,260
Para ver lo que vale el rango de A, miraría el determinante de A

227
00:34:13,260 --> 00:34:22,099
1, 1, 1, 2, menos 1, 1, 4, 1, 3

228
00:34:22,099 --> 00:34:29,059
Y si ocurriera lo de antes, pues resultaría que el sistema sería compatible determinado

229
00:34:29,059 --> 00:34:30,280
Y lo podría hacer por Gauss

230
00:34:30,280 --> 00:34:36,159
bueno pues si no me he confundido al ponerlo este saldrá cero menos tres más

231
00:34:36,159 --> 00:34:48,179
dos más cuatro más cuatro menos seis y menos uno diez positivos diez negativos

232
00:34:48,179 --> 00:34:52,980
el resultado sale cero

233
00:34:53,059 --> 00:34:57,059
vale bueno pues

234
00:34:57,059 --> 00:35:22,920
El rango de A va a ser 2, ¿por qué? Porque si me fijo en este determinante de aquí, bien, el determinante 1, 1, 2, menos 1, vale menos 3, distinto de 0.

235
00:35:22,920 --> 00:35:53,130
¿De acuerdo? Bueno, vamos a ver cuánto sería el rango de A barra. Para ver el rango de A barra, yo lo que voy a hacer es utilizar el método de Gauss, puesto que vale para determinantes y para rangos, pues lo utilizo.

236
00:35:53,130 --> 00:36:06,619
Y aquí lo que voy a hacer es la fila 2 igual a la fila 2 menos 2 veces la fila 1.

237
00:36:08,039 --> 00:36:14,539
Aquí me sale el 1, 1, 1, 6.

238
00:36:14,539 --> 00:36:36,840
Y al restar, aquí habría como 2, 2, 2, 12, pues 2 menos 2, 0, menos 1, menos 2, menos 3, 1, menos 2, menos 1, 3, menos 12, menos 9.

239
00:36:36,840 --> 00:36:51,800
Y la fila 3 sería igual a la fila 3 menos 4 veces la fila 1.

240
00:36:52,079 --> 00:37:00,420
Para no confundirme con los de antes, borro los resultados que tuve anteriormente.

241
00:37:00,420 --> 00:37:09,420
Y ahora como es cuatro veces, aquí me va a salir un cuatro, un cuatro, un cuatro y un veinticuatro.

242
00:37:10,920 --> 00:37:14,860
Y cuando reste cuatro con cuatro, cero.

243
00:37:15,960 --> 00:37:18,420
Uno menos cuatro, menos tres.

244
00:37:19,940 --> 00:37:22,460
Tres menos cuatro, menos uno.

245
00:37:22,760 --> 00:37:26,300
Quince menos veinticuatro, menos nueve.

246
00:37:26,300 --> 00:37:40,679
Si nos fijamos, vemos que esta ecuación, porque al final eso representa ecuaciones, es la misma que la de arriba.

247
00:37:40,679 --> 00:38:00,880
Bueno, pues entonces lo que obtengo es que el rango de A es igual a 2, igual al rango de A ampliada, que es menor que 3, que es el número de incógnitas.

248
00:38:00,880 --> 00:38:06,159
ya, pero si el rango es 2

249
00:38:06,159 --> 00:38:09,840
eso es porque hay un determinante 2 por 2

250
00:38:09,840 --> 00:38:10,639
no nulo

251
00:38:10,639 --> 00:38:15,340
el determinante 2 por 2 podría ser este

252
00:38:15,340 --> 00:38:16,440
si lo miran aquí

253
00:38:16,440 --> 00:38:19,019
o este que saqué de aquí antes

254
00:38:19,019 --> 00:38:21,800
nos vamos a quedar con el primero que saqué, ¿vale?

255
00:38:22,619 --> 00:38:28,039
si yo me quedo con el 1, 1, 2, menos 1

256
00:38:28,039 --> 00:38:29,760
cuando hicimos

257
00:38:29,760 --> 00:38:38,039
Si hablamos del teorema de Rouchet, podíamos eliminar aquellas ecuaciones cuyos coeficientes no estuvieran ahí.

258
00:38:38,460 --> 00:38:43,579
Pues yo me quedo con el x más y y el 2x menos y.

259
00:38:44,079 --> 00:38:50,679
Y pasar al otro miembro las incógnitas que tampoco estuvieran en ese menor.

260
00:38:51,440 --> 00:38:56,519
Pues 6 menos z, 3 menos z.

261
00:38:56,519 --> 00:39:04,340
y decíamos que podíamos resolver el sistema por Cramer, ¿vale?

262
00:39:04,880 --> 00:39:09,099
Hombre, en este caso como queda un 2 por 2, lo voy a hacer de las dos maneras,

263
00:39:09,099 --> 00:39:15,119
lo voy a hacer por Cramer y lo voy a hacer por igualación, reducción, cualquiera de ellos, ¿bien?

264
00:39:15,539 --> 00:39:21,519
Entonces, en este caso, si yo lo hiciera por Cramer, sabría que la x tiene que ser igual,

265
00:39:21,519 --> 00:39:45,849
Este determinante, lo calculáis, sale menos 3, y aquí tendría que poner la primera, el 6 menos z, 3 menos z, y el 1 menos 1.

266
00:39:45,849 --> 00:39:58,469
El resultado queda menos 6 más z, menos 3 más z, dividido entre menos 3.

267
00:39:59,070 --> 00:40:07,949
Si hago la división menos 9 entre menos 3, queda 3 y menos 2 tercios de z.

268
00:40:07,949 --> 00:40:34,199
¿Vale? Y la y sería igual a lo mismo, aquí menos 3 y aquí pondríamos el 1, 2 y sería 6 menos z, 3 menos z.

269
00:40:34,199 --> 00:40:46,099
Hago la operación, queda 3 menos z, menos 12 más 2z, entre menos 3.

270
00:40:46,099 --> 00:41:10,019
3 menos 12 es menos 9, menos 9 entre menos 3 más 3, a ver si sale más 3, a ver, no me he confundido, 1, 3 menos z, 12 menos, menos 12 más 2z, estaría bien, entonces queda menos 9 entre menos 3, 3 más un tercio de z.

271
00:41:16,099 --> 00:41:26,960
En principio me falla un signo, pero no sé dónde estará con las cuentas que yo tenía hechas.

272
00:41:28,320 --> 00:41:32,039
Luego lo revisamos, por si acaso.

273
00:41:32,539 --> 00:41:38,119
No obstante, la otra forma de hacerlo sería, lo voy a hacer en rojo,

274
00:41:40,139 --> 00:41:48,139
si yo decido que sumo estas dos, me queda que 3x es igual a 9 menos 2z,

275
00:41:48,139 --> 00:42:16,500
De aquí sacaría que la x es 3 menos 2 tercios de z, ¿de acuerdo? Como decíamos ahí, ¿vale? Vamos a ver, bueno, la última cosa que me gustaría recalcar, aunque nos salgamos de los límites de la hoja, es que en este caso depende de la z, con lo cual tenemos dos grados de libertad, digo, perdón, un grado de libertad.

276
00:42:16,500 --> 00:42:22,380
Yo me puedo inventar la Z, inventándome la Z, calculo lo que vale la X y la Y.

277
00:42:23,139 --> 00:42:35,480
Bien, entonces, sigo aquí un poco liado porque no veo de dónde sale el 3 más 1 de Z.

278
00:42:36,500 --> 00:42:38,719
Ah, perdón, sí, ya he visto el fallo.

279
00:42:39,920 --> 00:42:42,619
Borramos aquí este.

280
00:42:42,619 --> 00:42:53,659
Bien, si debo una y tengo dos, me queda uno entre menos tres, el signo aquí era negativo, ¿vale? Este es menos un tercio de z.

281
00:42:54,880 --> 00:43:09,679
Bueno, a lo que me refiero es que si yo doy que la z vale cero, entonces la x me sale tres, porque aquí sustituíamos por cero, y la y me sale tres.

282
00:43:09,679 --> 00:43:32,659
Luego ya tengo la primera solución. Si digo que la z vale 3 y la elijo 3 para no tener denominadores, pues me queda que la x vale 1, 2 tercios por 3 quedaría menos 2 y que la y vale 2.

283
00:43:32,659 --> 00:43:41,579
Bueno, con eso me refiero a que tengo un grado de libertad. Yo me invento la zeta y de esta manera saco lo que vale la y.

284
00:43:42,900 --> 00:43:49,059
Bueno, pues, ¿y qué pasa si me ponen un sistema como el que sigue?

285
00:43:49,059 --> 00:44:19,519
x más y más z igual a 6, 2x menos y más z igual a 3, 4x más y más 3z igual a 10.

286
00:44:20,559 --> 00:44:36,300
¿Vale? Bueno, pues si os fijáis se parece la matriz A, se parece mucho a la de antes, ¿vale? Esta matriz se parece a la de antes, lo único que ha cambiado es esta posición en el término, en el segundo miembro, ¿vale?

287
00:44:36,300 --> 00:44:59,039
Bueno, pues si hacéis el cálculo del rango, el rango de esta matriz, 1, 1, 1, 6, 3, 10, y aquí 2, menos 1, 1, 4, 1, 3.

288
00:44:59,039 --> 00:45:04,440
ya sabíamos como el determinante de esto era 0

289
00:45:04,440 --> 00:45:06,539
que el rango de esto es 2

290
00:45:06,539 --> 00:45:16,019
bueno pues aplicando el método de Gauss

291
00:45:16,019 --> 00:45:22,139
lo que queda es el 1, 1, 1, 6

292
00:45:22,139 --> 00:45:26,260
multiplicaríamos, lo vamos a repetir

293
00:45:26,260 --> 00:45:28,320
aunque podríamos mirarlo en la hoja de antes

294
00:45:28,320 --> 00:45:31,780
multiplicaríamos por 2 aquí

295
00:45:31,780 --> 00:45:37,039
quedaría 2, 2, 2, 12

296
00:45:37,039 --> 00:45:41,699
la fila 2 igual a la fila 2

297
00:45:41,699 --> 00:45:44,840
menos 2 veces la fila 1

298
00:45:44,840 --> 00:45:54,360
y al restar queda 0, menos 3, menos 1, menos 9

299
00:45:54,360 --> 00:46:09,559
y si hago la fila 3 igual a la fila 3 menos 4 veces la fila 1, para no confundirme, borro aquí,

300
00:46:09,559 --> 00:46:34,280
Y pongo 4, 4, 4 y 24. Al restar 4 menos 4 me queda 0. 1 menos 4 me queda menos 3. 3 menos 4 me queda menos 1. Y 10 menos 24 menos 14.

301
00:46:34,280 --> 00:46:58,000
Bien, entonces, si me fijo en este determinante, en el determinante formado por el 1, 0, 0, 1, menos 1, menos 1, 6, menos 9, menos 14,

302
00:46:58,000 --> 00:47:21,840
este determinante sale 14 menos 9, 5 distinto de 0, luego el rango de la ampliada es 3, bien, pues sistema incompatible, bien,

303
00:47:21,840 --> 00:47:32,639
Bueno, a modo de curiosidad, esta es columna primera, columna tercera y este viene de segundo miembro.

304
00:47:32,639 --> 00:47:51,179
Bueno, pues si nosotros hubiéramos hecho 1, 1, 6, 2, 1, 3, estoy eligiendo la columna primera, la columna tercera y la de términos independientes o segundo miembro.

305
00:47:51,179 --> 00:48:14,079
4, 3, 10, cuando hago este, este sale 10, menos, perdón, más 36, más 12, menos 24, menos 20, menos 9.

306
00:48:14,079 --> 00:48:29,159
Bien, serían 48, 58, 58 menos 53 igual a 5, que es lo que salía antes.

307
00:48:29,639 --> 00:48:36,960
Lógicamente, ya dijimos que el método de Gauss no cambiaba el valor del determinante, ¿vale?

308
00:48:37,000 --> 00:48:43,519
Porque no cambia el valor del determinante si a una fila o columna le sumo una combinación lineal de los restantes.

309
00:48:44,079 --> 00:48:51,900
Bueno, espero que con todo esto ya tengáis una clara idea de lo que va el tema, ¿vale?

310
00:48:52,159 --> 00:48:58,119
Las dudas ya para clase podéis empezar a hacer todos los ejercicios de los tres primeros temas.

311
00:48:58,840 --> 00:48:59,440
Saludo.