1
00:00:03,620 --> 00:00:06,160
Derivabilidad de una función en un punto.

2
00:00:06,900 --> 00:00:12,800
Queremos estudiar si esta función es derivable en x igual a 1.

3
00:00:13,060 --> 00:00:15,279
Es una función definida a trozos.

4
00:00:17,469 --> 00:00:21,370
El interés está en estudiar lo que ocurre en x igual a 1

5
00:00:21,370 --> 00:00:24,170
porque en el resto de puntos la función es derivable,

6
00:00:24,329 --> 00:00:28,190
ya que esto es derivable y esta expresión de aquí también es derivable.

7
00:00:29,089 --> 00:00:31,230
Entonces, ¿qué ocurre en x igual a 1?

8
00:00:31,230 --> 00:00:36,310
Para que sea derivable en x igual a 1 tienen que ocurrir dos cosas

9
00:00:36,310 --> 00:00:39,130
La primera es que sea continua en x igual a 1

10
00:00:39,130 --> 00:00:46,810
Y la segunda es que la derivada por la derecha sea igual que la derivada por la izquierda

11
00:00:46,810 --> 00:00:49,789
Esto es lo que es nuevo

12
00:00:49,789 --> 00:00:52,630
¿Qué quiere decir la derivada por la derecha?

13
00:00:52,630 --> 00:00:58,149
Pues que el límite cuando x se aproxima a 1 por la derecha de la derivada

14
00:00:58,149 --> 00:01:04,909
sea igual al límite cuando x se aproxima a 1 por la izquierda, pero de la derivada.

15
00:01:05,790 --> 00:01:07,189
Entonces vamos a estudiarlo.

16
00:01:08,069 --> 00:01:11,049
Lo primero es que tiene que ser continua en x igual a 1.

17
00:01:11,230 --> 00:01:15,129
Si no es continua en x igual a 1, tampoco puede ser derivable.

18
00:01:16,590 --> 00:01:18,890
¿Será continua en x igual a 1?

19
00:01:18,890 --> 00:01:24,189
Bueno, si ocurre esto, que el límite cuando x se aproxima a 1 por la derecha

20
00:01:24,189 --> 00:01:28,790
es igual que el límite cuando x se aproxima a 1 por la izquierda

21
00:01:28,790 --> 00:01:30,310
y es igual al valor de la función.

22
00:01:30,829 --> 00:01:36,090
Lo calculo, que esto ya lo hemos visto, y en los tres casos sale 2.

23
00:01:36,829 --> 00:01:40,890
Por tanto, la función es continua en x igual a 1

24
00:01:40,890 --> 00:01:44,930
y puede ser derivable también en x igual a 1.

25
00:01:45,590 --> 00:01:48,349
¿Cómo miramos esto? Pues pasamos al punto 2.

26
00:01:49,010 --> 00:01:51,890
Queremos estudiar si la derivada por la derecha

27
00:01:51,890 --> 00:01:57,450
es igual a la derivada por la izquierda en x igual a 1. ¿Qué es lo primero que hacemos?

28
00:01:58,250 --> 00:02:03,969
Derivamos la función, que es una función definida a trozos. Derivamos cada uno de los

29
00:02:03,969 --> 00:02:09,969
trozos. El primer trozo de la derivada es 2x más 1 y en el segundo trozo la derivada

30
00:02:09,969 --> 00:02:17,530
es 3. Muy importante, aquí quitamos el igual. ¿Lo veis? Quitamos el igual. ¿Por qué?

31
00:02:17,530 --> 00:02:21,250
porque no sabemos si es derivable en x igual a 1

32
00:02:21,250 --> 00:02:23,229
en el resto de puntos sí que es derivable

33
00:02:23,229 --> 00:02:26,830
entonces miramos qué es lo que ocurre en x igual a 1

34
00:02:26,830 --> 00:02:33,330
la derivada por la derecha es el límite cuando x se aproxima a 1 por la derecha

35
00:02:33,330 --> 00:02:37,409
pero de la derivada, es decir, de 2x más 1

36
00:02:37,409 --> 00:02:38,849
y esto sale 3

37
00:02:38,849 --> 00:02:43,370
la derivada por la izquierda hago lo mismo

38
00:02:43,370 --> 00:02:46,310
es el límite cuando x tiende a 1 por la izquierda

39
00:02:46,310 --> 00:02:57,210
de la derivada, que en este caso siempre vale 3, con lo que vuelve a ser 3. Como estos dos valores son iguales, eso quiere decir que la función también es derivable

40
00:02:57,210 --> 00:03:09,750
en x igual a 1 y la derivada en x igual a 1 vale 3. Ahora, que sé que ocurre esto, pues aquí le puedo añadir el igual que no le había puesto al principio.