1
00:00:00,110 --> 00:00:09,630
Vamos a ver un tipo de ecuación que es importante, que es la de los productos del tipo X menos A, X más A.

2
00:00:09,769 --> 00:00:13,589
Vamos a este ejemplo, vamos al ejemplo concreto.

3
00:00:14,210 --> 00:00:14,869
Esta ecuación.

4
00:00:16,809 --> 00:00:23,329
Daros cuenta de que consta de cuatro factores que se están multiplicando.

5
00:00:23,329 --> 00:00:28,149
Y la pregunta es, ¿qué valores de X verifican esta igualdad?

6
00:00:29,129 --> 00:00:31,550
Estas serán las soluciones de esta ecuación, ¿verdad?

7
00:00:32,310 --> 00:00:40,409
Pues bien, cuando un producto de factores da cero, pues cuando uno de los factores es cero.

8
00:00:43,000 --> 00:00:47,560
Veamos, aquí tenemos cuatro factores. Este, este, este y este.

9
00:00:47,820 --> 00:00:58,320
El primer factor es x menos 3. El siguiente es x más 2. El otro es x menos 1 y x más 7.

10
00:00:58,320 --> 00:01:06,379
Pues bien, cuando uno de los factores es cero, cuando el producto es cero, cuando uno de los factores es cero.

11
00:01:06,840 --> 00:01:15,980
Por lo tanto, la solución de esta ecuación tendrá que ver con los valores de x que hacen que cada uno de estos factores dé cero.

12
00:01:16,459 --> 00:01:20,879
Por lo tanto, primer caso, que el primer factor sea cero, x menos 3.

13
00:01:21,819 --> 00:01:25,900
En este caso, despejando, te da x igual a 3.

14
00:01:25,900 --> 00:01:30,939
Fíjate, como esto es solución de esta ecuación

15
00:01:30,939 --> 00:01:36,400
Sustituimos aquí el 3 y me hace que esto sea 0

16
00:01:36,400 --> 00:01:39,500
0 por algo, 0

17
00:01:39,500 --> 00:01:46,420
Efectivamente, x igual a 3 es solución

18
00:01:46,420 --> 00:01:52,099
Es solución de la ecuación

19
00:01:52,099 --> 00:01:57,719
Bien, la otra posibilidad es que el factor que da 0 sea este

20
00:01:57,719 --> 00:02:04,700
Ten en cuenta que si esto vale 0, pues 0 por algo, pues es 0, y por tanto la igualdad será cierta.

21
00:02:05,140 --> 00:02:07,120
O sea, que x más 2 sea 0.

22
00:02:08,560 --> 00:02:12,930
Despejamos, y obtenemos x igual a menos 2.

23
00:02:14,169 --> 00:02:20,629
Fijaos, sustituyes aquí en x el menos 2, te da menos 2 más 2, 0.

24
00:02:21,629 --> 00:02:26,030
Y 0 por todo lo demás es 0, por lo tanto, es también solución.

25
00:02:28,689 --> 00:02:29,610
Esto se ve fácil, ¿no?

26
00:02:30,270 --> 00:02:33,289
Ahora, la siguiente posibilidad es que el tercer factor sea 0.

27
00:02:34,270 --> 00:02:36,210
Pues x menos 1 que sea 0.

28
00:02:39,030 --> 00:02:39,849
Y despejamos.

29
00:02:41,610 --> 00:02:47,789
Por la misma razón, x igual a 1 es solución.

30
00:02:48,629 --> 00:02:51,330
Y la última posibilidad es que x más 7 sea 0.

31
00:02:52,110 --> 00:02:55,330
Y despejando, obtengo que x es menos 7.

32
00:02:56,129 --> 00:02:57,169
Es solución.

33
00:02:57,729 --> 00:02:58,449
Por la misma razón.

34
00:02:58,789 --> 00:03:01,449
Es decir, que esta ecuación tiene cuatro soluciones.

35
00:03:02,110 --> 00:03:07,030
x igual a 3, x igual a menos 2, x igual a 1 y x igual a menos 7.

36
00:03:08,270 --> 00:03:20,909
Y repetimos, observación es que cada una de ellas es la que hace que cada uno de los factores sea cero.

37
00:03:22,090 --> 00:03:22,569
¿De acuerdo?

38
00:03:24,289 --> 00:03:31,229
Esta técnica es muy importante porque imaginaros que quiero una pregunta.

39
00:03:31,449 --> 00:03:36,370
Si yo operara estos cuatro factores, me daría un polinomio de grado 4.

40
00:03:37,250 --> 00:03:40,189
Y por tanto, estoy ante una ecuación de grado 4.

41
00:03:42,680 --> 00:03:49,539
Ahora bien, fijaros, vamos a utilizar esta misma técnica para resolver una ecuación de este tipo.

42
00:03:49,759 --> 00:03:53,759
Fijaros que es una ecuación de grado 3, nada más ni nada menos.

43
00:03:55,280 --> 00:03:55,740
¿De acuerdo?

44
00:03:56,460 --> 00:03:58,900
Bien, daros cuenta.

45
00:03:58,900 --> 00:04:13,090
Nosotros en el tema anterior, en fin, recuerdo que en el tema anterior aprendimos a factorizar polinomios.

46
00:04:13,710 --> 00:04:23,730
Esto es un polinomio, p de x igual a x cubo más 3x cuadrado menos x menos 3.

47
00:04:24,170 --> 00:04:31,430
Y factorizar un polinomio, ¿recordáis que era como que finalmente lo expresábamos con monomios del tipo x menos a?

48
00:04:32,069 --> 00:04:35,769
o x más a, con binomios de este tipo.

49
00:04:36,670 --> 00:04:45,790
Y claro, esto tiene la estructura de la ecuación que hemos resuelto anteriormente.

50
00:04:47,569 --> 00:04:52,149
Entonces nos será interesante factorizar el polinomio.

51
00:04:55,329 --> 00:04:56,389
¿Cómo lo hacíamos?

52
00:04:56,389 --> 00:04:58,170
Pues por Ruffini, ¿recordáis?

53
00:04:58,509 --> 00:05:05,430
1, 3, menos 1, vamos poniendo aquí divisores del menos 3.

54
00:05:05,430 --> 00:05:13,310
¿De acuerdo? Los divisores del menos 3 son más menos 1 y más menos 3.

55
00:05:13,589 --> 00:05:22,970
Por lo tanto, pongo aquí un 1, 1, 1, perdón, 4, 4, 3, 3, y da 0.

56
00:05:23,430 --> 00:05:27,230
Por lo tanto, x menos 1 es un divisor.

57
00:05:27,629 --> 00:05:32,250
¿Recordáis? Es lo que hacíamos para factorizar el polinomio.

58
00:05:32,250 --> 00:05:53,970
Y ahora podríamos continuar por Ruffini, probaríamos con el 1, vemos que no da, porque tenía que dar resto 0, y no da, pues probaríamos con menos 1 y da 0.

59
00:05:53,970 --> 00:05:58,050
Esto del x más 1 es el otro divisor.

60
00:05:58,389 --> 00:06:00,290
Y aquí sale x más 3.

61
00:06:02,709 --> 00:06:07,310
Entonces, he factorizado el polinomio este.

62
00:06:07,310 --> 00:06:19,740
Y en consecuencia, podríamos decir que esta ecuación es equivalente a esta.

63
00:06:23,600 --> 00:06:32,660
¿Se ve?

64
00:06:34,800 --> 00:06:37,459
Esta ecuación es equivalente a esta.

65
00:06:38,120 --> 00:06:41,360
Porque este polinomio factorizado es todo esto.

66
00:06:42,639 --> 00:06:56,879
Así que, razonando el modo anterior, este producto es cero si al menos uno de los factores es cero.

67
00:06:56,879 --> 00:06:59,399
Primer caso, x menos uno igual a cero.

68
00:07:00,300 --> 00:07:03,319
Y ya tenemos la solución primera, x igual a uno.

69
00:07:03,980 --> 00:07:06,459
Segundo caso, x más uno igual a cero.

70
00:07:07,360 --> 00:07:10,620
Y ya tenemos la solución segunda, x igual a menos uno.

71
00:07:10,620 --> 00:07:16,040
y x más 3 igual a 0, de donde se sabe que x es igual a menos 3.

72
00:07:16,540 --> 00:07:21,180
Esto es exactamente igual que lo que hemos trabajado en la ecuación anterior.

73
00:07:21,180 --> 00:07:29,839
De este modo, factorizando los polinomios, resolvemos todas las ecuaciones de grado mayor que 2,

74
00:07:31,459 --> 00:07:38,860
factorizando el polinomio, poniéndolo de esta forma, y de aquí se desprenden rápidamente las soluciones.

75
00:07:38,860 --> 00:08:08,730
Propongo un ejercicio para que penséis. Encontrar una ecuación que tenga como soluciones x igual a 5, x igual a menos 2, x igual a 7.

76
00:08:08,730 --> 00:08:13,910
Encontré una ecuación que tenga como soluciones estas tres

77
00:08:13,910 --> 00:08:15,490
A ver quién lo hace

78
00:08:15,490 --> 00:08:22,470
Da la pausa y pensadlo, ¿de acuerdo?

79
00:08:23,310 --> 00:08:25,689
Voy a explicarlo, ¿cómo lo haríamos?

80
00:08:26,170 --> 00:08:31,910
Pues mirad una ecuación con esas soluciones

81
00:08:31,910 --> 00:08:34,090
Por ejemplo, sería esta

82
00:08:34,090 --> 00:08:42,049
Estoy utilizando todo el tiempo el criterio que he usado en la primera ecuación que hemos resuelto

83
00:08:42,049 --> 00:08:45,490
Claro, lo que he hecho es, como x igual a 5 es solución

84
00:08:45,490 --> 00:08:48,090
lo pongo como x menos 5

85
00:08:48,090 --> 00:08:50,669
x igual a menos 2 es solución

86
00:08:50,669 --> 00:08:52,129
lo pongo como x más 2

87
00:08:52,129 --> 00:08:55,529
y como x es igual a 7 es solución

88
00:08:55,529 --> 00:08:57,149
pues lo pongo como x menos 7

89
00:08:57,149 --> 00:08:58,470
de esta manera

90
00:08:58,470 --> 00:09:00,789
el 5 hace 0 a este factor

91
00:09:00,789 --> 00:09:03,309
el menos 2 hace 0 a este factor

92
00:09:03,309 --> 00:09:05,450
y el 7 hace 0 a este factor

93
00:09:05,450 --> 00:09:07,129
y por tanto esta ecuación

94
00:09:07,129 --> 00:09:08,470
tiene como soluciones

95
00:09:08,470 --> 00:09:09,570
estas de aquí

96
00:09:09,570 --> 00:09:12,629
¿que uno quiere ponerlo como polinomio?

97
00:09:13,210 --> 00:09:15,149
pues operaríamos esto por esto

98
00:09:15,149 --> 00:09:31,740
y esto por esto. ¿De acuerdo? Vamos a hacerlo. x menos 5 por x más 2 sería x cuadrado menos

99
00:09:31,740 --> 00:09:44,960
5x, perdón, x cuadrado más 2x menos 5x menos 10 sería x cuadrado menos 3x menos 10 igual

100
00:09:44,960 --> 00:10:01,059
0. Perdón, este es el producto este. Y ahora multiplicaríamos por x menos 7. Entonces

101
00:10:01,059 --> 00:10:10,820
x cuadrado menos 3x menos 10. Lo multiplicamos por x menos 7 y nos da... Bien, multiplicamos

102
00:10:10,820 --> 00:10:40,399
Entonces, este producto nos queda, aplicando la distributiva múltiple aquí, tenemos que es igual a esto, el producto, simplificando, nos queda, por tanto, el producto de estos tres factores es este.

103
00:10:40,399 --> 00:11:03,029
En consecuencia, la ecuación x³, 10x² más 11x más 60 igual a cero, es esta misma también factorizada, tiene como soluciones las aquí indicadas.

104
00:11:03,029 --> 00:11:19,620
Así hemos resuelto esto que os proponía, encontrar una ecuación que tenga como soluciones x igual a 5, x igual a menos 2, x igual a 7.