1 00:00:01,580 --> 00:00:06,379 Hola, buenos días a todos, feliz año, espero que hayáis pasado unas muy buenas fiestas. 2 00:00:07,000 --> 00:00:11,539 Bueno, seguimos con el tema 4, resolución de triángulos, que lo habíamos dejado aquí, 3 00:00:11,800 --> 00:00:14,980 justo en el punto número 3, relaciones entre razones trigonométricas. 4 00:00:15,320 --> 00:00:21,739 Vamos a empezar con la relación que existe entre las relaciones trigonométricas del ángulo alfa, 5 00:00:22,059 --> 00:00:31,059 que lo tengo ya aquí dibujado, recordad que los ángulos empiezan en el eje OX, 6 00:00:31,460 --> 00:00:50,219 Y van en sentido contrario a las agujas del reloj. Si yo quiero dibujar el ángulo menos x, este de aquí, tendré que ir para abajo. La misma amplitud, este de aquí, sería menos x. ¿Vale? Más o menos. 7 00:00:50,219 --> 00:01:10,420 Bien, ¿qué son las razones trigonométricas? ¿Os acordáis de lo que son? ¿Cuáles eran? Pues eran el seno, el coseno y la tangente. La tangente recordad que es el seno entre el coseno y el seno y el coseno las podíamos dibujar, ¿verdad? 8 00:01:10,420 --> 00:01:29,079 ¿Cómo las dibujábamos? ¿El seno cuál era? El seno era esta distancia. Esta distancia es el seno de alfa. ¿Y el coseno? El coseno era esta distancia. 9 00:01:29,079 --> 00:01:46,659 Bien, ¿qué era? Eran las coordenadas de este punto, ¿verdad? Coordinadas x, y. ¿Cuál iba primero? Primero va el coseno y después el seno. 10 00:01:47,019 --> 00:01:59,239 Esas coordenadas, coordenada x es el coseno y coordenada y el seno. Vale, nosotros conocemos esto de aquí, conocemos el seno de alfa, 11 00:01:59,239 --> 00:02:09,419 que es esa medida rosa, sea la que sea la conocemos, y conocemos también el coseno de alfa, esa medida sea la que sea. 12 00:02:10,000 --> 00:02:37,530 Y ahora, conociendo lo de alfa, alfa es conocido en azul, alfa es conocido, queremos sacar las razones trigonométricas seno, coseno y tangente de menos alfa, ¿vale? 13 00:02:37,530 --> 00:03:11,919 De menos alfa. Lo vamos a poner, el de menos alfa, lo vamos a poner en este granatito de aquí, que esto que sería el seno, ¿verdad? El seno de menos alfa, y en gris, esto de aquí sería el coseno de menos alfa. 14 00:03:11,919 --> 00:03:33,560 Vale, entonces, queremos poner el seno de menos alfa, granate, y el coseno de menos alfa en función de lo que conocemos, que conocemos el seno de alfa rosa y el coseno de alfa naranja. 15 00:03:33,560 --> 00:03:44,879 Vale, yo creo que es bastante fácil ver que en este caso el naranja y el gris coinciden, ¿verdad? 16 00:03:44,879 --> 00:03:53,900 No hay ninguna diferencia, de hecho el triángulo que se crea para alfa es este y el que se crea para menos alfa es este de aquí 17 00:03:53,900 --> 00:04:02,300 Lo único que hemos hecho es girarlo en torno a este eje, ¿no? Esto sería simétrico con respecto al eje x 18 00:04:03,120 --> 00:04:11,439 Por lo tanto, el coseno de menos alfa, que yo creo que es lo más sencillo, evidentemente es igual al coseno de alfa, si es que es la misma línea. 19 00:04:12,419 --> 00:04:15,780 ¿Y qué ocurre con el seno? ¿Qué ocurre con el seno de menos alfa? 20 00:04:16,779 --> 00:04:23,399 La distancia es la misma, ¿verdad? Esta distancia es la misma que esta. 21 00:04:23,399 --> 00:04:30,139 En valor absoluto la distancia es igual. ¿Pero qué le ocurre a la de menos alfa? Pues que es negativa. 22 00:04:30,139 --> 00:04:50,000 mientras que alfa es positiva, ¿qué es lo único que tendré que hacer entonces? Cambiarle el signo, voy a ponerlo en rosa, menos seno de alfa, ¿vale? 23 00:04:50,740 --> 00:05:00,540 Perfecto, ya tengo lo que yo quería, el seno y el coseno en función del ángulo que yo conocía, alfa y beta, ¿vale? 24 00:05:00,540 --> 00:05:19,360 ¿Y qué ocurre con la tangente de menos alfa? Pues nada, simplemente va a ser el seno de menos alfa entre el coseno de menos alfa, ¿verdad? Granatito lo de arriba y gris lo de abajo, ¿vale? 25 00:05:19,360 --> 00:05:29,800 Vamos a ponerlo en función de lo que sí conocemos, que es menos seno de alfa entre coseno de alfa. 26 00:05:31,220 --> 00:05:42,660 ¿Con qué me voy a quedar? Seno de alfa partido coseno de alfa. ¿Esto qué es? La tangente de alfa, por lo tanto, menos tangente de alfa. 27 00:05:42,660 --> 00:05:53,800 ¿Qué me queda? Que el seno de menos alfa es igual al menos seno de alfa, el coseno de menos alfa es igual al coseno de alfa 28 00:05:53,800 --> 00:06:00,600 y la tangente de menos alfa es igual a menos la tangente de alfa. 29 00:06:00,680 --> 00:06:10,540 Ejemplo con números. Si yo tengo por ejemplo alfa igual a 30 grados, de esta tenemos que conocernos sus razones trigonométricas. 30 00:06:10,540 --> 00:06:35,560 ¿Cuáles son? Seno de alfa, un medio, voy a poner 30 grados, un medio, coseno de 30 grados, raíz de 3 partido por 2 y la tangente de 30 grados, 1 partido, raíz de 3, ¿vale? 31 00:06:35,560 --> 00:07:08,370 Vale, ¿cuánto es menos alfa en este caso? Voy a borrar, voy a borrar esto de aquí, para tener espacio. Vale, ¿menos alfa cuánto será? Pues será menos 30 grados, ¿no? 32 00:07:08,370 --> 00:07:31,629 y menos 30 grados no es lo mismo que 360 menos 30, que son 330 grados, uy, 330 grados, pues sí, menos alfa es menos 30, pero también 330 grados, vale, ¿cuánto será entonces el seno de 330 grados? 33 00:07:31,629 --> 00:07:37,810 Pues según esto, el mismo que el de 30 cambiado de signo, menos un medio. 34 00:07:38,250 --> 00:07:46,449 ¿Y el coseno? Pues según esto, igual que el seno de 30, que el coseno de 30, perdón. 35 00:07:46,689 --> 00:07:53,410 Por lo tanto, raíz de 3 partido de 2, partido de 2. 36 00:07:53,589 --> 00:07:59,689 ¿Y la tangente? Bueno, ¿y la tangente de 330 grados? 37 00:07:59,689 --> 00:08:07,750 Pues según esto de aquí, lo mismo cambiado de signo, menos 1 partido raíz de 3, ¿vale? 38 00:08:08,250 --> 00:08:16,110 Bastante sencillo. ¿Para qué sirve esto? Para sacar las razones trigonométricas, ¿vale? 39 00:08:16,189 --> 00:08:22,470 Lo que yo quiero, las razones trigonométricas de ángulos que tengan relación con ángulos que yo conozco, ¿vale? 40 00:08:22,550 --> 00:08:27,230 ¿Cuáles son los que suelo conocer? Los del primer cuadrante, ¿vale? 41 00:08:27,230 --> 00:08:41,029 Eso es lo que vamos a ver. Hay otros cuatro más que deberíamos saber. ¿Cómo nos podemos saber esto? Opción número uno, de memoria. Si os lo queréis aprender de memoria, estupendo, perfecto. 42 00:08:41,029 --> 00:08:46,549 ¿Qué ocurre? Que yo no soy muy fan de aprenderse las cosas de memoria, porque pienso que la memoria falla. 43 00:08:47,110 --> 00:08:53,230 Entonces, que os suene que las cosas van así, estaría genial, pero yo me haría este dibujito siempre, 44 00:08:53,509 --> 00:08:58,009 y más o menos vería cómo van coincidiendo los senos y los cosenos de los ángulos que yo quiero. 45 00:08:59,730 --> 00:09:03,570 Seguimos, visto alfa y menos alfa. 46 00:09:03,570 --> 00:09:20,840 Vamos al siguiente, que es, borro todo, vamos al siguiente, que es la relación entre el ángulo alfa y alfa más 180 grados. 47 00:09:20,840 --> 00:09:44,450 Vale, vamos a dibujarlo, vamos a dibujar alfa tal que así, consejo dibujarlo que sea muy distinto el seno y el coseno. 48 00:09:46,779 --> 00:09:52,899 Para que se vea claramente este triángulo que se forma, cómo cambia, ¿vale? 49 00:09:52,940 --> 00:09:58,679 Para que se vea cuál es la dirección pequeña, cuál es la longitud pequeña, la longitud grande, qué es el seno, coseno, etc. 50 00:09:59,259 --> 00:10:01,039 Que se vea bien la diferencia. 51 00:10:01,500 --> 00:10:09,539 Si, por ejemplo, ponéis un ángulo muy parecido a 45 grados, ¿qué va a pasar? 52 00:10:09,539 --> 00:10:12,440 Pues que el seno y el coseno van a ser prácticamente iguales. 53 00:10:12,899 --> 00:10:18,440 Y cuando lo gires o lo quieras mover así, es que va a ser muy complicado ver cuál es la relación de uno y otro. 54 00:10:18,480 --> 00:10:24,399 Entonces, hacerlo que se note bien la diferencia entre el seno y el coseno, ¿vale? Consejo personal para el examen. 55 00:10:25,100 --> 00:10:42,330 Bien, tenemos alfa, tenemos el seno y el coseno de alfa, por lo tanto también la tangente de alfa. 56 00:10:42,750 --> 00:10:50,429 Vamos a dibujar alfa más 180 grados, 180 grados que si lo queremos poner en radianes, ¿cómo sería? 57 00:10:50,429 --> 00:11:07,200 Sería alfa más pi, que sería media vuelta, ¿no? Sería hasta aquí, porque esto de aquí son 180 grados. 58 00:11:07,720 --> 00:11:13,059 Esto como es alfa, esto son alfa más 180 grados. 59 00:11:13,659 --> 00:11:17,340 ¿Vale? ¿Qué ocurre con este triangulito que teníamos aquí? 60 00:11:17,340 --> 00:11:25,639 Pues que ahora pasa a ser este. ¿Qué hemos hecho? Simplemente lo hemos cogido y lo hemos girado hasta ahí, 180 grados. 61 00:11:25,639 --> 00:11:35,960 en torno a este punto, vale, ¿cómo nos quedan el seno y el coseno de este nuevo ángulo que tenemos? 62 00:11:36,179 --> 00:11:42,960 alfa más 180 grados, que eso es lo que queremos averiguar, ya no me acuerdo qué colores había puesto en el anterior 63 00:11:42,960 --> 00:11:54,460 pero bueno, granate creo, no había puesto un verde, bueno no me acuerdo, pero este de aquí será el seno 64 00:11:54,460 --> 00:12:21,299 porque es la dirección y, será el seno de alfa más 180 grados, y esta longitud de aquí, que es la longitud en x, será el coseno de alfa más 180 grados. 65 00:12:21,299 --> 00:12:33,139 Bien, este seno de alfa más 180 grados lo quiero poner en función de lo que yo conozco, que es el seno de alfa y el coseno de alfa. 66 00:12:33,139 --> 00:12:42,100 ¿Con qué longitud se corresponde? Esta pequeñita. Pues con esta pequeñita, ¿no? En magnitud será igual que el seno de alfa. 67 00:12:46,960 --> 00:13:06,059 Pero ¿qué ocurre? ¿Cuál es positiva y cuál es negativa? Esta de aquí era positiva, pero esta de aquí es negativa, con lo cual ¿qué tengo que hacer? Como cambian de signo, tengo que cambiarle el signo. 68 00:13:06,059 --> 00:13:22,240 ¿Qué ocurre? Que el seno de alfa más 180 grados, este de aquí, bueno, este de aquí, va a ser igual que el seno de alfa, pero cambiado de signo. 69 00:13:22,679 --> 00:13:32,860 Perfecto. ¿Qué ocurre con el coseno de alfa más 180 grados? Pues lo mismo, en magnitud es igual que el coseno de alfa, 70 00:13:32,860 --> 00:13:48,649 Pero con el signo, ¿qué nos ocurre? Pues ocurre que aquí, jolín, nos ocurre que aquí es positivo, mientras que aquí, como va para la izquierda, es negativo. 71 00:13:49,090 --> 00:14:03,850 Le cambiamos el signo. Vale, la tangente, alfa más 180 grados. ¿Qué será? Pues el seno de alfa más 180 grados entre el coseno de alfa más 180 grados. 72 00:14:03,850 --> 00:14:36,019 Lo ponemos en función de lo que conozco, el seno verde es igual a menos el seno de alfa y el coseno gris es igual al menos coseno de alfa, naranja, menos con menos, fuera, que nos queda seno de alfa entre coseno de alfa, que nos queda tangente de alfa. 73 00:14:36,019 --> 00:14:46,899 La misma, ¿tiene sentido que la tangente sea positiva? Sí, porque negativo entre negativo la tangente va a ser positiva, ¿vale? ¿Qué nos queda entonces? 74 00:14:46,899 --> 00:14:59,080 es seno de alfa más 180 grados es igual a menos el seno de alfa, coseno de alfa más 75 00:14:59,080 --> 00:15:09,220 180 grados es igual al menos coseno de alfa y la tangente de alfa más 180 grados no cambia, 76 00:15:09,220 --> 00:15:16,360 es igual a la tangente de alfa. Cuidado, seno y coseno cambian de signo, pero la tangente 77 00:15:16,360 --> 00:15:40,860 No. Por poner un ejemplo, y por seguir con alfa igual a 30 grados. Antes nos lo dije, pero ¿esto qué sería? En radianes y sextos, ¿verdad? Vale. 78 00:15:41,860 --> 00:15:45,399 ¿Cuánto sería alfa más 180 grados? 79 00:15:47,139 --> 00:15:49,500 Pues serían 210 grados. 80 00:15:49,500 --> 00:15:57,220 Si quiero poner el seno de 180 grados, es el mismo que el de alfa, o sea, que el de 30, pero cambiado de signo. 81 00:15:57,320 --> 00:16:01,159 Por lo tanto, bueno, no sé qué me está dando hoy. 82 00:16:02,639 --> 00:16:03,840 Menos un medio. 83 00:16:04,419 --> 00:16:10,259 Y el coseno de 180 grados, el mismo que el de 30, pero también cambiado de signo. 84 00:16:10,860 --> 00:16:12,539 Menos raíz de 3 partido por 2. 85 00:16:12,659 --> 00:16:13,399 ¿Y la tangente? 86 00:16:14,620 --> 00:16:17,059 ¿Por qué estoy poniendo 180 si es 210? 87 00:16:18,500 --> 00:16:20,059 No me decís nada, bueno. 88 00:16:29,940 --> 00:16:36,399 La tangente de 210, pues será exactamente la misma que la tangente de 30, que es 1 partido raíz de 3. 89 00:16:37,399 --> 00:16:38,700 Nada más, ¿vale? 90 00:16:39,340 --> 00:16:49,740 Bien, de nuevo, os lo podéis aprender de memoria o razonarlo un poquito sabiendo más o menos cómo nos tiene que quedar. 91 00:16:49,740 --> 00:17:11,980 bien, pasamos al tercero, borro todo, siguiente, ángulo alfa y alfa más 90 grados 92 00:17:11,980 --> 00:17:19,180 hemos hecho alfa y menos alfa, alfa y alfa más 180 y ahora alfa y alfa más 90 93 00:17:19,180 --> 00:17:28,920 vale, si queremos poner alfa más 90 en radianes, alfa más pi medios, 90 grados son pi medios 94 00:17:28,920 --> 00:18:02,920 Vale, vamos a dibujarlo. Vale, alfa, esto de aquí es alfa, seno de alfa, esto de aquí, coseno de alfa, esta de aquí. Vale, alfa más 90 grados, un ángulo recto a partir de alfa, esto es un ángulo recto, por lo tanto esto de aquí, alfa más 90 grados. 95 00:18:02,920 --> 00:18:28,710 Vale, ¿cómo nos queda? Pues nos queda esta longitud de aquí, el coseno de alfa más 90 grados y esta longitud de aquí, el seno de alfa más 90 grados. 96 00:18:29,109 --> 00:18:34,170 Vale, ¿qué pasa con el triángulo que se me forma? Fijaros, aquí el triángulo es este, ¿no? 97 00:18:34,170 --> 00:18:41,069 ¿Qué hago? Simplemente lo estoy moviendo a 90 grados con respecto a este punto, que me queda este de aquí. 98 00:18:42,170 --> 00:18:47,809 Esta longitud va a ser igual a esta, y esta igual a esta, que en realidad es esta. 99 00:18:49,390 --> 00:18:52,269 ¿Veis que esta longitud es igual que esta? 100 00:18:53,569 --> 00:18:54,009 Vale. 101 00:18:55,509 --> 00:18:57,329 Bien, empezamos con el seno. 102 00:18:57,910 --> 00:19:00,690 Seno de alfa más 90 grados. 103 00:19:00,690 --> 00:19:07,829 Lo queremos poner en función de lo que conocemos, el seno de alfa y el coseno de alfa. 104 00:19:08,089 --> 00:19:11,430 ¿A qué es igual en este caso? Es la longitud grande, ¿verdad? 105 00:19:11,549 --> 00:19:14,609 Esta es más grande que esta de aquí, que la del coseno. 106 00:19:16,029 --> 00:19:19,390 Por lo tanto, ¿con cuál se corresponderá? Con la naranja. 107 00:19:19,910 --> 00:19:22,230 Por lo tanto, coseno de alfa. 108 00:19:22,509 --> 00:19:26,349 El signo es el mismo. Vamos a ver, aquí teníamos que todo es positivo, ¿no? 109 00:19:26,349 --> 00:19:45,069 ¿Qué ocurre con alfa más 90 grados? ¿Es el seno y el coseno también positivo? Pues no, el seno sí que es positivo porque va hacia arriba, pero el coseno va hacia la izquierda, por lo tanto el coseno va a ser negativo. 110 00:19:45,069 --> 00:20:05,140 En este caso de aquí que estamos comparando el seno de alfa más 90 grados con las razones trigonométricas de alfa, en este caso coseno de alfa, los dos son positivos, ¿no? Por lo tanto, hemos terminado, no tenemos que cambiarle el signo a nada. 111 00:20:05,900 --> 00:20:28,359 ¿Qué ocurre con el coseno? El coseno es la magnitud pequeña que se corresponde con el seno, pero en este caso sí que le tenemos que cambiar el signo. 112 00:20:28,359 --> 00:20:36,359 Habíamos visto que este seno es positivo, pero este coseno es negativo, por lo tanto le cambiamos el signo. 113 00:20:37,359 --> 00:20:54,240 Vale, fijaros, el seno de alfa más 90 cambia a ser igual al coseno de alfa y el coseno de alfa más 90 pasa a ser igual al seno de alfa pero cambiado de signo, ¿vale? 114 00:20:54,240 --> 00:20:59,859 Digamos que se dan la vuelta, se invierten y uno de ellos pasa a tener signo negativo. 115 00:20:59,859 --> 00:21:22,559 ¿Qué ocurrirá con la tangente? Por lo de siempre, que será el seno de alfa más 90 grados entre el coseno de alfa más 90 grados, lo que tenemos en verde entre lo que tenemos en gris. 116 00:21:22,559 --> 00:21:28,460 Bien, vamos a ponerlo en función de lo que conocemos. 117 00:21:29,519 --> 00:21:39,420 Seno de alfa más 90 grados es igual al coseno de alfa y el coseno de alfa más 90 grados es igual a menos el seno de alfa. 118 00:21:40,640 --> 00:21:49,000 Este menos en el denominador no queda bien, hay que ponerlo arriba o a la misma altura que la línea de fracción. 119 00:21:49,000 --> 00:21:55,099 ¿Vale? Bien, y nos queda coseno de alfa arriba y seno de alfa abajo 120 00:21:55,099 --> 00:21:57,240 ¿Cómo era la tangente normal? 121 00:21:57,519 --> 00:22:01,200 La tangente de alfa es el seno de alfa entre el coseno de alfa, ¿verdad? 122 00:22:01,640 --> 00:22:03,799 No es exactamente lo que yo tengo aquí 123 00:22:03,799 --> 00:22:09,220 Yo aquí tengo lo mismo pero dado la vuelta 124 00:22:09,220 --> 00:22:15,839 Aquí tengo esto dado la vuelta 125 00:22:15,839 --> 00:22:20,420 ¿Qué sería? Pues sería hacer 1 partido por la tangente de alfa 126 00:22:20,420 --> 00:22:31,359 Si yo hago 1 entre la tangente de alfa, me queda 1 partido seno de alfa, coseno de alfa, y el coseno pasa arriba, ¿vale? 127 00:22:31,640 --> 00:22:36,319 Entonces, esto ya sí que se parece más a lo que tengo allí, solo que he cambiado de signo. 128 00:22:36,660 --> 00:22:37,240 ¿Qué nos queda? 129 00:22:38,920 --> 00:22:42,799 Menos 1 partido por la tangente de alfa. 130 00:22:42,799 --> 00:23:09,250 Recapitulando, el seno de alfa más 90 grados es igual al coseno de alfa, el coseno de alfa más 90 grados es igual a menos el seno de alfa y la tangente de alfa más 90 grados es igual a menos 1 partido por la tangente de alfa. 131 00:23:09,250 --> 00:23:40,450 Vamos a hacer un ejemplo, también con 30 grados. 132 00:23:40,450 --> 00:23:56,839 Si tengo alfa igual a 30 grados, alfa más 90 grados serán 30 más 90, que son 120 grados. 133 00:23:57,259 --> 00:24:00,779 ¿Vale? Pues ¿cuánto será el seno de 120 grados? 134 00:24:00,960 --> 00:24:08,720 El seno de 120 grados será igual al coseno de 120 grados, o sea, el coseno de 30 grados, perdón. 135 00:24:08,720 --> 00:24:19,500 el seno de 120 grados será igual al coseno de 30 grados. Repito, el seno de 120 grados será igual al coseno de 30 grados, 136 00:24:19,500 --> 00:24:31,200 que es raíz de 3 partido de 2. El coseno de 120 grados será igual al seno de 30 grados cambiado de signo, por lo tanto, menos 1 medio. 137 00:24:31,200 --> 00:24:56,119 Y la tangente de 120 grados será menos 1 partido por la tangente de 30 grados, la tangente de 30 grados es 1 partido raíz de 3, este raíz de 3 pasa a estar arriba, nos queda 1 por raíz de 3 partido por 1 raíz de 3, menos raíz de 3, perfecto. 138 00:24:56,119 --> 00:25:20,519 Vale, llevo grabando 25 minutos, pues lo voy a dejar ya. Me quedan otras dos, que son los ángulos suplementarios, es decir, alfa y 180 menos alfa, es decir, que en suma esos dos ángulos suman 180 grados, un ángulo llano, 139 00:25:20,519 --> 00:25:33,440 y me quedan los ángulos complementarios, que son alfa y 90 menos alfa, que son los que en suma dan 90 grados, ¿vale? 140 00:25:33,500 --> 00:25:38,180 Esos son los que me faltarían, lo vemos el próximo día que tengamos clase, ¿vale? 141 00:25:38,319 --> 00:25:40,940 Con esto lo dejamos, ya está.