1 00:00:00,880 --> 00:00:09,199 Aunque lo vimos en clase, me parece conveniente hacer un vídeo acerca de la monotonía y crecimiento de una sucesión. 2 00:00:09,439 --> 00:00:15,039 Una sucesión, como vimos en varios ejercicios en clase, puede ser creciente, decreciente o vacilante. 3 00:00:15,179 --> 00:00:16,300 ¿Cuándo es creciente? 4 00:00:16,539 --> 00:00:24,699 En su monotonía, monótona creciente que se llama, pues cuando cada término es menor o igual que el siguiente. 5 00:00:24,699 --> 00:00:30,600 Lo vemos aquí, a su n es menor o igual que a su n más 1. 6 00:00:30,879 --> 00:00:52,100 Y, por ejemplo, si tenemos aquí a sub n que es igual a 3n más 2, si nosotros realizamos el cálculo de cada uno de los términos, a sub 1 es 5, a sub 2 es 8, a sub 3 es 11, así sucesivamente podemos ver que va creciendo la sucesión. 7 00:00:52,100 --> 00:01:12,939 Ahora que sabemos allá el límite de sucesiones, observamos que el límite de a sub n cuando n tiende a infinito es precisamente infinito, con lo cual esto de aquí va creciendo indefinidamente, por lo tanto se cumple que cada término es menor o igual que el siguiente. 8 00:01:12,939 --> 00:01:20,219 Por lo tanto, este ejemplo de a sub n igual a 3n más 2 es una sucesión monótona creciente que se llama. 9 00:01:20,920 --> 00:01:28,379 Lo veremos más adelante, pero ya aprovecho el inciso en el cual, si os fijáis, el valor más pequeño que puede tomar a su N es 5, 10 00:01:28,859 --> 00:01:32,060 con lo cual 5 se llama cota inferior de una sucesión. 11 00:01:32,239 --> 00:01:35,340 Pero eso ya os digo que lo veremos más adelante. 12 00:01:35,340 --> 00:01:51,540 Cuando una sucesión es decreciente, pues al contrario, una sucesión es decreciente cuando todo término es mayor o igual al siguiente. 13 00:01:52,060 --> 00:01:59,659 Lo vemos aquí, a sub n más 1 es más chico que a sub n, o por ejemplo, a sub n siempre es mayor o igual que a sub n más 1. 14 00:02:00,519 --> 00:02:09,780 Lo mejor es verlo en un ejemplo, b sub n es menos 2n más 1, hallamos b sub 1 que es menos 1, b sub 2 es menos 3, b sub 3 es menos 5, menos 7, menos 9. 15 00:02:09,939 --> 00:02:16,479 Vamos viendo cómo a medida que calculamos los distintos términos de la sucesión, estos van siendo más pequeños, 16 00:02:16,479 --> 00:02:24,460 Con lo cual, a1 es mayor que a2, a3 es mayor que a3, a3 es mayor que a4, así sucesivamente. 17 00:02:24,759 --> 00:02:26,979 Por lo tanto, es decreciente. 18 00:02:27,120 --> 00:02:31,300 Además, ya ahora aprovechando que sabemos calcular el límite de una sucesión, 19 00:02:31,460 --> 00:02:38,659 vemos que el límite cuando n tiende a más infinito, de menos 2n más 1, es menos infinito. 20 00:02:38,759 --> 00:02:43,439 Con lo cual, el valor de esa sucesión va a ir decreciendo, decreciendo, decreciendo. 21 00:02:43,439 --> 00:02:46,080 es monótona decreciente que se llama 22 00:02:46,080 --> 00:02:50,280 y cuando tiende a infinito pues vale menos infinito 23 00:02:50,280 --> 00:02:53,500 ¿qué ocurre? pues que el valor máximo que puede tomar 24 00:02:53,500 --> 00:02:57,360 esta sucesión es menos uno 25 00:02:57,360 --> 00:03:02,099 por lo tanto menos uno es lo que se conoce como cota superior 26 00:03:02,099 --> 00:03:07,180 un oscilante ya lo vimos es cuando cambia de signo en cada término 27 00:03:07,180 --> 00:03:12,020 por ejemplo siempre que tenemos algo del tipo menos uno elevado a n 28 00:03:12,020 --> 00:03:18,259 o menos cualquier número elevado a n, pues vemos que va cambiando aquí el signo, ¿no? 29 00:03:18,259 --> 00:03:22,879 Menos 2 negativo, luego 4 positivo, menos 8 negativo, positivo. 30 00:03:23,280 --> 00:03:30,639 Este tipo de sucesiones no se considera ni creciente ni decreciente. 31 00:03:32,460 --> 00:03:36,240 Por lo tanto, no tiene crecimiento o decrecimiento. 32 00:03:37,300 --> 00:03:40,120 ¿Cómo se estudia realmente la monotonía? 33 00:03:40,120 --> 00:03:52,139 Con la monotonía de una sucesión lo que se hace es comparando el término general, el término general a sub n más a sub n, con el término a sub n más 1. 34 00:03:52,639 --> 00:03:58,599 Entonces lo que hacemos nosotros en nuestro caso, si tenemos 3n más 2, nuestro a sub n es 3n más 2. 35 00:03:59,099 --> 00:04:03,800 a sub n más 1, pues sustituir donde haya una n, n más 1. 36 00:04:03,919 --> 00:04:07,219 Por lo tanto tenemos 3 que multiplica n más 1, 2. 37 00:04:07,219 --> 00:04:19,459 Si nosotros seguimos operando, 3n más 2 se queda igual, pero 3n más 1 más 2 es 3n más 3, si distribuimos el 3 dentro del paréntesis, 3n más 3 más 2. 38 00:04:20,420 --> 00:04:24,699 3n más 2 se queda igual y 3n más 3 más 2 es 3n más 5. 39 00:04:24,699 --> 00:04:45,660 Si nosotros restamos aquí el 3n, nos queda que 2 es más pequeño que 5, con lo cual yo aquí pongo el signo de que 5 es mayor o igual que 2, lo voy trasladando a todas las líneas anteriores, de esta forma. 40 00:04:45,660 --> 00:04:54,740 con lo cual aquí siempre en esta sucesión a sub n es más pequeño que a sub n más 1 41 00:04:54,740 --> 00:04:58,019 con lo cual a sub n es creciente. 42 00:04:59,339 --> 00:05:07,800 En lo que aquí se ha puesto que a sub n más 1 es mayor o igual que a sub n para todos los valores n que pertenecen a r 43 00:05:07,800 --> 00:05:14,379 por lo tanto a sub n que es esta de aquí es monótona creciente. 44 00:05:20,240 --> 00:05:24,800 Sin embargo, b sub n, pues vamos a ver cómo es en los términos generales. 45 00:05:26,139 --> 00:05:29,920 Vamos a comparar b sub n con b sub n más 1. 46 00:05:30,680 --> 00:05:33,560 b sub n lo ponemos tal cual, menos 2n más 1, 47 00:05:33,899 --> 00:05:38,160 y de n más 1 lo que hacemos es sustituir la n por n más 1. 48 00:05:38,160 --> 00:05:43,100 Con lo cual nos queda menos 2 que multiplica n más 1, más 1. 49 00:05:44,060 --> 00:05:49,500 En el siguiente término, pues tenemos aquí igual 2n más 1, 50 00:05:49,720 --> 00:05:55,379 Y aquí distribuimos el menos 2 en el paréntesis, con lo cual nos queda menos 2n menos 2 más 1. 51 00:05:55,959 --> 00:06:00,699 Esto se queda exactamente igual, y aquí al final reduciendo menos 2 más 1 al menos 1, 52 00:06:01,139 --> 00:06:05,439 tenemos aquí menos 2n más 1, y aquí menos 2n menos 1. 53 00:06:05,439 --> 00:06:11,060 Con lo cual, si aquí quitamos el 2n, aquí nos queda un 1, y aquí nos queda un menos 1. 54 00:06:11,459 --> 00:06:18,819 ¿Qué ocurre? Pues que nosotros sabemos que 1 es mayor o igual que menos 1, 55 00:06:18,819 --> 00:06:24,600 Por lo tanto, aquí, menos 2n más 1 es mayor que menos 2n menos 1. 56 00:06:25,139 --> 00:06:30,240 Menos 2n más 1 es mayor o igual que menos 2n menos 2 más 1. 57 00:06:30,819 --> 00:06:36,920 Menos 2n más 1 es mayor o igual que menos 2 que multiplica a n más 1 más 1. 58 00:06:37,040 --> 00:06:40,560 ¿Y qué es menos 2n más 1? Pues precisamente es b sub n. 59 00:06:40,879 --> 00:06:44,560 ¿Y qué es todo esto de aquí? Pues precisamente bn más 1. 60 00:06:44,560 --> 00:06:58,269 Con lo cual, como b sub n es mayor o igual que bm más 1, b sub n es monótona decreciente. 61 00:07:00,990 --> 00:07:07,269 Monótona decreciente y además es para todo n que pertenece a los números naturales. 62 00:07:09,910 --> 00:07:18,670 Así sabemos la monotonía de una sucesión, comparando siempre el término general con el término siguiente. 63 00:07:19,490 --> 00:07:24,089 ¿De acuerdo? En este caso era B sub n con B sub n más 1. 64 00:07:24,829 --> 00:07:32,430 Y el que salga, si sale que siempre B sub n es mayor o igual que B sub n más 1, es monótona decreciente. 65 00:07:32,430 --> 00:07:43,430 Pero si sale, como en el caso anterior, el A sub n, donde A sub n es siempre menor o igual que A sub n más 1, es monótona decreciente. 66 00:07:43,910 --> 00:07:44,230 ¿De acuerdo? 67 00:07:44,230 --> 00:07:48,949 la acotación de una sucesión 68 00:07:48,949 --> 00:07:51,730 pues se dice que a sub n 69 00:07:51,730 --> 00:07:53,970 está acotada inferiormente 70 00:07:53,970 --> 00:07:55,790 si todos los valores de la sucesión 71 00:07:55,790 --> 00:07:58,689 pues son mayores que un cierto valor i 72 00:07:58,689 --> 00:08:04,449 es decir, a sub n siempre es mayor o igual que i 73 00:08:04,449 --> 00:08:08,050 para todo n que pertenece a los números reales 74 00:08:08,050 --> 00:08:10,329 es decir, para todos los valores de la sucesión 75 00:08:10,329 --> 00:08:12,410 si volvemos a ese ejemplo 76 00:08:12,410 --> 00:08:19,670 de a sub n es igual a 3n más 5, vemos que precisamente a sub 1 es 8, a sub 2 es 11, a 77 00:08:19,670 --> 00:08:27,250 sub 3 es 14, a sub 4 es 17. Vimos ya que el límite de a sub n es más infinito y que es 78 00:08:27,250 --> 00:08:34,570 creciente. Comparamos el término a sub n con a sub n más 1. ¿Y qué ocurre? Pues que 79 00:08:34,570 --> 00:08:41,110 precisamente tenemos una sucesión que es creciente y que además el límite en el infinito 80 00:08:41,110 --> 00:08:46,950 es más infinito, pues este tipo de sucesiones que son crecientes y que en el infinito tienen 81 00:08:46,950 --> 00:08:54,629 a infinito, tienen lo que se llama una cota inferior. Es decir, todos los a1, a2, a3, todos 82 00:08:54,629 --> 00:09:01,370 los términos de la sucesión siempre son mayores que en este caso el 8. Si estamos 83 00:09:01,370 --> 00:09:07,169 en la vez su n que era menos n más 2, que es por ejemplo cada uno de ellos, 1, 0, menos 84 00:09:07,169 --> 00:09:15,990 1, menos 2, menos 3, menos 4, pues vemos si comparamos el bn y el bn menos 1, resulta 85 00:09:15,990 --> 00:09:22,610 que siempre bn es mayor o igual que bn menos 1. Esto lo dejo que lo demostré tal como 86 00:09:22,610 --> 00:09:29,850 yo he hecho en las dos sucesiones anteriores. Y vemos que es decreciente. Si hacemos que 87 00:09:29,850 --> 00:09:34,850 el límite de bn es infinito, lo hallamos y encima nos sale que es menos infinito, pues 88 00:09:34,850 --> 00:09:43,210 resulta que no tiene cota inferior, y que además, pues todos los valores de la b sub n siempre son menores que el 1, 89 00:09:43,330 --> 00:09:46,649 con lo cual este 1 es una cota superior. 90 00:09:47,190 --> 00:09:59,129 b sub n, una sucesión, está cotada superiormente, se define así, 91 00:09:59,230 --> 00:10:06,309 si todos los valores de la sucesión son menores que un valor s de superior, ¿vale? 92 00:10:06,809 --> 00:10:13,330 ¿Eso qué significa? Pues que B sub n es menor que S para todos los m que pertenecen a los números naturales. 93 00:10:13,750 --> 00:10:19,230 Es decir, todos los elementos de las sucesiones son menores que S, que es lo que hemos visto en la sucesión anterior. 94 00:10:19,230 --> 00:10:22,029 Aquí está otra sucesión que es menos 2m más 1. 95 00:10:22,590 --> 00:10:27,950 Vemos que todos los elementos van decreciendo. 96 00:10:28,450 --> 00:10:29,909 Esta es una sucesión decreciente. 97 00:10:30,029 --> 00:10:35,350 Vemos que su límite en infinito tiende a menos infinito, con lo cual siempre crece. 98 00:10:35,350 --> 00:10:38,289 y aquí menos 1, pues se considera una cota superior. 99 00:10:38,470 --> 00:10:43,990 No tiene cota inferior, porque siempre va descendiendo hasta menos infinito, 100 00:10:44,110 --> 00:10:47,690 entonces en el subn se conoce que está acotada superiormente. 101 00:10:47,690 --> 00:10:55,960 ¿Qué ocurre? Pues que hay otra definición, hemos visto acotada superiormente, 102 00:10:56,059 --> 00:11:00,980 hemos visto acotada inferiormente, y una sucesión se dice acotada, 103 00:11:01,220 --> 00:11:07,519 simplemente ni superior ni inferiormente, si se dice que una sucesión está acotada, 104 00:11:07,519 --> 00:11:11,700 si lo está tanto inferiormente como superiormente. 105 00:11:12,159 --> 00:11:17,580 Vamos a ver el caso de esta sucesión que es 1 más 3 partido de n. 106 00:11:17,779 --> 00:11:21,059 Si nosotros calculamos cada uno de los términos, vemos que a sub 1 es 4, 107 00:11:21,580 --> 00:11:25,820 que a sub 2 es 5 medios, a sub 3 es 2, a sub 4 es 7 cuartos. 108 00:11:26,179 --> 00:11:29,179 Así al principio, bueno, nos podemos hacer una idea, 109 00:11:29,340 --> 00:11:31,320 pero no sabemos si es creciente o no es creciente. 110 00:11:31,500 --> 00:11:34,860 Entonces, como hemos dicho antes, calculamos c sub n 111 00:11:34,860 --> 00:11:38,460 y también calculamos C sub n más 1 y lo vamos a comparar. 112 00:11:38,919 --> 00:11:41,000 C sub n es 1 más 3 partido de n, 113 00:11:41,539 --> 00:11:45,820 C sub n más 1 es sustituido, en vez de una n, una n más 1, 114 00:11:45,919 --> 00:11:48,580 por lo tanto es 1 más 3 partido de n más 1. 115 00:11:49,200 --> 00:11:51,919 Aquí ¿qué ocurre? Pues nada, hago denominador común, 116 00:11:52,179 --> 00:11:54,240 con lo cual tengo n más 3 partido de n, 117 00:11:54,399 --> 00:11:57,480 y aquí tengo n más 1 más 3 partido de n más 1, 118 00:11:57,860 --> 00:12:01,440 y ese nos queda como n más 4 partido de n más 1. 119 00:12:01,440 --> 00:12:03,580 si yo ahora saco factor común 120 00:12:03,580 --> 00:12:05,679 o mínimo común múltiplo, mejor dicho 121 00:12:05,679 --> 00:12:07,220 de n y n más 1 122 00:12:07,220 --> 00:12:09,539 resulta que este de aquí 123 00:12:09,539 --> 00:12:11,340 el c sub n lo tengo que multiplicar 124 00:12:11,340 --> 00:12:12,940 arriba y abajo por n más 1 125 00:12:12,940 --> 00:12:15,600 para que me quede exactamente igual 126 00:12:15,600 --> 00:12:16,820 n más 3 partido de n 127 00:12:16,820 --> 00:12:19,919 y el c n más 1 128 00:12:19,919 --> 00:12:22,419 que ahora vale n más 1 partido de n más 4 129 00:12:22,419 --> 00:12:23,980 lo tengo que multiplicar por n 130 00:12:23,980 --> 00:12:25,279 para que se me quede 131 00:12:25,279 --> 00:12:27,460 exactamente igual 132 00:12:27,460 --> 00:12:29,299 entonces si nos vamos aquí 133 00:12:29,299 --> 00:12:30,580 resulta que yo 134 00:12:30,580 --> 00:12:37,620 el n más 1 multiplicado por n más 3 me queda n cuadrado más n más 3 135 00:12:37,620 --> 00:12:42,980 y n partido de n más 4 es n cuadrado más 4n 136 00:12:42,980 --> 00:12:49,559 si yo elimino el n cuadrado, el 4n con n cuadrado 4n me queda el 3 y el 0 137 00:12:49,559 --> 00:12:50,639 ¿y eso qué significa? 138 00:12:51,220 --> 00:12:55,500 pues que en este caso el 3 es mayor o igual que 0 139 00:12:55,500 --> 00:12:57,860 con lo cual esto es mayor o igual que 0 140 00:12:57,860 --> 00:12:59,659 esto es mayor o igual que 0 141 00:12:59,659 --> 00:13:09,080 mayor o igual que 0, perdón, mayor o igual que esto de aquí, es 1 más 3n es mayor o igual que 1 más 3n más 1, 142 00:13:09,279 --> 00:13:18,980 y por tanto, Cn siempre es mayor que Cn más 1, con lo cual, ¿eso qué quiere decir? Porque es decreciente. 143 00:13:21,799 --> 00:13:27,720 Esa es la forma de hallar si es creciente o decreciente. 144 00:13:27,720 --> 00:13:33,620 como su n siempre es mayor o igual que su n más 1 es decreciente 145 00:13:33,620 --> 00:13:34,940 como bien le ponemos aquí 146 00:13:34,940 --> 00:13:39,820 y vemos que 4 es una cota superior 147 00:13:39,820 --> 00:13:42,139 pero ahora nos hacemos la pregunta 148 00:13:42,139 --> 00:13:43,620 ¿tiene cota inferior? 149 00:13:44,000 --> 00:13:47,000 pues para ello lo que hacemos es hallar el límite 150 00:13:47,000 --> 00:13:49,919 cuando tiene infinito de esta sucesión 151 00:13:49,919 --> 00:14:00,059 si hallamos el límite de esta sucesión cuando n tiende a infinito 152 00:14:00,059 --> 00:14:06,019 pues vemos que el límite de 1 más 3 partido de n cuando n tiende a infinito es igual a 1. 153 00:14:06,379 --> 00:14:07,399 ¿Qué ocurre con esto? 154 00:14:07,500 --> 00:14:14,779 Porque si yo calculase todos los términos de mi C sub n, pues empezamos en 4, va decreciendo, decreciendo, decreciendo, 155 00:14:15,120 --> 00:14:21,059 pero no llega hasta menos infinito, sino que el último, último valor se aproxima mucho a 1. 156 00:14:21,059 --> 00:14:29,960 Con lo cual, ¿qué ocurre? Pues que en el infinito tiende a ese 1 y entonces 1 es una cota inferior. 157 00:14:33,139 --> 00:14:50,019 Entonces en este caso Cn que es igual a 1 más 1 tercio tiene 4 como cota superior, tiene 1 como cota inferior y como está cotado superiormente e inferiormente se dice que Cn está cotada. 158 00:14:50,019 --> 00:15:00,629 Vamos a estudiar la monotonía y la cotación de esta sucesión 159 00:15:00,629 --> 00:15:04,649 Sn que es igual a n más 2 partido de 2n-1 160 00:15:04,649 --> 00:15:08,330 Si yo hallo los primeros términos, bueno, me puedo hacer una pequeña idea 161 00:15:08,330 --> 00:15:11,230 de hacia dónde tiende la sucesión 162 00:15:11,230 --> 00:15:14,230 En principio tiene toda la pinta de que sea decreciente 163 00:15:14,230 --> 00:15:19,710 pero lo vamos a hacer como hemos estudiado con los términos Sn y Sn-1 164 00:15:19,710 --> 00:15:23,049 Sn pues n más 2 partido de 2n-1 165 00:15:23,049 --> 00:15:26,669 Eso n más 1 es donde tengo una n y pongo el n más 1 166 00:15:26,669 --> 00:15:28,830 Con lo cual me queda n más 1 más 2 167 00:15:28,830 --> 00:15:32,330 Partido de 2 que multiplica n más 1 menos 1 168 00:15:32,330 --> 00:15:36,570 Que es igual a n más 3 partido de 2n más 1 169 00:15:36,570 --> 00:15:40,789 El mismo común múltiplo de 2n menos 1 y 2n más 1 170 00:15:40,789 --> 00:15:44,230 Es precisamente la multiplicación de ellos dos 171 00:15:44,230 --> 00:15:50,889 Con lo cual para que me quede todo esto de aquí 172 00:15:50,889 --> 00:15:55,409 tengo que multiplicar el su n por 2n más 1 tanto arriba como abajo 173 00:15:55,409 --> 00:16:01,129 y el su n más 1 lo tengo que multiplicar por 2n menos 1 arriba y abajo 174 00:16:01,129 --> 00:16:05,149 para que no me varíe la fracción ansodraica. 175 00:16:05,429 --> 00:16:11,970 Si yo desarrollo esto de aquí, pues resulta que esto es igual a 2n cuadrado más 5n más 2 176 00:16:11,970 --> 00:16:19,549 y esto de aquí de n más 3 que multiplica a 2n menos 1 es igual a 2n al cuadrado más 5n menos 3. 177 00:16:19,549 --> 00:16:21,629 con lo cual si yo al final 178 00:16:21,629 --> 00:16:23,990 elimino esto, elimino esto, elimino esto 179 00:16:23,990 --> 00:16:25,350 elimino esto, me queda el 2 180 00:16:25,350 --> 00:16:27,250 y el menos 3, ¿y qué ocurre? 181 00:16:27,529 --> 00:16:30,149 pues el 2 siempre es mayor o igual 182 00:16:30,149 --> 00:16:31,210 que menos 3 183 00:16:31,210 --> 00:16:33,690 entonces eso que implica, yo me lo subo 184 00:16:33,690 --> 00:16:35,570 esto es mayor o igual que esto 185 00:16:35,570 --> 00:16:37,629 esto es mayor o igual que esto 186 00:16:37,629 --> 00:16:39,429 esto es mayor o igual que esto 187 00:16:39,429 --> 00:16:41,549 esto es mayor o igual que esto, por lo tanto 188 00:16:41,549 --> 00:16:43,549 es un n, siempre 189 00:16:43,549 --> 00:16:45,970 es mayor o igual que es un n 190 00:16:45,970 --> 00:16:48,070 más 1, pues para todo n 191 00:16:48,070 --> 00:16:50,269 que pertenece a los números naturales. 192 00:16:50,370 --> 00:16:51,330 ¿Y eso qué significa? 193 00:16:51,870 --> 00:16:55,389 Pues que es decreciente. 194 00:16:58,429 --> 00:17:00,669 Se dice, estudiando su monotonía, 195 00:17:01,210 --> 00:17:07,200 que SUM es monótona decreciente. 196 00:17:10,859 --> 00:17:12,099 Vamos a ver su acotación. 197 00:17:13,960 --> 00:17:18,740 Pues, SUM sabemos que como es decreciente, 198 00:17:19,240 --> 00:17:21,059 lo que sí va a tener es una cota superior. 199 00:17:21,059 --> 00:17:23,940 ¿Pero tiene cota inferior? 200 00:17:23,940 --> 00:17:30,119 Pues vamos a hallar su límite de su n cuando n tiende a más infinito. 201 00:17:30,359 --> 00:17:35,859 Es el límite de n más 2 partido de 2n menos 1, es el tipo infinito partido de infinito, 202 00:17:35,980 --> 00:17:41,900 no hay determinación, dividimos por el grado mayor del denominador, que en este caso es 1, 203 00:17:42,779 --> 00:17:48,420 que es la n, dividimos arriba y abajo por n, nos queda n entre n es 1, 204 00:17:48,420 --> 00:17:51,579 2 partido de n es 2 partido de n que tiende a 0 205 00:17:51,579 --> 00:17:54,079 2n partido de n es 2 206 00:17:54,079 --> 00:17:56,880 y 1 partido de n es que es cuando n tiene un infinito de 0 207 00:17:56,880 --> 00:17:58,400 con lo cual es un medio 208 00:17:58,400 --> 00:18:02,200 al ser decreciente y tender a un medio 209 00:18:02,200 --> 00:18:05,539 n infinito en un medio es la cota inferior 210 00:18:05,539 --> 00:18:09,799 vimos que el primer valor que era 3 211 00:18:09,799 --> 00:18:16,960 con lo cual su n está acotada superiormente con el 3 212 00:18:16,960 --> 00:18:19,619 e inferiormente con el 1 medio. 213 00:18:19,799 --> 00:18:23,420 Por lo tanto, C sub n está acotada.