1
00:00:00,370 --> 00:00:13,470
La cuarta parte del tutorial de derivación y de ampliación contiene dos ejercicios mucho más complejos, junto con los correcciones, por si se quiere comprobar si se es capaz de realizar cualquier tipo de derivada.

2
00:00:16,030 --> 00:00:23,769
Bueno, ya de forma voluntaria, si queréis hacer derivadas súper complicadas para ver qué tal os sale, os lo pongo en solo dos ejercicios.

3
00:00:23,769 --> 00:00:29,949
la derivada e elevado a x al cubo más 3

4
00:00:29,949 --> 00:00:36,869
coseno de x a la 5 menos logaritmo de periano de x

5
00:00:36,869 --> 00:00:43,070
todo ello entre logaritmo de periano de x al cubo más 1

6
00:00:43,070 --> 00:00:48,369
menos e elevado a x coseno de x

7
00:00:48,369 --> 00:00:50,810
derivada igual

8
00:00:50,810 --> 00:01:15,760
Y también la derivada de 7 seno a la quinta de e elevado a x al cuadrado menos la raíz cuadrada de x al cuadrado más 3 entre x menos 1 por la tangente de 2x derivada.

9
00:01:16,760 --> 00:01:21,260
Bueno, pues para la grabación lo intentáis y corregimos.

10
00:01:21,260 --> 00:01:49,900
Muy bien, empezamos la corrección. En la primera derivada tendríamos un cociente f partido por g, cuya derivada vamos a poner una fracción grande, sería f' por g menos f por g' y pondríamos un g cuadrado en el denominador.

11
00:01:49,900 --> 00:02:09,680
Bueno, empezamos con el denominador, por ser más sencillo, que sería el logaritmo neperiano de x al cubo más 1 menos elevado a x coseno de x, todo ello al cuadrado.

12
00:02:09,680 --> 00:02:19,860
Muy bien, ahora vamos con el numerador, con la g', pero observamos que f es un producto de dos funciones

13
00:02:19,860 --> 00:02:28,900
Que vamos a llamar f, que sería esta, y g, que sería esta

14
00:02:28,900 --> 00:02:36,379
Y cuya derivada sería f' por g más f por g'

15
00:02:36,379 --> 00:02:55,039
Ahora bien, la función f, que es elevado a x al cubo más 3, es de la forma elevado a f, cuya derivada es elevado a f por f'.

16
00:02:55,039 --> 00:03:06,479
Pues lo ponemos. Sería elevado a x al cubo más 3 por la derivada que es 3x al cuadrado.

17
00:03:06,479 --> 00:03:33,729
Muy bien, ahora multiplicamos por g minúscula que es el coseno de x a la 5 menos logaritmo de piano de x y ahora sumamos f que es e elevado a x al cubo más 3 y lo multiplicamos por la derivada de g minúscula.

18
00:03:34,389 --> 00:03:46,310
Ahora vamos a ver cuál es g minúscula. g minúscula es de la forma coseno de una función cuya derivada es menos seno de f por f'.

19
00:03:46,310 --> 00:03:58,250
Pues nada, abrimos un paréntesis porque tiene que haber un menos y ponemos menos seno de lo que hay dentro, que es x a la 5 menos logaritmo de priano de x.

20
00:03:59,069 --> 00:04:06,969
Por la derivada de lo de dentro, abrimos un paréntesis porque hay una resta, que sería 5x a la 4 menos 1 partido por x.

21
00:04:07,169 --> 00:04:10,289
Cerramos este paréntesis y cerramos este de aquí.

22
00:04:11,250 --> 00:04:19,269
Ahora bien, en la g' no he puesto paréntesis, habría que poner 1, porque tenemos una suma.

23
00:04:19,269 --> 00:04:31,290
Ahora ponemos g, que es el logaritmo de periano de x al cubo más 1 menos e elevado a x coseno de x.

24
00:04:33,329 --> 00:04:45,509
Y ahora ya podemos restar f, que es e elevado a x al cubo más 3 por coseno de x a la 5 menos logaritmo de periano de x.

25
00:04:45,509 --> 00:04:57,069
Y nos falta multiplicar por g'. Como tenemos una resta de funciones, pues hay que poner un paréntesis.

26
00:04:58,089 --> 00:05:12,500
En la resta, el primer término es este, que es el logaritmo heperiano de una función, cuya derivada es f' partido por f.

27
00:05:12,500 --> 00:05:24,399
Y así lo ponemos, pues tendríamos f' que es 3x cuadrado entre f, que es x al cubo más 1.

28
00:05:26,540 --> 00:05:36,939
Y restamos la siguiente parte del denominador, que es e elevado a otra función, cuya derivada es e elevado a f por f'.

29
00:05:36,939 --> 00:05:43,639
Pues vamos a poner primero x elevado a f menos elevado a x coseno de x.

30
00:05:44,639 --> 00:05:46,139
Y ahora ponemos la f'.

31
00:05:46,139 --> 00:05:52,600
Pero la f' es el x coseno de x, que es un producto de dos funciones.

32
00:05:54,060 --> 00:06:04,060
Pues ese producto es de la forma f por g, cuya derivada sería f' por g más f por g'.

33
00:06:04,060 --> 00:06:05,819
Lo ponemos.

34
00:06:05,819 --> 00:06:19,629
f' es x que es 1 por g coseno de x más f que es x por g' que es el menos seno de x

35
00:06:19,629 --> 00:06:22,810
en realidad este 1 no haría falta ponerlo

36
00:06:22,810 --> 00:06:27,709
y ya está, ya hemos terminado esta derivada

37
00:06:29,449 --> 00:06:35,430
aunque en realidad faltaría una cosa que es cerrar este paréntesis que no estaba cerrado

38
00:06:35,430 --> 00:06:38,310
bueno, vamos con la siguiente derivada

39
00:06:38,310 --> 00:06:41,370
tenemos el seno de la función

40
00:06:41,370 --> 00:06:44,129
que luego le damos a 5

41
00:06:44,129 --> 00:06:44,670
con lo cual

42
00:06:44,670 --> 00:06:46,910
lo último que haríamos sería elevar a 5

43
00:06:46,910 --> 00:06:48,509
y multiplicar por 7

44
00:06:48,509 --> 00:06:51,350
de modo que eso va a ser

45
00:06:51,350 --> 00:06:52,550
con lo que vamos a empezar a derivar

46
00:06:52,550 --> 00:06:54,490
entonces tenemos 7 veces

47
00:06:54,490 --> 00:06:59,220
una función elevada a 5

48
00:06:59,220 --> 00:07:01,620
cuya derivada es

49
00:07:01,620 --> 00:07:05,040
35f elevado a 4

50
00:07:05,040 --> 00:07:06,860
pues ponemos eso

51
00:07:06,860 --> 00:07:09,019
vamos a ponerlo aquí debajo

52
00:07:09,019 --> 00:07:09,779
por espacio

53
00:07:09,779 --> 00:07:19,149
Entonces ponemos 35f, y ¿cuál es f? Pues f es este seno, ¿no?

54
00:07:19,930 --> 00:07:21,689
Solo que sin la potencia quinta.

55
00:07:22,470 --> 00:07:39,189
35 seno elevado a 4 de elevado a x al cuadrado menos la raíz cuadrada de x al cuadrado más 3 entre x menos 1 por la tangente de 2x.

56
00:07:39,189 --> 00:07:51,500
Ahora vamos con ese seno. Tenemos el seno de una función cuya derivada es el coseno de f por f'.

57
00:07:51,500 --> 00:08:06,199
Pues ponemos el coseno de lo de dentro, elevado a x al cuadrado menos raíz cuadrada de x al cuadrado más 3 entre x menos 1 por la tangente de 2x.

58
00:08:07,939 --> 00:08:12,339
Y ahora falta multiplicar por su derivada, que sería la f'.

59
00:08:12,339 --> 00:08:14,639
quitemos el coseno de f

60
00:08:14,639 --> 00:08:16,459
bueno, pues nada

61
00:08:16,459 --> 00:08:18,459
vamos a coger el f'

62
00:08:18,620 --> 00:08:21,199
el f' comienza con esta función

63
00:08:21,199 --> 00:08:22,920
que es de la forma

64
00:08:22,920 --> 00:08:24,920
elevado a f, cuya derivada es

65
00:08:24,920 --> 00:08:26,100
elevado a f por f'

66
00:08:26,360 --> 00:08:28,779
pues empezamos con eso entonces

67
00:08:28,779 --> 00:08:30,279
sería

68
00:08:30,279 --> 00:08:32,340
elevado a f

69
00:08:32,340 --> 00:08:33,700
que es x cuadrado

70
00:08:33,700 --> 00:08:36,059
por su derivada que es 2x

71
00:08:36,059 --> 00:08:37,879
restamos

72
00:08:37,879 --> 00:08:41,039
y ahora tenemos un producto de funciones

73
00:08:41,039 --> 00:08:58,809
con lo cual compensa abrir un paréntesis. Y en ese producto de funciones tenemos una función f y una función g, y la derivada es f' por g más f por g'.

74
00:08:58,809 --> 00:09:14,950
Pues lo hacemos. Ahora bien, cuando damos f', tenemos la raíz cuadrada de una función cuya derivada es 1 partido de 2 raíz de f

75
00:09:15,809 --> 00:09:21,870
Por eje prima, de hecho podríamos ponerlo el eje prima arriba, pero bueno, vamos a ponerlo así.

76
00:09:23,649 --> 00:09:36,210
Vamos a poner pues 1 entre 2 raíz cuadrada de x al cuadrado más 3 entre x menos 1.

77
00:09:37,090 --> 00:09:47,570
Se puede poner de forma más simplificada si pusiéramos x menos 1 partido de x al cuadrado más 3 por un medio y ya está.

78
00:09:47,570 --> 00:09:54,470
Pero como no vamos a simplificar, estamos únicamente derivando y aprendiendo reglas de derivación, pues esto lo olvidamos.

79
00:09:55,649 --> 00:10:11,049
Sigamos, ahora nos falta el f'. El f' es este cociente, o sea, f es x al cuadrado más 3 entre x menos 1, y eso es un cociente de funciones, f partido por g.

80
00:10:11,049 --> 00:10:36,250
De modo que tendríamos que poner aquí una fracción. Como tenemos la g minúscula y no es para que nos confunda, vamos a ponerlo con mayúscula, f partido por g prima, que es f prima por g menos f por g prima, lo ponemos entre g cuadrado.

81
00:10:36,250 --> 00:10:58,690
Empezamos con el g al cuadrado, que es más sencillo, x menos 1 al cuadrado, y ahora diríamos lo demás, f' 2x por g por x menos 1 menos fx al cuadrado más 3 por g', pues le va de x menos 1 que es 1.

82
00:10:58,690 --> 00:11:01,610
No habría falta ni ponerlo, pero bueno, lo pongo por claridad.

83
00:11:01,750 --> 00:11:04,450
Pero no habría falta ponerse 1 porque es no hacer nada.

84
00:11:05,889 --> 00:11:07,710
Ya hemos hecho esta parte de f'.

85
00:11:07,710 --> 00:11:12,389
Ahora ponemos la g, que es la tangente de 2x.

86
00:11:12,669 --> 00:11:20,289
Subamos la f, que es x cuadrado más 3 entre x menos 1.

87
00:11:21,590 --> 00:11:24,409
Y me queda ya la derivada de la tangente, que se puede poner de muchas maneras.

88
00:11:24,409 --> 00:11:38,779
Por ejemplo, la siguiente derivada es tangente de una función cuya derivada es, por ejemplo, 1 partido de coseno al cuadrado de f por f'

89
00:11:38,779 --> 00:11:54,299
Voy a poner esta por el espacio que tengo. Así que voy a poner 1 partido por el coseno al cuadrado de 2x y ahora ponemos la derivada de 2x que es 2

90
00:11:54,299 --> 00:11:56,720
y cerramos el paréntesis

91
00:11:56,720 --> 00:11:59,019
y ya hemos terminado la derivada