1
00:00:00,430 --> 00:00:05,589
Buenas, en este vídeo vamos a ver las funciones de proporcionalidad inversa.

2
00:00:05,629 --> 00:00:11,669
Las funciones de proporcionalidad inversa son del tipo y es igual a k partido de x.

3
00:00:11,869 --> 00:00:14,810
Vamos a ver el caso en el que k sea igual a 1.

4
00:00:15,269 --> 00:00:22,390
Aquí si nosotros hacemos una tabla de valores, para 1, como es 1 partido de x, es 1 partido de 1, que es 1.

5
00:00:22,789 --> 00:00:28,109
Para 2 vemos que es 0,5. Para 3 es 1,3, que es 0,33 periodo.

6
00:00:28,109 --> 00:00:32,909
para 4 es un cuarto que es 0.25 y así sucesivamente

7
00:00:32,909 --> 00:00:36,409
estamos viendo que a medida que aumenta la X

8
00:00:36,409 --> 00:00:38,229
aumenta aquí la X

9
00:00:38,229 --> 00:00:40,789
el valor de la Y es cada vez más pequeño

10
00:00:40,789 --> 00:00:43,509
de tal forma que nosotros aquí realmente

11
00:00:43,509 --> 00:00:46,750
cuando tenemos un cociente, un cociente que es un reparto

12
00:00:46,750 --> 00:00:50,969
si yo tengo una única cosa para repartir

13
00:00:50,969 --> 00:00:54,369
y cada vez somos más personas donde repartir

14
00:00:54,369 --> 00:00:57,950
pues al final llegará un momento en el que eso tienda a 0

15
00:00:57,950 --> 00:01:00,950
Nunca va a ser 0, pero va a tender a 0.

16
00:01:01,649 --> 00:01:03,409
Entonces, ¿qué es lo que ocurre?

17
00:01:03,549 --> 00:01:07,909
Pues que la función 1 partido de x, que es la de proporcionalidad inversa,

18
00:01:07,989 --> 00:01:14,049
evidentemente pasa por el punto 1, 1, pero luego va a pasar por el punto 2, 0, 5.

19
00:01:14,530 --> 00:01:20,629
Vemos que cuando las x son positivas, la función también es positiva.

20
00:01:20,790 --> 00:01:24,049
Y cuando las x son negativas, la función es negativa.

21
00:01:24,049 --> 00:01:35,950
Pero volvemos a lo mismo. Mientras más alejada del 0 está x, 1 partido de x, son más gente en la cual repartir, va a ser cada vez menos.

22
00:01:36,209 --> 00:01:41,450
Entonces, no está definida en x igual a 0. ¿Por qué? ¿Cuál es el dominio de esta función?

23
00:01:41,450 --> 00:01:49,670
Como es el dominio de f de x, tenemos una división, cogemos el denominador y lo igualamos a 0.

24
00:01:49,670 --> 00:01:56,109
x igual a cero. Por lo tanto, son todos los reales menos el cero. No está definida en cero.

25
00:01:56,609 --> 00:02:03,849
Si x se acerca a cero y la y toma valores cada vez más grandes, veis que me estoy aproximando aquí al cero

26
00:02:03,849 --> 00:02:12,110
y se me va muy, muy, muy, muy arriba. Si x toma valores cada vez más grandes, se acerca al cero.

27
00:02:12,469 --> 00:02:17,889
¿De acuerdo? Entonces, ¿qué es lo que ocurre? Aquí vamos a introducir conceptos muy importantes

28
00:02:17,889 --> 00:02:24,810
cómo son las asíntotas. Vemos que el 0 no puede ser porque no está definido. Nunca la x va a valer 0

29
00:02:24,810 --> 00:02:31,870
en esta función. ¿Por qué? Porque no pertenece al dominio. ¿Pero qué ocurre cuando yo me acerco a la x

30
00:02:31,870 --> 00:02:38,430
tanto por la derecha como por la izquierda? Que se me va, en este caso, al más infinito y aquí se me va

31
00:02:38,430 --> 00:02:47,129
al menos infinito. Entonces aquí lo que tenemos es una asíntota vertical. Pero tenemos una asíntota

32
00:02:47,129 --> 00:02:50,009
vertical en x igual a cero, ¿de acuerdo?

33
00:02:50,729 --> 00:02:55,229
Igualmente, si x toma valores cada vez más grandes, se acerca al cero, pero no lo toca.

34
00:02:55,629 --> 00:03:03,430
Entonces nosotros aquí, si os fijáis, tenemos lo que se llama una asíntota horizontal,

35
00:03:03,650 --> 00:03:07,729
pero una asíntota horizontal donde en y igual a cero.

36
00:03:07,870 --> 00:03:13,110
Tenemos que decir esto, las horizontales van con las y y las verticales van con las x.

37
00:03:13,229 --> 00:03:16,750
Esta curva como tal se llama hipérbola, ¿de acuerdo?

38
00:03:16,750 --> 00:03:22,669
Y sus asíntotas, en este caso, de 1 partido de x, son los ejes coordenados.

39
00:03:23,009 --> 00:03:27,830
Tanto en y igual a 0 como en x igual a 0, tenemos una hipérbola.

40
00:03:28,030 --> 00:03:30,449
De verdad, no tenemos asíntotas, ¿vale?

41
00:03:31,349 --> 00:03:40,469
Entonces, lo que yo quiero que veáis es cómo se comporta esta función cuando ya, por ejemplo, tenemos el y es igual a k partido de 6.

42
00:03:40,469 --> 00:03:56,449
Cuando mi k vale 6, que tengo esta función de aquí, lo único que si os fijáis, si yo hago x igual a 6 partido de x a 0 siempre, una tabla de valores.

43
00:03:56,449 --> 00:04:10,129
Y le dais, por ejemplo, menos 2, menos 1, el 0 no, porque el dominio de f de x son todos los reales menos el 0, por lo tanto en 0 no existe el 1 y el 2.

44
00:04:10,129 --> 00:04:23,089
¿Cuánto vale menos 2? Pues 6 entre menos 2, ¿cuánto es 6 entre menos 2? Menos 3, pasa por el punto, menos 2, menos 3, ¿lo veis? Esto es menos 3, esto es menos 2.

45
00:04:23,089 --> 00:04:34,610
En menos 1, ¿cuánto es 6 partido de menos 1? Eso es menos 6, pues en menos 1, si os dais cuenta, aquí pasa por menos 6, esto es menos 1, esto es menos 6.

46
00:04:34,610 --> 00:04:42,550
En 0 no está definida, pero en 1 ¿qué ocurre? Pues 6 entre 1 es 6, pasa por el punto y este punto es el 1, 6.

47
00:04:42,850 --> 00:04:49,129
Y en 2, que es 6 entre 2, es 3. ¿Vale? 6 entre 2 es 3. ¿De acuerdo?

48
00:04:49,610 --> 00:04:55,370
Fijáis, esta función es igual a 6 partido de x, ¿cuánto es f de x?

49
00:04:55,970 --> 00:04:59,930
f de menos x, ¿cuánto es? Es 6 partido de menos x.

50
00:04:59,930 --> 00:05:03,870
Y el menos siempre se pone arriba, ¿verdad? Es menos 6 partido de x.

51
00:05:03,870 --> 00:05:12,009
¿Y eso qué es? Menos f de x. Esta función es par, por lo tanto es simétrica respecto al eje de las x, ¿vale?

52
00:05:12,230 --> 00:05:15,009
Lo único que está, esto de aquí, más separado.

53
00:05:15,529 --> 00:05:20,310
¿Aquí qué es lo que he hecho? Esto es y es igual a menos 1 partido de x.

54
00:05:20,689 --> 00:05:29,350
Como la k es negativa, la k es negativa, en vez de ser siempre decreciente, ahora es siempre creciente, ¿lo veis?

55
00:05:29,350 --> 00:05:40,310
Va creciendo, creciendo. ¿De acuerdo? Igual, si tenéis dudas, hacéis la tabla de valores, ¿vale? Y le dais a cuatro valores y lo representáis.

56
00:05:40,410 --> 00:05:53,310
Pero siempre tenéis que saber que la de proporcionalidad inversa es así y así. Si la k es mayor que cero, es siempre decreciente, ¿de acuerdo?

57
00:05:53,310 --> 00:06:08,550
Siempre decreciente. Y si la k es mayor que 0, resulta que siempre es creciente. Aquí vamos creciendo y ahora desde aquí abajo también crecemos. ¿Vale? Tanto en una como otra.

58
00:06:08,550 --> 00:06:24,970
Si es partido de x, ¿de acuerdo? Una k partido de x, vamos a tener una asíntota vertical en x igual a 0 y una asíntota horizontal en y igual a 0.

59
00:06:24,970 --> 00:06:38,370
Hay una asíntota horizontal, ¿de acuerdo? Tanto para k mayor que 0 como k, esto es menor que 0, ¿vale?

60
00:06:38,550 --> 00:06:40,889
Esto es k menor que cero y k mayor que cero.

61
00:06:41,290 --> 00:06:50,730
Esto es una asíntota horizontal y aquí en x igual a cero, que no pertenece al dominio, tenemos una asíntota vertical.

62
00:06:50,730 --> 00:06:56,189
Nunca me escribáis a h y a v, lo digo ahora para acelerar el proceso.

63
00:06:56,709 --> 00:07:03,629
Entonces, menos cuatro partidos de x, como la k es negativa, vemos que siempre es creciente.

64
00:07:03,870 --> 00:07:08,110
¿Lo veis? Es de este tipo, de aquí para acá, menores que cero.

65
00:07:08,110 --> 00:07:21,250
Y haceros una tablita de valores, para x igual a menos 1, pues fijaros, vale menos 1, 4, y para el 1, pues pasa por el 1, menos 4, ¿de acuerdo?

66
00:07:21,329 --> 00:07:23,930
Hacéis una tabla de valores y así os ayuda, ¿de acuerdo?

67
00:07:24,629 --> 00:07:30,329
El dominio, pues el dominio serían todos los reales menos el 0, porque más o menos el denominador, ¿de acuerdo?

68
00:07:31,069 --> 00:07:37,149
Y las hipérbolas, como es una hipérbola, tienen asíntotas, como hemos dicho, en los ejes coordenados, ¿de acuerdo?

69
00:07:37,149 --> 00:08:02,129
¿Vale? Ahora lo que vamos a representar es esto de aquí, y entonces, ¿qué es lo que quiero que veáis? Realmente, si yo tuviera igual a 1 partido de x, ¿verdad? Si yo tuviera 1 partido de x, voy a poner aquí una página nueva, si yo tuviera 1 partido de x, pues yo, más o menos, sé que mi función siempre es decreciente de este tipo, ¿vale?

70
00:08:02,129 --> 00:08:08,110
Lo suyo es que aquí pase por el 1, 1 y aquí por el menos 1, menos 1.

71
00:08:08,350 --> 00:08:11,930
Más o menos, ¿eh? Es un esbozo de la gráfica, ¿de acuerdo?

72
00:08:13,209 --> 00:08:19,649
Yo restarle 4, fijaros que yo la tengo y es igual a 1 partido de x menos 4.

73
00:08:20,189 --> 00:08:21,730
Este menos 4 resta el x.

74
00:08:22,009 --> 00:08:24,250
Fijaros ahora, ¿aquí cuál era mi dominio?

75
00:08:24,689 --> 00:08:30,149
Mi dominio aquí de f de x eran todos los reales menos el 0.

76
00:08:30,149 --> 00:08:41,710
¿Por qué es el 0? Porque yo igualo el denominador a 0. Fijaros aquí. Aquí ahora en x menos 4 yo lo igualo a 0 y resulta que x es igual a 4.

77
00:08:42,169 --> 00:08:48,590
Entonces el dominio de esta función son todos los reales menos el 4.

78
00:08:49,269 --> 00:08:51,230
Entonces, ¿por qué os explico esto?

79
00:08:51,309 --> 00:09:02,070
Porque aquí, si os fijáis, en uno partido de x teníamos igual a cero una asíntota horizontal, ¿verdad?

80
00:09:02,950 --> 00:09:03,509
Horizontal.

81
00:09:03,970 --> 00:09:06,750
¿Y qué teníamos en x igual a cero?

82
00:09:06,750 --> 00:09:13,049
En x igual a cero teníamos una asíntota vertical, ¿de acuerdo?

83
00:09:13,049 --> 00:09:35,850
¿Qué ocurre? Que ahora mi función es igual a 1 partido de x. Tengo 1 partido de x menos 4. Si os fijáis, ¿cuál es el punto que no pertenece al dominio? El 4. El 4 no pertenece al dominio.

84
00:09:35,850 --> 00:09:55,259
Bueno, pues mi función es exactamente igual, ¿de acuerdo? Mi función es exactamente igual, lo único que está desplazado a la izquierda, esto desplaza hacia la izquierda mi función.

85
00:09:55,259 --> 00:10:04,580
Porque ahora el 4 es donde yo tengo el que en x igual a 4 yo ahora tengo una asíntota vertical.

86
00:10:05,419 --> 00:10:14,460
Sin embargo, sigo manteniendo en y igual a 0 la asíntota horizontal.

87
00:10:15,879 --> 00:10:15,960
¿Vale?

88
00:10:16,740 --> 00:10:19,379
¿Qué ocurre si yo ahora le multiplico por 6?

89
00:10:19,379 --> 00:10:24,120
Pues como tenemos aquí el multiplicado por 6, fijaros, yo me hago mi tabla de valores, ¿vale?

90
00:10:24,120 --> 00:10:33,799
No le deis muchos valores, pero lo que quiero que veáis es que por multiplicar por 6 lo que hago es alejar estas dos hipérbolas, ¿vale?

91
00:10:34,659 --> 00:10:44,600
Y cuando yo le echo a la x un 4, lo que estoy haciendo es desplazándola, en este caso, hacia la derecha, ¿vale?

92
00:10:44,600 --> 00:10:50,539
Si hubiese sido x más 4, pues sería lo mismo, pero aquí en el más 4, ¿de acuerdo?

93
00:10:50,539 --> 00:11:05,120
Y luego, ¿qué ocurre? Si yo tengo que representar todo esto a función de proporcionalidad inversa, yo le sumo un 2, lo que estoy haciendo, chavales, es aumentar todo hacia arriba dos unidades, ¿de acuerdo?

94
00:11:05,120 --> 00:11:14,840
Entonces aquí, ¿qué ocurre? Que yo aquí en y igual a 2, lo que tengo en y igual a 2, una asíntota horizontal.

95
00:11:17,409 --> 00:11:25,059
Y aquí en x igual a 4, ¿qué es lo que tengo? Fijaros, una asíntota vertical.

96
00:11:26,759 --> 00:11:36,700
¿De acuerdo? Entonces, lo que es muy importante es que sepamos manejar estas funciones de aquí con las traslaciones para ver un esbozo de la gráfica.

97
00:11:36,700 --> 00:11:52,899
¿De acuerdo? Fijaros, esto de aquí. Yo tengo y es igual a 2 partido de x. Entonces yo ya sé que si x vale 1 va a pasar por el 2, si x vale 2 va a pasar por el 1, es decir, por el punto 1, 2 y por el punto 2, 1.

98
00:11:52,899 --> 00:12:06,679
Yo sé que es de proporcionalidad inversa. Entonces yo pongo por ejemplo el 1, 2 y el 2, 1 y fijaros que mi función va a hacer algo así y algo así. ¿De acuerdo? Esto es 2 partido de x.

99
00:12:06,700 --> 00:12:19,559
Y ahora, ¿qué me dicen? Que yo represente menos 2 partido de x. ¿Qué es lo que ocurre? Pues esto es la a, que es 2 partido de x, y la b, y es igual a menos 2 partido de x.

100
00:12:19,559 --> 00:12:28,860
Y entonces, esto que está aquí en negativo, que era esto de aquí, fijaros, lo voy a poner en rojo, se convierte en qué?

101
00:12:29,600 --> 00:12:30,779
En positivo.

102
00:12:31,559 --> 00:12:43,039
Esto que estaba aquí, lo voy a representar en negro con puntitos, en positivo, ahora se va a convertir, lo voy a poner en rojo, perdonad, en negativo.

103
00:12:43,620 --> 00:12:43,919
¿De acuerdo?

104
00:12:44,379 --> 00:12:48,240
Esta es mi función y es igual a menos 2 partido de x.

105
00:12:48,759 --> 00:12:56,860
¿Qué es lo que ocurre aquí donde yo tengo el c es igual a 2 partido de x menos 3?

106
00:12:57,179 --> 00:13:00,059
Pues yo lo primero que me tengo que fijar aquí es el dominio.

107
00:13:00,100 --> 00:13:05,460
El dominio de f de x son todos los reales menos el 3, ¿verdad?

108
00:13:05,580 --> 00:13:08,860
¿Por qué? Porque el 3 me anula este denominador.

109
00:13:08,960 --> 00:13:12,899
Lo voy a escribir aquí bien, ¿vale? x menos 3.

110
00:13:12,899 --> 00:13:33,279
Y entonces, ¿qué estoy haciendo realmente? Yo, mi función, la de y partido de x es esta de aquí y ahora lo voy a escribir en verde. Esto es lo mismo, pero justo en el 3 que está aquí yo no tengo función. Pues entonces, esta verde de aquí y esta verde de aquí.

111
00:13:33,279 --> 00:13:49,539
Este es el esbozo de mi gráfica, lo voy a hacer aquí un poquito mejor, esto es el 3, mi gráfica va a ser tal que así, igual, damos 3 valores, 4 para representarla bien, pero más o menos ese es el esbozo, ¿de acuerdo?

112
00:13:49,539 --> 00:14:09,679
Y entonces, esta de aquí, fijaros, esta de aquí, pues es mi misma función que yo tengo aquí, ¿de acuerdo? Mi misma función que yo tengo aquí, pero ahora le estoy sumando un 5. Este 5 no afecta a la x como si afectaba este 3, sino que el 5 afecta a toda la función.

113
00:14:09,679 --> 00:14:36,000
Entonces, lo único que tengo aquí ahora, fijaros, es que he subido 5 posiciones, he subido 5 posiciones mi función, ¿de acuerdo? Eso es lo importante que yo quiero que veáis de las traslaciones en las funciones, lo diré, las funciones de proporcionalidad inversa, ¿vale?

114
00:14:36,000 --> 00:14:47,740
Si yo me fuera a GeoGebra, a ver un momento, si yo me fuera, voy a ir aquí, a GeoGebra, ¿vale?

115
00:14:49,360 --> 00:14:58,879
Lo que yo quiero que veáis es que si yo tengo, por ejemplo, aquí un A, aquí un B y aquí un C, ¿vale?

116
00:14:59,080 --> 00:15:07,480
Si yo tengo que mi función, a ver si esto lo puedo hacer más pequeñito, un segundo, vale, vamos a ver.

117
00:15:07,759 --> 00:15:31,240
aquí, si yo esto lo pudiera hacer aquí más, vaya por Dios, vamos a ver, esto de aquí yo lo pudiera hacer más pequeño, nada, está esto, bueno, a ver, si yo hago aquí a partido de x, ¿vale?, es mi función 1 partido de x, y la de proporcionalidad inversa,

118
00:15:31,240 --> 00:15:55,000
Fijaros lo que ocurre cuando yo modifico la A, que se va, cada vez que la A es más grande se van separando, se van separando, separando, separando, cuando ya es muy cerca de 0 se convierte efectivamente en 0 y luego cuando es negativo lo único que siempre crece, mi función siempre es creciente, aquí es creciente y aquí mi función es decreciente, ¿de acuerdo?

119
00:15:55,000 --> 00:16:16,399
¿Qué ocurre ahora, chavales? Voy a dejar la a igual a 1. A1. A ver si soy capaz. A1. Bueno, si no, fuerza aquí. A igual a 1. ¿Vale? ¿Qué ocurre cuando aquí, por ejemplo, perdonad, tengo yo aquí más b y aquí más c?

120
00:16:16,399 --> 00:16:21,120
voy a hacer que b sea 0 y que c sea 0

121
00:16:21,120 --> 00:16:22,620
es decir, tengo 1 partido de x

122
00:16:22,620 --> 00:16:27,960
¿qué ocurre cuando yo estoy modificando lo que acompaña a la x?

123
00:16:28,379 --> 00:16:32,659
pues fijaros, si yo voy modificando lo que acompaña a la x

124
00:16:32,659 --> 00:16:37,139
cuando yo le sumo estoy desplazando todo hacia la izquierda

125
00:16:37,139 --> 00:16:40,600
¿lo veis? yo ahora aquí la asíntota la tengo en 3

126
00:16:40,600 --> 00:16:43,080
¿de acuerdo? a ver si consigo yo aquí el 3

127
00:16:43,080 --> 00:16:46,240
o la asíntota la tengo ahora aquí en el 3

128
00:16:46,240 --> 00:16:50,679
1 partido de x más 3, yo la asíntota vertical la tengo en x igual a menos 3.

129
00:16:50,919 --> 00:16:56,179
Y si yo me voy hacia valores negativos, lo que estoy es desplazándola hacia la derecha.

130
00:16:56,279 --> 00:17:04,119
De hecho, cuando yo llego a 1 partido de x menos 5, el dominio aquí son todos los reales menos el 5.

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00:17:04,220 --> 00:17:07,980
Y en el 5 que tengo la asíntota horizontal, ¿de acuerdo?

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00:17:07,980 --> 00:17:33,359
¿Vale? Entonces yo, cuando me está afectando a la X, ¿de acuerdo? Yo lo que hago, chavales, es desplazar mi función. Desplazar mi función. De hecho, si yo ahora es negativa, ¿vale? Es exactamente lo mismo, pero yo desplazo mi función. ¿De acuerdo? Yo desplazo mi función. Voy a dejar otra vez que la A valga 1. ¿De acuerdo?

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00:17:33,359 --> 00:17:52,339
Todo lo que haga es desplazar lateralmente. Si yo aquí me voy, por ejemplo, a x más 5, ahora lo que subo es la c, fijaros la c, lo que hago es subir la asíntota horizontal ahora, me está cambiando, ¿de acuerdo?

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00:17:52,339 --> 00:18:02,079
Es decir, si yo consigo que c valga 2, tengo una asíntota horizontal en x igual a 2.

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00:18:02,180 --> 00:18:09,680
Si yo hago que c valga menos 4, tengo una asíntota horizontal en c igual a menos 4, ¿de acuerdo?

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00:18:09,759 --> 00:18:18,220
Entonces, más o menos también es igual darle valores a la función y lo que tenéis que saber son estas traducciones que son muy importantes, ¿de acuerdo?

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00:18:18,519 --> 00:18:20,740
Este vídeo es muy importante.