1
00:00:00,880 --> 00:00:05,019
Hola a todos, en este vídeo vamos a hablar de las ecuaciones bicuadradas.

2
00:00:05,580 --> 00:00:12,140
Las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones polinómicas que tienen una forma muy particular

3
00:00:12,140 --> 00:00:19,719
y es que tienen siempre un término de grado 4, un término de grado 2 y un término independiente.

4
00:00:19,920 --> 00:00:21,620
La ecuación siempre va a tener esta pinta.

5
00:00:22,120 --> 00:00:28,859
Una ecuación va a cambiar respecto a otra en función de los valores que tengan a, b y c simplemente,

6
00:00:28,859 --> 00:00:34,659
pero el x cuarto, x cuadrado y que haya un término independiente siempre se mantiene, ¿vale?

7
00:00:34,880 --> 00:00:41,479
Entonces, para resolver este tipo de ecuaciones vamos a usar una herramienta muy potente que se utiliza muchísimo en matemáticas

8
00:00:41,479 --> 00:00:42,939
que se llama cambio de variable.

9
00:00:48,270 --> 00:00:53,009
Un cambio de variable, como su propio nombre indica, no es otra cosa que coger la variable que tenemos,

10
00:00:53,149 --> 00:00:59,689
que en este caso es la x, y cambiarla por una nueva, que la puedo cambiar por la que a mí me dé la gana,

11
00:00:59,689 --> 00:01:05,629
y establecer una relación entre esas dos variables, la que tengo y la que voy a poner nueva.

12
00:01:06,230 --> 00:01:10,469
En el caso de las ecuaciones bicuadradas, el cambio de variable siempre va a ser el mismo.

13
00:01:10,469 --> 00:01:13,890
Voy a decir que x al cuadrado va a ser igual a z.

14
00:01:14,209 --> 00:01:18,969
Z es la nueva variable que ya os digo que puede ser z, t, m o la letra que nos guste.

15
00:01:19,709 --> 00:01:25,189
Entonces vamos a ver cómo con este cambio la ecuación se reduce a una ecuación de segundo grado

16
00:01:25,189 --> 00:01:27,189
que podemos resolver de manera muy fácil.

17
00:01:27,670 --> 00:01:28,829
Lo vemos con un ejemplo.

18
00:01:29,689 --> 00:01:38,549
Imaginaros que tengo esta ecuación de aquí, x a la cuarta menos 25x al cuadrado más 144 igual a cero.

19
00:01:39,030 --> 00:01:44,209
¿Veis? Lo primero que tengo que hacer es analizar si esta ecuación que yo tengo entre manos es una ecuación bicuadrada.

20
00:01:44,590 --> 00:01:50,670
Sí que lo es, ¿por qué? Porque los términos que tengo son x a la cuarta, x al cuadrado y término independiente,

21
00:01:51,069 --> 00:01:53,209
como en la estructura general que os he dicho arriba.

22
00:01:54,069 --> 00:01:59,510
Lo que valga a, b y c me importa bien poco, siempre y cuando la estructura se mantenga, ¿vale?

23
00:01:59,510 --> 00:02:07,409
Entonces voy a hacer el cambio de variable y voy a decir que x cuadrado va a ser igual a z.

24
00:02:08,169 --> 00:02:13,289
Entonces, fijaros, lo único que tengo que hacer es, este x cuadrado ya lo tengo perfecto para cambiarlo por z.

25
00:02:13,789 --> 00:02:18,030
Mirad, la z la voy a poner de otro color para que luego lo veáis muy bien.

26
00:02:18,710 --> 00:02:20,469
Entonces, x cuadrado igual a z.

27
00:02:20,870 --> 00:02:25,990
Lo que decía, que esta x al cuadrado ya está preparada, pero esta x cuarto la voy a cambiar

28
00:02:25,990 --> 00:02:30,610
y la voy a poner en términos de x al cuadrado para que luego yo lo pueda poner por z.

29
00:02:30,990 --> 00:02:35,409
¿Cómo hago eso? ¿Cómo puedo poner un x cuarta como x al cuadrado con una operación?

30
00:02:35,569 --> 00:02:38,530
Pues x cuarta es x al cuadrado elevado al cuadrado.

31
00:02:38,949 --> 00:02:45,050
Entonces ya tengo un x al cuadrado, ahí veis, menos 25x cuadrado más 144 igual a 0.

32
00:02:45,509 --> 00:02:50,650
Así que ahora lo que hago es hacer el cambio y entonces donde pone x al cuadrado voy a poner z.

33
00:02:51,110 --> 00:02:55,189
Pues ahora me cojo y me pongo x al cuadrado, ¿dónde está aquí? Pues a la z.

34
00:02:55,990 --> 00:02:57,650
¿Qué está haciendo esa x al cuadrado?

35
00:02:58,009 --> 00:03:04,250
Estar elevada al cuadrado, pues al cuadrado, menos 25, otra vez, x al cuadrado está aquí, ¿no?

36
00:03:04,250 --> 00:03:10,030
Pues pongo una z, más 144 igual a 0.

37
00:03:10,229 --> 00:03:17,289
¿Veis? Entonces, esta ecuación de aquí, de grado 4, la he transformado en una que es de grado 2,

38
00:03:17,590 --> 00:03:21,129
que puedo resolver con la ecuación de segundo grado de manera muy sencillita.

39
00:03:21,469 --> 00:03:22,389
Pues la resolvemos.

40
00:03:22,389 --> 00:03:49,150
tenemos que z es igual a menos b, 25 más menos la raíz de 25 al cuadrado, menos 4 por a por c, partido de 2 por a, esto es 25 más menos, si hacéis esa raíz cuadrada os va a salir 20, os va a salir 7, perdón, partido de 2, porque eso os va a salir la raíz de 49, ¿vale?

41
00:03:49,150 --> 00:03:54,650
Así que aquí me quedan dos soluciones para z, z1 y z2.

42
00:03:55,270 --> 00:04:05,870
La primera para la suma que sería 25 más 7 entre 2, 25 más 7 son 32 entre 2 que son 16

43
00:04:05,870 --> 00:04:16,120
y para la resta sería 25 menos 7 entre 2 que son 18 entre 2 que son 9.

44
00:04:16,120 --> 00:04:22,740
¿Veis? Entonces me salen dos soluciones para z, que son 16 y 9

45
00:04:22,740 --> 00:04:27,060
Pero claro, nos queda hacer un último paso, que es que yo no quiero saber lo que vale z

46
00:04:27,060 --> 00:04:29,300
Lo que quiero saber es lo que vale la x, ¿verdad?

47
00:04:29,800 --> 00:04:33,459
Así que para eso me vengo y deshago el cambio de variable

48
00:04:33,459 --> 00:04:38,319
Este cambio de variable que había dicho yo, x cuadrado igual a z

49
00:04:38,319 --> 00:04:41,920
Lo que voy a hacer es deshacerlo para cada una de las soluciones de z

50
00:04:41,920 --> 00:04:46,480
luego arriba diré que 16 es igual a x al cuadrado

51
00:04:46,480 --> 00:04:48,920
eso es una ecuación de segundo grado incompleta

52
00:04:48,920 --> 00:04:52,540
que se resuelve haciendo más menos la raíz cuadrada de 16

53
00:04:52,540 --> 00:04:54,360
o sea, más menos 4

54
00:04:54,360 --> 00:04:58,279
y abajo igual, digo 9 igual a x al cuadrado

55
00:04:58,279 --> 00:05:02,699
así que x va a ser igual a más menos la raíz de 9

56
00:05:02,699 --> 00:05:04,100
que es más menos 3

57
00:05:04,100 --> 00:05:07,300
por tanto me quedan 4 soluciones para x

58
00:05:07,300 --> 00:05:08,959
x1 igual a 4

59
00:05:08,959 --> 00:05:11,199
x2 igual a menos 4

60
00:05:11,199 --> 00:05:13,259
x3 igual a 3

61
00:05:13,259 --> 00:05:16,740
y x4 igual a menos 3

62
00:05:16,740 --> 00:05:19,620
y así quedaría resuelto el ejercicio

63
00:05:19,620 --> 00:05:23,000
solo comentaros que este tipo de ecuaciones

64
00:05:23,000 --> 00:05:26,120
por supuesto se pueden resolver también por el método habitual

65
00:05:26,120 --> 00:05:27,399
que estábamos usando hasta ahora

66
00:05:27,399 --> 00:05:30,699
que era utilizando Ruffini, entidades notables, etc.

67
00:05:30,879 --> 00:05:34,560
pero esto una vez que lo veáis despacito

68
00:05:34,560 --> 00:05:37,680
y lo practiquéis un poco os facilita tremendamente el trabajo

69
00:05:37,680 --> 00:05:39,560
y sale mucho así que hay que aprenderlo