1 00:00:00,880 --> 00:00:14,140 Hola chicos, vamos a ver un ejemplo de funciones periódicas en las que nos dan la gráfica y nos van a pedir el periodo y las imágenes de unas X concretas. 2 00:00:15,160 --> 00:00:26,500 Lo primero que tenemos que hacer es encontrar el periodo a la vista de la gráfica y simplemente tenemos que contar cuántos puntos hay entre dos puntos similares. 3 00:00:26,500 --> 00:00:49,060 Entonces podemos por ejemplo ver que entre esta cúspide que hay aquí, este máximo que tenemos aquí y este otro pues tenemos cuatro unidades o entre el punto 0,0 y el punto 4,0 pues también hay cuatro unidades, es decir que se repite siempre cada cuatro. 4 00:00:49,060 --> 00:00:54,340 ¿Lo veis? Este, por ejemplo, este otro máximo relativo y este, pues cada cuatro unidades siempre se repite. 5 00:00:54,439 --> 00:01:02,119 Así que ya sabemos que el periodo T es igual a cuatro, cuatro unidades. 6 00:01:03,299 --> 00:01:06,200 Muy fácil de sacar siempre, ¿verdad? 7 00:01:06,200 --> 00:01:21,400 Vale, pues una vez visto esto, ahora vamos a deducir cuánto valdrán las imágenes del 1 y la imagen del 2, etc. 8 00:01:21,579 --> 00:01:27,900 Bueno, la imagen del 1 es muy fácil, simplemente tenemos que mirar que el 1 lo tenemos aquí y que su imagen está a altura 3, ¿verdad? 9 00:01:27,900 --> 00:01:35,500 Así que este punto que tenemos aquí es el 1, 3. Ahí no tenemos nada más que darnos cuenta de que la imagen del 1 es el 3 y ya está. 10 00:01:36,200 --> 00:01:54,939 Vale, para f de 2 lo mismo, si vamos al 2 tenemos que su imagen en este punto de aquí pues es 2 también, con lo cual pues la imagen, como la función pasa por el 2, 2, la imagen de 2 es 2 también en este caso. 11 00:01:54,939 --> 00:02:11,159 Vale, ahora para hallar F de 74 lo que tenemos que hacer es quitarle al 74, bueno, ver cuántos 4 tiene y ver el resto que nos queda. 12 00:02:11,159 --> 00:02:30,639 Entonces el 74 lo que hacemos es dividirlo, ¿verdad? El 74 lo dividimos entre 4, que nos va a quedar a 18 de cociente, pero el resto sale a 2. 13 00:02:30,639 --> 00:02:46,800 Si lo hacéis, pues sale claramente eso. Y entonces lo que podemos observar es que el 74 lo podemos poner como divisor por cociente más resto, es decir, 18 veces esta t, que es este 4, más el resto, que es 2. 14 00:02:48,259 --> 00:03:06,099 Por tanto, la imagen de 74 va a ser la misma que la imagen de 2. Y ya sabemos que la imagen de 2 es 2. 15 00:03:07,580 --> 00:03:25,699 Acordaros de las propiedades de una función periódica. La propiedad fundamental es que f de una x es igual que la f de esa x más un número entero de veces el periodo. 16 00:03:25,699 --> 00:03:49,639 Y esto es lo que hemos puesto aquí, ¿verdad? Fijaros, esto es exactamente eso. Bueno, hemos puesto primero el k veces el periodo, ¿veis? 18 veces 4 más 2, ¿vale? Entonces f de x es igual que f de x más 18 veces el periodo en este caso. 17 00:03:49,639 --> 00:03:52,659 Entonces, bueno, pues ya tenemos eso 18 00:03:52,659 --> 00:03:56,979 Ahora vamos con f de 1023 19 00:03:56,979 --> 00:03:58,379 Exactamente lo mismo 20 00:03:58,379 --> 00:04:04,259 Lo que hacemos es dividir 1023 entre 4 21 00:04:04,259 --> 00:04:06,340 Para ver cuántas veces está el 4 22 00:04:06,340 --> 00:04:09,479 Y nos sale a 255 veces 23 00:04:09,479 --> 00:04:16,459 Con un resto igual a 3 24 00:04:16,459 --> 00:04:21,259 Si hacéis la división, pues os daréis cuenta de que sale eso 25 00:04:21,259 --> 00:04:22,439 Igual que aquí salía esto 26 00:04:22,439 --> 00:04:39,579 Pues aquí tenemos esto. Por tanto, f de 1023 va a ser igual que f de 255 veces 4 más 3. Por tanto, va a ser igual que 3. 27 00:04:39,579 --> 00:04:50,930 Y hemos visto ya en la gráfica fácilmente que se puede ver que la imagen del 3 es el 1. 28 00:04:52,170 --> 00:04:57,670 Si lo veis aquí se ve claramente como la imagen del 3 está en este punto de aquí, es 1. 29 00:04:57,790 --> 00:05:00,709 Por tanto, la imagen del 1023 también es 1. 30 00:05:02,310 --> 00:05:04,629 Así que ya vamos hallando todas las cosas que nos piden. 31 00:05:04,629 --> 00:05:22,430 Ahora, ya por último, hacemos la imagen del menos 205 32 00:05:22,430 --> 00:05:27,470 Bueno, ahora lo que tenemos es un punto de accisa que se va hacia el lado negativo de las X 33 00:05:27,470 --> 00:05:33,069 Entonces, bueno, pues lo mismo, lo que hacemos es ver dónde nos queda en el tramo que tenemos aquí 34 00:05:33,069 --> 00:05:34,769 Porque realmente también lo estamos viendo 35 00:05:34,769 --> 00:05:42,810 Aunque luego podemos hacer un truco para pasarlo al primer periodo en vez de al último, digamos, antes del 0. 36 00:05:43,709 --> 00:05:49,589 Pero bueno, lo que hacemos es coger el 205 y lo mismo, dividirlo entre 4. 37 00:05:50,470 --> 00:05:56,350 Nos va a quedar a 51 y el resto es 1. 38 00:06:01,470 --> 00:06:11,639 Bueno, como el resto es 1, pues el 1 aquí va a tener un papel importante. 39 00:06:11,639 --> 00:06:25,000 pero cuidado porque como es negativo, pues el menos 205 lo podemos poner como menos 51 veces el 4 menos 1. 40 00:06:28,250 --> 00:06:37,009 O sea, el 205 negativo es menos 51 veces 4 menos 1. 41 00:06:37,269 --> 00:06:41,449 Por tanto, esto va a ser igual que f de menos 1. 42 00:06:41,449 --> 00:06:50,589 Pero cuidado porque el menos 1 no es igual que el 1 43 00:06:50,589 --> 00:06:56,149 El menos 1 estaría aquí y la imagen del menos 1 es 1 44 00:06:56,149 --> 00:06:59,839 Pero también podríamos ver 45 00:06:59,839 --> 00:07:03,660 Vamos, la imagen del menos 1 es 1 46 00:07:03,660 --> 00:07:05,000 Ya sabemos que va a salir 1 47 00:07:05,000 --> 00:07:11,740 Pero también podríamos hacer una cosa y extraernoslo al primer tramo, digamos, pasado el 0 48 00:07:11,740 --> 00:07:14,939 ¿Cómo lo podemos hacer? Pues sumándole al 1 un periodo 49 00:07:14,939 --> 00:07:21,800 Le sumamos 4 y la imagen sería la misma, es decir, que va a ser lo mismo que f de 3. 50 00:07:22,420 --> 00:07:32,339 Y f de 3 también es 1, ¿vale? 51 00:07:35,639 --> 00:07:37,899 Porque si os fijáis estaría en el mismo sitio aquí. 52 00:07:39,800 --> 00:07:44,459 Bueno, pues así ya hemos sacado fácilmente lo que nos pedían, ¿no? 53 00:07:44,459 --> 00:08:03,360 El periodo, el F de 1, F de 2, también F de 74, F de 1023 y F de menos 205, que es también 1, ya que habríamos terminado.