1
00:00:00,300 --> 00:00:14,720
Vamos con el último ejercicio. Este ejercicio hemos hecho uno muy, muy similar en clase, evidentemente con otra función. Cuando nos piden los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, también tenemos que saber qué significan los extremos relativos.

2
00:00:14,720 --> 00:00:23,260
Los extremos relativos son al final los máximos y los mínimos que hay en esta función.

3
00:00:23,519 --> 00:00:34,340
Esta función vemos que es una función racional, porque está definida por un polinomio que es el numerador y otro polinomio que es el denominador.

4
00:00:34,780 --> 00:00:43,560
Lo primero que tenemos que ver para los intervalos de crecimiento y decrecimiento es estudiar el dominio de f de x.

5
00:00:43,560 --> 00:00:50,719
Entonces, para saber el dominio de f de x y hacer una función racional, tenemos que igualar a 0 el denominador.

6
00:00:50,899 --> 00:00:57,159
Es decir, nosotros tenemos que x cuadrado menos 6x más 9 es igual a 0.

7
00:00:57,500 --> 00:01:06,859
Si alguien se ha dado cuenta, esto es una identidad notable del tipo x menos 3, todo ello elevado al cuadrado.

8
00:01:06,859 --> 00:01:14,640
Por lo tanto, si lo igualamos a 0, el punto x igual a 3 es el único que me hace 0 el denominador.

9
00:01:14,939 --> 00:01:23,159
Eso implica que el dominio de f de x sea todos los reales menos el número 3.

10
00:01:23,620 --> 00:01:28,719
Por lo tanto, en x igual a 3 no hay función, no existe la función.

11
00:01:28,719 --> 00:01:36,799
Por lo tanto, no puede ser ningún intervalo de crecimiento y decrecimiento donde incluyamos el punto 3.

12
00:01:36,859 --> 00:01:44,780
Pero es que tampoco puede haber ningún máximo ni un mínimo en el punto 3 porque no está definida la función.

13
00:01:45,700 --> 00:01:51,840
Si no os dais cuenta, evidentemente, de esa identidad notable, hacéis esto, la ecuación de segundo grado.

14
00:01:51,939 --> 00:01:55,659
Venga, lo voy a hacer, pero es que no os quiero perder tiempo.

15
00:01:55,659 --> 00:02:06,219
Pero vemos aquí que precisamente esto es un 0, un 2, por lo tanto es una raíz 3 doble.

16
00:02:06,859 --> 00:02:11,099
¿De acuerdo? Entonces el 3 no pertenece al dominio.

17
00:02:11,699 --> 00:02:14,340
¿Cómo veo los intervalos de crecimiento y decrecimiento?

18
00:02:14,479 --> 00:02:17,180
Pues evidentemente haciendo la primera derivada.

19
00:02:17,180 --> 00:02:23,400
Y aquí la primera derivada lo único es la derivada de una fracción.

20
00:02:23,599 --> 00:02:30,300
Por lo tanto yo tengo que hacer la derivada del primero, es decir, la derivada de x, que es 1, por el segundo sin derivar.

21
00:02:30,300 --> 00:02:38,219
El segundo lo dejo tal cual, menos el primero sin derivar y la derivada del segundo.

22
00:02:38,300 --> 00:02:41,740
La derivada del segundo, si lo vemos, es 2x menos 6.

23
00:02:41,740 --> 00:02:51,180
Y todo ello lo dividimos por el denominador, pero al cuadrado.

24
00:02:51,639 --> 00:02:55,039
Aquí hay algunos que me habéis hecho barbaridad de esto.

25
00:02:55,280 --> 00:02:59,080
Ni lo hagáis, no hagáis el cuadrado de todo esto.

26
00:02:59,080 --> 00:03:07,520
Lo dejáis tal cual, porque a mí lo que me interesa en los intervalos de crecimiento y decrecimiento es precisamente el signo de esa derivada.

27
00:03:07,639 --> 00:03:17,439
Lo que quiero ver es que cuando el signo de la primera derivada es positivo, la primera derivada es mayor que cero, la función crece.

28
00:03:17,879 --> 00:03:27,580
Y cuando el signo de la primera derivada es negativo, es decir, f' es menor que cero, la función f decrece.

29
00:03:27,580 --> 00:03:40,520
Si yo esto lo desarrollo, que tengo x cuadrado menos 6x más 9, y esto de aquí que es menos 2x cuadrado, menos por menos más, más 6x.

30
00:03:41,960 --> 00:03:52,030
Todo ello lo divido, y de nuevo, no me complico la vida, más 9 al cuadrado.

31
00:03:52,030 --> 00:04:11,830
Esto es lo que ocurre, que aquí y aquí se me va, resulta que me queda menos x cuadrado más 9 partido de x cuadrado menos 6x más 9 al cuadrado.

32
00:04:11,830 --> 00:04:30,370
Esta es mi primera derivada. Tengo que hacer que la primera derivada sea igual a 0, por lo tanto, menos x cuadrado más 9 partido x cuadrado menos 6x más 9 al cuadrado es igual a 0.

33
00:04:30,370 --> 00:04:35,889
me queda que menos x cuadrado más 9 es igual a 0

34
00:04:35,889 --> 00:04:39,350
es decir que x cuadrado es igual a 9

35
00:04:39,350 --> 00:04:43,810
x es igual a más menos a raíz de 9

36
00:04:43,810 --> 00:04:46,230
x es igual a más menos 3

37
00:04:46,230 --> 00:04:50,550
tenemos que tener cuidado porque el 3 no pertenece al dominio

38
00:04:50,550 --> 00:04:53,410
el 3 no pertenece al dominio

39
00:04:53,410 --> 00:04:56,670
entonces yo siempre hago lo mismo ¿verdad?

40
00:04:56,670 --> 00:05:02,910
hago, me lo voy a llevar mejor a otra página nueva

41
00:05:02,910 --> 00:05:07,990
yo me hago aquí mi resta real

42
00:05:07,990 --> 00:05:11,709
veo que aquí tengo el menos 3

43
00:05:11,709 --> 00:05:13,829
tengo aquí el 3

44
00:05:13,829 --> 00:05:18,509
aquí pongo un circuito porque el 3 no pertenece al dominio

45
00:05:18,509 --> 00:05:23,230
con lo cual yo tengo aquí desde infinito a menos 3

46
00:05:23,230 --> 00:05:28,889
desde menos 3 a 3 y de 3 a más infinito

47
00:05:28,889 --> 00:05:30,470
¿qué es lo que ocurre?

48
00:05:30,470 --> 00:05:33,370
que fijaros que la primera derivada

49
00:05:33,370 --> 00:05:37,490
si no me equivoco mal es menos x cuadrado más 9

50
00:05:37,490 --> 00:05:45,889
partido x cuadrado menos 6x más 9 al cuadrado

51
00:05:45,889 --> 00:05:50,750
el denominador al estar al cuadrado siempre es positivo

52
00:05:50,750 --> 00:05:53,029
con lo cual lo que me va a marcar a mí

53
00:05:53,029 --> 00:05:59,769
el signo de la primera derivada está aquí en el numerador

54
00:05:59,769 --> 00:06:02,509
porque ese al estar al cuadrado siempre es positivo

55
00:06:02,509 --> 00:06:04,769
entonces ¿qué ocurre?

56
00:06:04,970 --> 00:06:08,029
porque yo aquí por ejemplo el 0 que está aquí

57
00:06:08,029 --> 00:06:11,449
¿cuánto vale f' de 0? que es lo más fácil

58
00:06:11,449 --> 00:06:15,449
pues aquí tengo que es 9 y abajo que es lo que tengo

59
00:06:15,449 --> 00:06:20,389
9 al cuadrado es decir yo tengo un noveno que es mayor que 0

60
00:06:20,389 --> 00:06:40,050
Por lo tanto, en todo este intervalo, la primera derivada, y aquí es muy importante, la primera derivada es 0. De hecho, todo esto de aquí me lo voy a llevar aquí. Es decir, la primera derivada en intervalo menos 3, 3 es positivo.

61
00:06:40,050 --> 00:07:01,339
¿Y eso qué significa? Que mi función aquí crece, es creciente. Vamos a irnos, por ejemplo, a f de menos 10, que está aquí, el menos 10. Este es el 0 y aquí el menos 10.

62
00:07:01,339 --> 00:07:07,199
esto que será, esto es menos 100 más 9

63
00:07:07,199 --> 00:07:11,379
y aquí me da igual lo que hay que es un número positivo

64
00:07:11,379 --> 00:07:16,040
lo que sí sé que esto da menos 81 entre positivo

65
00:07:16,040 --> 00:07:17,620
esto es menor que 0

66
00:07:17,620 --> 00:07:20,579
por lo tanto aquí es un valor menor que 0

67
00:07:20,579 --> 00:07:22,899
si lo queréis hacer con la calculadora lo hacéis

68
00:07:22,899 --> 00:07:24,899
y lo representáis

69
00:07:24,899 --> 00:07:27,279
pero es que esto también sería correcto

70
00:07:27,279 --> 00:07:30,300
y ahora me voy por ejemplo a f' de 10

71
00:07:30,300 --> 00:07:42,459
Y f' de 10 estamos en lo mismo, tengo menos 100 más 9 con algo que es positivo y esto es menos 81, entre algo positivo es menor que 0.

72
00:07:42,560 --> 00:07:49,480
Es decir, esto de aquí también es negativo.

73
00:07:49,839 --> 00:07:55,600
Por lo tanto, aquí la función decrece y aquí también la función decrece.

74
00:07:55,600 --> 00:08:01,300
Aquí es decreciente y aquí es creciente.

75
00:08:01,300 --> 00:08:17,379
¿Qué es lo que ocurre? Pues que yo ya tengo toda la información, daros cuenta que aquí, al pasar de decreciente a decreciente, ¿qué es lo que tengo aquí? Tengo aquí un mínimo, mínimo relativo.

76
00:08:17,379 --> 00:08:39,419
Y aquí en otras funciones al pasar de creciente a decreciente, perdón porque esto es de creciente, de al pasar de creciente a decreciente yo tendría un máximo, pero daros cuenta que al no pertenecer a la función pues yo aquí no tengo absolutamente nada.

77
00:08:39,419 --> 00:08:43,840
Entonces, mínimo relativo en x igual a menos 3.

78
00:08:44,259 --> 00:08:56,830
Entonces, recopilando la información, pues f de x crece en menos 3, 3.

79
00:08:57,350 --> 00:09:08,990
f de x decrece en menos infinito menos 3, unión 3 más infinito.

80
00:09:08,990 --> 00:09:13,029
y tenemos un mínimo relativo en menos 3.

81
00:09:13,110 --> 00:09:17,669
Cuando damos el relativo, tenemos que dar tanto la x como la y.

82
00:09:17,669 --> 00:09:30,559
Por lo tanto, vamos a hallar f, tenemos en 3, f de 3, tenemos un mínimo, un mínimo relativo.

83
00:09:32,570 --> 00:09:35,830
¿Cuánto vale f de 3? Pues lo hallamos.

84
00:09:35,830 --> 00:09:55,659
F de 3 es igual a 3 partido de 3 al cuadrado menos 6 por 3 más 9.

85
00:09:56,480 --> 00:09:58,460
F de menos 3, perdón, perdón, perdón.

86
00:10:00,629 --> 00:10:01,750
F de menos 3.

87
00:10:02,750 --> 00:10:04,009
Aquí F de menos 3.

88
00:10:04,470 --> 00:10:04,809
Perdón.

89
00:10:06,470 --> 00:10:08,490
Esto es infinito.

90
00:10:10,309 --> 00:10:25,480
f de x, entonces, en menos 3, f de menos 3, tenemos un mínimo relativo.

91
00:10:29,110 --> 00:10:44,750
¿Cuánto vale f de menos 3? Pues aquí tenemos menos 3, y aquí abajo es menos 3 al cuadrado, menos 6 por menos 3, más 9, ¿verdad?

92
00:10:44,750 --> 00:10:49,110
más 9, que esto da menos 3

93
00:10:49,110 --> 00:10:52,190
y esto es menos 3 al cuadrado que es 9

94
00:10:52,190 --> 00:10:55,950
más 18 más 9

95
00:10:55,950 --> 00:11:01,590
es 4 por 9, 36, menos 3 partido de 36

96
00:11:01,590 --> 00:11:04,509
que es menos 1 partido de 12, entonces

97
00:11:04,509 --> 00:11:09,950
en menos 3 menos 1 partido de 12

98
00:11:09,950 --> 00:11:11,250
tenemos

99
00:11:11,250 --> 00:11:18,240
un mínimo relativo

100
00:11:18,240 --> 00:11:21,740
y ya estaría el ejercicio

101
00:11:21,740 --> 00:11:24,159
yo creo que este ejercicio es súper fácil

102
00:11:24,159 --> 00:11:27,879
lo único que estaba el escollo del 3

103
00:11:27,879 --> 00:11:34,000
porque el 3 no pertenece al dominio de f de x

104
00:11:34,000 --> 00:11:36,899
yo creo que este ejercicio era un regalito