1
00:00:00,370 --> 00:00:15,570
Desde empezar os pregunto si alguien tiene algún inconveniente en que se haga la grabación y si es así, pues, si alguien tiene algún inconveniente de tener la grabación, sin ningún problema.

2
00:00:15,570 --> 00:00:32,609
Vale. Bueno, una vez dicho esto, por si no vinisteis en la clase el martes, la semana pasada sabéis que hubo huelga del profesorado, que yo la secundé y, claro, me estaba viendo a ver hasta qué punto os podía afectar.

3
00:00:32,609 --> 00:00:59,859
Yo este principio de curso programé la asignatura en once quincenas, resulta que son doce, esto ya creo que lo había comentado, con lo cual yo he decidido coger la semana anterior y pasarla a esta.

4
00:00:59,859 --> 00:01:02,560
y entonces nos sobraba una quincena

5
00:01:02,560 --> 00:01:04,319
y ahora nos sobrará una sesión que será

6
00:01:04,319 --> 00:01:06,400
una clase que dediquemos

7
00:01:06,400 --> 00:01:08,239
a que pasara el tema, ¿de acuerdo?

8
00:01:09,060 --> 00:01:10,739
Bueno, entonces, una vez

9
00:01:10,739 --> 00:01:12,700
dicho eso, creo que

10
00:01:12,700 --> 00:01:14,540
ya está compartida la pantalla, creo que

11
00:01:14,540 --> 00:01:16,239
ya está todo funcionando, ¿no?

12
00:01:18,640 --> 00:01:20,480
También, en la clase del martes

13
00:01:20,480 --> 00:01:21,980
sabéis que está grabada

14
00:01:21,980 --> 00:01:24,879
si no sabéis encontrarla, me lo decís

15
00:01:24,879 --> 00:01:26,260
creo que ya os lo he enseñado algún día

16
00:01:26,260 --> 00:01:28,040
esta clase es bastante

17
00:01:28,040 --> 00:01:35,760
larga, tiene bastante contenido. Entonces, os dije que la parte final, que es posición

18
00:01:35,760 --> 00:01:40,180
relativa de dos planos o de recta y plano, el otro día os di la de recta y plano, la

19
00:01:40,180 --> 00:01:47,959
de posición relativa entre dos o tres planos y hoy, si no da tiempo, voy a priorizar la

20
00:01:47,959 --> 00:01:54,400
posición relativa de plano y recta para que tengáis todo aunque sea en diferido.

21
00:01:54,400 --> 00:02:11,120
Bueno, vamos a ver. El otro día vimos lo que era la ecuación de una recta. Los datos que necesitéis para dar una recta, los tradicionales, es dar dos puntos. Pero sabemos que para hacer la ecuación paramétrica necesitamos un punto inverso.

22
00:02:11,120 --> 00:02:14,419
en el plano es distinto

23
00:02:14,419 --> 00:02:16,439
y voy a empezar no dando

24
00:02:16,439 --> 00:02:18,439
la dirección del plano, porque un plano

25
00:02:18,439 --> 00:02:19,740
tiene muchas direcciones

26
00:02:19,740 --> 00:02:22,280
pero un plano solo tiene

27
00:02:22,280 --> 00:02:24,719
en el espacio solo tiene un vector

28
00:02:24,719 --> 00:02:26,500
perpendicular, él y

29
00:02:26,500 --> 00:02:28,240
todos sus proporcionales

30
00:02:28,240 --> 00:02:30,479
entonces, si yo

31
00:02:30,479 --> 00:02:31,280
tengo un plano

32
00:02:31,280 --> 00:02:40,939
a ver, que tengo demasiadas cosas

33
00:02:40,939 --> 00:02:45,969
bueno

34
00:02:45,969 --> 00:02:46,909
vamos a

35
00:02:46,909 --> 00:02:49,449
que a mí me dan

36
00:02:49,449 --> 00:03:32,770
Un punto, un punto A. Y un vector, voy a ponerlo así para que el dibujo quede más sencillo, vector perpendicular. Hay muchos planos que son perpendiculares a este vector, pero solamente uno de ellos pasa por A.

37
00:03:32,770 --> 00:03:35,789
entonces como veis

38
00:03:35,789 --> 00:03:38,169
si yo quiero dar un plano

39
00:03:38,169 --> 00:03:40,990
los planos se suelen escribir con letras griegas

40
00:03:40,990 --> 00:03:42,810
se suele poner mucho el pi

41
00:03:42,810 --> 00:03:44,229
porque es la p de los griegos

42
00:03:44,229 --> 00:03:45,909
pero también se utiliza la alfa

43
00:03:45,909 --> 00:03:47,449
la beta, la gamma

44
00:03:47,449 --> 00:03:51,189
los datos que necesito

45
00:03:51,189 --> 00:03:51,870
son

46
00:03:51,870 --> 00:03:54,069
un punto

47
00:03:54,069 --> 00:03:58,800
y un vector perpendicular

48
00:03:58,800 --> 00:03:59,840
o normal

49
00:03:59,840 --> 00:04:02,000
en inglés se llama normal

50
00:04:02,000 --> 00:04:03,180
por eso lo he llamado

51
00:04:03,180 --> 00:04:05,039
n

52
00:04:05,039 --> 00:04:10,699
que se llama

53
00:04:10,699 --> 00:04:14,580
la primera idea es esa

54
00:04:14,580 --> 00:04:15,599
la primera idea de

55
00:04:15,599 --> 00:04:18,439
y en general en todo este

56
00:04:18,439 --> 00:04:20,639
tema tenéis que

57
00:04:20,639 --> 00:04:22,519
pensar cuando os dan una

58
00:04:22,519 --> 00:04:24,519
recta o un plano, que datos

59
00:04:24,519 --> 00:04:26,180
necesitáis para calcular

60
00:04:26,180 --> 00:04:30,560
esto es la idea geométrica

61
00:04:30,560 --> 00:04:32,399
que siempre

62
00:04:32,399 --> 00:04:34,439
es bueno basarse en

63
00:04:34,439 --> 00:04:43,420
un esquema y ahora vamos a ver cómo se lleva esto a la práctica. Vamos a calcular la ecuación

64
00:04:43,420 --> 00:04:48,939
del plano que pasa por este punto A y es perpendicular a este vector. Lo que os acabo de decir con

65
00:04:48,939 --> 00:05:02,319
cuentas. Para entender esto, insisto, este tema está muy dado que hagáis a presumir.

66
00:05:02,319 --> 00:05:03,240
¿no?

67
00:05:03,439 --> 00:05:06,160
por ejemplo, esto es un ejercicio

68
00:05:06,160 --> 00:05:07,220
típico, tipo de

69
00:05:07,220 --> 00:05:08,759
el paso

70
00:05:08,759 --> 00:05:11,920
entonces, queremos calcular

71
00:05:11,920 --> 00:05:13,980
un plano que pasa

72
00:05:13,980 --> 00:05:15,800
o sea, que contiene un punto A

73
00:05:15,800 --> 00:05:18,220
y que es perpendicular a un vector A

74
00:05:18,220 --> 00:05:24,649
pues si yo tengo

75
00:05:24,649 --> 00:05:27,110
cualquier punto de este plano

76
00:05:27,110 --> 00:05:28,870
por ejemplo este

77
00:05:28,870 --> 00:05:29,569
¿sí?

78
00:05:30,790 --> 00:05:32,889
este punto lo llamo

79
00:05:32,889 --> 00:05:34,990
P y tiene

80
00:05:34,990 --> 00:05:36,430
coordenadas X y Z

81
00:05:36,430 --> 00:05:42,209
esto es lo que se llama el punto genérico, ¿qué tiene que ocurrir para que este punto esté en este plano?

82
00:05:42,290 --> 00:05:47,410
¿Qué tiene que ocurrir con estos dos vectores? Que sean perpendiculares, ¿no?

83
00:05:47,649 --> 00:05:52,709
Supongo que sabes que el signo de perpendicular es este, ¿no? Es como un cuadradito con el punto en medio, ¿sí?

84
00:05:52,709 --> 00:06:17,029
O sea que el vector AP, el vector AP y el vector N son perpendiculares. Esto equivale a decir que su producto escalar es cero.

85
00:06:17,769 --> 00:06:24,149
Si no lo recordáis esto, os recomiendo, buscad el resumen del tema anterior,

86
00:06:24,689 --> 00:06:27,730
porque esto es una de las cosas que tenéis que saber sí o sí.

87
00:06:29,740 --> 00:06:33,360
Otra cosa, ¿cuál es el vector AP? ¿Cómo se calcula el vector AP?

88
00:06:35,870 --> 00:06:39,529
Restando las coordenadas de P menos las de A.

89
00:06:39,529 --> 00:06:47,850
O sea, sería x menos 2, y menos menos 1, que es y más 1, y z menos 0.

90
00:06:47,850 --> 00:06:51,230
No hace falta ponerlo, pero lo pongo para que...

91
00:06:51,230 --> 00:07:06,889
Entonces, esta condición es que x menos 2, y más 1, z menos 0, voy a quitar de la rata, z menos 0.

92
00:07:08,370 --> 00:07:14,790
Producto escalar 2, 0, 3, sea igual a 0.

93
00:07:14,790 --> 00:07:20,470
Entonces, si no lo recordáis, lo apuntáis en vuestro hoja de resumen

94
00:07:20,470 --> 00:07:25,930
El producto escalar de dos vectores consiste en multiplicar componente con componente

95
00:07:25,930 --> 00:07:34,209
La x con la x más 0 por i más 1 más 3 por z

96
00:07:34,209 --> 00:07:38,689
Esto nos queda en una ecuación y esa es la ecuación de ese plano

97
00:07:38,689 --> 00:07:44,449
Que lo llamo pi, recordad que las tres rayitas indican que el plano tiene esa ecuación

98
00:07:44,790 --> 00:07:51,949
Y luego, lo que generalmente se hace es operar.

99
00:07:52,889 --> 00:07:58,430
2x menos 2, esto vale 0, más 3z igual a 0.

100
00:07:58,870 --> 00:08:01,790
Y generalmente se deja ordenado.

101
00:08:02,430 --> 00:08:05,829
Primero la x, luego la y, que no hay.

102
00:08:06,610 --> 00:08:13,300
Yo os recomiendo que dejéis un pequeño espacio y luego el término independiente que es 0.

103
00:08:15,370 --> 00:08:20,610
Como veis, un plano tiene solo una ecuación general o implícita.

104
00:08:20,709 --> 00:08:22,850
Esta es la ecuación general o implícita.

105
00:08:28,540 --> 00:08:30,360
Una cosa que quiero que veáis.

106
00:08:33,019 --> 00:08:35,720
Creo que son menos 4 y no menos 2.

107
00:08:36,159 --> 00:08:37,779
Sí, tienes razón. Sí, muchas veces.

108
00:08:38,220 --> 00:08:39,720
Es 2 por 2 menos 4.

109
00:08:41,240 --> 00:08:43,440
Aquí es menos 4 y aquí es menos 4.

110
00:08:43,440 --> 00:08:43,840
Sí.

111
00:08:44,440 --> 00:08:44,700
Vale.

112
00:08:46,360 --> 00:08:46,840
Sí.

113
00:08:47,860 --> 00:08:51,059
Bueno, una cosa que os comentaba el otro día que me parece interesante.

114
00:08:51,200 --> 00:09:10,320
Y a cuenta de lo que dice vuestra compañera, porque me he equivocado, si vosotros sustituís el punto en el plano tiene que salir 2 por 2, 4. 3 por menos 1, la y vale menos 1 pero no está aquí.

115
00:09:10,320 --> 00:09:13,659
sería 3 por 0

116
00:09:13,659 --> 00:09:15,519
que es 0, 4 menos 4 es 0

117
00:09:15,519 --> 00:09:17,860
se cumple la ecuación, eso podéis comprobarlo

118
00:09:17,860 --> 00:09:19,860
eso lo haré algunas veces

119
00:09:19,860 --> 00:09:21,120
y creo que es práctico

120
00:09:21,120 --> 00:09:23,440
pero que veáis

121
00:09:23,440 --> 00:09:26,200
que si os dan la ecuación de un plano

122
00:09:26,200 --> 00:09:30,080
claro

123
00:09:30,080 --> 00:09:32,179
cada vez que hagáis una cosa de estas

124
00:09:32,179 --> 00:09:34,500
tenemos que sacar el mayor partido

125
00:09:34,500 --> 00:09:36,340
posible, si yo tengo

126
00:09:36,340 --> 00:09:37,519
la ecuación de un plano

127
00:09:37,519 --> 00:09:40,059
os fijéis que estos son los coeficientes

128
00:09:40,059 --> 00:09:41,240
del vector perpendicular

129
00:09:41,240 --> 00:09:43,279
¿no? Entonces

130
00:09:43,279 --> 00:09:45,120
los coeficientes del vector

131
00:09:45,120 --> 00:09:47,460
perpendicular

132
00:09:47,460 --> 00:09:52,580
son las

133
00:09:52,580 --> 00:09:54,799
coordenadas, perdón, son A, B

134
00:09:54,799 --> 00:09:56,480
y C. Esto

135
00:09:56,480 --> 00:09:58,620
para vuestro resumen debería

136
00:09:58,620 --> 00:10:00,039
estar colocado.

137
00:10:00,360 --> 00:10:02,580
Son cosas básicas que a la hora de hacer

138
00:10:02,580 --> 00:10:04,879
cálculos, pues si las tenéis en mente

139
00:10:04,879 --> 00:10:06,840
¿no? Cuando estoy repasando

140
00:10:06,840 --> 00:10:08,620
un examen, pues a veces es decir

141
00:10:08,620 --> 00:10:10,379
bueno, ¿cómo se opera?

142
00:10:10,659 --> 00:10:12,860
¿Cómo se hacen las cosas? Pues estas pequeñas

143
00:10:12,860 --> 00:10:20,019
No las llamaría recetillas, pero vamos, estos pequeños trucos pues son bastante confiables, ¿vale?

144
00:10:20,720 --> 00:10:25,480
Bueno, no es lo más habitual la del vector perpendicular.

145
00:10:26,580 --> 00:10:32,620
Para dar un plano, generalmente se da un punto y dos vectores.

146
00:10:34,559 --> 00:10:42,440
Vamos allá.

147
00:10:43,539 --> 00:10:44,039
Vamos allá.

148
00:10:44,039 --> 00:10:52,419
Entonces, vamos a ver cómo se llega a las ecuaciones paramétricas con un punto y dos vectores.

149
00:10:52,419 --> 00:11:04,009
A ver, si yo tengo un punto A y tengo dos vectores U y U, pone aquí que no pueden ser proporcionales.

150
00:11:04,049 --> 00:11:10,509
¿Por qué? Porque si los vectores son proporcionales tienen la misma dirección y esto no me va a determinar un plano.

151
00:11:10,509 --> 00:11:13,809
entonces tengo que dibujar un vector

152
00:11:13,809 --> 00:11:15,769
que no sea proporcional al anterior

153
00:11:15,769 --> 00:11:20,389
entonces yo tengo el plano que forma

154
00:11:20,389 --> 00:11:23,090
y de nuevo

155
00:11:23,090 --> 00:11:25,090
si tengo un punto

156
00:11:25,090 --> 00:11:28,870
el plano, ese punto

157
00:11:28,870 --> 00:11:32,210
es combinación lineal

158
00:11:32,210 --> 00:11:36,179
voy a pintar aquí el punto

159
00:11:36,179 --> 00:11:37,679
voy a pintar un punto gordo

160
00:11:37,679 --> 00:11:39,379
de u y de v

161
00:11:39,379 --> 00:11:54,320
O sea, este es el punto genérico X y Z. O sea, que el punto P es la suma del punto A con una combinación lineal de 1.

162
00:11:54,320 --> 00:12:12,299
¿Cómo se escribe esto entonces? El punto A supongamos que tiene coordenadas ABC y los vectores tienen coordenadas 1, 2 y 3 y v1, v2, v3 respectivamente.

163
00:12:12,299 --> 00:12:21,519
Bueno, pues es muy parecida a la ecuación de la recta, pero, o sea, el punto es el mismo.

164
00:12:25,519 --> 00:12:28,580
Ahora tengo que poner más un múltiplo de u.

165
00:12:29,919 --> 00:12:38,039
Un múltiplo de u sería u1, u2, u3, más un múltiplo de u.

166
00:12:38,039 --> 00:13:07,370
Como veis, es como la programática, es una recta, pero añadiendo otro vector que nos desplaza el punto hacia otro lado. Esto es como un juego de fuerzas y que A no tiene por qué ir por la dirección de U ni por la de V, sino que puede ir por una que tiene un entre las dos.

167
00:13:07,370 --> 00:13:26,580
Si hacéis las operaciones, creo que ya lo hemos hecho suficientes veces para hacerlo directamente, yo sé que X es igual a A más lambda por U1 más beta por V1.

168
00:13:26,580 --> 00:13:57,480
La primera coordenada igual a la suma de las primeras coordenadas. La Y es B más lambda por U2 más beta por V2. Y la Z es C más lambda por U3 más beta por V3.

169
00:13:57,480 --> 00:14:09,500
De tal forma, por eso no me detengo tanto, porque esto en la recta lo habíamos visto, cuando nos dan las paramétricas, este es el punto.

170
00:14:14,110 --> 00:14:22,409
Los números que multiplican al primer parámetro nos dan el primer vector, el vector u.

171
00:14:22,830 --> 00:14:27,610
Y los números que multiplican al segundo parámetro nos dan el segundo vector.

172
00:14:30,279 --> 00:14:34,620
Como veis, estas son las ecuaciones paramétricas.

173
00:14:34,620 --> 00:14:49,840
Cada vez que estoy haciendo un ejercicio de estos, os estoy diciendo cómo se va de los datos a la ecuación y cómo de la ecuación se pueden sacar los datos.

174
00:14:51,039 --> 00:14:55,919
Esto, en nuestro resumen, creo que sería bueno que lo tuvierais claro.

175
00:14:56,639 --> 00:14:59,919
Y ahora, ¿cómo se calcula la ecuación general?

176
00:15:00,679 --> 00:15:04,000
La forma más fácil de calcularlo es diciendo.

177
00:15:04,000 --> 00:15:05,360
Esto se ve aquí.

178
00:15:05,360 --> 00:15:17,929
Aquí se ve que el vector AP es combinación lineal de U y V.

179
00:15:19,169 --> 00:15:22,149
Se ve aquí en el gráfico un paralelogramo que hay.

180
00:15:22,929 --> 00:15:24,590
¿Qué quiere decir eso?

181
00:15:24,590 --> 00:15:38,009
Que el rango de la matriz que forma el vector AP U y V doble es 2.

182
00:15:38,370 --> 00:15:44,549
Yo sabía que como mínimo eras un 2 porque estos dos son generalmente independientes, ¿no?

183
00:15:44,970 --> 00:15:54,110
Entonces, para que este rango sea 2, el determinante que forman tiene que ser oro, ¿no?

184
00:15:54,110 --> 00:15:57,929
Combinación lineal, si hay tres vectores generalmente independientes,

185
00:15:57,929 --> 00:16:05,309
si son tres en el espacio, nos queda una matriz 3x3 y ese determinante tiene que ser 0.

186
00:16:05,309 --> 00:16:36,740
En este caso el vector AP, recordad que el punto A tiene coordenadas ABC, el punto P es el punto genérico X y Z, pues pondría X menos A, Y menos B, Z menos C, Z menos C, tomo las coordenadas U1, U2, U3 y las coordenadas V1, V2, V3.

187
00:16:36,740 --> 00:16:39,679
lo igualo a cero y esto me quedará

188
00:16:39,679 --> 00:16:40,980
la ecuación de un plano

189
00:16:40,980 --> 00:16:45,950
esto en teórico

190
00:16:45,950 --> 00:16:48,389
porque aquí no se ve nada

191
00:16:48,389 --> 00:16:50,490
vamos a ver con algún

192
00:16:50,490 --> 00:16:50,889
dato

193
00:16:50,889 --> 00:16:53,570
cómo se hace esto

194
00:16:53,570 --> 00:17:05,359
vamos a hacerlo con esto

195
00:17:05,359 --> 00:17:08,140
y bueno, voy a hacer un poquitín

196
00:17:08,140 --> 00:17:08,420
más

197
00:17:08,420 --> 00:17:11,039
porque

198
00:17:11,039 --> 00:17:13,859
creo que es interesante, ya que os digo que

199
00:17:13,859 --> 00:17:16,519
vamos a hacer las cosas

200
00:17:16,519 --> 00:17:18,640
más o menos que veamos un poquito

201
00:17:18,640 --> 00:17:19,960
de variedad. A ver.

202
00:17:20,980 --> 00:17:23,019
Dice, haya las ecuaciones paramétricas

203
00:17:23,019 --> 00:17:24,759
del plano que pasa por tres

204
00:17:24,759 --> 00:17:25,359
puntos.

205
00:17:26,640 --> 00:17:28,940
Estos tres puntos se supone

206
00:17:28,940 --> 00:17:30,599
que no están alineados.

207
00:17:31,619 --> 00:17:33,119
Si están alineados

208
00:17:33,119 --> 00:17:34,900
nos va a salir una ecuación

209
00:17:34,900 --> 00:17:36,720
cero igual a cero, que lo sepáis

210
00:17:36,720 --> 00:17:38,859
que va a salir una cosa que no

211
00:17:38,859 --> 00:17:39,460
tiene sentido.

212
00:17:41,160 --> 00:17:42,359
Supongo que sabéis

213
00:17:42,359 --> 00:18:03,339
Que las sillas más estables son las que tienen tres patas, ¿no? Nunca cojean. ¿Sabéis por qué? Porque por tres planos solo pasa un punto. Solo se supone que es plano, ¿no? Lo digo por curiosidad, ¿no? Por tres puntos no alineados, ¿no? Las patas de una silla no están alineadas, ¿no?

214
00:18:03,339 --> 00:18:15,079
Entonces yo tengo tres puntos A, B y C y yo necesito o un punto y un vector perpendicular o un punto y dos vectores.

215
00:18:15,079 --> 00:18:24,920
Yo creo que está claro que lo más fácil en este caso es utilizar como datos un punto que es el A

216
00:18:24,920 --> 00:18:34,740
y los vectores, pues el U sería el vector AB, por ejemplo, y el V sería el vector AC.

217
00:18:36,319 --> 00:18:39,319
Podríais coger otras combinaciones, pero bueno, vamos a esta vez, ¿no?

218
00:18:39,319 --> 00:18:43,059
entonces dice ecuaciones paramétricas

219
00:18:43,059 --> 00:18:45,079
pues vamos a ver, el vector A B

220
00:18:45,079 --> 00:18:51,809
el vector A B es el B menos A

221
00:18:51,809 --> 00:18:54,869
os lo voy a indicar

222
00:18:54,869 --> 00:18:57,390
1 menos 1, aunque esto ya

223
00:18:57,390 --> 00:18:58,650
1 menos 2

224
00:18:58,650 --> 00:19:05,210
y menos 1 menos 0, o sea que este es el vector

225
00:19:05,210 --> 00:19:07,809
0 menos 1

226
00:19:07,809 --> 00:19:09,349
menos 1

227
00:19:09,349 --> 00:19:12,730
y el vector hace

228
00:19:12,730 --> 00:19:32,609
Ya lo voy a hacer directamente. 3 menos 1, 2. 2 menos 2, 0. Y 1 menos 0, 1. A mí me gusta poner encima de los vectores esto porque si son puntos me hago un lío.

229
00:19:32,609 --> 00:19:50,549
Si no queréis hacerlo, no pasa nada. Bueno, pues el plano pi, sus ecuaciones paramétricas son, como pasa por el punto 1, 2, 0, pues 1, perdón, pongo x igual, y igual, z igual.

230
00:19:50,549 --> 00:19:52,769
el punto es el 1, 2, 0

231
00:19:52,769 --> 00:19:54,369
pues pongo 1, 2

232
00:19:54,369 --> 00:19:56,329
y aquí si queréis pongo el 0

233
00:19:56,329 --> 00:19:58,349
y si no, no lo voy a poner para que lo veáis aquí

234
00:19:58,349 --> 00:19:59,730
ahora

235
00:19:59,730 --> 00:20:02,849
vector, director, 0, menos 1, menos 1

236
00:20:02,849 --> 00:20:04,410
pues aquí sería

237
00:20:04,410 --> 00:20:06,529
más 0 por

238
00:20:06,529 --> 00:20:07,549
t, por ejemplo

239
00:20:07,549 --> 00:20:10,250
porque yo sé que lambda y beta

240
00:20:10,250 --> 00:20:11,569
se hacen diversos, ¿no?

241
00:20:11,930 --> 00:20:12,690
pues 0, t

242
00:20:12,690 --> 00:20:14,690
más

243
00:20:14,690 --> 00:20:17,869
bueno, aquí sería

244
00:20:17,869 --> 00:20:19,170
menos 1, t

245
00:20:19,170 --> 00:20:23,450
menos 1T

246
00:20:23,450 --> 00:20:24,329
¿y qué más?

247
00:20:24,589 --> 00:20:26,609
y menos 1T

248
00:20:26,609 --> 00:20:29,289
y el otro parámetro

249
00:20:29,289 --> 00:20:31,450
que nos da el vector 2, 0, 1

250
00:20:31,450 --> 00:20:33,329
más 2S

251
00:20:33,329 --> 00:20:34,009
por ejemplo

252
00:20:34,009 --> 00:20:36,130
más 0S

253
00:20:36,130 --> 00:20:38,450
más 1S

254
00:20:38,450 --> 00:20:41,670
esto, lo normal

255
00:20:41,670 --> 00:20:43,430
es que lo

256
00:20:43,430 --> 00:20:45,730
quitemos, esto, esto y esto

257
00:20:45,730 --> 00:20:47,910
yo lo que sí que pondría en columnas

258
00:20:47,910 --> 00:20:49,450
esto para cuando necesite

259
00:20:49,450 --> 00:20:50,349
¿vale?

260
00:20:51,569 --> 00:20:56,769
Bueno, estas serían las paramétricas, que es lo que nos piden en ese ejercicio.

261
00:20:57,210 --> 00:21:02,190
Pero voy a hacer un poquito más, ya que estamos aquí, cómo se calcula la ecuación general.

262
00:21:04,480 --> 00:21:09,200
A mí esta me gusta calcularla porque además aquí se comprueba si está bien o no está bien.

263
00:21:09,700 --> 00:21:19,450
Os recuerdo, hacéis el determinante x menos a y menos b, z menos c, que z es cero.

264
00:21:19,450 --> 00:21:41,279
Y los vectores directores que ya los he calculado. 0, menos 1, menos 1 y 2, 0. Entonces calculáis el determinante. Esto sale menos x menos 1. Este sale menos 2 por y menos 2. Este sale 0 por 0 por z. No lo pongo.

265
00:21:41,279 --> 00:22:03,859
Luego saldría menos 2, pero como se cambia de signo, más 2 por z, este sale 0 y el otro sale 0, ¿no? Bueno, entonces, quito paréntesis y me sale menos x más 1 menos 2y más 4 más 2z igual a 0.

266
00:22:03,859 --> 00:22:19,140
Y conviene ordenarlo. Menos x menos 2y más 2z. Y ahora sería 1 más 4, que es 5, igual a 0.

267
00:22:19,400 --> 00:22:23,440
Bueno, pues esta es la ecuación general de ese plano que llamo pi.

268
00:22:25,589 --> 00:22:29,789
Como hacía el martes pasado, a mí me gusta hacer la comprobación.

269
00:22:30,190 --> 00:22:33,430
¿Cuál es el punto que os gusta más? ¿El b o el c?

270
00:22:33,430 --> 00:22:58,490
El b. Bueno, pues esta ecuación la tienen que cumplir los tres puntos. Como una compañera vuestra ha dicho del b, la hacemos con el b. Menos x sería menos uno. Menos uno, menos dos, menos tres. Ahora, dos por menos uno, menos dos, menos tres, menos dos, menos cinco, más cinco, cero. Parece que está bien, ¿no?

271
00:22:59,230 --> 00:23:02,210
Más cosas, más cosas.

272
00:23:02,750 --> 00:23:05,809
¿Cuál es el vector perpendicular a este plano?

273
00:23:08,740 --> 00:23:13,240
Es el menos uno, menos dos, dos.

274
00:23:14,539 --> 00:23:16,960
¿Vale? O sea, de aquí sacamos muchas cosas.

275
00:23:17,180 --> 00:23:19,079
Esto por curiosidad, ¿no?

276
00:23:19,079 --> 00:23:25,019
O sea, que veáis cómo se pueden exprimir todos los datos a partir de unos poquitos que nos dan,

277
00:23:25,180 --> 00:23:27,400
que eran tres puntos que nos habían dado al principio.

278
00:23:27,400 --> 00:23:45,559
Vale. Bueno, la siguiente parte es sencilla y, en mi opinión, os permite entender un poquito lo que son los sistemas de ecuaciones. A ver, nos dice, ¿cómo se pasa de paramétricas a ecuación general?

279
00:23:45,559 --> 00:24:08,019
¿Sí? Bueno, este no voy a hacerlo exactamente. Si yo iba a saberlo, no hubiera hecho el otro completo. A ver, simplemente, calcula la ecuación general de este plano.

280
00:24:08,019 --> 00:24:38,599
¿No? Bueno, ¿qué hay aquí? A mí esto me confunde un poquito porque no se ve bien. Yo aquí pondría 5 más 3T. ¿Está enchufado? Perdón, problema del directo. Ya podemos ver.

281
00:24:38,599 --> 00:24:56,240
Bueno, esto lo coloco aquí, 3t menos 2s. Aquí pongo debajo de la t pongo la t y debajo de la s pongo la s. Y aquí es menos 1 menos t menos 4s, ¿no?

282
00:24:56,240 --> 00:25:22,279
Entonces, yo sé de aquí que un punto es el 5, 0, menos 1, y que los vectores directores son el 3, 1, menos 1, y este otro vector será el menos 2, menos 1, menos 4.

283
00:25:22,279 --> 00:25:25,500
entonces, no voy a hacer las cuentas

284
00:25:25,500 --> 00:25:31,920
os voy a poner que hagáis las cuentas

285
00:25:31,920 --> 00:25:34,900
simplemente os voy a decir

286
00:25:34,900 --> 00:25:38,039
que para hacer la ecuación general de ese plano pi

287
00:25:38,039 --> 00:25:41,220
en algunos sitios, en vez de tres rayitas

288
00:25:41,220 --> 00:25:42,720
ponen dos puntos, es lo mismo

289
00:25:42,720 --> 00:25:44,720
tengo que hacer el determinante

290
00:25:44,720 --> 00:25:46,460
x menos 5

291
00:25:46,460 --> 00:25:49,299
le estoy restando este punto

292
00:25:49,299 --> 00:25:50,319
y menos 0

293
00:25:50,319 --> 00:25:54,450
y aquí

294
00:25:54,450 --> 00:25:56,829
hago menos 2

295
00:25:56,829 --> 00:25:58,470
menos 1, 4

296
00:25:58,470 --> 00:26:00,630
aquí 3, 1

297
00:26:00,630 --> 00:26:02,589
menos 1 y que no se os olvide

298
00:26:02,589 --> 00:26:04,670
igual a 0, porque si no pones un

299
00:26:04,670 --> 00:26:05,970
igual no hay ecuación

300
00:26:05,970 --> 00:26:10,259
esto es como pasar de paramétricas

301
00:26:10,259 --> 00:26:10,920
a

302
00:26:10,920 --> 00:26:13,079
general o implícita

303
00:26:13,079 --> 00:26:18,519
que muchos profesores

304
00:26:18,519 --> 00:26:20,039
o no lo explican

305
00:26:20,039 --> 00:26:22,039
o ya lo hacen sobre ejercicios hechos

306
00:26:22,039 --> 00:26:26,059
esto me parece muy interesante hacerlo

307
00:26:26,059 --> 00:26:28,980
porque las cuentas son muy sencillitas

308
00:26:28,980 --> 00:26:30,160
y la idea es muy tonta

309
00:26:30,160 --> 00:26:34,380
pero esto es un sistema

310
00:26:34,380 --> 00:26:38,420
de una ecuación y tres incógnitas

311
00:26:38,420 --> 00:26:42,420
esto está escalonado porque no se puede hacer ningún escalón

312
00:26:42,420 --> 00:26:45,740
entonces si yo quiero resolver esto

313
00:26:45,740 --> 00:26:49,059
solo puedo despejar una incógnita

314
00:26:49,059 --> 00:26:50,420
¿cuál queréis que despejemos?

315
00:26:50,420 --> 00:27:21,769
La x, por ejemplo. La x es... Bueno, pongo 3x es igual a... Voy a hacerlo aquí. A ver, voy a hacerlo. 3x es igual a 7 menos 4y menos 12z. Lo hago en el orden que quiero.

316
00:27:21,769 --> 00:27:39,269
Lo hago así porque quiero que me salga la paramétrica. Entonces, ¿de aquí qué me sale? X es igual a 7 tercios menos 4 tercios por Y menos 12 tercios, que es 4Z.

317
00:27:45,500 --> 00:27:47,940
¿Qué pasa con la I y con la Z?

318
00:27:48,359 --> 00:27:51,859
Que no puedo despejarlas porque solo hay una ecuación.

319
00:27:52,740 --> 00:27:59,960
Esto tiene rango 1, solo hay una ecuación, hay tres incógnitas, depende de 3 menos 1, que son dos parámetros.

320
00:28:02,829 --> 00:28:03,170
Ya está.

321
00:28:03,730 --> 00:28:08,990
Pasar de general a implícita, a paramétrica, es rapidísimo.

322
00:28:08,990 --> 00:28:13,029
Y además, a veces necesito tener datos.

323
00:28:13,029 --> 00:28:34,210
Yo sé que un punto de este plano es el 7 tercios, 0, 0, y que los vectores directores son u, que es menos 4 tercios, 1, 0, v, que es menos 4, 0, 1.

324
00:28:34,210 --> 00:29:04,089
Y una cosa importante, yo un número no lo puedo multiplicar, un número no lo puedo mover, pero si este vector no me gusta, este otro vector es proporcional, con lo cual para hacer cuentas es mejor colocar un vector multiplicando este por 3, me queda menos 4, 3, 0, por si quiero utilizar ese vector en algún momento.

325
00:29:04,089 --> 00:29:24,920
Es mucho más fácil operar con un vector proporcional cuyas coordenadas no tenemos. Esto, si no me equivoco, lo vimos el otro día tal cual y continuamos.

326
00:29:24,920 --> 00:29:49,359
Bueno, otras determinaciones del plano. Esto os lo doy por encima para que lo veáis. Bueno, la primera ya la hemos hecho. El plano que pasa por tres puntos. El plano que pasa por tres puntos es, coger, tengo tres puntos que no están alineados, por supuesto, y tengo un punto y dos vectores.

327
00:29:49,359 --> 00:29:53,900
Estos son los datos que tenéis que utilizar

328
00:29:53,900 --> 00:29:55,539
Ahora, otro tipo

329
00:29:55,539 --> 00:29:58,619
Plano que contiene a una recta y un punto exterior

330
00:29:58,619 --> 00:30:02,680
O sea, plano que contiene a una recta y a un punto exterior

331
00:30:02,680 --> 00:30:04,319
O sea, sería como este plano

332
00:30:04,319 --> 00:30:08,799
Bueno, no he sido muy afortunado esto

333
00:30:08,799 --> 00:30:11,900
A ver, lo voy a hacer así

334
00:30:11,900 --> 00:30:15,039
Así parece que está contenido porque esto parece bueno

335
00:30:15,039 --> 00:30:19,859
Y los dibujos 3D sabéis que pueden crear confusión, ¿no?

336
00:30:20,420 --> 00:30:23,279
Bueno, ¿qué datos puedo sacar de una recta?

337
00:30:24,579 --> 00:30:27,359
Un punto y un vector, ¿no?

338
00:30:29,660 --> 00:30:34,299
Yo necesito un punto y dos vectores que no sean proporcionales.

339
00:30:34,380 --> 00:30:35,819
Pues este y este, ¿no?

340
00:30:35,819 --> 00:30:45,779
O sea, los datos que uso siempre necesito un punto y dos vectores, el punto A, el vector V y el vector AP.

341
00:30:45,779 --> 00:30:53,400
Otro caso, plano que contiene a dos rectas paralelas

342
00:30:53,400 --> 00:30:58,200
Si dos rectas son paralelas, están en el mismo plano

343
00:30:58,200 --> 00:30:59,460
¿Verdad?

344
00:31:00,460 --> 00:31:03,940
Vamos, hay un plano que las contiene, R y S

345
00:31:03,940 --> 00:31:07,480
¿Sí? Este plano

346
00:31:07,480 --> 00:31:11,180
Yo de aquí puedo sacar un punto y un vector

347
00:31:11,180 --> 00:31:13,700
Esto se supone que lo vimos el otro día

348
00:31:13,700 --> 00:31:17,940
Puedo sacar de la otra recta un punto y otro vector

349
00:31:17,940 --> 00:31:22,380
yo puedo tomar, puedo coger como datos

350
00:31:22,380 --> 00:31:25,519
pues el punto, ¿cuál preferís? ¿el A o el B?

351
00:31:26,460 --> 00:31:30,019
el A, puedo coger un vector que es el U

352
00:31:30,019 --> 00:31:32,539
pero ¿puedo coger el V?

353
00:31:33,920 --> 00:31:36,559
no, porque tiene la misma dirección que U

354
00:31:36,559 --> 00:31:40,779
y para dar un plano necesito un punto y dos vectores no alineados

355
00:31:40,779 --> 00:31:44,660
¿qué vector puedo coger? el AB

356
00:31:44,660 --> 00:31:49,019
o sea, tengo un punto y dos vectores

357
00:31:49,019 --> 00:32:02,430
En este caso, 4. Plano determinado por dos rectas que se cortan. Yo sé que se cortan, pero no sé dónde. Bueno, si lo sé, mejor.

358
00:32:03,250 --> 00:32:19,690
A. Yo sé que hay una recta AU y otra AB con un vector V. Y necesito un punto y dos vectores. ¿Qué punto cogería eso?

359
00:32:19,690 --> 00:32:35,880
el vector se puede coger el 1 5 g y se luce puede también sí porque no son paralelos una

360
00:32:35,880 --> 00:32:48,200
cosa muy importante que se puede preguntar en cualquier momento no sin dos rectas se cruzan

361
00:32:48,200 --> 00:33:24,819
No son coplanarias. No sé si lo veis. Esto no hay ningún plano que contenga estas dos cosas. Si tenéis dos rectas que pasan como una por encima de la otra, pero tienen distinta dirección, haced el gesto en casa porque yo lo he hecho aquí en clase y se ve claro que en ningún plano no existe un plano que las contenga las dos.

362
00:33:30,710 --> 00:33:35,470
tenga simultáneamente, ¿no? A las dos.

363
00:33:42,869 --> 00:33:47,250
Bueno, pues esto es lo que puedo decir de los planos y de sus actuaciones.

364
00:33:49,940 --> 00:33:53,619
Tenéis actividades propuestas, tenéis un montón de vídeos,

365
00:33:54,079 --> 00:33:56,480
que yo recomendaría que vierais uno o dos al día,

366
00:33:56,599 --> 00:33:58,900
que vierais también los trucos que os dan cada uno.

367
00:33:59,619 --> 00:34:01,500
Esto lo vimos el otro día por la mañana.

368
00:34:01,759 --> 00:34:04,240
Me lo voy a saltar y si da tiempo lo voy a hacer.

369
00:34:04,920 --> 00:34:07,619
Pero creo que, como está grabada la clase,

370
00:34:07,619 --> 00:34:16,260
creo que es mejor que os dé la posición relativa de recta y plano, que sea no medio a tiempo, verla en otro día, ¿vale?

371
00:34:16,440 --> 00:34:21,440
Y si tenéis alguna otra duda, pues me lo preguntáis, ¿vale?

372
00:34:22,059 --> 00:34:27,880
Bueno, entonces, vamos a ver la posición relativa de recta y plano.

373
00:34:28,199 --> 00:34:35,440
A ver que me queda, como veis hay un montón de ejercicios para abajo, porque el repertorio de ejercicios es muy amplio.

374
00:34:35,440 --> 00:34:53,679
Vamos a ver. Una recta y un plano pueden ser paralelos, ¿no? Más o menos se puede ver así, ¿no?

375
00:34:55,219 --> 00:35:13,800
R y S son paralelos. Una recta puede que esté metida dentro de un plano. R contenida en el plano.

376
00:35:13,800 --> 00:35:41,699
Voy a escribirlo con palabras. Contenida en el plano. Una recta puede cortar al plano en un punto. Estos que son secantes.

377
00:35:41,699 --> 00:36:09,849
Bueno, pues fijaos en una cosa muy curiosa. No voy a usar el plano, sino el vector perpendicular. Si la recta está contenida en el plano, o si la recta y el plano son paralelos, ¿qué pasa con el vector de la recta y el vector normal?

378
00:36:09,849 --> 00:36:34,059
Sí, sí, pero ¿qué pasa? ¿Cuánto vale este ángulo? 90 grados, son perpendiculares, ¿no? Entonces, en estos dos casos, ¿sí? El vector normal, n, y el vector de la recta es u.

379
00:36:34,059 --> 00:36:37,659
pues pueda llamarlo V

380
00:36:37,659 --> 00:36:39,699
porque si no se van a confundir las letras

381
00:36:39,699 --> 00:36:40,179
V

382
00:36:40,179 --> 00:36:49,300
son perpendiculares

383
00:36:49,300 --> 00:36:59,619
¿qué pasa si son secantes?

384
00:37:04,500 --> 00:37:05,599
si son secantes

385
00:37:05,599 --> 00:37:07,179
el vector N

386
00:37:07,179 --> 00:37:09,639
y el vector director de la recta

387
00:37:09,639 --> 00:37:12,099
no son perpendiculares

388
00:37:12,099 --> 00:37:12,400
¿no?

389
00:37:17,519 --> 00:37:19,980
no son perpendiculares

390
00:37:19,980 --> 00:37:25,219
¿por qué tanta manía

391
00:37:25,219 --> 00:37:26,860
aunque sean perpendiculares o no?

392
00:37:26,860 --> 00:37:38,159
Porque si son perpendiculares, sabemos que el producto escalar es cero. Y si no son perpendiculares, el producto escalar es distinto a eso.

393
00:37:38,159 --> 00:37:49,300
Entonces, ah, bueno, una cosa, una recta, ¿hay otro tipo de posición relativa entre una recta y un plano? ¿Hay alguna otra posibilidad?

394
00:37:49,300 --> 00:38:05,820
A ver, si una recta puede no ser paralela a un plano y no tocar, tiene que tocarla, ¿no? Si no es paralela.

395
00:38:05,820 --> 00:38:16,260
Entonces, si se corta en un punto, que son secantes, y si se corta en más de un punto, la recta está contenida dentro del plano.

396
00:38:17,019 --> 00:38:19,500
Entonces, solo hay estas tres posibilidades.

397
00:38:21,219 --> 00:38:22,780
Que sepáis que no hay más.

398
00:38:24,480 --> 00:38:28,480
Entonces, esta es la parte cerca.

399
00:38:28,480 --> 00:38:29,500
Ah, bueno, una cosa.

400
00:38:30,260 --> 00:38:31,079
Otra cosa.

401
00:38:31,500 --> 00:38:34,719
Yo de aquí puedo sacar un punto y de aquí puedo sacar un punto, ¿no?

402
00:38:35,820 --> 00:38:37,679
¿Cómo distingo este caso de este?

403
00:38:40,010 --> 00:38:45,010
Pues si P pertenece al plano, ¿no?

404
00:38:45,530 --> 00:38:46,650
Bueno, voy a poner Q.

405
00:38:46,650 --> 00:38:52,570
Como Q pertenece al plano, la recta está contenida en el plano, ¿sí?

406
00:38:54,829 --> 00:38:57,769
A ver, si yo tengo una recta, ¿sí?

407
00:38:58,630 --> 00:39:03,949
Cuyo vector director es perpendicular al vector normal del plano,

408
00:39:04,690 --> 00:39:08,090
esa recta tiene una de las direcciones del plano, ¿no?

409
00:39:08,769 --> 00:39:16,190
Si además este punto está contenido en el plano, toda la recta está contenida en el plano.

410
00:39:18,110 --> 00:39:19,929
Efectivamente, que cumpla la ecuación.

411
00:39:19,929 --> 00:39:29,769
Y ahora, si el punto P no pertenece a pi prima, entonces r y pi son paralelas.

412
00:39:30,389 --> 00:39:35,590
A veces os lo pongo simbólicamente, pero sabéis que a mí me gusta que lo pongáis con palabras.

413
00:39:35,590 --> 00:40:04,010
R y pi son paralelos. Mucho cuidado aquí porque a veces lo mecanizáis mucho y en cada caso a mí me gusta hacer uso del esquema para evitar memorizaciones que a veces os puedan llevar a alguna condición.

414
00:40:04,010 --> 00:40:08,670
Entonces, esto es lo que os he escrito en esa tabla

415
00:40:08,670 --> 00:40:13,090
Y vamos a eso, hallar la posición relativa de esa recta y de ese plano

416
00:40:13,090 --> 00:40:16,949
Bueno, pues ya veréis que fácil, que facilito es esto

417
00:40:16,949 --> 00:40:20,679
Porque, vamos a ver

418
00:40:20,679 --> 00:40:24,300
Bueno, es fácil en este caso

419
00:40:24,300 --> 00:40:30,690
Me explico, me explico

420
00:40:30,690 --> 00:40:33,630
De aquí puedo sacar un punto y un vector

421
00:40:33,630 --> 00:40:37,750
ya sabéis que necesito

422
00:40:37,750 --> 00:40:39,809
un punto y un vector

423
00:40:39,809 --> 00:40:41,750
el vector está chupado

424
00:40:41,750 --> 00:40:47,829
¿cuál es? 2, 1, menos 1

425
00:40:47,829 --> 00:40:52,710
y el punto

426
00:40:52,710 --> 00:40:54,289
no sé si os acordáis

427
00:40:54,289 --> 00:40:55,909
que esto se cambiaba de signo

428
00:40:55,909 --> 00:41:01,420
pues es menos 1, 0, 0

429
00:41:01,420 --> 00:41:02,320
os lo

430
00:41:02,320 --> 00:41:08,889
la ecuación principal

431
00:41:08,889 --> 00:41:11,329
a ver, os lo voy a poner aquí

432
00:41:11,329 --> 00:41:12,349
para que os acordéis

433
00:41:12,349 --> 00:41:15,690
¿no? pero este tipo de trucos

434
00:41:15,690 --> 00:41:17,369
si los tenéis en

435
00:41:17,369 --> 00:41:19,429
a un resumen y de vez en cuando

436
00:41:19,429 --> 00:41:20,849
le echáis un vistazo,

437
00:41:21,670 --> 00:41:23,429
pues es más difícil

438
00:41:23,429 --> 00:41:24,530
que se os lo diga, ¿no?

439
00:41:25,150 --> 00:41:27,289
Entonces, ya he sacado esto de aquí.

440
00:41:29,280 --> 00:41:30,539
Bueno, de aquí saco esto.

441
00:41:31,400 --> 00:41:32,679
Y ahora, el plano.

442
00:41:33,659 --> 00:41:34,760
¿Qué necesito

443
00:41:34,760 --> 00:41:35,639
del plano solo?

444
00:41:37,019 --> 00:41:38,000
El vector

445
00:41:38,000 --> 00:41:39,980
normal, ¿no?

446
00:41:40,739 --> 00:41:42,820
¿Y cuál es el vector normal alce plano?

447
00:41:45,250 --> 00:41:46,429
Uno menos dos,

448
00:41:46,590 --> 00:41:47,769
tres. Efectivamente.

449
00:41:48,329 --> 00:41:50,389
Uno menos dos, tres.

450
00:41:50,510 --> 00:42:06,750
Entonces, ¿qué tengo que hacer? Tengo que comprobar cuánto vale n por v.

451
00:42:06,750 --> 00:42:17,949
Y n por v es 1 menos 2, 3, producto escalar, 2, 1 menos v.

452
00:42:17,949 --> 00:42:25,510
Si esto es distinto de cero, la recta se corta con el plano en un punto.

453
00:42:25,869 --> 00:42:26,690
Son secantes.

454
00:42:27,329 --> 00:42:30,929
Y si resolvéis el sistema, os saldrá compatible determinado.

455
00:42:31,110 --> 00:42:32,269
Solo hay una solución.

456
00:42:33,030 --> 00:42:33,210
¿Vale?

457
00:42:34,070 --> 00:42:36,010
Y si no, pues ya veremos qué pasa.

458
00:42:36,570 --> 00:42:37,210
Vamos a ver.

459
00:42:37,670 --> 00:42:38,590
2 por 1, 2.

460
00:42:40,710 --> 00:42:44,590
Menos 2 por...

461
00:42:44,590 --> 00:42:46,130
A ver, es 2, 1, menos 1.

462
00:42:46,389 --> 00:42:47,769
Y 1, menos 2, 3.

463
00:42:47,769 --> 00:43:13,239
A ver, menos 2 por 1, menos 2. Y 3 por menos 1, menos 3. Pues esto sale menos 3, distinto de 0. ¿Conclusión? ¿Cómo son? ¿La recta contenida en el plano, paralelos o secantes? R y pi son secantes.

464
00:43:13,239 --> 00:43:19,780
esto no nos lo piden

465
00:43:19,780 --> 00:43:21,340
pero ya que no lo hice el otro día

466
00:43:21,340 --> 00:43:23,219
voy a hacer cosas así un poco

467
00:43:23,219 --> 00:43:25,420
si puedo algún día variar alguna cosa

468
00:43:25,420 --> 00:43:27,860
cómo calcular el punto de corte

469
00:43:27,860 --> 00:43:33,469
os voy a ir dando distintos

470
00:43:33,469 --> 00:43:35,230
trucos para que lo vayáis

471
00:43:35,230 --> 00:43:36,070
viendo, ¿no?

472
00:43:36,789 --> 00:43:39,030
por cierto, si sale un punto de corte

473
00:43:39,030 --> 00:43:40,389
y

474
00:43:40,389 --> 00:43:43,389
¿no? o sea, resuelvo el sistema

475
00:43:43,389 --> 00:43:45,210
tiene solución, sale el punto de corte

476
00:43:45,210 --> 00:43:46,769
bien, pero si

477
00:43:46,769 --> 00:43:51,110
No sé, si sale una cosa incompatible es que me he equivocado las plantas, ¿vale?

478
00:43:51,510 --> 00:43:54,389
Bueno, ¿cómo se hace el punto de corte?

479
00:43:55,010 --> 00:44:00,889
Pues, atención, voy a coger esto y voy a ponerlo en paramétricos.

480
00:44:06,679 --> 00:44:09,099
Yo sé que el punto es menos 1, 0, 0, ¿no?

481
00:44:14,510 --> 00:44:17,010
Menos 1, 0, 0, ¿sí?

482
00:44:17,010 --> 00:44:27,869
Y esto es más, como nos gusta la lambda, voy a poner más 2t, más 1t y menos t, ¿no?

483
00:44:32,039 --> 00:44:38,840
Esto sale de aquí, de este vector, ¿sí?

484
00:44:39,760 --> 00:44:40,699
Del vector director.

485
00:44:41,380 --> 00:44:44,340
Es lo que hemos hecho antes con el plano, pero solo con un vector, ¿sí?

486
00:44:44,960 --> 00:44:54,179
Bueno, pues sustituyo en el plano pi.

487
00:44:55,860 --> 00:44:57,019
¿Cuánto vale la x?

488
00:44:58,559 --> 00:45:06,840
menos 1 más 2t, menos 2 por, ¿cuánto vale la i? t, ¿no?

489
00:45:08,539 --> 00:45:17,190
Más 3 por, ¿cuánto vale la z? menos t, y más 1 igual a 0.

490
00:45:17,909 --> 00:45:22,969
Me queda aquí menos 1, esto con esto se da, ¿no?

491
00:45:22,969 --> 00:45:28,150
Y aquí queda menos 3t más 1 igual a 0.

492
00:45:28,150 --> 00:45:35,550
Como soy un maniático y en la test negativa la voy a pasar aquí, 3t, 3t es igual a cero, ¿no?

493
00:45:37,329 --> 00:45:39,989
Anda, qué casualidad, sale que t vale cero, ¿no?

494
00:45:48,179 --> 00:45:49,639
No, no, no, no, no, no.

495
00:45:49,639 --> 00:46:18,260
Entonces, el punto de corte es menos 1 más 2 por 0, 0 más 1 por 0 y 0 menos 0.

496
00:46:18,260 --> 00:46:30,539
O sea, nos sale el punto menos 1, 0, 0.

497
00:46:32,159 --> 00:46:37,280
O sea, que este punto que me salía aquí, casualmente es el punto de la red.

498
00:46:38,300 --> 00:46:42,320
Si no os lo creéis, porque tenéis derecho a no creeros esto.

499
00:46:43,699 --> 00:46:47,500
Vamos, habéis visto que un punto de esta recta es menos 1, 0, 0.

500
00:46:47,500 --> 00:46:49,280
Voy a sustituirlo aquí.

501
00:46:49,280 --> 00:46:52,019
menos uno más cero

502
00:46:52,019 --> 00:46:54,219
más cero más uno

503
00:46:54,219 --> 00:46:56,239
es cero, veis que ese es el punto

504
00:46:56,239 --> 00:46:57,820
que veáis que aquí

505
00:46:57,820 --> 00:46:59,460
todas las cuentas cuadran

506
00:46:59,460 --> 00:47:01,300
todas las cuentas cuadran

507
00:47:01,300 --> 00:47:04,059
entonces en este caso particular

508
00:47:04,059 --> 00:47:05,280
sale el mismo, ¿por qué?

509
00:47:05,539 --> 00:47:07,940
porque el valor del parámetro c me sale cero

510
00:47:07,940 --> 00:47:09,659
¿no? es una casualidad

511
00:47:09,659 --> 00:47:11,900
este problema no me acuerdo de donde

512
00:47:11,900 --> 00:47:12,980
lo saqué ni como

513
00:47:12,980 --> 00:47:16,099
lo hice pero son cosas

514
00:47:16,099 --> 00:47:17,860
veréis que hay

515
00:47:17,860 --> 00:47:19,519
un montón de posibilidades

516
00:47:19,519 --> 00:47:21,719
el abanico en la parte de geometría

517
00:47:21,719 --> 00:47:23,539
es impresionantemente

518
00:47:23,539 --> 00:47:25,300
amplio

519
00:47:25,300 --> 00:47:26,320
bueno

520
00:47:26,320 --> 00:47:29,619
la posición relativa de

521
00:47:29,619 --> 00:47:31,739
planos os indicaré

522
00:47:31,739 --> 00:47:33,260
un poquito por encima al final

523
00:47:33,260 --> 00:47:35,519
pero a ver, problemas que tenéis que ver

524
00:47:35,519 --> 00:47:37,199
vosotros por vuestra cuenta

525
00:47:37,199 --> 00:47:39,619
si

526
00:47:39,619 --> 00:47:41,380
visteis esto el año pasado

527
00:47:41,380 --> 00:47:43,679
lo entenderéis un poquito mejor

528
00:47:43,679 --> 00:47:45,739
pero vamos

529
00:47:45,739 --> 00:47:47,619
a ver, os voy a

530
00:47:47,619 --> 00:48:00,099
decir un poquito porque esto es simétrico de un punto respecto de otro esto es muy fácil y esto

531
00:48:00,099 --> 00:48:08,980
este es la base de todos yo tengo un punto a un punto b y quiero calcular el simétrico a prima

532
00:48:08,980 --> 00:48:19,500
es que este vector es igual que este a ver yo solo puedo indicar cuál es la estrategia a seguir pues

533
00:48:19,500 --> 00:48:30,920
Si yo tengo este dato y yo tengo este dato, el punto A' es el punto B trasladado por el vector AB.

534
00:48:33,469 --> 00:48:36,170
Lo repito. Este es el vector AB, ¿no?

535
00:48:36,170 --> 00:48:41,570
Yo se lo sumo al punto B y me voy a A'.

536
00:48:41,570 --> 00:48:47,369
Se puede hacer como el punto medio también.

537
00:48:51,389 --> 00:48:53,010
Sí, también se puede hacer así.

538
00:48:53,250 --> 00:48:58,130
Yo os digo, ahora, os voy a decir distintos casos porque no os puedo explicar todos.

539
00:48:58,710 --> 00:49:02,630
Simétrico de un punto respecto de una recta A.

540
00:49:03,530 --> 00:49:06,170
Perdón, de un punto A respecto de una recta R.

541
00:49:07,630 --> 00:49:08,309
Vale.

542
00:49:09,110 --> 00:49:17,489
Entonces, aquí de lo que se trata es que busquéis el punto, este punto, ¿sí?

543
00:49:18,030 --> 00:49:20,849
Y aquí está el punto A', ¿sí?

544
00:49:21,389 --> 00:49:42,940
Bueno, pues os voy a decir la estrategia. Tengo que calcular el plano, calculo el plano pi que es perpendicular a R y pasa por A.

545
00:49:42,940 --> 00:50:10,730
Ese plano más o menos sería así, ¿sí? Bueno, pues el punto B es la intersección, es la intersección de R y ese plano.

546
00:50:14,719 --> 00:50:25,219
Una vez hecho eso, pues de nuevo A' es B más el vector AB.

547
00:50:25,219 --> 00:50:29,480
en estos ejercicios tenéis que ver en cada caso

548
00:50:29,480 --> 00:50:31,360
cuál es la estrategia que hay que seguir

549
00:50:31,360 --> 00:50:34,599
métrico de un punto respecto de un plano

550
00:50:34,599 --> 00:50:38,280
yo tengo un plano así

551
00:50:38,280 --> 00:50:44,880
tengo un plano así

552
00:50:44,880 --> 00:50:47,840
tengo un punto aquí

553
00:50:47,840 --> 00:50:51,059
y quiero calcular su simétrico

554
00:50:51,059 --> 00:50:52,280
respecto de ese plano

555
00:50:52,280 --> 00:50:57,320
¿qué es lo que tengo que hacer?

556
00:50:57,440 --> 00:50:59,260
algo muy parecido al anterior

557
00:50:59,260 --> 00:51:04,239
calculo la recta

558
00:51:04,239 --> 00:51:07,039
calculo R

559
00:51:07,039 --> 00:51:09,400
que es perpendicular

560
00:51:09,400 --> 00:51:12,429
A

561
00:51:12,429 --> 00:51:17,010
al plano

562
00:51:17,010 --> 00:51:19,130
y pasa por A

563
00:51:19,130 --> 00:51:26,130
después calculo B

564
00:51:26,130 --> 00:51:28,989
que es este punto

565
00:51:28,989 --> 00:51:32,230
que es la intersección

566
00:51:32,230 --> 00:51:37,699
de R y pi

567
00:51:37,699 --> 00:51:40,340
y lo básico

568
00:51:40,340 --> 00:51:42,300
y cuando hay algo que es básico

569
00:51:42,300 --> 00:51:44,639
es el tercer paso

570
00:51:44,639 --> 00:51:46,099
que es decir de nuevo

571
00:51:46,099 --> 00:51:48,420
que el simétrico es B más A

572
00:51:48,420 --> 00:51:52,360
entonces

573
00:51:52,360 --> 00:51:54,500
si no sabéis esto

574
00:51:54,500 --> 00:51:56,900
el resto no se puede

575
00:51:56,900 --> 00:51:58,820
entonces que sepáis que

576
00:51:58,820 --> 00:52:01,159
lo básico en un examen es decir

577
00:52:01,159 --> 00:52:03,059
cuando definís una estrategia

578
00:52:03,059 --> 00:52:04,400
cuando hay que hacer un simétrico

579
00:52:04,400 --> 00:52:05,579
siempre hay que hacer el simétrico

580
00:52:05,579 --> 00:52:09,000
y luego en los demás casos

581
00:52:09,000 --> 00:52:11,059
buscarse la vida de cómo se hace esto

582
00:52:11,059 --> 00:52:13,420
tenéis un montón de tutoriales

583
00:52:13,420 --> 00:52:14,019
donde está

584
00:52:14,019 --> 00:52:16,000
todo esto

585
00:52:16,000 --> 00:52:24,900
a ver

586
00:52:24,900 --> 00:52:33,199
esto de entrada

587
00:52:33,199 --> 00:52:35,820
es que os estoy explicando un montón de ejercicios

588
00:52:35,820 --> 00:52:37,619
con un curso normal

589
00:52:37,619 --> 00:52:39,380
pues en dar dos o tres en una clase

590
00:52:39,380 --> 00:52:41,699
y demás, que no os asuste

591
00:52:41,699 --> 00:52:43,719
mirad un par de ellos

592
00:52:43,719 --> 00:52:45,760
al día y las cosas con práctica

593
00:52:45,760 --> 00:52:46,719
van saliendo

594
00:52:46,719 --> 00:52:49,119
bueno, ahora

595
00:52:49,119 --> 00:52:51,340
a ver, os voy a decir

596
00:52:51,340 --> 00:52:55,559
más estrategias. La perpendicular común a dos rectas.

597
00:52:56,719 --> 00:52:59,440
Es una pena que no me dé tiempo a hacerlo entero.

598
00:53:02,219 --> 00:53:08,260
A ver, el 9.4.

599
00:53:11,349 --> 00:53:14,409
A ver, yo tengo dos rectas que se cortan o se cruzan.

600
00:53:15,190 --> 00:53:15,730
Me da igual.

601
00:53:19,239 --> 00:53:21,260
En este caso voy a poner que se cruzan.

602
00:53:23,099 --> 00:53:25,599
Yo de aquí tengo un punto y un vector.

603
00:53:25,599 --> 00:53:29,159
Y de aquí tengo un punto

604
00:53:29,159 --> 00:53:31,340
y un vector, ¿sí?

605
00:53:33,340 --> 00:53:38,599
Entonces, supongo que veis que una recta es intersección de dos planos, ¿sí?

606
00:53:41,940 --> 00:53:44,420
¿Qué recta voy a coger?

607
00:53:44,840 --> 00:53:48,719
Bueno, lo primero que voy a hacer es, en el 9.4,

608
00:53:48,719 --> 00:54:01,139
lo primero que hago es, calculo un vector perpendicular a u y v.

609
00:54:01,139 --> 00:54:04,579
¿cómo se calcula un vector perpendicular

610
00:54:04,579 --> 00:54:05,559
a y v?

611
00:54:06,400 --> 00:54:08,539
y aquí venimos a lo básico

612
00:54:08,539 --> 00:54:09,099
otra vez

613
00:54:09,099 --> 00:54:12,460
¿os acordáis que el producto

614
00:54:12,460 --> 00:54:14,179
vectorial era un vector

615
00:54:14,179 --> 00:54:15,900
perpendicular a u y a u?

616
00:54:17,139 --> 00:54:18,440
pues si esto no lo sabéis

617
00:54:18,440 --> 00:54:20,239
ya nos está costando

618
00:54:20,239 --> 00:54:21,320
hacer el siguiente paso

619
00:54:21,320 --> 00:54:24,219
todos estos tipos de cosas

620
00:54:24,219 --> 00:54:25,139
que os voy diciendo

621
00:54:25,139 --> 00:54:28,159
las generalidades, esto para hacer los cálculos

622
00:54:28,159 --> 00:54:29,179
lo necesitáis

623
00:54:29,179 --> 00:54:31,039
una vez hecho eso

624
00:54:31,139 --> 00:54:33,340
Voy a ver qué tal me sale el dibujo.

625
00:54:34,039 --> 00:54:36,420
A ver, yo tengo el vector perpendicular, ¿no?

626
00:54:36,880 --> 00:54:40,739
Si hago ese vector perpendicular me queda este plano, ¿lo veis?

627
00:54:42,300 --> 00:54:42,480
¿Sí?

628
00:54:45,059 --> 00:54:49,880
Si yo cojo ese mismo vector perpendicular me queda este otro plano, ¿no?

629
00:54:51,179 --> 00:54:56,400
Bueno, lo que es más difícil ver es que la intersección de estos dos planos es la perpendicular también.

630
00:54:57,460 --> 00:54:58,780
Pero os lo voy a poner aquí.

631
00:54:59,400 --> 00:55:01,679
Entonces, calculo.

632
00:55:01,679 --> 00:55:08,199
Y calculo el plano pi 1 y el plano pi 2.

633
00:55:08,480 --> 00:55:21,920
El plano pi 1 es el que pasa por P y, bueno, a este vector lo llamo M, ¿no?

634
00:55:22,679 --> 00:55:26,239
Y tiene vectores U y M.

635
00:55:26,239 --> 00:55:39,460
El plano pi 2 es el plano que contiene a Q, que contiene a V y el vector normal M.

636
00:55:40,599 --> 00:55:44,579
Entonces, y esto es lo último que os quiero decir por hoy.

637
00:55:45,159 --> 00:55:50,360
Cuando tenéis una ecuación de una recta sabéis que son dos en las implícitas.

638
00:55:50,360 --> 00:56:09,159
¿No? ¿Sí? Pues si yo junto estas dos ecuaciones, ecuación de pi 1 y la ecuación de pi 2, pues aquí tengo la ecuación de la recta, que es la ecuación de este punto.

639
00:56:09,159 --> 00:56:25,420
Voy a ver cómo... Es que este tema es inmenso, pero voy a ver un poquito, tendremos una clase de repaso y lo que queda es más sencillo.

640
00:56:25,420 --> 00:56:38,639
Yo creo que esto es lo que quizá tenga más variedad. Ir mirando esto, ir mirando sobre todo lo básico, cómo se hacen los cálculos, cómo se pasa de una ecuación a otra, cómo salen los datos.

641
00:56:39,159 --> 00:56:45,139
Ahora mismo es esto, que cogáis confianza con eso y luego ya iremos haciendo los esquemas, ¿de acuerdo?

642
00:56:46,239 --> 00:56:52,059
Bueno, pues que tengáis una gran semana. Os recuerdo que tenemos tutorías individuales.