1 00:00:15,919 --> 00:00:22,600 Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de física y química de primero de bachillerato en el IES 2 00:00:22,600 --> 00:00:27,960 arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 3 00:00:27,960 --> 00:00:38,700 dedicada a las prácticas de laboratorio virtual. En la práctica de hoy introduciremos el estudio 4 00:00:38,700 --> 00:00:50,359 de la balística. El primer objetivo de esta práctica es introducir el estudio de la balística, 5 00:00:50,359 --> 00:00:59,600 El movimiento de un proyectil sometido a la acción de un campo gravitatorio. En principio, el campo gravitatorio terrestre, si estamos pensando en proyectiles sobre la superficie de la Tierra. 6 00:01:00,700 --> 00:01:06,200 A la balística llegamos a través de dos unidades de nuestro temario de la física y química de primero de bachillerato. 7 00:01:06,859 --> 00:01:19,480 En la primera unidad de cinemática, en la unidad 8, hablamos de sistemas de referencia y de las magnitudes que permiten describir el movimiento de los cuerpos en referencia o en relación con estos sistemas de referencia. 8 00:01:19,480 --> 00:01:25,719 cuáles son el tiempo la posición la velocidad y la aceleración en la siguiente unidad la segunda 9 00:01:25,719 --> 00:01:31,180 de cinemática en la unidad número 9 pasamos a estudiar movimientos concretos en primer 10 00:01:31,180 --> 00:01:36,400 lugar movimientos unidimensionales movimiento rectilíneo uniforme rectilíneo y uniformemente 11 00:01:36,400 --> 00:01:41,799 acelerado el primero sometido una aceleración nula el segundo sometido una aceleración constante no 12 00:01:41,799 --> 00:01:48,939 nula y por fin llegamos a la balística que es un movimiento bidimensional como la composición de 13 00:01:48,939 --> 00:01:54,420 por un lado un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, siendo la aceleración la del campo 14 00:01:54,420 --> 00:01:59,519 gravitatorio, de tal manera que este movimiento se corresponderá con la dimensión vertical, 15 00:02:00,099 --> 00:02:05,939 y por otro lado en la dimensión horizontal un movimiento rectilíneo y uniforme. Nosotros 16 00:02:05,939 --> 00:02:11,520 estudiaremos la balística desde dos puntos de vista distintos. En primer lugar nos vamos a 17 00:02:11,520 --> 00:02:16,439 plantear alcanzar un cierto objetivo que estará sobre la superficie de la Tierra a una cierta 18 00:02:16,439 --> 00:02:21,840 distancia del sistema de lanzamiento y nos preguntaremos por cuál debe ser la configuración 19 00:02:21,840 --> 00:02:26,979 del sistema de lanzamiento para poder alcanzar dicho objetivo, siendo la configuración del 20 00:02:26,979 --> 00:02:31,099 sistema de lanzamiento dada por la altura con respecto a la superficie de la Tierra, 21 00:02:31,699 --> 00:02:35,500 el ángulo de elevación o de presión del sistema y la velocidad inicial con la cual 22 00:02:35,500 --> 00:02:40,699 se produce el lanzamiento del proyectil. Este estudio lo haremos en primer lugar desde el 23 00:02:40,699 --> 00:02:44,879 punto de vista experimental, manipulando el sistema de lanzamiento y viendo cuál debe 24 00:02:44,879 --> 00:02:51,840 ser la configuración probando que permite alcanzar el objetivo y por otro lado desde un punto de vista 25 00:02:51,840 --> 00:02:57,680 analítico. Utilizaremos las ecuaciones del movimiento para desde el punto de vista analítico 26 00:02:57,680 --> 00:03:02,539 utilizando el álgebra determinar cuál debe ser la configuración del sistema de lanzamiento. Así 27 00:03:02,539 --> 00:03:07,560 pues desde el punto de vista experimental y analítico determinaremos la configuración del 28 00:03:07,560 --> 00:03:14,860 sistema de lanzamiento para alcanzar un cierto objetivo. Por otro lado nos aproximaremos a la 29 00:03:14,860 --> 00:03:21,120 balística desde un segundo punto de vista, un tanto más geométrico. Lo que tendremos será una 30 00:03:21,120 --> 00:03:25,599 imagen donde tendremos la trayectoria de un proyectil desde que sale de la boca del sistema 31 00:03:25,599 --> 00:03:32,400 de lanzamiento hasta que alcanza un cierto objetivo y nos preguntaremos por cuál es la aceleración de 32 00:03:32,400 --> 00:03:38,280 la gravedad del cuerpo planetario en el cual se produce ese movimiento balístico, porque vamos 33 00:03:38,280 --> 00:03:44,699 a pensar que tal vez no estemos sobre la superficie de la Tierra. De tal manera que midiendo sobre 34 00:03:44,699 --> 00:03:52,300 la imagen la altura máxima, la coordenada horizontal que se corresponde con la altura máxima, el alcance 35 00:03:52,300 --> 00:03:58,500 máximo y los tiempos en los cuales se alcanzan esos puntos y utilizando asimismo las ecuaciones 36 00:03:58,500 --> 00:04:02,979 de movimiento podremos determinar cuál es la aceleración de la gravedad sobre el cuerpo 37 00:04:02,979 --> 00:04:11,479 planetario. El segundo objetivo va a ser comparar, en el caso en el que los tengamos, los resultados 38 00:04:11,479 --> 00:04:18,500 experimentales y analíticos, de tal manera que podamos comprobar hasta qué punto los resultados 39 00:04:18,500 --> 00:04:24,660 experimentales se corresponden con la realidad. Nosotros haremos esta comparación utilizando los 40 00:04:24,660 --> 00:04:29,579 errores absolutos y relativos que hemos estudiado en las matemáticas de la educación secundaria 41 00:04:29,579 --> 00:04:37,230 obligatoria. Para iniciar el estudio de la balística necesitamos, como mencioné al hablar de los 42 00:04:37,230 --> 00:04:43,110 objetivos, un sistema de referencia espaciotemporal dentro del cual poder definir las magnitudes que 43 00:04:43,110 --> 00:04:48,889 van a permitir caracterizar el movimiento del cuerpo, el movimiento de los proyectiles. Este 44 00:04:48,889 --> 00:04:55,329 sistema de referencia espacio-temporal constará de una magnitud temporal, el tiempo, y tendremos 45 00:04:55,329 --> 00:05:00,810 que definir cuál es ese instante que utilizaremos como origen de tiempos. En lo que respecta a la 46 00:05:00,810 --> 00:05:06,550 parte espacial, el movimiento balístico es bidimensional, así que además de un punto del 47 00:05:06,550 --> 00:05:12,230 espacio que actúe como origen de coordenadas, necesitaremos definir dos ejes coordenados, 48 00:05:12,230 --> 00:05:18,370 dos ejes ortogonales que llamaremos X e Y, cuya dirección y sentido positivo vendrá dado por estos 49 00:05:18,370 --> 00:05:25,050 vectores unitarios I y J. El sistema de referencia a espacio temporal, la parte espacial, nos permite 50 00:05:25,050 --> 00:05:32,129 caracterizar las posiciones de los cuerpos, cuáles son los puntos del espacio que son ocupados por el 51 00:05:32,129 --> 00:05:38,509 cuerpo a lo largo de su desplazamiento. La colección de todos estos puntos del espacio que son ocupados 52 00:05:38,509 --> 00:05:43,810 por el cuerpo en su movimiento se denomina trayectoria, y si ligamos la trayectoria, 53 00:05:43,910 --> 00:05:49,490 las posiciones, al tiempo, lo que tendremos será la ecuación de posición, que nos permitirá, 54 00:05:49,730 --> 00:05:55,389 dado un cierto instante de tiempo, determinar cuál es la posición que ocupaba el móvil en ese instante, 55 00:05:55,389 --> 00:06:00,269 o bien, al revés, si nos preguntamos por una determinada posición del espacio, podemos 56 00:06:00,269 --> 00:06:04,870 determinar en qué instante del tiempo, si es que lo hubo, el cuerpo ocupó dicha posición. 57 00:06:04,870 --> 00:06:12,310 además de la posición en este sistema de referencia nosotros podremos definir la velocidad y la 58 00:06:12,310 --> 00:06:17,750 aceleración la velocidad es la magnitud que da cuenta de cómo varía la posición a lo largo del 59 00:06:17,750 --> 00:06:24,449 tiempo mientras que la aceleración es esa magnitud que nos va a permitir caracterizar cómo cambia la 60 00:06:24,449 --> 00:06:29,990 velocidad a lo largo del tiempo al igual que nosotros tenemos una ecuación de posición para 61 00:06:29,990 --> 00:06:34,490 indicarnos cuáles son los puntos del espacio que son ocupados por el móvil en cada instante de 62 00:06:34,490 --> 00:06:39,209 tiempo, nosotros también trabajaremos con una ecuación de velocidad que nos dará cuál es la 63 00:06:39,209 --> 00:06:46,269 velocidad, en este caso no la posición, la velocidad del móvil en cada instante de tiempo. En nuestro 64 00:06:46,269 --> 00:06:53,110 caso concreto, nosotros lo que vamos a hacer es utilizar un sistema de lanzamiento de proyectiles 65 00:06:53,110 --> 00:06:58,870 que va a venir dado por este cañón, que va a estar ubicado sobre una plataforma móvil que va a poder 66 00:06:58,870 --> 00:07:06,529 elevarse sobre un sueno que es plano horizontal. Nosotros consideraremos siempre como instante 67 00:07:06,529 --> 00:07:11,410 inicial, como origen de la coordenada temporal, el instante en el que se produce el lanzamiento. 68 00:07:12,069 --> 00:07:19,009 De ese instante lo denotaremos T sub cero igual a cero. En lo que respecta al origen de la coordenada 69 00:07:19,009 --> 00:07:26,850 espacial, O va a ser este punto sobre la superficie de la Tierra que está justo en la vertical del 70 00:07:26,850 --> 00:07:32,610 punto inicial que ocupa el móvil en el instante del lanzamiento. Nosotros utilizaremos como 71 00:07:32,610 --> 00:07:42,149 sistema de referencia los dos ejes coordenados X e Y. Y va a ser un eje vertical sobre el 72 00:07:42,149 --> 00:07:47,810 origen del sistema de referencia y el sentido positivo será hacia arriba. Y utilizaremos 73 00:07:47,810 --> 00:07:55,009 como eje X aquel eje horizontal que se encuentre en la proyección del movimiento, o sea, que 74 00:07:55,009 --> 00:08:00,430 se encuentre en la dirección general del movimiento y el sentido positivo será el 75 00:08:00,430 --> 00:08:07,560 que corresponda al movimiento. Para el estudio analítico del movimiento del proyectil necesitamos 76 00:08:07,560 --> 00:08:12,180 las ecuaciones del movimiento, que son las ecuaciones por un lado de la posición y por 77 00:08:12,180 --> 00:08:17,519 otro lado de la velocidad. Como indiqué al hablar de los objetivos, el movimiento balístico 78 00:08:17,519 --> 00:08:22,699 es un movimiento bidimensional que se estudia como composición de un movimiento rectilíneo 79 00:08:22,699 --> 00:08:27,300 uniforme en la componente horizontal y un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, 80 00:08:27,459 --> 00:08:32,559 siendo la aceleración la correspondiente a la aceleración de la gravedad, en la componente 81 00:08:32,559 --> 00:08:38,980 vertical. Aquí tenemos las ecuaciones generales de un movimiento rectilíneo uniforme y de un 82 00:08:38,980 --> 00:08:44,299 movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. En el primer caso utilizamos la coordenada x, 83 00:08:44,440 --> 00:08:48,320 puesto que se va a tratar de la componente horizontal. En el segundo caso utilizamos la 84 00:08:48,320 --> 00:08:53,639 coordenada y, puesto que se va a tratar de la componente vertical. Y así vemos que la posición 85 00:08:53,639 --> 00:09:01,419 horizontal en función del tiempo vendrá dada por la posición horizontal inicial más un término que 86 00:09:01,419 --> 00:09:05,960 se corresponde con el producto de la velocidad horizontal inicial por t menos t sub cero, t sub 87 00:09:05,960 --> 00:09:12,200 cero, el tiempo inicial. En cuanto a la ecuación de la velocidad horizontal, se trata de una constante 88 00:09:12,200 --> 00:09:16,340 por definición. Recordemos que es un movimiento rectilíneo y uniforme, la aceleración es nula, 89 00:09:16,340 --> 00:09:22,559 la velocidad es constante, igual a la velocidad horizontal inicial. En lo que respecta a la 90 00:09:22,559 --> 00:09:28,600 componente vertical, aquí tenemos la posición en función del tiempo, que viene dada por la 91 00:09:28,600 --> 00:09:34,299 posición vertical inicial, el término que va con la velocidad vertical inicial por el tiempo menos 92 00:09:34,299 --> 00:09:41,480 el tiempo inicial y el componente, el término que lleva la aceleración, un medio de la aceleración 93 00:09:41,480 --> 00:09:44,059 por tiempo menos tiempo inicial al cuadrado. 94 00:09:44,659 --> 00:09:47,340 En lo que respecta a la velocidad, esta ya no será constante, 95 00:09:47,600 --> 00:09:50,899 puesto que se trata de un movimiento acelerado, aunque sea uniformemente, 96 00:09:51,539 --> 00:09:53,279 la velocidad cambiará en el tiempo. 97 00:09:53,580 --> 00:09:56,379 Y en este caso, para la velocidad vertical, en función del tiempo, 98 00:09:57,080 --> 00:10:01,379 lo que tenemos es, primero, la constante, la velocidad vertical inicial, 99 00:10:01,899 --> 00:10:06,360 y un término que incluya la aceleración, multiplicada por el tiempo menos el tiempo inicial. 100 00:10:06,360 --> 00:10:11,740 puesto que en esta práctica nosotros vamos a considerar siempre 101 00:10:11,740 --> 00:10:17,039 que el instante inicial t sub 0 se corresponde con el instante de lanzamiento 102 00:10:17,039 --> 00:10:21,259 estas expresiones se van a simplificar puesto que t sub 0 va a ser 0 103 00:10:21,259 --> 00:10:27,139 por otro lado, dado que nosotros hemos ubicado el origen del sistema de referencia 104 00:10:27,139 --> 00:10:29,320 justo en la vertical del sistema de lanzamiento 105 00:10:29,320 --> 00:10:33,679 la posición horizontal inicial va a ser siempre 0 106 00:10:34,600 --> 00:10:42,220 La posición vertical probablemente no lo sea, si nosotros tenemos el sistema de lanzamiento configurado por encima de la superficie de la Tierra, incluso por debajo, 107 00:10:42,220 --> 00:10:52,860 si hubiéramos acabado un hoyo y hubiéramos colocado el sistema de referencia por debajo del nivel de la vertical, pero insisto, la posición horizontal inicial va a ser siempre cero. 108 00:10:53,820 --> 00:11:02,340 La velocidad inicial tendrá dos componentes que serán cero o no en función de cuál sea la configuración del sistema. 109 00:11:02,340 --> 00:11:08,419 lo vamos a ver inmediatamente dentro de un momento. Y en cuanto a la aceleración, el vector 110 00:11:08,419 --> 00:11:13,320 aceleración va a tener el componente horizontal nula, obviamente, y la componente vertical va a 111 00:11:13,320 --> 00:11:20,360 ser igual a menos g. g, el módulo de la aceleración de la gravedad, 9,81 metros partido por segundo 112 00:11:20,360 --> 00:11:25,419 cuadrado en el caso de la superficie de la Tierra. Y este signo negativo lo que indica es que la 113 00:11:25,419 --> 00:11:30,940 gravedad está actuando en el sentido negativo del sistema de referencia. Recordad que hace un momento 114 00:11:30,940 --> 00:11:36,879 definimos como positivo el sentido vertical hacia arriba y la aceleración en la gravedad está 115 00:11:36,879 --> 00:11:42,159 actuando hacia abajo, siendo esa la razón por la cual aquí podemos observar este signo menos. 116 00:11:43,399 --> 00:11:50,080 Si nosotros sustituimos estos valores conocidos dados por nuestro sistema de referencia y cuál 117 00:11:50,080 --> 00:11:55,639 es la configuración general del movimiento en estas ecuaciones generales, lo que vamos a obtener 118 00:11:55,639 --> 00:11:58,679 son, como ecuaciones del movimiento, esta colección de cuatro. 119 00:11:59,480 --> 00:12:03,919 En primer lugar, para la posición, la componente horizontal x en función del tiempo 120 00:12:03,919 --> 00:12:09,340 viene dada únicamente por este término, que tiene la velocidad horizontal inicial por el tiempo. 121 00:12:10,100 --> 00:12:14,940 Y en cuanto a la posición vertical, y, viene dada por la posición inicial, 122 00:12:15,559 --> 00:12:17,820 el término de la velocidad inicial por el tiempo, 123 00:12:18,000 --> 00:12:22,279 y el término de la gravedad entre dos, con este signo menos, por el tiempo al cuadrado. 124 00:12:22,820 --> 00:12:28,500 En lo que respecta a la velocidad, la velocidad horizontal es una constante, no depende del tiempo, 125 00:12:28,919 --> 00:12:31,519 será siempre igual a la velocidad horizontal inicial. 126 00:12:32,259 --> 00:12:37,019 Y en cuanto a la velocidad vertical, tiene dos términos, por un lado la velocidad vertical inicial 127 00:12:37,019 --> 00:12:43,519 y por otro lado el término que tiene la aceleración de la gravedad, con este signo menos que ya hemos discutido anteriormente. 128 00:12:45,610 --> 00:12:52,509 Decía hace unos instantes que las componentes de la velocidad inicial, v0x, v0y, 129 00:12:52,509 --> 00:12:58,230 la velocidad inicial en la dirección horizontal y en la dirección vertical, serían o no nulos 130 00:12:58,230 --> 00:13:03,649 dependiendo de cuál fuera la configuración del sistema de lanzamiento. Nosotros podremos 131 00:13:03,649 --> 00:13:08,289 caracterizar nuestro sistema de lanzamiento mediante los dos parámetros ángulo de elevación, 132 00:13:08,570 --> 00:13:15,190 que aquí tenemos denominado alfa, y velocidad inicial, que nosotros podremos caracterizar como 133 00:13:15,190 --> 00:13:21,289 el módulo v sub cero. Conocido el ángulo de elevación o de depresión si fuera negativo y 134 00:13:21,289 --> 00:13:27,149 a esta velocidad inicial. Nosotros podremos calcular la velocidad inicial, las componentes 135 00:13:27,149 --> 00:13:32,909 de la velocidad inicial en el eje x y en el eje y utilizando la trigonometría. La velocidad 136 00:13:32,909 --> 00:13:38,049 inicial horizontal v0x es el producto de v0 por el coseno de este ángulo alfa, mientras 137 00:13:38,049 --> 00:13:43,590 que la componente vertical de la velocidad v0y va a ser el producto de v0 a la velocidad 138 00:13:43,590 --> 00:13:49,669 inicial por el seno de alfa, como podemos ver en esta figura. Así pues, conocido el 139 00:13:49,669 --> 00:13:54,490 ángulo de elevación o de depresión y la velocidad inicial, nosotros podremos en cualquier momento 140 00:13:54,490 --> 00:14:00,629 determinar las componentes horizontal y vertical de la velocidad inicial. Al revés, también podemos 141 00:14:00,629 --> 00:14:06,090 hacerlo. Si nosotros conociéramos cuáles son las componentes de la velocidad, podríamos determinar 142 00:14:06,090 --> 00:14:13,470 el módulo de la velocidad y el ángulo de elevación o de depresión. En primer lugar, utilizando el 143 00:14:13,470 --> 00:14:18,990 teorema de Pitágoras, v sub 0 al cuadrado, que es la hipotenusa de este triángulo rectángulo, va a ser 144 00:14:18,990 --> 00:14:23,570 igual a v sub cero x cuadrado más v sub cero y al cuadrado, esta expresión que 145 00:14:23,570 --> 00:14:27,389 tenemos aquí. Cuando vayamos a calcular v cero, por cierto, utilizando una red 146 00:14:27,389 --> 00:14:32,570 cuadrada, recordad que la velocidad inicial es un módulo, es una magnitud, en 147 00:14:32,570 --> 00:14:36,710 este caso definida no negativa, puesto que no va a tener sentido un valor cero 148 00:14:36,710 --> 00:14:40,309 de la velocidad inicial, no teníamos movimiento, pero desde luego nos admite 149 00:14:40,309 --> 00:14:46,429 valores negativos. En cuanto al ángulo de elevación, podemos utilizar distintas 150 00:14:46,429 --> 00:14:52,009 posibilidades la más sencilla es utilizar la tangente de este ángulo alfa que es el cociente 151 00:14:52,009 --> 00:14:58,250 del cateto opuesto entre el cateto contiguo sería v sub 0 y dividido entre v sub 0 x teniendo en 152 00:14:58,250 --> 00:15:03,730 cuenta que el ángulo de elevación va a estar siempre comprendido entre menos 90 grados siendo 153 00:15:03,730 --> 00:15:11,169 un ángulo de presión y 90 grados estos intervalos van a estar siempre abiertos y es que no tiene 154 00:15:11,169 --> 00:15:15,750 sentido un lanzamiento con un ángulo de menos 90 grados sería vertical hacia abajo estaríamos 155 00:15:15,750 --> 00:15:20,769 destruyendo el sistema de lanzamiento y no llegaría el proyectil a ningún sitio y tampoco 156 00:15:20,769 --> 00:15:25,929 tendría sentido utilizar un ángulo de idénticamente 90 grados porque tendríamos un lanzamiento 157 00:15:25,929 --> 00:15:30,970 vertical y hacia arriba. El proyectil ascendería y descendería cayendo sobre el sistema de 158 00:15:30,970 --> 00:15:36,909 lanzamiento, no se alejaría y nosotros estaríamos destruyendo el sistema de lanzamiento. En 159 00:15:36,909 --> 00:15:41,269 cuanto a valores de alfa mayores de 90 grados, sería un lanzamiento en sentido hacia atrás, 160 00:15:41,269 --> 00:15:47,629 no tendría sentido intentar alcanzar un objetivo que tenemos hacia adelante del sistema de lanzamiento 161 00:15:47,629 --> 00:15:54,750 con un tiro hacia atrás, con lo cual vamos a considerar únicamente ángulos comprendidos entre menos 90 y 90 grados. 162 00:15:55,950 --> 00:16:01,090 La trayectoria de un cuerpo que realiza un movimiento balístico es siempre una parábola. 163 00:16:01,570 --> 00:16:06,570 Y aquí tenemos un ejemplo gráfico de un lanzamiento de un proyectil desde una cierta altura 164 00:16:06,570 --> 00:16:13,289 con un ángulo de elevación el que tenemos aquí y podemos ver cómo el cuerpo una vez que es emitido 165 00:16:13,289 --> 00:16:17,490 por el sistema de lanzamiento y conforme va avanzando a lo largo de la coordenada horizontal 166 00:16:17,490 --> 00:16:23,049 en primer lugar asciende, alcanza un punto donde la altura es máxima y este punto se va a corresponder 167 00:16:23,049 --> 00:16:28,710 con el vértice de la parábola y a partir de aquí el cuerpo desciende hasta finalmente colisionar 168 00:16:28,710 --> 00:16:34,169 contra la superficie de la tierra en donde supondremos que el movimiento finaliza. Podemos 169 00:16:34,169 --> 00:16:39,529 comprobar que a partir del vértice hacia la derecha y hacia la izquierda estas dos ramas 170 00:16:39,529 --> 00:16:45,230 presentan simetría especular como corresponde a una parábola. Sobre esta trayectoria nosotros 171 00:16:45,230 --> 00:16:50,769 vamos a poder distinguir tres puntos de especial interés. El primero es el punto donde se inicia 172 00:16:50,769 --> 00:16:55,629 el movimiento, el punto inicial. Tal y como hemos definido nuestro sistema de referencia con el 173 00:16:55,629 --> 00:17:00,970 origen aquí sobre la superficie de la tierra y en la vertical del punto inicial, este punto va a 174 00:17:00,970 --> 00:17:06,170 tener siempre coordenada horizontal x cero igual a cero y la coordenada vertical y cero será la que 175 00:17:06,170 --> 00:17:11,849 se mida la distancia que separa el origen del sistema de referencia del punto inicial y el 176 00:17:11,849 --> 00:17:16,589 tiempo que corresponde a esta posición va a ser t sub cero igual a cero también por definición tal 177 00:17:16,589 --> 00:17:21,730 y como hemos definido el origen de tiempos en nuestro sistema de referencia temporal. El segundo 178 00:17:21,730 --> 00:17:26,890 punto de interés es el punto de altura máxima que como hemos dicho se corresponde con el vértice de 179 00:17:26,890 --> 00:17:32,849 la parábola. ¿Cómo podemos caracterizar desde el punto de vista algebraico el vértice de la 180 00:17:32,849 --> 00:17:37,930 parábola, el punto de altura máxima? Pues bien, la idea es la siguiente. En los instantes anteriores 181 00:17:37,930 --> 00:17:44,069 a alcanzar este punto, el cuerpo se encuentra ascendiendo. Como podemos ver, conforme va 182 00:17:44,069 --> 00:17:50,369 avanzando el proyectil para alcanzar el punto de altura máxima, el cuerpo se va cada vez separando 183 00:17:50,369 --> 00:17:54,650 de la superficie de la Tierra, va ascendiendo. Y eso quiere decir que está animado por una 184 00:17:54,650 --> 00:17:59,289 velocidad cuya componente vertical es positiva, puesto que va ascendiendo y hemos definido como 185 00:17:59,289 --> 00:18:04,690 positivo el sentido hacia arriba. En instantes posteriores a haber alcanzado el punto de altura 186 00:18:04,690 --> 00:18:09,410 máxima, en cambio, el cuerpo, como podemos ver, se encuentra descendiendo y eso quiere decir que 187 00:18:09,410 --> 00:18:14,430 tiene una componente vertical de la velocidad que es negativa, puesto que descendiendo tiene un 188 00:18:14,430 --> 00:18:19,809 sentido opuesto al que hemos definido como positivo hacia arriba. Así pues, si antes de alcanzar el 189 00:18:19,809 --> 00:18:25,130 punto de altura máxima la componente vertical de la velocidad es positiva y a partir del punto de 190 00:18:25,130 --> 00:18:30,309 altura máxima la componente vertical de la velocidad es negativa justo en este punto la 191 00:18:30,309 --> 00:18:36,289 componente vertical de la velocidad va a ser idénticamente nula y así pues existirá un cierto 192 00:18:36,289 --> 00:18:41,950 instante de tiempo que vamos a denotar como vemos aquí tiempo de máxima tiempo de altura máxima en 193 00:18:41,950 --> 00:18:47,369 el cual la componente vertical de la velocidad se anula y esta es la condición que impondremos para 194 00:18:47,369 --> 00:18:52,329 poder caracterizar el punto de altura máxima, el vértice de la trayectoria de 195 00:18:52,329 --> 00:18:55,329 la parábola. Por supuesto este punto tendrá unas 196 00:18:55,329 --> 00:18:59,750 tetas coordenadas x e y con respecto a nuestro sistema de referencia y la forma 197 00:18:59,750 --> 00:19:03,470 algebraica de poder caracterizarlas consiste en utilizar las ecuaciones del 198 00:19:03,470 --> 00:19:06,849 movimiento, las ecuaciones para la posición y sustituir en ellas este 199 00:19:06,849 --> 00:19:10,789 tiempo de altura máxima que nosotros podemos determinar con la condición de 200 00:19:10,789 --> 00:19:14,990 la componente vertical de la velocidad es nula. Una vez que tengamos este tiempo 201 00:19:14,990 --> 00:19:20,190 nosotros podríamos determinar la altura máxima, que es la distancia que separa el vértice de la 202 00:19:20,190 --> 00:19:26,289 parábola, el punto más alto de la trayectoria, con respecto al eje x, el suelo, la superficie de la 203 00:19:26,289 --> 00:19:31,410 tierra, sustituyendo la coordenada para y el tiempo de altura máxima. Y eso nos daría, como he dicho, 204 00:19:31,809 --> 00:19:38,430 la altura máxima. Por otro lado, este punto tiene una coordenada horizontal, aparte de la 205 00:19:38,430 --> 00:19:43,990 coordenada vertical que ya hemos caracterizado. Se corresponde con la distancia que separa la 206 00:19:43,990 --> 00:19:48,589 proyección vertical de este punto sobre la superficie de la tierra del sistema de referencia, 207 00:19:48,670 --> 00:19:53,269 del origen del sistema de referencia, esta distancia que tenemos aquí. Algebraicamente la podríamos 208 00:19:53,269 --> 00:19:58,890 determinar análogamente a como hemos discutido la coordenada vertical sustituyendo en la ecuación 209 00:19:58,890 --> 00:20:03,470 para x, en la ecuación para la coordenada x, ese tiempo de altura máxima y el valor de x que 210 00:20:03,470 --> 00:20:09,130 obtengamos se corresponde con la x de altura máxima, la coordenada horizontal del punto de 211 00:20:09,130 --> 00:20:16,710 altura máxima. Análogamente, el tercer punto en el cual vamos a tener interés se trata de este de 212 00:20:16,710 --> 00:20:22,670 aquí, el punto en el cual el cuerpo, el proyectil, alcanza la superficie de la Tierra. Vamos a 213 00:20:22,670 --> 00:20:28,130 denominar alcance, en algunas ocasiones alcance máximo, a la distancia que separa este punto que 214 00:20:28,130 --> 00:20:33,309 es alcanzado por el proyectil en la superficie de la Tierra del origen del sistema de referencia. 215 00:20:33,970 --> 00:20:38,069 Esta distancia entre este punto y el origen del sistema de referencia. 216 00:20:38,569 --> 00:20:43,589 ¿Cómo podríamos determinarlo? ¿Cómo podríamos caracterizarlo desde el punto de vista algebraico? 217 00:20:44,150 --> 00:20:49,630 Pues bien, este punto es el único en toda la trayectoria en donde la coordenada vertical es igual a cero, 218 00:20:49,809 --> 00:20:52,049 donde la coordenada y es igual a cero. 219 00:20:52,509 --> 00:20:58,269 Fijaos en que en todos los demás puntos de la trayectoria el proyectil se encuentra sobre la superficie de la Tierra 220 00:20:58,269 --> 00:21:01,009 y justo al alcance, en el punto de alcance, de alcance máximo. 221 00:21:01,710 --> 00:21:10,630 Así pues, lo que vamos a hacer en esta práctica en concreto es caracterizar el punto del alcance como aquel, el único, en el cual la coordenada Y es igual a cero. 222 00:21:10,630 --> 00:21:18,109 Y existirá un cierto valor de tiempo que vamos a denotar, tiempo de vuelo, como vemos aquí, en el cual la coordenada Y sea igual a cero. 223 00:21:18,509 --> 00:21:22,430 Ese tiempo de vuelo es el que va a caracterizar este punto, el punto de alcance máximo. 224 00:21:22,990 --> 00:21:27,490 La coordenada Y es cero, por definición, es lo que va a caracterizar el alcance máximo. 225 00:21:27,490 --> 00:21:32,809 pues bien, ¿cómo podríamos calcular el alcance máximo, la coordenada x que le corresponde a este punto? 226 00:21:33,049 --> 00:21:41,109 Pues de forma análoga a como hemos discutido anteriormente, sustituyendo el tiempo de vuelo en la ecuación para la coordenada x. 227 00:21:41,390 --> 00:21:45,029 x del tiempo de vuelo se va a corresponder con el alcance, el alcance máximo. 228 00:21:46,130 --> 00:21:50,130 La discusión que tengo aquí escrita se corresponde a una situación genérica, 229 00:21:50,130 --> 00:21:59,009 en la cual nosotros consideremos el alcance como el punto en el cual el proyectil alcanza una cierta altura y de destino. 230 00:21:59,009 --> 00:22:08,549 En este caso concreto, la altura de destino es la superficie de la Tierra, pero la y de destino, en un planteamiento más genérico, podría tomar otro valor diferente. 231 00:22:11,059 --> 00:22:16,759 Para finalizar esta introducción teórica, vamos a hacer referencia al segundo de los objetivos de nuestra práctica. 232 00:22:16,759 --> 00:22:38,160 Y es que en un momento dado vamos a querer comparar los valores de una magnitud que hayamos determinado experimentalmente, manipulando el laboratorio virtual, valores que vamos a considerar aproximados, con aquellos valores analíticos que obtengamos utilizando, resolviendo algebricamente las ecuaciones del movimiento y que vamos a considerar reales, valores exactos. 233 00:22:38,619 --> 00:22:44,619 Para ello vamos a utilizar dos magnitudes que se definían en las matemáticas de la ESO. 234 00:22:44,880 --> 00:22:50,599 En primer lugar, el error absoluto, que como veis se define como el valor absoluto de la diferencia 235 00:22:50,599 --> 00:22:55,660 entre el valor aproximado y el real de la magnitud, el valor determinado experimentalmente 236 00:22:55,660 --> 00:22:58,200 y el valor determinado analíticamente. 237 00:22:59,039 --> 00:23:02,660 Tiene comunidades, como veis, las de la magnitud estudiada. 238 00:23:02,660 --> 00:23:05,460 Así que si esto fuera una velocidad en metros partido por segundo, 239 00:23:05,460 --> 00:23:08,619 su error absoluto se mediría en metros partido por segundo. 240 00:23:09,160 --> 00:23:13,460 Y si se tratara de un ángulo de elevación medido en grados sexagesimales, 241 00:23:14,680 --> 00:23:17,920 pues el error absoluto tendría como unidades grados sexagesimales. 242 00:23:18,720 --> 00:23:22,460 El error absoluto tiene un valor mínimo que es 0, que es el valor óptimo. 243 00:23:23,720 --> 00:23:27,680 Un error absoluto idénticamente nulo se corresponde con un valor experimental 244 00:23:27,680 --> 00:23:32,440 que coincide idénticamente con el valor analítico, lo cual es óptimo. 245 00:23:32,440 --> 00:23:36,500 En ese caso, la aproximación coincide con el valor real, la aproximación es la mejor posible. 246 00:23:37,240 --> 00:23:41,599 A partir de aquí, cuanto mayor sea el error absoluto, peor va a ser la aproximación, 247 00:23:41,759 --> 00:23:48,460 puesto que el valor aproximado, el valor experimental, se va a diferenciar más con respecto del valor analítico, del valor real. 248 00:23:49,920 --> 00:23:56,579 El problema que tiene el error absoluto, así definido, es que no me permite hacer comparaciones entre distintas magnitudes 249 00:23:56,579 --> 00:24:06,240 Y para eso se utiliza el error relativo, que como veis aquí, se define como el valor absoluto de la razón entre el error absoluto y el valor real. 250 00:24:07,000 --> 00:24:12,980 El error relativo se suele expresar como un porcentaje y por eso aparece este factor 100 aquí multiplicando. 251 00:24:13,160 --> 00:24:18,599 De tal forma que este error relativo, multiplicado por 100, se va a expresar siempre como un porcentaje. 252 00:24:19,400 --> 00:24:25,799 Un error absoluto idénticamente nulo, el caso óptimo, se va a corresponder también con un error relativo idénticamente nulo. 253 00:24:25,799 --> 00:24:32,299 Va a ser el caso óptimo. Y a partir de aquí, cuanto mayor sea el error absoluto, mayor va a ser el error relativo. 254 00:24:33,220 --> 00:24:41,700 Lo bueno que tiene, una vez más, insisto, el error relativo es que, dado que es adimensional, estoy dividiendo magnitudes con las mismas unidades, 255 00:24:42,160 --> 00:24:45,839 se va a poder comparar los errores relativos de distintas magnitudes entre sí. 256 00:24:48,230 --> 00:24:55,349 Nuestro espacio de trabajo es uno de los laboratorios virtuales de la Universidad de Colorado, cuya dirección web tenemos aquí. 257 00:24:55,349 --> 00:25:04,509 Y al abrirse en el navegador podemos entrar a él pulsando sobre este botón de introducción. 258 00:25:05,690 --> 00:25:12,890 Aquí tenemos nuestro espacio de trabajo, nuestro laboratorio virtual, tal y como nos lo vamos a encontrar de forma estándar. 259 00:25:13,349 --> 00:25:19,769 A la izquierda podemos ver nuestro sistema de lanzamiento que viene representado como este cañón de circo. 260 00:25:20,589 --> 00:25:34,250 Podemos ver esta lectura 10 metros, que es la altura de esta cruz, que va a representar la posición inicial del proyectil con respecto a esta línea que representará la superficie horizontal de la Tierra. 261 00:25:34,910 --> 00:25:54,509 Puesto que, como recordaréis, hemos definido en la introducción teórica nuestro sistema de referencia con el origen justamente aquí, en la vertical del sistema de lanzamiento, justamente en la superficie de la Tierra, este 10 metros es la lectura directa de I0, la posición vertical inicial del proyectil. 262 00:25:55,309 --> 00:26:00,769 La podemos modificar sin más que pinchar y arrastrar hacia arriba hasta un valor máximo de 15 metros 263 00:26:00,769 --> 00:26:07,970 o hacia abajo hasta un valor máximo de 0 metros y que se corresponde con un lanzamiento desde la superficie de la Tierra. 264 00:26:08,529 --> 00:26:15,950 Como podéis ver, estos incrementos son de 1 en 1 metro, así que vamos a poder seleccionar una altura de 5 metros, 265 00:26:16,170 --> 00:26:21,750 una altura de 6 metros, pero no una altura de 5,5 metros ni ningún otro valor decimal intermedio. 266 00:26:22,650 --> 00:26:25,710 En cuanto al ángulo de elevación o de depresión, lo tenemos aquí. 267 00:26:25,829 --> 00:26:32,190 En este caso está seleccionado un ángulo de 25 grados y podemos variarlo sin más que pinchar sobre la boca del cañón 268 00:26:32,190 --> 00:26:35,750 y desplazarlo hacia arriba hasta un valor máximo de 90 grados. 269 00:26:37,109 --> 00:26:42,329 Aquí tenemos un tiro horizontal con un ángulo de 0 grados y ángulos de depresión, 270 00:26:42,329 --> 00:26:47,890 que podemos ver porque son negativos, hasta un valor mínimo de menos 90 grados. 271 00:26:47,890 --> 00:27:03,549 En cuanto a la velocidad inicial, la podemos seleccionar con este deslizador, pinchando y arrastrando hasta un valor mínimo a la izquierda del todo de 0 mts partido por segundo a un valor máximo a la derecha de todo de 30 mts partido por segundo. 272 00:27:04,049 --> 00:27:13,250 También podemos variarlo utilizando estos pequeños pulsadores con pasos hacia abajo o hacia arriba de 1 mts partido por segundo. 273 00:27:13,250 --> 00:27:17,930 ahora que tenemos seleccionado esta configuración del sistema de lanzamiento 274 00:27:17,930 --> 00:27:22,490 por ejemplo, 6 metros de altura, un ángulo de elevación de 35 grados 275 00:27:22,490 --> 00:27:25,190 y una velocidad inicial de 14 metros partido por segundo 276 00:27:25,190 --> 00:27:29,329 podemos producir el lanzamiento sin más que presionar sobre este botón rojo 277 00:27:29,329 --> 00:27:34,009 y aquí vemos representado en azul la trayectoria 278 00:27:34,009 --> 00:27:38,069 del cuerpo que hemos lanzado, no solo tenemos la trayectoria 279 00:27:38,069 --> 00:27:42,190 sino que tenemos más información, en la trayectoria tenemos unos cuantos puntitos 280 00:27:42,190 --> 00:27:50,609 de color azul, un puntito de color verde y algunos circulitos. El puntito de color verde representa 281 00:27:50,609 --> 00:27:56,009 un punto geométrico que es la altura máxima. Se corresponde con el vértice de la trayectoria, 282 00:27:56,109 --> 00:28:01,150 que es una parábola, y se corresponde con la altura máxima del proyectil. Los puntitos azules 283 00:28:01,150 --> 00:28:07,630 y los circulitos constituyen la traza de tiempos y es que la posición inicial del proyectil es 284 00:28:07,630 --> 00:28:13,970 justamente esta cruz, con pasos de 0,1 en 0,1 segundos el laboratorio virtual va representando 285 00:28:13,970 --> 00:28:18,849 la posición del cuerpo. Así que cuando el tiempo era 0,1 segundos el cuerpo se encontraba aquí, 286 00:28:19,529 --> 00:28:27,809 0,2 segundos, 0,3 segundos, 0,4 segundos, etc. Los circulitos representan un segundo, dos segundos 287 00:28:27,809 --> 00:28:33,789 y están para ayudarnos a la hora de determinar tiempos. Por ejemplo, en este caso podemos ver 288 00:28:33,789 --> 00:28:40,849 que el tiempo de vuelo es aproximadamente de 2,2 segundos y me imagino que aquí habría un segundo 289 00:28:40,849 --> 00:28:47,029 puntito azul y que el tiempo de I máxima, utilizando la notación que utilizamos en la introducción, 290 00:28:47,730 --> 00:28:58,490 es aproximadamente un poquito más de 0,8 segundos. Nosotros podemos producir distintas trayectorias 291 00:28:58,490 --> 00:29:06,329 con distintos lanzamientos sucesivos y como podéis ver, la diferencia entre una y otra trayectoria 292 00:29:06,329 --> 00:29:12,150 es que conforme vamos produciendo trayectorias nuevas, la trayectoria más antigua se va atenuando. 293 00:29:12,329 --> 00:29:17,069 De tal forma que podemos ir un poco siguiendo cuál es la trayectoria más antigua, la más tenue, 294 00:29:17,190 --> 00:29:20,329 y cuál es la más reciente, la última va a ser la que sea más oscura. 295 00:29:21,869 --> 00:29:26,829 Nosotros vamos a poder tener simultáneamente en un momento dado hasta cinco trayectorias, como podéis ver. 296 00:29:26,829 --> 00:29:36,930 Y es que cuando queramos producir la sexta, el aula virtual, el laboratorio virtual, lo que va a hacer es borrarnos la última que hayamos producido, perdón, la primera que hubiéramos producido. 297 00:29:37,349 --> 00:29:42,750 De tal manera que en un momento dado vamos a poder obtener hasta cinco trayectorias únicamente. 298 00:29:43,349 --> 00:29:51,430 Si queremos borrar todas las trayectorias que tenemos ahora, porque queremos empezar una representación nueva, no tenemos más que pulsar sobre esta goma de borrar. 299 00:29:52,509 --> 00:29:54,309 Y entonces desaparecen todas. 300 00:29:55,250 --> 00:29:58,230 Esto que tenemos aquí a la derecha es un blanco. 301 00:30:00,569 --> 00:30:03,529 Lo podemos desplazar hacia la derecha, es una especie de alfombra, 302 00:30:04,630 --> 00:30:09,029 que podemos desplazar a la izquierda del todo hasta un valor de menos 3,3 metros 303 00:30:09,029 --> 00:30:11,809 y hacia la derecha del todo hasta casi 31 metros. 304 00:30:11,950 --> 00:30:15,670 Como podéis ver, con pasos de 0,1 en 0,1 metros. 305 00:30:16,470 --> 00:30:18,029 Tiene una utilidad doble. 306 00:30:18,269 --> 00:30:21,809 Si nosotros producimos un lanzamiento y queremos ver cuál es el alcance, 307 00:30:21,809 --> 00:30:33,670 Una opción es coger el blanco y desplazarlo hasta que el centro del blanco correspondiera con el punto del alcance donde ha llegado el proyectil. 308 00:30:33,910 --> 00:30:39,250 Y en este caso, si así lo consideramos, podemos expresar que el alcance es 17,3 metros. 309 00:30:39,849 --> 00:30:50,390 Otra opción es colocar el blanco en una determinada posición, 20 metros, e ir modificando los parámetros que constituyen la configuración del sistema de lanzamiento 310 00:30:50,390 --> 00:30:54,230 para ver en qué momento vamos a alcanzar el blanco. 311 00:30:54,450 --> 00:30:56,349 Por ejemplo, si queremos modificar la velocidad, 312 00:30:57,529 --> 00:31:01,769 incrementando la velocidad a, en lugar de 11, 12 metros partido por segundo, 313 00:31:02,390 --> 00:31:03,309 llegamos hasta el blanco. 314 00:31:03,529 --> 00:31:06,950 Mientras que si nos pasamos a 13 metros partido por segundo, 315 00:31:07,450 --> 00:31:08,630 nos excedemos del blanco. 316 00:31:08,750 --> 00:31:12,710 Es una posibilidad alternativa de uso de este blanco. 317 00:31:14,859 --> 00:31:18,160 Otra herramienta que podemos utilizar para medir distancias 318 00:31:18,160 --> 00:31:22,119 es esta que tenemos aquí y que es una cinta métrica 319 00:31:22,119 --> 00:31:24,019 y que se utiliza como todas ellas. 320 00:31:24,619 --> 00:31:27,779 Si tiramos de este extremo, alargamos la cinta métrica 321 00:31:27,779 --> 00:31:29,099 y la lectura la tenemos aquí. 322 00:31:30,059 --> 00:31:33,700 Podemos medir en cualquier dirección, vertical, horizontal u oblicua 323 00:31:33,700 --> 00:31:37,119 y, por ejemplo, podemos querer medir el alcance 324 00:31:37,119 --> 00:31:41,859 colocando el inicio de la cinta métrica, que es esta cruz anaranjada, 325 00:31:41,859 --> 00:31:44,579 en el origen de nuestro sistema de referencia 326 00:31:44,579 --> 00:31:54,460 y tirando del extremo hasta la posición donde nosotros queremos ver que se ha encontrado el proyectil. 327 00:31:55,039 --> 00:32:01,180 Y en este caso, tal y como lo hemos seleccionado, la lectura que tendríamos es 19,62 metros, 328 00:32:01,859 --> 00:32:08,339 que no coincide con estos 20 metros, entre otras razones, porque en realidad el proyectil no ha llegado justo al centro del blanco 329 00:32:08,339 --> 00:32:13,720 y esta pequeña diferencia se corresponderá, imagino, con esa distancia. 330 00:32:14,579 --> 00:32:18,359 podríamos medir, en lugar del alcance, por ejemplo, la altura máxima. 331 00:32:18,660 --> 00:32:20,859 En este caso vamos a hacer una medición en vertical. 332 00:32:21,920 --> 00:32:27,180 Entonces lo que voy a hacer es, por ejemplo, colocar primero en vertical la cinta métrica, 333 00:32:27,880 --> 00:32:29,940 más o menos, un poquito a la derecha, 334 00:32:30,900 --> 00:32:36,700 para colocar el extremo este sobre la superficie de la tierra 335 00:32:36,700 --> 00:32:43,940 y luego mover, mira por lo que he acertado, el otro extremo para alcanzar la altura máxima. 336 00:32:43,940 --> 00:32:50,380 Si yo considero que esto es correcto, pues en esta última trayectoria la altura máxima resulta ser de 8,83 metros. 337 00:32:51,640 --> 00:32:55,920 Cuando no necesite la cinta métrica, lo único que tengo que hacer es volver a colocarla en su sitio. 338 00:32:57,599 --> 00:33:01,920 El resto de elementos de la pantalla, en principio, no los vamos a utilizar. 339 00:33:03,039 --> 00:33:05,099 Vamos a describir únicamente alguno más. 340 00:33:05,099 --> 00:33:15,119 Y es que, por ejemplo, tal y como lo tengo, me está costando bastante ver cuál es el punto donde ha llegado el proyectil. 341 00:33:15,720 --> 00:33:20,779 Porque resulta que aquí tengo un montón de cosas anaranjadas que me ensucian un poco la imagen. 342 00:33:21,359 --> 00:33:24,380 ¿Por qué es eso? Porque el proyectil que he lanzado es una calabaza. 343 00:33:24,859 --> 00:33:27,299 Eso lo tengo aquí en este desplegable. 344 00:33:27,740 --> 00:33:30,259 Y al caer la calabaza contra el suelo, pues se ha roto. 345 00:33:31,259 --> 00:33:39,259 Si yo lo que quisiera es ver como un punto claro el punto donde ha llegado el proyectil en la superficie de la Tierra, 346 00:33:40,019 --> 00:33:43,259 lo que voy a hacer es utilizar como proyectil una bola de cañón. 347 00:33:44,140 --> 00:33:52,640 Y en ese caso lo que voy a ver es un punto claro que me va a indicar el punto donde ha llegado el proyectil. 348 00:33:52,880 --> 00:33:53,940 En este caso una bala de cañón. 349 00:33:54,720 --> 00:33:58,940 Puedo utilizar otros objetos más o menos graciosos, por ejemplo un piano, 350 00:33:58,940 --> 00:34:08,090 pero en el caso en el que yo lanzo un piano es bastante complicado ver cuál es el punto exacto donde se ha producido la llegada. 351 00:34:08,469 --> 00:34:16,469 Así que yo personalmente, en todos los experimentos que vaya a realizar, voy a utilizar una bala de cañón. 352 00:34:18,389 --> 00:34:26,949 Hay ocasiones en que utilizando ángulos de elevación grandes y o velocidades elevadas, 353 00:34:26,949 --> 00:34:32,380 resulta que pierdo una parte de la trayectoria 354 00:34:32,380 --> 00:34:36,260 porque o bien se sale por arriba 355 00:34:36,260 --> 00:34:40,500 o bien se sale por los lados hacia la derecha. En este caso, tal y como lo tengo 356 00:34:40,500 --> 00:34:44,340 la trayectoria se me ha salido hacia arriba. Me gustaría disminuir 357 00:34:44,340 --> 00:34:48,079 un poco la escala para que la trayectoria entera cupiera 358 00:34:48,079 --> 00:34:51,940 dentro de mi pantalla. Para eso tengo esta lupa menos y lupa más. 359 00:34:51,940 --> 00:34:56,159 Si pulso sobre el menos disminuye la escala y puedo ver 360 00:34:56,159 --> 00:35:02,960 un trozo mayor del espacio. Puedo ver más hacia arriba y más hacia la derecha de lo que puedo ver 361 00:35:02,960 --> 00:35:11,079 con la configuración inicial. Al revés, si tengo un tiro con un ángulo de elevación pequeño o 362 00:35:11,079 --> 00:35:19,860 incluso un ángulo de depresión y con una velocidad bastante pequeña, tengo trayectorias muy cortitas 363 00:35:19,860 --> 00:35:24,500 y me puede costar ver bien qué es lo que está ocurriendo en este momento. Bueno, pues lo que 364 00:35:24,500 --> 00:35:31,059 me puede interesar es utilizar la lupa de más para utilizar una escala más grande y poder ver 365 00:35:31,059 --> 00:35:36,500 con un poquito más de precisión qué es lo que está ocurriendo. Estos son todos los elementos 366 00:35:36,500 --> 00:35:42,219 que nosotros vamos a utilizar en un momento dado de nuestro espacio de trabajo. Me falta 367 00:35:42,219 --> 00:35:48,340 únicamente comentar este botón que es el botón de reiniciar. Si he estado toqueteando y he cambiado 368 00:35:48,340 --> 00:35:53,519 mucho la configuración y me gustaría volver a la configuración inicial, no tengo más que presionarlo 369 00:35:53,519 --> 00:36:00,539 y vuelvo a la configuración inicial con la calabaza, que puedo cambiar por una bala de caña. 370 00:36:02,980 --> 00:36:08,079 En la primera parte del procedimiento experimental se nos pide que determinamos 371 00:36:08,079 --> 00:36:12,699 cómo debemos configurar el sistema de lanzamiento para alcanzar un cierto objetivo. 372 00:36:12,840 --> 00:36:18,579 En este caso, el objetivo se encuentra sobre el suelo, una coordenada vertical igual a cero, 373 00:36:18,800 --> 00:36:25,480 a 25 metros del sistema de lanzamiento, o sea que tendremos una coordenada horizontal igual a 25 metros. 374 00:36:26,000 --> 00:36:29,940 El sistema de lanzamiento no está completamente sin determinarse. 375 00:36:30,039 --> 00:36:36,400 Nos dice que tenemos que producir un lanzamiento horizontal, esto es con un ángulo de elevación igual a cero, 376 00:36:36,920 --> 00:36:40,019 y que tenemos el sistema de lanzamiento situado a una altura de 10 metros, 377 00:36:40,159 --> 00:36:44,519 de tal manera que la coordenada vertical inicial del proyectil va a ser 10 metros. 378 00:36:45,039 --> 00:36:50,059 La variable que tenemos para poder jugar con ella es la velocidad inicial. 379 00:36:50,059 --> 00:37:10,980 Tenemos que determinar cuál es la velocidad inicial del lanzamiento para, con un ángulo de creación, con un ángulo de elevación igual a cero y desde una altura de 10 metros, alcancemos un objetivo que estará situado sobre el suelo a una distancia de 25 metros del sistema de lanzamiento. 380 00:37:11,000 --> 00:37:18,619 Lo primero que tenemos que hacer es configurar el laboratorio virtual para que reproduzca las condiciones que se nos han indicado en el enunciado. 381 00:37:19,119 --> 00:37:29,480 En lo que respecta al sistema de lanzamiento, tanto el ángulo de elevación de 0 grados, que se corresponde con un tiro horizontal, como su altura de 10 metros, ya se corresponde con lo que se nos decía. 382 00:37:30,119 --> 00:37:34,679 Así que lo único que tenemos que hacer en este momento es cambiar de posición el blanco. 383 00:37:35,059 --> 00:37:43,500 Ya está sobre la superficie, no lo vamos a poder mover de ahí, pero en lo que respecta a la distancia horizontal, está situado a 15 metros del sistema de lanzamiento 384 00:37:43,500 --> 00:37:49,480 y nosotros tenemos que llevarnos el blanco hasta la distancia de 25, que se nos indica en el enunciado. 385 00:37:50,159 --> 00:37:56,059 Ya lo tenemos a 25 metros y vamos a producir un primer lanzamiento. 386 00:37:56,300 --> 00:38:00,840 Vamos a dejar de momento esta velocidad configurada de 15 metros partido por segundo, 387 00:38:01,059 --> 00:38:04,599 puesto que no sabemos cuál pueda ser, cualquier opción es igualmente buena, 388 00:38:05,079 --> 00:38:09,519 y vamos a producir un primer lanzamiento, que como podemos comprobar se queda corto. 389 00:38:09,940 --> 00:38:16,679 Puesto que lo único que podemos variar es la velocidad inicial, para conseguir un mayor alcance tenemos que aumentar la velocidad inicial. 390 00:38:17,380 --> 00:38:20,079 Vamos a probar con 16 metros partido por segundo. 391 00:38:21,340 --> 00:38:28,179 Podemos ver cómo el proyectil se acerca al blanco, se aleja del sistema de lanzamiento, pero todavía es corto. 392 00:38:28,179 --> 00:38:31,159 Vamos a ir incrementando la velocidad. 393 00:38:32,019 --> 00:38:36,719 Vemos cómo se alcanza bastante, da al blanco, pero todavía no llega al centro del blanco. 394 00:38:36,719 --> 00:38:43,500 vamos a probar con 18 metros partido por segundo y en este caso lo que vemos es que nos hemos 395 00:38:43,500 --> 00:38:51,679 pasado. Si seguiremos aumentando la velocidad llegaremos a pasarnos por completo del blanco. 396 00:38:52,739 --> 00:38:59,480 Bien, nosotros queremos alcanzar el blanco que se encuentra a 25 metros del sistema de lanzamiento 397 00:38:59,480 --> 00:39:10,239 Y hemos comprobado que con dos velocidades, 17 y 18 metros partido por segundo, pues casi, casi, casi llegamos al centro del blanco. 398 00:39:10,440 --> 00:39:16,739 En el primer caso nos quedamos cortos, ligeramente cortos, y en el segundo caso nos quedamos largos, nos pasamos un poquito. 399 00:39:18,539 --> 00:39:23,900 Parece razonable que nosotros pudiéramos decir que la velocidad es 18,5 metros partido por segundo. 400 00:39:24,400 --> 00:39:27,019 Entre 18 y 19, pues 18,5. 401 00:39:27,579 --> 00:39:34,340 No obstante, nosotros no podemos configurar de esa manera el sistema de lanzamiento y tenemos que elegir una de las dos, o bien 18 o bien 19, 402 00:39:35,079 --> 00:39:40,659 puesto que no podemos más que configurar las velocidades iniciales con intervalos de 1 metro partido por segundo. 403 00:39:41,380 --> 00:39:52,460 El criterio es, en mi caso voy a elegir la cercanía, tengo la sensación, viendo dónde están las balas de cañón de los 17 y de los 18 metros partido por segundo, 404 00:39:52,460 --> 00:39:57,960 que ésta se encuentra ligeramente más cerca del centro del blanco que esta otra. 405 00:39:58,500 --> 00:40:02,699 Así que voy a tomar como correcta, como respuesta, 406 00:40:03,039 --> 00:40:07,199 que la velocidad inicial debe ser de 18 metros partido por segundo 407 00:40:07,199 --> 00:40:13,980 y que el alcance, sé que no es 25 metros, es lo que yo desearía, 408 00:40:13,980 --> 00:40:19,579 pero es lo más aproximado que puedo conseguir con este sistema de lanzamiento de que dispongo. 409 00:40:19,579 --> 00:40:37,389 A continuación tenemos que repetir el experimento pero en este caso el sistema de lanzamiento viene ya configurado no sólo con el ángulo de elevación igual a cero, volvemos a tener un tiro horizontal, sino que en este caso lo que tenemos fijada es la velocidad inicial. 410 00:40:38,010 --> 00:40:41,429 Tenemos una velocidad inicial de 25 metros partido por segundo. 411 00:40:42,030 --> 00:40:46,090 Y el parámetro que nos queda para jugar experimentalmente es la altura inicial, 412 00:40:46,210 --> 00:40:48,889 la altura a la cual tenemos que situar el sistema de lanzamiento 413 00:40:48,889 --> 00:40:53,590 y que coincidirá con la coordenada vertical inicial del proyectil. 414 00:40:55,920 --> 00:41:01,719 Bien, voy a borrar la trayectoria del caso anterior y vamos a volver a configurar nuestro sistema. 415 00:41:02,059 --> 00:41:06,219 Ya tenemos el blanco a 25 metros, que es donde se nos indica que debe estar, 416 00:41:07,159 --> 00:41:12,579 Puesto que el lanzamiento va a ser horizontal, el ángulo de elevación de 0 grados es correcto. 417 00:41:13,260 --> 00:41:19,019 Y en este caso la velocidad inicial se nos dice que tiene que tomar el valor de 25 metros partido por segundo. 418 00:41:19,840 --> 00:41:25,900 Y lo que tenemos que determinar es la altura a la que se tiene que producir el lanzamiento para alcanzar el blanco. 419 00:41:26,940 --> 00:41:31,980 Si dejamos esta altura de 10 metros que teníamos del caso anterior, 420 00:41:31,980 --> 00:41:39,840 podemos comprobar que nos pasamos bastante de la posición del blanco así que para conseguir 421 00:41:39,840 --> 00:41:44,480 que el alcance sea 25 metros lo que tenemos que hacer es en este caso disminuir la altura 422 00:41:44,480 --> 00:41:53,199 vamos a ir bajando desde los 10 metros vamos a probar por ejemplo con 9 nos acercamos al 423 00:41:53,199 --> 00:42:08,840 blanco pero no lo suficiente. 8 metros. Todavía no. 7 metros. Todavía no. 6 metros. Casi. 5 metros. 424 00:42:09,900 --> 00:42:16,679 Uy, yo creo que 5 metros va a ser la mejor opción. Hemos dado en el blanco casi, casi en el centro. 425 00:42:16,679 --> 00:42:23,420 Si en lugar de con 5 metros probáramos con 4, pues efectivamente no llegamos al blanco. 426 00:42:23,539 --> 00:42:27,440 No es que demos el blanco y nos quedemos cortos, es que directamente no llegamos al blanco. 427 00:42:27,940 --> 00:42:36,760 Así que en este caso parece que la mejor opción es la de situar a 5 metros de altura el sistema de lanzamiento. 428 00:42:37,519 --> 00:42:44,440 Una vez más, con 5 metros de altura nos pasamos un poquito, si bien es cierto solamente un poquito, del centro del blanco. 429 00:42:44,440 --> 00:42:47,179 así que estaremos alcanzando un poco más de 25 metros. 430 00:42:47,960 --> 00:42:53,260 Podemos estar tentados de dar como resultado 4,8 o 4,9 metros de altura, 431 00:42:53,599 --> 00:42:56,719 pero nosotros no podemos configurar así el sistema de lanzamiento. 432 00:42:56,900 --> 00:43:02,780 Nosotros únicamente podemos dar alturas con valores de 1, 2, 3, 4, 5 metros, valores enteros. 433 00:43:03,119 --> 00:43:09,500 Así que en este caso la respuesta que tenemos que dar es que la altura del sistema de lanzamiento debe ser 5 metros. 434 00:43:11,739 --> 00:43:16,760 Por último, vamos a repetir la experiencia jugando con la última variable que nos queda. 435 00:43:16,960 --> 00:43:22,000 En este caso, el sistema de lanzamiento queda configurado a una altura de 5 metros. 436 00:43:22,159 --> 00:43:24,780 La coordenada vertical inicial del proyectil es 5 metros. 437 00:43:25,559 --> 00:43:29,300 El lanzamiento se va a producir con una velocidad de 15 metros partido por segundo, 438 00:43:29,420 --> 00:43:33,820 así que el módulo de la velocidad inicial del proyectil va a ser 15 metros partido por segundo. 439 00:43:33,820 --> 00:43:37,960 Y lo que queda por determinar es el ángulo de elevación o de depresión. 440 00:43:37,960 --> 00:43:46,789 Vamos a borrar esta trayectoria del caso anterior y una vez más, en este caso, vamos a configurar el sistema. 441 00:43:47,309 --> 00:43:50,449 Tenemos el blanco a 25 metros, que es lo que se nos pedía. 442 00:43:51,489 --> 00:43:55,610 Tenemos ya el sistema de lanzamiento a una altura de 5 metros. 443 00:43:56,329 --> 00:44:00,550 Vamos a configurar la velocidad inicial a 15 metros partido por segundo. 444 00:44:01,269 --> 00:44:08,050 Y en este caso lo que tenemos que hacer es determinar cuál es el ángulo de elevación o de depresión para alcanzar el blanco. 445 00:44:08,050 --> 00:44:13,650 En estas condiciones de lanzamiento a 5 metros de altura con una velocidad de 15 metros partido por segundo. 446 00:44:14,050 --> 00:44:17,070 Vamos a probar con este ángulo de 0 grados. 447 00:44:17,170 --> 00:44:21,929 Vamos a probar con un lanzamiento horizontal y podemos ver que nos quedamos cortos. 448 00:44:23,110 --> 00:44:28,570 Así que lo que tenemos que hacer es ir incrementando el ángulo de elevación hasta poder alcanzar el objetivo. 449 00:44:29,349 --> 00:44:32,469 Vamos a probar con un ángulo de 5 grados. 450 00:44:32,469 --> 00:44:37,489 vemos que nos alejamos del sistema de lanzamiento, nos aproximamos al objetivo 451 00:44:37,489 --> 00:44:41,610 pero nos quedamos cortos. Vamos a probar con 10 grados 452 00:44:41,610 --> 00:44:44,989 nos vamos alejando, todavía no llegamos 453 00:44:44,989 --> 00:44:51,300 15, poco a poco nos hemos aproximado 454 00:44:51,300 --> 00:44:55,639 20, casi llegamos 455 00:44:55,639 --> 00:44:58,739 al blanco, 25 grados 456 00:44:58,739 --> 00:45:03,260 y justo con este valor no solamente 457 00:45:03,260 --> 00:45:16,420 damos en el blanco, sino que casi llegamos al centro del blanco. Así que este valor de 25 grados es uno de los posibles para poder alcanzar 458 00:45:16,420 --> 00:45:24,659 nuestro objetivo. Digo uno de los posibles porque con carácter general va a haber dos ángulos con los cuales se alcance. Este es uno de ellos, 459 00:45:24,659 --> 00:45:29,179 el menor posible, vamos a ir incrementando el ángulo de elevación a ver qué es lo que ocurre. 460 00:45:30,480 --> 00:45:38,079 30 grados. Nos vamos alejando del sistema de lanzamiento. 35 grados. Seguimos alejándonos. 461 00:45:39,039 --> 00:45:46,210 Parece que lo que estamos haciendo es bastante absurdo. 40 grados. Fijaos lo que ocurre. Nos 462 00:45:46,210 --> 00:45:57,179 vamos alejando pero cada vez menos. 45 grados. Y en este momento el alcance retrocede. Con el 463 00:45:57,179 --> 00:46:04,400 valor de 40 grados parece que hemos conseguido el mayor alcance, pero conforme vamos aumentando 464 00:46:04,400 --> 00:46:09,420 el ángulo de elevación por encima de esos 40 grados, el alcance va retrocediendo, se 465 00:46:09,420 --> 00:46:12,900 va haciendo cada vez menor. Imaginamos que en algún momento vamos a volver a alcanzar 466 00:46:12,900 --> 00:46:23,050 nuestro blanco a 25 grados. Vamos a probar ahora con 50 grados, vamos retrocediendo y 467 00:46:23,789 --> 00:46:28,789 Tocamos el blanco, no en el centro, con 55 grados. 468 00:46:32,019 --> 00:46:36,840 Llegamos al blanco. Una vez más, no es el centro, pero es bastante aproximado. 469 00:46:37,380 --> 00:46:42,860 Hemos llegado al blanco, nos hemos aproximado al centro mucho más con 55 grados que con 50. 470 00:46:43,500 --> 00:46:51,099 Si ahora continuáramos aumentando el ángulo de elevación con 60 grados, seguimos retrocediendo, ya no llegamos al blanco. 471 00:46:51,099 --> 00:46:59,260 así pues en este caso hay dos soluciones hay dos ángulos con los cuales podemos alcanzar el blanco 472 00:46:59,260 --> 00:47:09,820 de 25 a 25 metros una solución el ángulo mayor es con 55 grados donde vemos que casi llegamos 473 00:47:09,820 --> 00:47:20,559 al centro del blanco y la segunda era 25 grados en cuyo caso es mucho mejor para que nos vamos 474 00:47:20,559 --> 00:47:25,420 a engañar, nos acercamos mucho más al centro del blanco. Pero desde el punto de vista de 475 00:47:25,420 --> 00:47:32,559 hay dos soluciones, las soluciones son 25 y 55 grados. Como podemos comprobar, una de 476 00:47:32,559 --> 00:47:38,099 ellas, la que tenga el ángulo menor, va a ser mucho más horizontal, va a tener una 477 00:47:38,099 --> 00:47:42,539 elevación máxima más pequeña que aquella que tenga el ángulo mayor, en cuyo caso lo 478 00:47:42,539 --> 00:47:46,840 que tenemos es una parábola mucho más hacia arriba y tenemos el vértice a una altura 479 00:47:46,840 --> 00:47:52,900 mayor. Así que aquí tenemos dos soluciones, 25 grados y 55 grados, para la configuración que se 480 00:47:52,900 --> 00:48:00,250 nos daba en este apartado. A continuación, tras la parte experimental, vamos a pasar a la parte 481 00:48:00,250 --> 00:48:05,550 analítica de esta primera parte de la práctica. Todo lo que hemos determinado experimentalmente, 482 00:48:05,610 --> 00:48:09,630 a continuación lo vamos a hacer analíticamente, haciendo uso de las ecuaciones del movimiento. 483 00:48:10,190 --> 00:48:15,650 Y vamos a comenzar con este primer caso, en el cual nos planteamos un objetivo situado sobre 484 00:48:15,650 --> 00:48:21,429 el suelo y a 25 metros del sistema de lanzamiento, de tal forma que lo que nos vamos a plantear 485 00:48:21,429 --> 00:48:26,829 es que el alcance sea igual a 25 metros, x máxima igual a 25 metros, con un sistema 486 00:48:26,829 --> 00:48:31,309 de lanzamiento que produce lanzamientos horizontales, esto es con un ángulo de elevación igual 487 00:48:31,309 --> 00:48:38,150 a 0 grados, situado a 10 metros sobre el suelo, de tal forma que la coordenada vertical inicial 488 00:48:38,150 --> 00:48:43,989 del proyectil es igual a 10 metros. Queremos calcular el módulo de la velocidad inicial, 489 00:48:43,989 --> 00:48:50,690 v0. Y lo que vamos a hacer es partir de las ecuaciones del movimiento que habíamos desarrollado 490 00:48:50,690 --> 00:48:57,269 en la introducción teórica. Las tenemos aquí a la izquierda. La posición horizontal tiene un único 491 00:48:57,269 --> 00:49:02,989 término, una única contribución, el producto de la velocidad horizontal inicial por el tiempo. La 492 00:49:02,989 --> 00:49:09,670 coordenada vertical tiene tres contribuciones, la posición vertical inicial, el término de la 493 00:49:09,670 --> 00:49:14,550 velocidad inicial por el tiempo y el término de la aceleración menos un medio de la gravedad por 494 00:49:14,550 --> 00:49:19,030 el tiempo al cuadrado. Una vez más, este signo negativo lo que indica es que la aceleración de 495 00:49:19,030 --> 00:49:25,090 la gravedad g tiene el sentido hacia abajo opuesto al positivo que habíamos decidido para nuestro 496 00:49:25,090 --> 00:49:30,829 sistema de referencia. En cuanto a la velocidad, bien, la velocidad, la componente horizontal de 497 00:49:30,829 --> 00:49:35,929 la velocidad tiene un único término, la velocidad inicial. La componente vertical de la velocidad 498 00:49:35,929 --> 00:49:40,809 tiene dos términos, la velocidad inicial vertical y el término que va con la gravedad. 499 00:49:42,269 --> 00:49:47,869 Bien, lo primero que vamos a hacer es considerar que el lanzamiento es horizontal, el ángulo 500 00:49:47,869 --> 00:49:53,730 de elevación es igual a cero grados. Y en ese caso lo que va a ocurrir es que la velocidad, 501 00:49:53,989 --> 00:49:59,869 el vector velocidad, es completamente horizontal. La componente vertical es idénticamente nula 502 00:49:59,869 --> 00:50:04,090 y la componente horizontal va a coincidir con el módulo de la velocidad inicial. 503 00:50:04,090 --> 00:50:09,469 Recordemos, tal como habíamos visto en la introducción teórica 504 00:50:09,469 --> 00:50:13,489 que conocido el módulo de la velocidad inicial y el ángulo de elevación 505 00:50:13,489 --> 00:50:16,769 podríamos calcular las componentes de la velocidad inicial 506 00:50:16,769 --> 00:50:20,849 En el caso de la velocidad inicial horizontal, de la componente horizontal 507 00:50:20,849 --> 00:50:25,650 lo que tenemos que hacer es multiplicar el módulo de la velocidad inicial por el coseno del ángulo de elevación 508 00:50:25,650 --> 00:50:28,690 Si el ángulo de elevación es 0, su coseno es 1 509 00:50:28,690 --> 00:50:34,690 de tal forma que en ese caso la componente horizontal de la velocidad coincide con el módulo de la velocidad. 510 00:50:35,710 --> 00:50:38,829 Asimismo, en el caso de la velocidad vertical de la componente vertical, 511 00:50:39,369 --> 00:50:43,230 tenemos que multiplicar el módulo de la velocidad por el seno del ángulo de elevación. 512 00:50:43,809 --> 00:50:47,329 Si el ángulo de elevación es cero, el seno es igual a cero, 513 00:50:47,389 --> 00:50:51,989 de tal manera que la componente vertical de la velocidad va a ser idénticamente nula. 514 00:50:54,289 --> 00:50:57,829 Así pues, como decía, vamos a sustituir en las ecuaciones de movimiento 515 00:50:57,829 --> 00:51:05,010 la velocidad inicial horizontal v0x que teníamos aquí y aquí 516 00:51:05,010 --> 00:51:07,829 por el módulo de la velocidad inicial, como podemos ver. 517 00:51:08,489 --> 00:51:13,250 Y por otro lado vamos a cancelar los términos que contenían la velocidad inicial vertical, 518 00:51:13,710 --> 00:51:15,809 que serían este de aquí y este de aquí, 519 00:51:16,230 --> 00:51:20,170 que como podéis ver han desaparecido en esta segunda versión de las ecuaciones del movimiento. 520 00:51:20,949 --> 00:51:25,329 A continuación lo que vamos a hacer, una vez que hemos modificado estos valores algebraicos, 521 00:51:25,449 --> 00:51:27,289 es sustituir valores numéricos. 522 00:51:27,289 --> 00:51:44,469 Vamos a sustituir en primer lugar que la posición vertical inicial es 10 metros, la teníamos aquí en la ecuación para la coordenada Y, sustituimos 10 metros y además vamos a sustituir la aceleración de la gravedad por su valor 9,81 metros partido por segundo al cuadrado. 523 00:51:44,469 --> 00:51:53,650 La tenemos en dos lugares, aquí dividida entre 2, 4,905, y aquí tal cual 9,81, insisto, metros partido por segundo al cuadrado. 524 00:51:54,349 --> 00:52:02,190 Estas son, pues, las ecuaciones del movimiento, ecuaciones para la posición vertical y horizontal y velocidad vertical y horizontal, 525 00:52:02,849 --> 00:52:08,190 para un proyectil lanzado desde una altura de 10 metros, un tiro horizontal, 526 00:52:08,190 --> 00:52:14,710 y lo que nos vamos a plantear es cuál es el valor de la velocidad inicial v0 527 00:52:14,710 --> 00:52:18,050 que hace que el alcance máximo sea 25 metros. 528 00:52:18,510 --> 00:52:25,449 Que cuando el proyectil alcance el suelo, cuando el proyectil alcance la altura y de destino igual a cero, 529 00:52:26,610 --> 00:52:30,869 tenga como x máxima, como x de destino igual a 25 metros. 530 00:52:31,949 --> 00:52:37,449 Para ello tenemos que pasar por el tiempo de vuelo, que es el tiempo que tarda el proyectil en alcanzar el destino 531 00:52:37,449 --> 00:52:41,170 y lo que vamos a hacer es imponer las condiciones correspondientes. 532 00:52:41,369 --> 00:52:48,690 Nosotros queremos que cuando haya pasado ese tiempo de vuelo, la coordenada horizontal x tome el valor 25 metros 533 00:52:48,690 --> 00:52:53,590 y eso se va a corresponder simultáneamente con una coordenada vertical igual a cero. 534 00:52:54,150 --> 00:52:57,789 Insisto en que el tiempo de vuelo se define a partir de esta ecuación. 535 00:52:58,329 --> 00:53:01,650 Es el tiempo en el cual el proyectil ha alcanzado el suelo. 536 00:53:01,650 --> 00:53:09,750 y una vez que tengamos el tiempo de vuelo, bueno, pues lo que queremos es que la x, la coordenada x en ese tiempo, coincida con 25 metros. 537 00:53:10,489 --> 00:53:17,969 Lo que vamos a hacer es utilizar, puesto que tenemos condiciones para la posición, las ecuaciones para la posición, estas que tenemos aquí. 538 00:53:18,409 --> 00:53:26,949 Y vamos a sustituir las condiciones. Vamos a sustituir el tiempo por el tiempo de vuelo y en ese caso x queremos que valga 25 metros 539 00:53:26,949 --> 00:53:30,769 y el tiempo de vuelo debe corresponderse con un valor de y igual a 0. 540 00:53:31,230 --> 00:53:32,750 Eso es lo que tenemos aquí debajo. 541 00:53:33,389 --> 00:53:38,849 Sustituimos x del tiempo de vuelo igual a 25 y la ecuación queda v sub 0 por tiempo de vuelo igual a 25. 542 00:53:39,969 --> 00:53:43,889 Sustituimos que la y del tiempo de vuelo sea igual a 0 y lo que nos queda es que 543 00:53:43,889 --> 00:53:48,090 10 menos 4,905 por tiempo de vuelo al cuadrado igual a 0. 544 00:53:48,610 --> 00:53:52,530 Nos queda un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que son el tiempo de vuelo 545 00:53:52,530 --> 00:53:56,429 y la velocidad inicial, aquella en la que nosotros estamos interesados. 546 00:53:57,510 --> 00:54:02,070 Como vemos, la velocidad inicial, la que nos interesa, aparece en la primera ecuación, 547 00:54:02,289 --> 00:54:06,449 pero aparece junto con el tiempo de vuelo. Tenemos una ecuación con dos incógnitas. 548 00:54:06,909 --> 00:54:11,050 No podemos determinar la velocidad inicial antes de determinar el tiempo de vuelo. 549 00:54:11,630 --> 00:54:15,150 ¿Cómo podemos calcular ese tiempo de vuelo? Bueno, pues con la segunda ecuación, 550 00:54:15,469 --> 00:54:20,909 que la contiene como única incógnita. Aquí tenemos una ecuación cuadrática en el tiempo de vuelo. 551 00:54:20,909 --> 00:54:32,010 Así que lo que vamos a hacer es, a partir de esta segunda ecuación, despejar el tiempo de vuelo y calcularlo, puesto que todos los parámetros que tenemos, aparte del tiempo de vuelo, son numéricos. 552 00:54:33,210 --> 00:54:42,610 Haciendo esto, despejamos tiempo de vuelo igual a la raíz cuadrada de 10 entre 4,905 y obtenemos un valor de 1,428 segundos. 553 00:54:43,289 --> 00:54:46,110 El tiempo de vuelo se obtiene de una ecuación cuadrática. 554 00:54:46,289 --> 00:54:50,489 Tenemos dos soluciones, pero únicamente es físicamente admisible un tiempo positivo. 555 00:54:50,909 --> 00:54:54,610 Y eso lo hemos marcado poniendo expresamente este signo más delante de la raíz. 556 00:54:55,409 --> 00:54:58,070 Habitualmente esta disquisición no hace falta hacerla. 557 00:54:58,150 --> 00:55:03,429 Es evidente que el tiempo tiene que ser positivo, puesto que hemos elegido como origen de tiempos 558 00:55:03,429 --> 00:55:07,050 el momento de lanzamiento y tiempos negativos no tienen sentido para este estudio. 559 00:55:08,050 --> 00:55:12,150 Una vez que hemos determinado que el tiempo de vuelo es 1,428 segundos, 560 00:55:12,150 --> 00:55:18,070 como decía antes, nos vamos a por la primera ecuación, despejamos de ella la velocidad inicial, 561 00:55:18,369 --> 00:55:25,070 sustituimos ese tiempo de vuelo igual a 1,428 segundos y podremos calcularla. Despejamos en 562 00:55:25,070 --> 00:55:31,809 primer lugar velocidad inicial como 25 partido por el tiempo de vuelo, sustituimos 1,428 segundos y 563 00:55:31,809 --> 00:55:38,190 obtenemos como valor para la velocidad inicial, en este caso, 17,5 metros partido por segundo. 564 00:55:40,510 --> 00:55:43,989 Volvemos a repetir el mismo procedimiento para el segundo caso. 565 00:55:44,550 --> 00:55:53,050 Volvemos a tener nuestro objetivo a 25 metros, así que volvemos a plantearnos una y de destino igual a 0, una x de destino igual a 25 metros. 566 00:55:53,650 --> 00:55:57,710 Volvemos a tener un lanzamiento horizontal, luego el ángulo de elevación va a ser 0. 567 00:55:58,309 --> 00:56:07,989 Recordemos que esto quiere decir que la componente horizontal de la velocidad inicial coincide con el módulo de la velocidad inicial y que la componente vertical de la velocidad inicial es idénticamente nula. 568 00:56:07,989 --> 00:56:13,690 y el valor de esta velocidad inicial nos venía dado, era 25 metros partido por segundo. 569 00:56:13,869 --> 00:56:17,590 Luego la velocidad, en este caso la velocidad inicial, es conocida. 570 00:56:18,110 --> 00:56:23,849 La incógnita a calcular es, en este caso, la altura inicial del sistema de lanzamiento, la altura inicial del proyectil. 571 00:56:24,849 --> 00:56:26,849 Hacemos exactamente el mismo procedimiento. 572 00:56:27,090 --> 00:56:31,550 Partimos de las ecuaciones generales que habíamos deducido en la introducción teórica. 573 00:56:32,250 --> 00:56:39,909 Consideramos que, puesto que el lanzamiento es horizontal, la velocidad vertical, la componente vertical de la velocidad es nula. 574 00:56:40,349 --> 00:56:44,630 La componente horizontal de la velocidad coincide con el módulo de velocidad inicial. 575 00:56:44,809 --> 00:56:46,769 Hacemos ese cambio algebraico en las ecuaciones. 576 00:56:47,690 --> 00:56:49,789 Y ahora sustituimos los valores numéricos. 577 00:56:50,130 --> 00:56:54,269 Sustituimos la gravedad por 9,81 m partido por segundo al cuadrado. 578 00:56:54,409 --> 00:56:55,750 Aquí tenemos g partido por 2. 579 00:56:56,510 --> 00:57:00,829 Sustituimos, en este caso, la velocidad inicial por 25 m partido por segundo. 580 00:57:00,829 --> 00:57:06,730 aquí y aquí. ¿Cuál es la incógnita que nos quedaría? En este caso la incógnita que nos queda es la altura 581 00:57:06,730 --> 00:57:13,550 inicial del proyectil. Imponemos la misma condición. Nosotros lo que sabemos es que queremos alcanzar un 582 00:57:13,550 --> 00:57:19,909 destino que se encuentra a una altura de 0 metros sobre la superficie de la Tierra y que se encuentra 583 00:57:19,909 --> 00:57:25,289 a 25 metros del sistema de lanzamiento. Así que vamos a imponer las mismas condiciones que antes 584 00:57:25,289 --> 00:57:31,590 para el alcance. Y para el tiempo de vuelo es igual a cero, esta es la definición del tiempo de vuelo, 585 00:57:32,210 --> 00:57:38,050 y lo que queremos es que en el tiempo de vuelo la x tome el valor 25 metros. Igual que antes, 586 00:57:38,050 --> 00:57:44,349 estas condiciones se refieren exclusivamente a las coordenadas de posición, así pues vamos a 587 00:57:44,349 --> 00:57:50,409 utilizarlas. Vamos a sustituir t por el tiempo de vuelo y vamos a sustituir la x del tiempo de 588 00:57:50,409 --> 00:57:56,289 vuelo por 25 metros la y del tiempo de vuelo por 0. Haciendo eso llegamos a unas ecuaciones análogas 589 00:57:56,289 --> 00:58:01,789 a las que teníamos en el caso anterior. Únicamente que en este caso la velocidad inicial es conocida 590 00:58:01,789 --> 00:58:06,670 y la única incógnita que tenemos se encuentra aquí en la segunda ecuación. Esta es la incógnita que 591 00:58:06,670 --> 00:58:12,550 queremos determinar, perdón, es la altura inicial. Tenemos dos incógnitas, el tiempo de vuelo y la 592 00:58:12,550 --> 00:58:17,630 altura inicial. Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas igual que antes. Lo que ocurre 593 00:58:17,630 --> 00:58:21,929 que puesto que la incógnita que queremos determinar está en la segunda ecuación junto con el tiempo 594 00:58:21,929 --> 00:58:27,010 de vuelo, ahora tenemos que partir de la primera ecuación para despejar de ella el tiempo de vuelo 595 00:58:27,010 --> 00:58:33,670 y operando obtenemos el valor 1 segundo y tenemos que tomar la segunda ecuación para despejar en 596 00:58:33,670 --> 00:58:38,650 primer lugar la incógnita que queremos determinar, la altura del sistema de lanzamiento, después 597 00:58:38,650 --> 00:58:42,789 sustituiremos el tiempo de vuelo por el valor que hemos calculado y podremos calcular I0. 598 00:58:43,730 --> 00:58:49,170 Haciendo esto, vemos que I0 se despeja como 4,905 por el tiempo de vuelo al cuadrado. 599 00:58:49,769 --> 00:58:56,969 Sustituyendo este tiempo de vuelo por un segundo, obtenemos para la altura inicial del proyectil el valor 4,905 metros. 600 00:58:59,360 --> 00:59:02,960 Vamos a finalizar esta sección de estudio analítico con el tercer caso. 601 00:59:03,300 --> 00:59:12,380 En este caso, el sistema de lanzamiento viene caracterizado por la altura del sistema sobre el suelo, la altura inicial del proyectil, 602 00:59:12,380 --> 00:59:15,440 y la velocidad por el módulo de la velocidad inicial. 603 00:59:15,800 --> 00:59:17,920 Y nuestra incógnita era el ángulo de elevación. 604 00:59:18,780 --> 00:59:22,340 Vamos a operar idénticamente igual a los dos casos anteriores, 605 00:59:22,780 --> 00:59:28,300 pero vamos a comprobar que el hecho de tener como incógnita un ángulo en lugar de una posición o una velocidad 606 00:59:28,300 --> 00:59:32,599 hace que el cálculo algebraico se complique ligeramente. 607 00:59:33,059 --> 00:59:38,159 Eso se debe a que los ángulos como tales no nos van a aparecer nunca en las ecuaciones, 608 00:59:38,159 --> 00:59:42,940 sino que en las ecuaciones nos van a aparecer funciones trigonométricas de estos ángulos 609 00:59:42,940 --> 00:59:46,559 de tal forma que nuestras ecuaciones no serán en función de alfa 610 00:59:46,559 --> 00:59:50,039 sino en función del coseno de alfa, el seno de alfa, la tangente de alfa 611 00:59:50,039 --> 00:59:55,559 y ese paso intermedio, el tener no la incógnita sino una función de la incógnita 612 00:59:55,559 --> 00:59:59,059 va a hacer que el tratamiento algebraico sea ligeramente más complicado. 613 00:59:59,059 --> 01:00:00,820 Vamos a comprobarlo. 614 01:00:01,739 --> 01:00:06,579 Partimos como siempre de las ecuaciones del movimiento para la posición y para la velocidad 615 01:00:06,579 --> 01:00:09,159 que habíamos deducido en la introducción teórica. 616 01:00:09,619 --> 01:00:13,380 Vamos a hacer la sustitución algebraica de las componentes de la velocidad 617 01:00:13,380 --> 01:00:17,119 por las expresiones en función del módulo de la velocidad inicial 618 01:00:17,119 --> 01:00:22,519 y el ángulo de elevación, que son aquellas variables que nosotros tenemos entre manos. 619 01:00:23,119 --> 01:00:27,079 Vamos a hacer la sustitución general, la que habíamos comentado hace unos minutos, 620 01:00:27,880 --> 01:00:33,039 de componente horizontal de la velocidad igual a módulo de la velocidad por coseno del ángulo de elevación 621 01:00:33,039 --> 01:00:40,500 y componente vertical de la velocidad inicial igual a módulo de la velocidad inicial por el seno del ángulo de elevación. 622 01:00:41,400 --> 01:00:47,860 Hacemos esta sustitución tanto en las coordenadas de la posición como en las ecuaciones de la velocidad. 623 01:00:48,820 --> 01:00:54,440 A continuación, igual que en los casos anteriores, hacemos la sustitución de los valores numéricos que conozcamos. 624 01:00:54,440 --> 01:01:07,400 En este caso, la aceleración de la gravedad, 9,81 metros partido por segundo al cuadrado, la coordenada vertical inicial y sub cero igual a 5 metros y el módulo de la velocidad inicial, 15 metros partido por segundo. 625 01:01:07,960 --> 01:01:16,800 Y entonces obtenemos este par de ecuaciones para las coordenadas de posición y este par de ecuaciones para las componentes de la velocidad. 626 01:01:17,820 --> 01:01:22,599 Igual que antes, la condición que nosotros vamos a imponer guarda relación con el alcance. 627 01:01:23,219 --> 01:01:28,300 Nosotros queremos que se alcance el suelo a una distancia de 25 metros del sistema de lanzamiento. 628 01:01:29,019 --> 01:01:33,780 Así pues existirá un cierto tiempo de vuelo en el cual el proyectil alcanzará el suelo. 629 01:01:33,780 --> 01:01:41,059 En ese tiempo de vuelo la coordenada vertical será igual a cero y esto se debe corresponder con un alcance de 25 metros. 630 01:01:41,239 --> 01:01:46,139 Así que la coordenada horizontal en ese tiempo de vuelo debe ser igual a 25 metros. 631 01:01:46,519 --> 01:01:52,420 Igual que en los casos anteriores, estas condiciones atañen únicamente a las coordenadas de posición. 632 01:01:52,599 --> 01:02:03,159 Así que vamos a trabajar con ellas. Vamos a sustituir el tiempo por el tiempo de vuelo y vamos a considerar que el valor de x debe ser 25 metros cuando en ese tiempo de vuelo la y valga 0. 633 01:02:03,940 --> 01:02:06,079 Hacemos eso, igual que hemos hecho anteriormente. 634 01:02:06,639 --> 01:02:13,059 Y obtenemos, igual que antes, un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. En este caso el tiempo de vuelo y el ángulo de elevación. 635 01:02:13,559 --> 01:02:21,579 Pero fijaos que el ángulo de elevación aparece como coseno de alfa y seno de alfa, como funciones trigonométricas del ángulo de elevación. 636 01:02:21,579 --> 01:02:26,400 y aparece el ángulo de elevación y el tiempo de vuelo en las dos ecuaciones. 637 01:02:26,980 --> 01:02:32,980 De tal forma que ahora ya no vamos a operar tan sencillamente como en la ecuación que tengamos una única ecuación, 638 01:02:33,159 --> 01:02:36,480 la despejamos y la calculamos para poder sustituirla en la otra. 639 01:02:37,280 --> 01:02:40,860 Tenemos que operar simultáneamente con estas dos ecuaciones. 640 01:02:43,050 --> 01:02:51,889 La forma más sencilla de operar es tomar en la primera ecuación y despejar el tiempo de vuelo en función de, en este caso, el coseno de alfa. 641 01:02:52,690 --> 01:02:56,829 Vuelvo atrás. ¿Por qué es mejor empezar despejando de la primera ecuación? 642 01:02:57,230 --> 01:03:01,889 Porque en la segunda ecuación, en el tiempo de vuelo, lo que tengo es un polinomio de segundo grado. 643 01:03:02,409 --> 01:03:06,610 Mientras que en la primera ecuación, en el tiempo de vuelo, tengo sencillamente un polinomio de primer grado. 644 01:03:06,730 --> 01:03:10,050 Es mucho más fácil despejar de la primera ecuación que no de la segunda. 645 01:03:11,530 --> 01:03:15,769 Igualmente, ¿por qué despejo el tiempo de vuelo en lugar del coseno de alfa? 646 01:03:15,769 --> 01:03:26,010 Bien, podría operar análogamente de una u otra manera, pero mi idea es intentar eliminar en la segunda ecuación, cuando luego sustituya, este cuadrado del tiempo de vuelo al cuadrado. 647 01:03:26,389 --> 01:03:33,329 Así que voy a despejar tiempo de vuelo de la primera ecuación, voy a sustituir en la segunda, en la idea de que se me simplifique lo suficiente. 648 01:03:34,269 --> 01:03:44,389 Como decía, despejo el tiempo de vuelo de la primera ecuación, lo que obtengo es 25 partido por 15 coseno de alfa, y voy a simplificar la fracción 25 quinceavos por 5 tercios. 649 01:03:44,389 --> 01:03:47,409 esta forma de despejar es correcta 650 01:03:47,409 --> 01:03:49,670 voy a operar con toda la tranquilidad del mundo 651 01:03:49,670 --> 01:03:53,409 sustituyendo el tiempo de vuelo por 5 tercios entre coseno de alfa 652 01:03:53,409 --> 01:03:56,170 porque este denominador no se va a anular nunca 653 01:03:56,170 --> 01:03:59,369 si el denominador se hiciera cero, tiempo de vuelo tendría infinito 654 01:03:59,369 --> 01:04:02,630 tendría un problema, pero puesto que el ángulo 655 01:04:02,630 --> 01:04:05,949 con el que egresa el proyectil del sistema de lanzamiento 656 01:04:05,949 --> 01:04:08,170 va a estar comprendido entre 0 y 90 grados 657 01:04:08,170 --> 01:04:10,929 el ángulo de elevación no va a ser cero porque no tendría 658 01:04:10,929 --> 01:04:14,150 un tiro horizontal y no va a ser 90 grados 659 01:04:14,150 --> 01:04:18,929 porque en ese caso, como comentaba en la introducción teórica, destruiría el sistema de lanzamiento. 660 01:04:19,309 --> 01:04:25,489 Bien, puesto que alfa no va a tomar más que valores entre 0 y 90 grados, el coseno de alfa nunca se va a anular. 661 01:04:26,369 --> 01:04:35,329 Como decía, tiempo de vuelo igual a 5 partido por 3 coseno de alfa, que he despejado en la primera ecuación, lo sustituyo en la segunda ecuación. 662 01:04:35,769 --> 01:04:38,550 De tal manera que lo que me va a quedar es algo como esto. 663 01:04:38,550 --> 01:04:41,570 Como podéis ver, ha desaparecido el tiempo de vuelo. 664 01:04:41,889 --> 01:04:45,510 Me queda una única ecuación con una única incógnita, el ángulo de elevación. 665 01:04:46,329 --> 01:04:48,929 Lo único que ocurre es que esta ecuación es trigonométrica. 666 01:04:49,090 --> 01:04:53,469 No tengo alfa, sino que tengo funciones trigonométricas del ángulo alfa. 667 01:04:54,630 --> 01:04:58,570 Voy a ver cómo puedo trabajar con ellas para conseguir algo que sea razonable. 668 01:04:59,389 --> 01:05:01,030 Lo primero que voy a hacer es simplificar. 669 01:05:02,010 --> 01:05:06,750 Aquí tengo 15 seno de alfa por 5 partido por 3 coseno de alfa. 670 01:05:06,750 --> 01:05:13,409 Y lo que voy a hacer es simplificar. 15 partido por 3 es 5. 5 por 5 es 25. Lo tengo aquí. 671 01:05:13,710 --> 01:05:18,050 Y por otro lado, seno de alfa partido por coseno de alfa lo tengo también aquí a continuación. 672 01:05:19,070 --> 01:05:29,650 En cuanto al término cuadrático, también voy a operar. 4,905 por 5 al cuadrado entre 3 al cuadrado es este valor 13,625 que tengo aquí. 673 01:05:30,050 --> 01:05:34,250 Y por otro lado voy a tener en el denominador coseno al cuadrado de alfa. 674 01:05:34,250 --> 01:05:42,530 Parece que lo que tengo es muy complicado, que tengo seno de alfa, coseno de alfa, coseno al cuadrado de alfa 675 01:05:42,530 --> 01:05:49,389 Pero en realidad esto se puede simplificar teniendo en mente las identidades trigonométricas 676 01:05:49,389 --> 01:05:54,730 En concreto, seno de alfa partido por coseno de alfa equivale a tangente de alfa 677 01:05:54,730 --> 01:06:01,090 Y por otro lado, 1 partido por coseno al cuadrado de alfa se puede expresar como 1 más tangente al cuadrado de alfa 678 01:06:01,469 --> 01:06:12,070 Si tengo en cuenta estas identidades y produco esta sustitución, descubro que lo que me va a quedar es una ecuación, pero únicamente en tangente de alfa. 679 01:06:12,210 --> 01:06:17,969 No tengo seno de alfa, coseno de alfa, dos funciones trigonométricas distintas. Tengo una única, tengo tangente de alfa. 680 01:06:19,130 --> 01:06:23,190 Lo que voy a hacer es obtener una ecuación de segundo grado en tangente de alfa. 681 01:06:23,809 --> 01:06:30,929 5 más 25 tangente de alfa. Lo que voy a hacer es multiplicar este menos 13,625 por este paréntesis, primero por 1. 682 01:06:31,090 --> 01:06:39,110 este menos 13,625 que tengo aquí, y después por tangente cuadrado de alfa, este menos 13,625 tangente cuadrado de alfa. 683 01:06:39,449 --> 01:06:44,829 Lo voy a ordenar todo, voy a agrupar estos términos independientes, los que no van con tangente de alfa, 684 01:06:45,289 --> 01:06:48,030 para que tenga la aspecto de una ecuación de segundo grado canónica. 685 01:06:48,929 --> 01:06:58,869 Aquí tengo 13,625 tangente cuadrado de alfa, menos 25 tangente de alfa, y al agrupar estos términos independientes, más 8,625. 686 01:06:58,869 --> 01:07:02,110 He cambiado el signo a todos los términos de la ecuación. 687 01:07:02,989 --> 01:07:08,690 Tengo una ecuación, insisto, en forma canónica, de segundo grado para la tangente de alfa. 688 01:07:09,510 --> 01:07:13,190 Y lo que voy a hacer es resolver la ecuación de segundo grado con la fórmula típica. 689 01:07:13,769 --> 01:07:20,809 Tangente de alfa, que es mi incógnita, igual a, recordad, menos b más menos la raíz cuadrada de b cuadrado menos 4 por a por c, 690 01:07:21,130 --> 01:07:27,590 siendo a el coeficiente del término cuadrático, b el coeficiente del término lineal, c el término independiente. 691 01:07:27,590 --> 01:07:43,769 Bien, pues lo que tengo es 25 más menos la raíz cuadrada de menos 25 al cuadrado, menos 4 por 13,625 y por 8,625, todo ello dividido entre 2 por 13,625. 692 01:07:44,110 --> 01:07:48,949 Puedo calcular la tangente de alfa con la fórmula de la ecuación de segundo grado. 693 01:07:48,949 --> 01:07:59,250 Primero opero la raíz, el discriminante es positivo, extraigo la raíz cuadrada y obtengo el valor 12,447 694 01:07:59,250 --> 01:08:04,130 Y tengo dos posibles soluciones dependiendo de si tomo el signo más o el signo menos de la raíz 695 01:08:04,130 --> 01:08:08,150 Tomando el signo más tengo esta expresión numérica que tengo aquí 696 01:08:08,150 --> 01:08:11,849 Tomando el signo menos tengo esta otra expresión numérica que tengo aquí 697 01:08:11,849 --> 01:08:19,390 De tal forma que la tangente de alfa va a tomar dos posibles valores para que se pueda cumplir esta ecuación. 698 01:08:20,090 --> 01:08:25,949 O bien la tangente de alfa toma el valor 0,461, es el que se obtiene con la resta, 699 01:08:26,569 --> 01:08:32,569 o bien tangente de alfa toma el valor 1,374, es el que se obtiene con el signo positivo. 700 01:08:33,689 --> 01:08:39,770 Así pues, hay dos valores de tangente de alfa, 0,461 y 1,374, 701 01:08:39,770 --> 01:08:44,210 que hace que se verifiquen las ecuaciones, las condiciones que habíamos expuesto anteriormente. 702 01:08:45,210 --> 01:08:48,649 Yo lo que quiero es calcular alfa, necesito calcular el ángulo de elevación. 703 01:08:49,050 --> 01:08:58,750 Bueno, pues lo único que tengo que hacer es calcular alfa como el arco cuya tangente es 0,461 o bien 1,374. 704 01:08:58,890 --> 01:09:02,949 Voy a calcular alfa como tangente menos 1 de estos dos valores que tenía aquí. 705 01:09:02,949 --> 01:09:12,449 Bien, os recuerdo que esta ecuación, alfa igual a tangente menos 1 de 0,461, tiene infinitas soluciones. 706 01:09:13,310 --> 01:09:20,350 Nosotros estamos únicamente considerando valores de alfa comprendidos entre 0 y 90 grados, un ángulo de elevación entre 0 y 90 grados. 707 01:09:20,970 --> 01:09:25,750 Así pues, cada una de estas dos ecuaciones va a tener una única solución, la que nos dé la calculadora. 708 01:09:25,750 --> 01:09:34,489 y en el primer caso el valor del ángulo de elevación que se obtiene con tangente igual a 0,461 es 24,75 grados 709 01:09:34,489 --> 01:09:39,529 y en el segundo caso, cuando la tangente de alfa es igual a 1,374, 710 01:09:39,949 --> 01:09:44,550 se obtiene para el ángulo de elevación el valor de 53,95 grados. 711 01:09:46,699 --> 01:09:51,739 Una vez que hemos determinado tanto experimental como analíticamente los valores de distintas magnitudes, 712 01:09:51,739 --> 01:09:57,560 vamos a compararlas tal y como habíamos adelantado al introducir los objetivos de esta práctica. 713 01:09:58,500 --> 01:10:02,199 Recogemos todos los resultados que hemos obtenido hasta este momento en esta tabla. 714 01:10:03,039 --> 01:10:07,500 Teníamos tres experiencias, en todas ellas nos planteábamos alcanzar un objetivo 715 01:10:07,500 --> 01:10:13,579 situado sobre la superficie y a una distancia de 25 metros, como podemos ver, del sistema de lanzamiento. 716 01:10:14,140 --> 01:10:18,539 En la primera lo que producimos era un lanzamiento horizontal con un ángulo de elevación de 0 717 01:10:18,539 --> 01:10:24,020 desde una altura de 10 metros y nos preguntábamos cuál debía ser la velocidad del proyectil 718 01:10:24,020 --> 01:10:25,380 para alcanzar nuestro objetivo. 719 01:10:26,039 --> 01:10:30,500 Experimentalmente, determinábamos una velocidad de 18 metros partido por segundo 720 01:10:30,500 --> 01:10:35,020 y analíticamente calculábamos una velocidad de 17,5 metros partido por segundo. 721 01:10:36,039 --> 01:10:38,939 En el segundo experimento, también con un lanzamiento horizontal, 722 01:10:39,720 --> 01:10:43,800 pero en este caso con una velocidad inicial dada de 25 metros partido por segundo, 723 01:10:43,800 --> 01:10:48,520 nos preguntábamos a qué altura debíamos situar el sistema de lanzamiento para alcanzar el objetivo. 724 01:10:48,539 --> 01:10:55,079 experimentalmente determinábamos una altura de 5 metros y analíticamente calculábamos una altura 725 01:10:55,079 --> 01:11:03,199 de 4,905 metros. Finalmente con nuestro sistema de lanzamiento situado a una altura de 5 metros y 726 01:11:03,199 --> 01:11:08,180 emitiendo el proyectil con una velocidad de 15 metros partido por segundo nos preguntábamos cuál 727 01:11:08,180 --> 01:11:13,880 había de ser el ángulo de elevación para alcanzar el objetivo. Experimentalmente determinábamos dos 728 01:11:13,880 --> 01:11:22,779 valores posibles 25 y 55 grados y analíticamente calculábamos dos valores posibles 24,75 y 53,95 729 01:11:22,779 --> 01:11:29,319 grados. Para comparar estos valores experimentales y analíticos utilizamos, tal y como habíamos 730 01:11:29,319 --> 01:11:36,119 mencionado en la introducción teórica, los errores absoluto y relativo porcentual. El error absoluto 731 01:11:36,119 --> 01:11:41,140 es el valor absoluto de la diferencia entre el valor experimental y analítico, puesto que pensamos 732 01:11:41,140 --> 01:11:47,800 que el valor experimental es aproximado y el valor analítico es exacto, el error relativo es el valor 733 01:11:47,800 --> 01:11:52,220 absoluto de la razón entre el error absoluto y el valor analítico multiplicado por 100, puesto que 734 01:11:52,220 --> 01:11:58,140 queremos el error relativo porcentual. Si hacemos estas operaciones con estos resultados que acabamos 735 01:11:58,140 --> 01:12:04,439 de exponer, obtenemos en la primera experiencia, donde determinamos la velocidad inicial, un error 736 01:12:04,439 --> 01:12:11,340 absoluto de 0,5 metros partido por segundo y un error relativo del 2,8%. En la segunda 737 01:12:11,340 --> 01:12:17,579 experiencia, donde nos preguntábamos por la altura inicial, obtenemos un error absoluto 738 01:12:17,579 --> 01:12:24,220 de 0,095 metros y un error relativo del 1,9%. Y finalmente, en la tercera experiencia, donde 739 01:12:24,220 --> 01:12:30,960 determinábamos el ángulo de elevación, obtenemos para el valor menor 0,25 grados 740 01:12:30,960 --> 01:12:39,399 de error absoluto un 1% de error relativo y para el valor mayor 1,05 grados de error absoluto 1,9% 741 01:12:39,399 --> 01:12:46,060 de error relativo. Estos resultados los podemos representar en esta tabla, donde para cada una 742 01:12:46,060 --> 01:12:51,500 de las experiencias tenemos el valor experimental y analítico sólo del parámetro que queríamos 743 01:12:51,500 --> 01:12:57,739 determinar y en las columnas de la derecha el error absoluto y relativo que se obtiene. Una vez 744 01:12:57,739 --> 01:13:02,819 más, como habíamos mencionado en la introducción teórica, el error absoluto es útil cuando queremos 745 01:13:02,819 --> 01:13:08,760 comparar magnitudes iguales. Por ejemplo, en el caso del ángulo de elevación podemos decidir que 746 01:13:08,760 --> 01:13:14,119 la determinación experimental del ángulo más pequeño se comete un error más pequeño, es una 747 01:13:14,119 --> 01:13:19,060 mejor aproximación que en la determinación experimental del ángulo más grande, sencillamente 748 01:13:19,060 --> 01:13:25,300 porque 0,25 grados es más pequeño que 1,05 grados. Y aquí sí podemos comparar los errores absolutos 749 01:13:25,300 --> 01:13:28,319 porque se refieren a la misma magnitud al ángulo de elevación. 750 01:13:29,060 --> 01:13:36,239 No obstante, si queremos comparar los errores en la determinación de la velocidad inicial, altura inicial y ángulo de elevación, 751 01:13:36,239 --> 01:13:40,060 no podemos utilizar errores absolutos, puesto que las unidades son distintas, 752 01:13:40,340 --> 01:13:45,000 y no podemos comparar 0,5 metros partido por segundo con 0,095 metros. 753 01:13:45,399 --> 01:13:47,340 Cosas distintas no son comparables. 754 01:13:47,779 --> 01:13:50,739 En este caso, tenemos que recurrir a los errores relativos. 755 01:13:50,739 --> 01:14:07,539 Y sí podemos decir, por ejemplo, que la determinación aproximada de la velocidad inicial en la primera experiencia es la menos aproximada posible, puesto que el error relativo es un 2,8% mayor que todos los demás. 756 01:14:08,300 --> 01:14:13,239 El error relativo más pequeño se corresponde con el ángulo de elevación, con el menor valor del ángulo de elevación. 757 01:14:13,399 --> 01:14:22,420 De tal forma que podríamos concluir que de todas las aproximaciones, la del ángulo más pequeño es la mejor y la de la velocidad inicial es la peor. 758 01:14:23,039 --> 01:14:28,260 Para finalizar esta práctica, se nos pide que hagamos un análisis geométrico de una trayectoria. 759 01:14:28,600 --> 01:14:36,539 La que tenemos aquí en esta imagen a continuación, donde podemos ver la trayectoria seguida por un proyectil desde que sale desde el sistema de lanzamiento 760 01:14:36,539 --> 01:14:40,239 hasta que alcanza la superficie de este cuerpo planetario 761 01:14:40,239 --> 01:14:44,340 porque tal y como se nos enuncia puede no ser la superficie de la Tierra. 762 01:14:45,279 --> 01:14:50,000 Lo que se nos dice es que tomemos como referencias exclusivas dentro de la imagen 763 01:14:50,000 --> 01:14:54,640 para las distancias la altura de esta estatua que es igual a 2 metros 764 01:14:54,640 --> 01:14:59,000 y para los tiempos la traza de tiempos que tenemos sobre la trayectoria. 765 01:14:59,000 --> 01:15:05,779 Ya habíamos indicado anteriormente que estos puntos indican la posición de proyectil cada 0,1 segundos 766 01:15:05,779 --> 01:15:09,899 y estos círculos redondos, la posición del proyectil cada segundo. 767 01:15:11,420 --> 01:15:15,359 Pues bien, lo que se nos pide es que determinemos, utilizando estas referencias, 768 01:15:16,079 --> 01:15:20,880 cuáles son el ángulo de elevación con el que se ha producido el lanzamiento, 769 01:15:21,460 --> 01:15:26,699 la velocidad inicial del proyectil y la aceleración de la gravedad en la superficie de este cuerpo planetario 770 01:15:26,699 --> 01:15:29,800 que, insisto, puede no ser la superficie de la Tierra. 771 01:15:29,800 --> 01:15:36,260 Para ello lo que vamos a hacer es tomar medidas sobre la imagen de tres puntos 772 01:15:36,260 --> 01:15:41,380 En primer lugar, el punto inicial, la posición inicial del proyectil viene dada por esta cruz 773 01:15:41,380 --> 01:15:43,300 tal y como habíamos comentado anteriormente 774 01:15:43,300 --> 01:15:48,659 Nosotros sabemos que el tiempo en el cual el proyectil se encuentra en este punto es 0 775 01:15:48,659 --> 01:15:51,819 por definición del origen de tiempos en nuestro sistema de referencia 776 01:15:51,819 --> 01:15:56,439 Sabemos que la coordenada horizontal x0 va a ser igual a 0 777 01:15:56,439 --> 01:16:03,300 también por definición porque habíamos colocado el origen del sistema de referencia justo aquí en la vertical del sistema de lanzamiento, 778 01:16:03,399 --> 01:16:11,340 en la vertical de la localización inicial del proyectil, nos faltaría por determinar cuál es I0, la altura inicial del proyectil, 779 01:16:11,680 --> 01:16:17,060 la distancia que separa la superficie de la Tierra, el origen del sistema de referencia y este punto que tenemos aquí. 780 01:16:17,979 --> 01:16:24,739 Como segundo punto importante vamos a utilizar el punto de altura máxima que sobre la traza aparece como este punto de color verde. 781 01:16:25,220 --> 01:16:35,859 Este punto vendrá dado por sus coordenadas y máxima, que se corresponderá con esta distancia, la altura de este punto con respecto a la superficie del cubo planetario, 782 01:16:36,460 --> 01:16:46,180 y su coordenada horizontal, la coordenada horizontal del punto de altura máxima, x de y máxima, que se corresponde con la distancia entre la proyección vertical de este punto, 783 01:16:46,180 --> 01:16:51,319 que caería aproximadamente aquí, y nuestro origen en el sistema de referencia. 784 01:16:51,859 --> 01:16:58,319 Asimismo, sobre la traza de tiempos podremos determinar cuál es el tiempo en el cual el proyectil alcanza la altura máxima, TI máxima. 785 01:16:59,760 --> 01:17:09,420 El tercer punto de importancia va a ser este de aquí, el punto en el cual el proyectil por fin alcanza la superficie del cuerpo planetario y que se va a corresponder con el alcance o alcance máximo. 786 01:17:10,359 --> 01:17:14,260 Por definición, puesto que el cuerpo va a alcanzar la superficie del cuerpo planetario, 787 01:17:14,659 --> 01:17:19,220 la coordenada Y va a ser cero y esa va a ser la condición que nosotros pudiéramos emplear 788 01:17:19,220 --> 01:17:21,500 para trabajar con este punto de alcance. 789 01:17:22,319 --> 01:17:25,600 Estaremos interesados, por supuesto, en determinar cuál es la coordenada horizontal, 790 01:17:25,600 --> 01:17:30,859 el alcance per se, que se corresponderá con la distancia entre el origen del sistema de referencia 791 01:17:30,859 --> 01:17:34,699 y este punto, aquel en el cual el proyectil alcanza la superficie de la Tierra. 792 01:17:35,340 --> 01:17:40,100 En cuanto al tiempo en el cual ocurre esto, en el cual el proyectil alcanza la superficie de la Tierra, 793 01:17:40,199 --> 01:17:46,159 es el tiempo de vuelo que nosotros podemos determinar igualmente contando los puntos a lo largo de la traza. 794 01:17:47,060 --> 01:17:52,079 Si nosotros tomamos esta imagen y la introducimos dentro de un editor de imágenes, 795 01:17:52,500 --> 01:17:54,220 lo que podemos hacer es lo siguiente. 796 01:17:54,460 --> 01:17:58,579 En primer lugar, yo lo que he hecho ha sido marcar esta línea de color anaranjado 797 01:17:58,579 --> 01:18:03,460 en lo que va a ser la superficie del cubo planetario, pasando por el pie de la estatua, 798 01:18:03,460 --> 01:18:06,439 que se va a corresponder grosso modo con el eje X. 799 01:18:08,279 --> 01:18:12,199 Trazando también una línea vertical que pasa por este punto, 800 01:18:12,359 --> 01:18:15,140 que va a ser el punto inicial en el cual se cuenta nuestro proyectil 801 01:18:15,140 --> 01:18:18,119 y que va a ser grosso modo el eje Y. 802 01:18:18,600 --> 01:18:22,939 La intersección de mi eje X y mi eje Y, esta línea horizontal y esta línea vertical, 803 01:18:22,939 --> 01:18:25,779 va a ser el origen de mi sistema de referencia. 804 01:18:26,920 --> 01:18:30,340 También he trazado estos ejes auxiliares, 805 01:18:30,800 --> 01:18:51,659 Puesto que en algún momento voy a tener que determinar las coordenadas del punto de altura máxima, lo que he hecho ha sido trazar pasando por él una línea horizontal que interseca con mi eje Y y una línea vertical que interseca con mi eje X, a fin de poder determinar de una forma cómoda las coordenadas Y máxima y X de Y máxima. 806 01:18:51,659 --> 01:18:59,500 Y he aprovechado para, sobre este eje auxiliar, por ejemplo, trazar una línea horizontal que pasa por la cabeza de la estatua. 807 01:19:00,300 --> 01:19:06,399 Haciéndolo así, yo ya sé que la distancia que separa este punto y este es 2 metros, se corresponde con la altura de la estatua. 808 01:19:06,800 --> 01:19:13,439 Y lo que he hecho es tomar este segmento y dividirlo a la mitad, de tal forma que esta separación entre la superficie de la Tierra y este punto, 809 01:19:13,680 --> 01:19:18,020 y la distancia entre este punto y la cabeza de la estatua, va a ser 1 metro. 810 01:19:18,020 --> 01:19:22,779 Y he tomado este trocito, este segmento, como unidad de medida. Va a ser un metro. 811 01:19:23,600 --> 01:19:29,859 Y la he trasladado al eje Y, partiendo del origen del sistema de referencia hacia arriba. 812 01:19:30,460 --> 01:19:34,920 He utilizado la misma unidad en el eje auxiliar para ayudarme a tomar las medidas. 813 01:19:35,880 --> 01:19:42,140 Después la he puesto en horizontal, el un metro lo he puesto en horizontal y lo he trasladado a lo largo del eje X. 814 01:19:42,739 --> 01:19:46,720 E igualmente he hecho lo mismo en mi eje auxiliar para ayudarme a tomar las medidas. 815 01:19:47,720 --> 01:19:55,380 Haciéndolo de esta manera y sin más que contar, puedo determinar cuáles son las coordenadas de esos tres puntos de especial interés que he mencionado anteriormente. 816 01:19:55,880 --> 01:20:08,560 Si cuento a lo largo de mi eje Y a partir del origen del sistema de referencia, 1, 2, 3, resulta que la coordenada vertical inicial del proyectil y subcero es igual a 3 metros. 817 01:20:09,279 --> 01:20:19,699 Si continúo, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, entre 13 y 14 metros me encuentro con la altura máxima. 818 01:20:20,079 --> 01:20:24,840 Creo que está aproximadamente a la mitad entre 13 y 14. 819 01:20:25,020 --> 01:20:30,060 Me voy a atrever a afinar diciendo que la altura máxima es 13,5 metros. 820 01:20:30,920 --> 01:20:33,500 13 me parece demasiado poco, 14 me parece mucho. 821 01:20:33,979 --> 01:20:36,380 No me voy a inventar un 13,25. 822 01:20:36,380 --> 01:20:41,079 13,5 para mí es una buena aproximación para la altura máxima. 823 01:20:41,220 --> 01:20:45,180 En lo que corresponde a la coordenada horizontal del punto de altura máxima, 824 01:20:45,300 --> 01:20:48,300 pues igualmente a partir del sistema de referencia voy a contar unidades, 825 01:20:48,739 --> 01:20:51,039 en este caso a lo largo del eje X, hacia la derecha. 826 01:20:52,039 --> 01:20:59,399 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 metros, aproximadamente 9 metros. 827 01:20:59,399 --> 01:21:06,199 Veo que es un poquito menos, pero no llega a ser, no me siento cómodo diciendo que son 8,5 metros. 828 01:21:06,380 --> 01:21:15,460 No me voy a inventar 8,87 metros, me voy a quedar con 9 metros como buena aproximación para la coordenada horizontal del punto de altura máxima. 829 01:21:15,500 --> 01:21:26,239 Si sigo contando a partir de aquí, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, casi en 19 un pelín menos, pero para mí en 19 tengo el alcance. 830 01:21:26,800 --> 01:21:34,520 De tal forma que también voy a caracterizar el punto del alcance máximo como coordenada horizontal de 19 metros y la coordenada vertical 0. 831 01:21:34,520 --> 01:21:37,199 Por definición, estoy alcanzando la superficie de la Tierra. 832 01:21:38,800 --> 01:21:46,619 Ahora voy a contar a lo largo de la trayectoria la traza de tiempos para determinar el tiempo en el que se alcanza la altura máxima y el tiempo de vuelo. 833 01:21:47,159 --> 01:21:53,380 Me faltan los puntos que estarían dentro del hipotético cañón, dentro del hipotético sistema de lanzamiento. 834 01:21:53,539 --> 01:21:59,300 Pero no me preocupa porque aquí tengo lo que va a ser el primer circulito que se corresponde con un tiempo de un segundo. 835 01:21:59,300 --> 01:22:05,840 Y ya contará a partir de él. Un segundo, 1,1, 1,2, 1,3 y 1,4. 836 01:22:05,979 --> 01:22:10,220 El vértice, el punto de altura máxima, creo que está aproximadamente a la mitad. 837 01:22:10,500 --> 01:22:17,600 Así que entre 1,3 y 1,4 voy a decir que el tiempo en el cual se alcanza la altura máxima es 1,35 segundos. 838 01:22:18,659 --> 01:22:21,119 Voy a seguir contando para terminar el tiempo de vuelo. 839 01:22:21,119 --> 01:22:31,640 Bien, este circulito es el segundo, son dos segundos. 2,1, 2,2, 2,3, 2,4, 2,5, 2,6, 2,7, este va a ser 2,8. 840 01:22:32,439 --> 01:22:40,140 Y ahora veamos. Si imaginariamente tomara este segmento y lo trasladara aquí a continuación, 841 01:22:40,960 --> 01:22:45,560 el punto que se correspondería si el proyectil pudiera penetrar por el interior de la Tierra, 842 01:22:45,560 --> 01:22:50,060 con 2,9 segundos estaría más o menos creo aquí 843 01:22:50,060 --> 01:22:54,420 donde tengo el cursor ahora mismo. Así que este punto 844 01:22:54,420 --> 01:22:58,760 el que corresponde con la intersección con el choque de proyectil con la superficie 845 01:22:58,760 --> 01:23:02,960 de la Tierra, para mí está entre este punto de 2,8 846 01:23:02,960 --> 01:23:06,920 y el hipotético punto de 2,9, voy a asignar al tiempo de vuelo 847 01:23:06,920 --> 01:23:09,619 un valor aproximado de 2,85 segundos. 848 01:23:10,579 --> 01:23:14,340 Así pues, ya tengo caracterizados los tres puntos importantes 849 01:23:14,340 --> 01:23:19,560 que junto con las ecuaciones del movimiento me van a permitir determinar todas las variables que necesito. 850 01:23:20,260 --> 01:23:27,039 En primer lugar, el punto inicial va a tener x0 igual a 0 por definición, y sub 0 igual a 3, lo acabo de medir, 851 01:23:27,699 --> 01:23:32,539 y t sub 0 igual a 0 también por definición, por definición insisto, de mi sistema de referencia. 852 01:23:33,340 --> 01:23:40,300 En cuanto al punto de la altura máxima, tiene x de máxima igual a 9 metros, y máxima igual a 13,5 metros, 853 01:23:40,300 --> 01:23:45,439 y el tiempo en el cual se alcanza la altura máxima, TI máxima, es 1,35 segundos. 854 01:23:46,159 --> 01:23:51,600 Por último, el alcance, el punto donde la superficie, perdón, el proyectil alcanza la superficie de la Tierra, 855 01:23:51,739 --> 01:23:53,300 bueno, en este caso del cuerpo planetario. 856 01:23:54,619 --> 01:23:59,920 El alcance X máxima es igual a 19 metros, la altura de este punto va a ser 0 por definición, 857 01:24:00,399 --> 01:24:04,140 y en cuanto al tiempo de vuelo, hemos medido 2,85 segundos. 858 01:24:06,659 --> 01:24:11,100 Vamos a continuar con la parte analítica utilizando las mismas ecuaciones de movimiento 859 01:24:11,100 --> 01:24:15,539 que habíamos utilizado en los casos anteriores, las que habíamos deducido en la introducción 860 01:24:15,539 --> 01:24:21,800 teórica. Vamos a hacer igual que anteriormente la sustitución de las componentes horizontal y 861 01:24:21,800 --> 01:24:27,199 vertical de la velocidad inicial por sus expresiones en función del módulo de la velocidad inicial y 862 01:24:27,199 --> 01:24:33,800 del ángulo de elevación. v0x igual a v0 por coseno de alfa, v0y igual a v0 por el seno de alfa. Y 863 01:24:33,800 --> 01:24:39,199 también en un solo paso vamos a sustituir la coordenada vertical del punto inicial y sub 0 864 01:24:39,199 --> 01:24:44,460 por 3 metros el valor que habíamos medido anteriormente. Y obtenemos estas cuatro ecuaciones, 865 01:24:44,659 --> 01:24:50,699 estas dos ecuaciones para las coordenadas x e y y estas dos ecuaciones para las componentes 866 01:24:50,699 --> 01:24:56,600 horizontal y vertical de la velocidad. Nosotros vamos a sustituir ciertas condiciones, igual que 867 01:24:56,600 --> 01:25:01,100 habíamos estado haciendo anteriormente, y en este caso lo que vamos a hacer es utilizar la altura 868 01:25:01,100 --> 01:25:06,899 máxima, el punto de altura máxima. Como habíamos discutido en la introducción teórica, este punto 869 01:25:06,899 --> 01:25:12,979 se caracteriza porque en el tiempo en el cual se alcanza la altura máxima, la componente vertical 870 01:25:12,979 --> 01:25:18,159 de la velocidad debe ser idénticamente nula. Y esta es la primera condición que podemos imponer 871 01:25:18,159 --> 01:25:24,060 en relación con la altura máxima. También podemos imponer, por supuesto, las coordenadas. Las hemos 872 01:25:24,060 --> 01:25:29,340 medido anteriormente y nosotros sabemos en el tiempo en el que se alcanza la altura máxima cuál 873 01:25:29,340 --> 01:25:33,800 es el valor de la coordenada vertical, la altura máxima que hemos medido en la imagen, y en ese 874 01:25:33,800 --> 01:25:37,340 mismo tiempo cuál es la coordenada horizontal, la coordenada del punto de 875 01:25:37,340 --> 01:25:41,220 altura máxima que habíamos medido en la imagen. Pues bien, si tomamos las tres 876 01:25:41,220 --> 01:25:46,060 ecuaciones, la componente vertical de la velocidad y las dos de las coordenadas 877 01:25:46,060 --> 01:25:52,600 de posición y sustituimos el tiempo de altura máxima 1,35 segundos, la velocidad 878 01:25:52,600 --> 01:25:57,579 0 por definición y en cuanto a las coordenadas la altura máxima 13,5 metros 879 01:25:57,579 --> 01:26:01,899 y la coordenada horizontal del punto de altura máxima 9 metros, lo que obtenemos 880 01:26:01,899 --> 01:26:08,479 es este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que vamos a recolocar de esta manera 881 01:26:08,479 --> 01:26:13,300 para poner los coeficientes numéricos delante de la parte literal como estamos acostumbrados. 882 01:26:14,079 --> 01:26:18,159 Y vemos que tenemos tres ecuaciones con tres incógnitas que son el módulo de la velocidad 883 01:26:18,159 --> 01:26:23,939 inicial, el ángulo de elevación en forma de seno o coseno de alfa y la aceleración de la gravedad 884 01:26:23,939 --> 01:26:29,060 en la superficie del cuerpo planetario, las tres magnitudes que se nos pide en el enunciado que 885 01:26:29,060 --> 01:26:35,369 determinemos analíticamente. Para simplificar el sistema de ecuaciones e ir calculando nuestras 886 01:26:35,369 --> 01:26:40,329 incógnitas, en primer lugar lo que vamos a hacer es tomar la primera ecuación v0 seno de alfa menos 887 01:26:40,329 --> 01:26:46,569 1,35 g igual a cero y de ella despejar el módulo de la velocidad inicial. En función de g y el seno 888 01:26:46,569 --> 01:26:52,850 de alfa de esta manera v0 igual a 1,35 g entre el seno de alfa. Y no nos preocupa estar dividiendo 889 01:26:52,850 --> 01:26:57,649 entre el seno de alfa porque dado que el ángulo de elevación hemos visto en la imagen va a estar 890 01:26:57,649 --> 01:27:02,109 comprendido entre 0 y 90 grados, seno de alfa nunca se va a anular y nunca vamos a estar dividiendo 891 01:27:02,109 --> 01:27:07,810 entre 0. Esta expresión algebraica para la velocidad inicial la vamos a sustituir en la 892 01:27:07,810 --> 01:27:15,409 segunda ecuación, que era 1,35 v0 seno de alfa menos 1,35 cuadrado partido por 2 por g igual a 893 01:27:15,409 --> 01:27:23,470 10,5. Sustituimos v0 por esta expresión algebraica y vemos que, operando de esta manera, el término 894 01:27:23,470 --> 01:27:29,170 que contenía el ángulo de elevación en forma de seno de alfa se simplifica. Este seno de alfa y 895 01:27:29,170 --> 01:27:35,029 este seno de alfa dividiendo se van a cancelar y lo que va a quedar es una ecuación 1,35 al 896 01:27:35,029 --> 01:27:42,069 cuadrado por g menos 1,35 al cuadrado entre 2 por g igual a 10,5, esta que tengo aquí, donde aparece 897 01:27:42,069 --> 01:27:47,210 únicamente como incógnita la aceleración de la gravedad. Así pues lo que puedo hacer es agrupar 898 01:27:47,210 --> 01:27:52,550 términos, despejar la aceleración de la gravedad y operar para obtener su valor numérico. Resulta 899 01:27:52,550 --> 01:27:56,329 que la aceleración de la gravedad en la superficie de este cuerpo planetario es 900 01:27:56,329 --> 01:28:00,649 11,52 metros partido por segundo al cuadrado. Así pues no estamos en la 901 01:28:00,649 --> 01:28:04,729 Tierra, donde la aceleración de la gravedad es 9,81 metros partido por 902 01:28:04,729 --> 01:28:08,550 segundo al cuadrado. Con esto hemos utilizado la primera 903 01:28:08,550 --> 01:28:12,510 ecuación despejando v0 para operar en la segunda y calcular la aceleración de la 904 01:28:12,510 --> 01:28:17,109 gravedad. ¿Qué nos queda? La tercera ecuación. Vamos en primer lugar a 905 01:28:17,109 --> 01:28:21,770 sustituir en ella, igual que hicimos anteriormente en la segunda ecuación, la 906 01:28:21,770 --> 01:28:28,270 expresión de v0 por la incógnita. La tercera ecuación era 1,35v0 coseno de alfa igual a 9, 907 01:28:28,750 --> 01:28:34,409 pues bien sustituiremos v0 por esta expresión 1,35g partido por el seno de alfa y nos queda 908 01:28:34,409 --> 01:28:40,010 esta ecuación que tenemos aquí, donde a su vez también podemos sustituir g por el valor numérico 909 01:28:40,010 --> 01:28:45,630 que hemos determinado hace un momento, 11,52. Haciéndolo de esa manera nos queda esta ecuación 910 01:28:45,630 --> 01:28:52,850 que tenemos aquí. Vamos a quitar los paréntesis, vamos a agrupar primero por delante 1,35 al cuadrado 911 01:28:52,850 --> 01:29:00,310 por 11,52 los términos numéricos y vamos a dejar coseno de alfa partido por seno de alfa como la 912 01:29:00,310 --> 01:29:07,850 parte literal igual a 9. Podemos despejar seno de alfa partido por coseno de alfa como el término, 913 01:29:07,970 --> 01:29:14,529 la parte numérica, 1,35 al cuadrado por 11,53 partido por 9. Y esto es útil porque seno de alfa 914 01:29:14,529 --> 01:29:19,890 partido por coseno de alfa equivale a tangente de alfa y resulta que nos queda una ecuación 915 01:29:19,890 --> 01:29:26,710 para tangente de alfa y de aquí podremos calcular alfa, el ángulo de elevación, como 916 01:29:26,710 --> 01:29:33,229 el arco cuya tangente toma el valor numérico resultado de 1,35 al cuadrado por 11,52 partido 917 01:29:33,229 --> 01:29:38,590 por 9. Eso es lo que tenemos aquí, alfa igual a tangente menos 1 de esa expresión numérica 918 01:29:38,590 --> 01:29:45,649 que es 2,333, y entonces tomamos para alfa el valor comprendido entre 0 y 90 grados. 919 01:29:45,770 --> 01:29:48,550 Recuerdo que las ecuaciones trigonométricas tienen infinitas soluciones, 920 01:29:49,229 --> 01:29:53,630 pero a nosotros nos interesa únicamente como físicamente aceptable para el problema con el que estamos 921 01:29:53,630 --> 01:30:00,050 un ángulo alfa perteneciente al primer cuadrante, pues bien, alfa toma el valor 66,8 grados. 922 01:30:01,569 --> 01:30:07,510 Así pues, despejamos v0 de la primera ecuación, sustituimos en la segunda y pudimos calcular g. 923 01:30:08,170 --> 01:30:11,590 Sustituyendo todo esto en la tercera ecuación, pudimos calcular alfa. 924 01:30:11,970 --> 01:30:13,970 Pues bien, nos queda calcular únicamente v0. 925 01:30:14,590 --> 01:30:19,170 Vamos a utilizar para ello la expresión que despejamos de la primera ecuación 926 01:30:19,170 --> 01:30:25,489 y lo que vamos a hacer es en ella sustituir g por el valor numérico 11,52 que habíamos calculado hace un momento 927 01:30:25,489 --> 01:30:29,710 y alfa por 66,8 grados que acabamos de calcular ahora mismo. 928 01:30:30,050 --> 01:30:37,489 Así pues, tomamos esa expresión, como he dicho, sustituimos g y alfa por los valores numéricos que acabamos de determinar, 929 01:30:37,510 --> 01:30:44,270 y obtenemos como módulo de la velocidad inicial el valor 16,9 m partido por segundo. 930 01:30:45,729 --> 01:30:50,470 Para recapitular, vamos a indicar lo que hemos ido haciendo a lo largo de esta práctica 931 01:30:50,470 --> 01:30:52,930 y cuáles son los resultados que hemos ido obteniendo. 932 01:30:53,869 --> 01:30:56,949 Comenzábamos determinando, tanto experimental como analíticamente, 933 01:30:57,590 --> 01:31:01,909 la caracterización del sistema de lanzamiento, ciertos parámetros de lanzamiento. 934 01:31:02,489 --> 01:31:13,050 Nos planteábamos tres experiencias. En las tres nos planteábamos alcanzar un objetivo situado sobre la superficie de la Tierra a una distancia de 25 metros del sistema de lanzamiento. 935 01:31:13,890 --> 01:31:25,729 En la primera producíamos un lanzamiento horizontal con un ángulo de elevación igual a cero desde una altura de 10 metros y nos preguntábamos por cuál sería la velocidad con la cual tendríamos que producir el lanzamiento para alcanzar el blanco. 936 01:31:25,729 --> 01:31:29,510 y determinábamos experimentalmente 18 metros partido por segundo 937 01:31:29,510 --> 01:31:33,449 y analíticamente calculábamos 17,5 metros partido por segundo. 938 01:31:33,850 --> 01:31:36,609 En la segunda experiencia, también con un lanzamiento horizontal, 939 01:31:37,170 --> 01:31:40,170 pero con una velocidad inicial de 25 metros partido por segundo, 940 01:31:40,310 --> 01:31:44,869 nos preguntábamos cuál es la altura del sistema del lanzamiento para alcanzar el blanco 941 01:31:44,869 --> 01:31:51,229 y determinábamos experimentalmente 5 metros y analíticamente calculábamos 4,905 metros. 942 01:31:52,069 --> 01:31:59,449 Finalmente, lanzando el proyectil con una velocidad de 15 metros partido por segundo desde una altura de 5 metros, 943 01:31:59,930 --> 01:32:04,909 nos preguntábamos cuáles serían los ángulos de elevación 2 con los cuales alcanzaremos el blanco. 944 01:32:05,829 --> 01:32:09,529 Experimentalmente determinábamos los ángulos de 25 y 55 grados. 945 01:32:10,069 --> 01:32:16,310 Analíticamente calculábamos los ángulos de 24,75 y 53,95 grados. 946 01:32:16,310 --> 01:32:35,489 A continuación se nos pedía comparar estos valores experimentales y analíticos considerados como aproximados y exactos utilizando los errores absoluto y relativo porcentual y determinábamos para las tres experiencias, para el parámetro que nosotros habíamos determinado, esos errores. 947 01:32:35,489 --> 01:32:43,770 En la primera experiencia, determinábamos experimental y analíticamente la velocidad inicial del proyectil y calculábamos los errores absoluto y relativo. 948 01:32:44,390 --> 01:32:49,630 En la segunda, la altura de lanzamiento y determinábamos los errores absoluto y relativo. 949 01:32:50,069 --> 01:32:57,369 Y en la tercera, los ángulos de elevación, tenemos dos valores posibles y determinábamos los errores absoluto y relativo. 950 01:32:57,369 --> 01:33:06,750 Recuerdo que dado que el error absoluto tiene unidades, únicamente nos es útil para comparar las aproximaciones de magnitudes con las mismas unidades. 951 01:33:06,750 --> 01:33:18,489 Y entonces podemos comparar la aproximación que supone 25 grados para el ángulo menor frente a 24,75 o 55 grados para el ángulo mayor frente a 53,95. 952 01:33:18,489 --> 01:33:25,430 Son magnitudes iguales, se miden en las mismas unidades, y dado que 0,25 grados es menor que 1,05 grados, 953 01:33:25,750 --> 01:33:29,810 decimos que la aproximación del ángulo menor es mejor que la aproximación del ángulo mayor. 954 01:33:30,329 --> 01:33:36,109 Para comparar magnitudes distintas que se miden en unidades diferentes, necesitamos hacer uso del error relativo. 955 01:33:36,609 --> 01:33:47,090 Entonces, dado que 2,8% es el mayor de todos, podemos decir que la aproximación de la velocidad inicial 18 por 17,5 es la peor aproximación de todas, 956 01:33:47,090 --> 01:33:51,430 mientras que dado que 1% es menor que todos los demás 957 01:33:51,430 --> 01:33:56,149 podemos decir que la aproximación de 25 grados por 24,75 grados 958 01:33:56,149 --> 01:33:59,350 en la determinación en la tercera experiencia del ángulo de elevación 959 01:33:59,350 --> 01:34:00,890 es la mejor de todas. 960 01:34:01,989 --> 01:34:07,310 El procedimiento experimental finalizaba con el análisis geométrico de una trayectoria. 961 01:34:07,310 --> 01:34:11,010 Se nos daba una imagen donde teníamos la trayectoria de un cuerpo 962 01:34:11,010 --> 01:34:13,630 lanzado en la superficie de un cuerpo planetario, 963 01:34:13,729 --> 01:34:15,550 hipotéticamente podría no ser la Tierra, 964 01:34:15,550 --> 01:34:24,050 y utilizando como referencias para la distancia la altura de la estatua y para los tiempos la traza sobre la propia trayectoria, 965 01:34:24,930 --> 01:34:31,529 teníamos que determinar la caracterización del sistema de lanzamiento, el ángulo de elevación y la velocidad inicial 966 01:34:31,529 --> 01:34:37,569 y también teníamos que determinar la aceleración de la gravedad en la superficie de este cuerpo planetario. 967 01:34:38,130 --> 01:34:43,430 Lo que hacíamos era utilizar la imagen para caracterizar tres puntos importantes de la trayectoria. 968 01:34:43,430 --> 01:34:52,529 El punto inicial que se corresponde con la posición del sistema de lanzamiento y aquí lo que determinábamos era la altura y subcero igual a 3 metros. 969 01:34:53,109 --> 01:34:58,270 También caracterizábamos el vértice de la trayectoria, el punto de altura máxima. 970 01:34:58,689 --> 01:35:09,930 La altura máxima medíamos 13,5 metros, su coordenada vertical del punto de altura máxima era 9 metros y el tiempo en el cual se alcanzaba este punto era 1,35 segundos. 971 01:35:09,930 --> 01:35:28,770 En cuanto al punto donde el proyectil impacta contra la superficie del cuerpo planetario, la altura es cero, el tiempo de vuelo, el tiempo en el que ocurre esto es 2,85 segundos y el alcance, la distancia horizontal, la coordenada horizontal de este punto resultaba ser 19 metros. 972 01:35:29,489 --> 01:35:35,369 Con estos valores y las ecuaciones del movimiento que habíamos deducido en la introducción teórica, 973 01:35:36,029 --> 01:35:38,329 llegamos a determinar las magnitudes pedidas. 974 01:35:38,869 --> 01:35:44,329 La aceleración de la gravedad en la superficie del cuerpo planetario, 11,52 m partido por segundo al cuadrado, 975 01:35:44,449 --> 01:35:47,409 no estamos efectivamente sobre la superficie de la Tierra. 976 01:35:48,069 --> 01:35:51,329 El ángulo de elevación, 66,8 grados. 977 01:35:51,329 --> 01:35:56,310 Y la velocidad inicial del lanzamiento, 16,9 m partido por segundo. 978 01:35:57,189 --> 01:36:02,550 En este momento voy a hacer un poco de trampa, porque yo sí sé cuáles son los valores de la aceleración de la gravedad, 979 01:36:03,090 --> 01:36:07,850 el ángulo de elevación y la velocidad inicial con la cual se ha generado la imagen. 980 01:36:08,270 --> 01:36:12,689 Y nos podemos permitir dar un paso más y determinar los errores absoluto y relativo 981 01:36:12,689 --> 01:36:17,270 para ver cómo de bien o cómo de mal hemos aproximado esos valores. 982 01:36:18,649 --> 01:36:25,189 La aceleración de la gravedad real con la cual se ha determinado la imagen es 11,67 m partido por segundo al cuadrado. 983 01:36:25,189 --> 01:36:28,189 la aceleración media en la superficie de Saturno. 984 01:36:29,069 --> 01:36:32,850 El error absoluto es 0,15 m partido por segundo al cuadrado 985 01:36:32,850 --> 01:36:35,689 y el error relativo cometido es un 1,3%. 986 01:36:35,689 --> 01:36:37,310 Bastante bien, francamente. 987 01:36:38,170 --> 01:36:39,970 En cuanto a los parámetros de lanzamiento, 988 01:36:40,829 --> 01:36:45,409 el ángulo de elevación real no era 66,8 sino 67 grados. 989 01:36:45,529 --> 01:36:49,670 El error absoluto es 0,2 grados y el error relativo es 0,3%, 990 01:36:49,670 --> 01:36:51,409 menor que el 1%. Muy bueno. 991 01:36:52,289 --> 01:36:53,850 Y en cuanto a la velocidad inicial, 992 01:36:53,850 --> 01:36:59,729 nosotros calculábamos 16,9 y el valor real era 17 metros partido por segundo. 993 01:37:00,409 --> 01:37:03,630 El error absoluto es 0,1 metros partido por segundo 994 01:37:03,630 --> 01:37:05,510 y el error relativo 0,6%. 995 01:37:05,510 --> 01:37:09,590 Una vez más menor que el 1%, la aproximación resulta ser muy buena. 996 01:37:11,689 --> 01:37:15,069 Para finalizar, podemos concluir que hemos alcanzado los objetivos 997 01:37:15,069 --> 01:37:17,810 que nos habíamos propuesto al inicio de esta práctica. 998 01:37:18,590 --> 01:37:21,449 En primer lugar, nos planteábamos estudiar la balística, 999 01:37:21,550 --> 01:37:23,409 estudiar el movimiento bidimensional de un proyectil 1000 01:37:23,409 --> 01:37:29,289 en el seno de un campo gravitatorio. Y eso es lo que hemos hecho. Nos hemos planteado alcanzar un 1001 01:37:29,289 --> 01:37:33,810 cierto blanco a una cierta distancia sobre la superficie de la Tierra del sistema de lanzamiento 1002 01:37:33,810 --> 01:37:38,649 y hemos estudiado cuál debe ser la velocidad inicial con la que se produce el lanzamiento, 1003 01:37:39,189 --> 01:37:43,449 cuál es la altura del sistema de lanzamiento y cuál es el ángulo de elevación con el cual se 1004 01:37:43,449 --> 01:37:47,970 tiene que producir el lanzamiento para alcanzar dicho blanco. Y esto lo hemos hecho tanto 1005 01:37:47,970 --> 01:37:53,449 experimentalmente manipulando el laboratorio virtual como analíticamente utilizando las 1006 01:37:53,449 --> 01:38:00,350 ecuaciones del movimiento. Asimismo también se nos daba la imagen de la trayectoria de un cierto 1007 01:38:00,350 --> 01:38:06,989 lanzamiento de proyectil y utilizando una escala de medida para las longitudes y para los tiempos 1008 01:38:06,989 --> 01:38:11,989 hemos podido determinar cuál es la configuración del sistema de lanzamiento que ha producido esa 1009 01:38:11,989 --> 01:38:17,250 trayectoria, el ángulo de elevación y la velocidad inicial y asimismo cuál era la aceleración de la 1010 01:38:17,250 --> 01:38:21,729 gravedad en la superficie del cuerpo planetario, que en principio no era la Tierra y resultó que 1011 01:38:21,729 --> 01:38:28,329 efectivamente no lo era. Asimismo, como segundo objetivo nos planteábamos comparar resultados 1012 01:38:28,329 --> 01:38:34,970 experimentales y analíticos utilizando los errores absolutos y los errores relativos. Y eso es lo que 1013 01:38:34,970 --> 01:38:39,449 hemos hecho. Hemos aprovechado la primera parte en la que hemos determinado tanto analítica como 1014 01:38:39,449 --> 01:38:44,670 experimentalmente ciertos parámetros de lanzamiento para determinar los errores absolutos y relativos 1015 01:38:44,670 --> 01:38:48,810 cometidos considerando los valores experimentales como aproximados y los 1016 01:38:48,810 --> 01:38:53,489 valores analíticos como valores exactos y hemos podido comparar cuáles son las 1017 01:38:53,489 --> 01:38:57,710 distintas aproximaciones cuál de ellas era mejor y cuál de ellas era peor 1018 01:38:57,710 --> 01:39:01,890 la metodología de trabajo que hemos utilizado dentro del laboratorio 1019 01:39:01,890 --> 01:39:06,909 virtual a mi juicio es suficientemente realista los parámetros con los que 1020 01:39:06,909 --> 01:39:11,229 hemos configurado el sistema de lanzamiento son los reales los que 1021 01:39:11,229 --> 01:39:16,569 realmente necesitaríamos para producir la experiencia. Nosotros podemos medir y deberíamos 1022 01:39:16,569 --> 01:39:21,569 medir el ángulo de elevación, nosotros podemos medir y deberíamos medir la altura a la que 1023 01:39:21,569 --> 01:39:26,550 situamos el sistema de lanzamiento, cuál es la altura inicial del proyectil. Podríamos 1024 01:39:26,550 --> 01:39:31,170 exceptuar tal vez la velocidad inicial y es que en general y dependiendo de cuál sea 1025 01:39:31,170 --> 01:39:37,029 el sistema de lanzamiento que utilicemos, nosotros no podemos utilizar la velocidad 1026 01:39:37,029 --> 01:39:41,970 inicial como parámetro per se, sino que tenemos que utilizar otra magnitud auxiliar. Si estamos 1027 01:39:41,970 --> 01:39:49,510 pensando, por ejemplo, en un cañón tradicional donde la ignición de pólvora o de un combustible, 1028 01:39:50,329 --> 01:39:55,430 un explosivo cualquiera, produce una dilatación de gases que es la que genera el desplazamiento 1029 01:39:55,430 --> 01:40:00,770 del proyectil, nosotros lo que podemos controlar es la masa de pólvora, pero no directamente la 1030 01:40:00,770 --> 01:40:06,810 velocidad con la cual está saliendo el proyectil. Si en lugar de utilizar eso, utilizamos como 1031 01:40:06,810 --> 01:40:13,409 propulsión aire comprimido, nosotros lo que podemos controlar es la presión a la cual estamos 1032 01:40:13,409 --> 01:40:18,029 inyectando el aire o incluso el tiempo en el cual estamos dejando actuar la válvula y estamos 1033 01:40:18,029 --> 01:40:23,649 dejando inyectar el aire dentro de nuestro recipiente, pero no medimos como tal la velocidad 1034 01:40:23,649 --> 01:40:32,850 inicial. Algo que podemos criticar de nuestro laboratorio virtual es la poca precisión de los 1035 01:40:32,850 --> 01:40:39,470 parámetros de lanzamiento. Recordad que nosotros podíamos elegir la velocidad inicial con incrementos 1036 01:40:39,470 --> 01:40:44,810 de un metro partido por segundo, que nosotros podíamos elegir la altura inicial con incrementos 1037 01:40:44,810 --> 01:40:50,510 de un metro y que podíamos elegir el ángulo de elevación con incrementos de 5 grados. Y en muchas 1038 01:40:50,510 --> 01:40:57,710 ocasiones nos hemos planteado la circunstancia de entre 16 y 17 metros partido por segundo o entre 1039 01:40:57,710 --> 01:41:05,289 50-55 grados. Si hubiéramos tenido una precisión mayor, incrementos en la altura de, por ejemplo, 1040 01:41:05,529 --> 01:41:11,770 10 centímetros o incrementos en el ángulo de elevación de un grado, habríamos podido obtener 1041 01:41:11,770 --> 01:41:17,050 mejores resultados experimentales y los errores que nosotros hemos obtenido, que eran francamente 1042 01:41:17,050 --> 01:41:24,670 pequeños, los podríamos haber reducido incluso aún más. En cuanto al análisis de la imagen, 1043 01:41:25,550 --> 01:41:28,250 El análisis que hemos realizado es realista. 1044 01:41:28,770 --> 01:41:35,369 En cualquier momento, cuando tenemos una imagen, utilizamos un objeto cualquiera de altura conocida para poder caracterizar el resto de alturas. 1045 01:41:36,369 --> 01:41:44,970 La precisión de las medidas es mejorable desde el momento en el cual hemos utilizado como unidad de medida los dos metros de la estatua. 1046 01:41:45,670 --> 01:41:51,029 Podríamos haber utilizado una unidad de medida, una referencia menor que nos diera una mayor precisión. 1047 01:41:51,890 --> 01:42:02,409 Pero en cualquier caso, como hemos podido comprobar, los errores relativos que hemos obtenido son muy pequeños, así que el análisis que hemos realizado ha sido suficientemente bueno. 1048 01:42:03,329 --> 01:42:17,090 En cualquier caso, igual que he mencionado en todas las demás prácticas, desde luego hay que ser conscientes de que la manipulación de objetos en un laboratorio real no se puede sustituir con la manipulación en un laboratorio virtual. 1049 01:42:17,750 --> 01:42:22,710 las habilidades manuales que nosotros desarrollamos en un laboratorio real 1050 01:42:22,710 --> 01:42:25,350 no se puede entrenar en un laboratorio virtual. 1051 01:42:28,829 --> 01:42:34,310 En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos, ejercicios y cuestionarios. 1052 01:42:35,029 --> 01:42:38,789 Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 1053 01:42:39,609 --> 01:42:44,350 No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 1054 01:42:44,350 --> 01:42:46,649 Un saludo y hasta pronto.