1
00:00:00,750 --> 00:00:11,150
Bien, voy a explicar ahora el apartado 6.3 del tema 3, que son las inecuaciones racionales con una incógnita.

2
00:00:12,070 --> 00:00:17,269
Vuelvo a subrayar aquí la palabra racionales, ¿vale?

3
00:00:17,789 --> 00:00:21,010
Porque es algo que sé que se nos va a olvidar muchas veces.

4
00:00:22,030 --> 00:00:24,210
A ver, que no he cogido la herramienta adecuada.

5
00:00:24,210 --> 00:00:37,770
Racionales, como hemos dicho ya en otras ocasiones, racional, la palabra racional viene de razón, ¿vale?

6
00:00:39,929 --> 00:00:53,770
Viene de razón, ¿y qué es una razón? Una razón es una división, es un cociente, no es una fracción porque la fracción es un término más estrecho, más particular,

7
00:00:53,770 --> 00:00:59,390
solamente para cuando en el numerador y en el denominador aparecen números enteros, ¿vale?

8
00:00:59,689 --> 00:01:02,770
Una razón es más general, ¿vale?

9
00:01:03,009 --> 00:01:08,730
Cuando estábamos hablando de segmentos, por ejemplo, hablábamos de la razón de los segmentos

10
00:01:08,730 --> 00:01:16,049
y para ese ámbito nos valía la palabra razón y también nos vale para cuando tenemos una división de polinomios,

11
00:01:16,049 --> 00:01:27,489
O sea, que se sigue hablando de razón y por lo tanto racional, una inequación racional es una división de polinomios, ¿vale?

12
00:01:27,549 --> 00:01:31,829
Aquí tenemos un polinomio en el numerador y un polinomio en el denominador.

13
00:01:32,109 --> 00:01:40,930
Y tenemos que resolver una ecuación racional con dos polinomios, uno en el numerador y otro en el denominador.

14
00:01:41,090 --> 00:01:45,150
Y vamos a hacer lo mismo que hacíamos cuando teníamos una inequación polinómica.

15
00:01:45,150 --> 00:02:14,219
Tenemos que factorizar tanto el numerador como el denominador, ¿vale? Hay que factorizar numerador y denominador, que os lo ponen aquí también, ¿vale?

16
00:02:14,219 --> 00:02:18,900
Factorizando numerador y denominador

17
00:02:18,900 --> 00:02:22,659
Para después estudiar el signo de cada uno de los factores

18
00:02:22,659 --> 00:02:26,360
Tal y como hacíamos con las inequaciones polinómicas

19
00:02:26,360 --> 00:02:26,680
¿Vale?

20
00:02:26,960 --> 00:02:28,699
Entonces, ahora tenemos aquí un ejemplo

21
00:02:28,699 --> 00:02:29,819
Que vamos a resolver

22
00:02:29,819 --> 00:02:32,740
Voy a borrar todo esto

23
00:02:32,740 --> 00:02:38,620
Y vamos a resolver esta inequación racional

24
00:02:38,620 --> 00:02:39,400
¿Vale?

25
00:02:39,400 --> 00:02:40,979
Vamos a tapar la solución

26
00:02:40,979 --> 00:02:42,879
Del libro

27
00:02:42,879 --> 00:02:49,819
Y aquí le vamos a dejar esto en blanco, así, por ejemplo.

28
00:02:50,000 --> 00:02:52,000
Se transparenta un poco, pero bueno, no pasa nada.

29
00:02:54,039 --> 00:02:58,379
No, y vamos a quitar también el escrito este.

30
00:03:00,659 --> 00:03:01,819
Vamos a dejarlo así.

31
00:03:02,580 --> 00:03:05,020
Entonces, ¿cómo se resolvería esta inequación?

32
00:03:05,960 --> 00:03:09,860
Lo primero que tenemos que hacer es factorizar numerador y denominador.

33
00:03:09,860 --> 00:03:28,300
Vale, para factorializar el numerador yo lo tengo aquí, yo lo tengo aquí, a ver si esto me deja, que factorializar este polinomio x cubo menos 3x cuadrado más 2x, yo esto lo tengo que factorializar, ¿no?

34
00:03:28,300 --> 00:03:36,680
Por lo tanto, lo voy a expresar, o voy a realizar los pasos que realizábamos siempre, que teníamos que factorizar un polinomio.

35
00:03:36,800 --> 00:03:43,740
Lo primero era sacar factor común si era posible. ¿Puedo factorizar esto? O sea, ¿puedo sacar un factor común aquí? Sí.

36
00:03:44,199 --> 00:03:54,699
¿Cuál? La x. Entonces, x de factor común, que multiplica a paréntesis, x cuadrado menos 3x más 2, ¿vale?

37
00:03:54,699 --> 00:04:09,759
El siguiente paso, ¿cuál era? Ver si había alguna identidad notable, que no es nuestro caso, y si teníamos un polinomio de grado 3 o superior, aplicábamos un Ruffini, y si teníamos grado 2, resolvíamos la ecuación de segundo grado.

38
00:04:09,759 --> 00:04:27,759
Es decir, yo aquí voy a resolver esta ecuación de segundo grado. x cuadrado menos 3x más 2 igual a 0. Eso implica que x es igual a menos b, que es 3, más menos la raíz cuadrada de 9 menos...

39
00:04:27,759 --> 00:04:32,660
esto no, algo está aquí mal

40
00:04:32,660 --> 00:04:37,180
x cuadrado menos 3x

41
00:04:37,180 --> 00:04:40,120
más 2 menos b

42
00:04:40,120 --> 00:04:42,339
más menos raíz cuadrada de b cuadrado

43
00:04:42,339 --> 00:04:43,879
menos 4, si está

44
00:04:43,879 --> 00:04:46,959
menos 4 por 1

45
00:04:46,959 --> 00:04:49,420
y por 2, ¿vale?

46
00:04:49,639 --> 00:04:52,240
bien, dividido entre 2a que es 2

47
00:04:52,240 --> 00:04:56,680
y esto me queda 3 más menos la raíz cuadrada

48
00:04:56,680 --> 00:05:01,079
de 9 menos 8 dividido entre 2

49
00:05:01,079 --> 00:05:02,920
y esto es igual a

50
00:05:02,920 --> 00:05:06,439
x es igual a 3 más menos 1

51
00:05:06,439 --> 00:05:08,620
dividido entre 2, por lo que es lo mismo

52
00:05:08,620 --> 00:05:12,259
esto me da 3 y 1, 4 entre 2, 2

53
00:05:12,259 --> 00:05:14,100
y 1

54
00:05:14,100 --> 00:05:17,920
porque 3 menos 1 es 2, entre 2, 1

55
00:05:17,920 --> 00:05:18,379
¿vale?

56
00:05:19,379 --> 00:05:23,040
entonces, este polinomio quedaría factorizado

57
00:05:23,040 --> 00:05:39,740
como x que multiplica a x-2 y x-1. Ya tendríamos factorizado el numerador. Y faltaría el

58
00:05:39,740 --> 00:05:48,040
numerador, ¿vale? Para ello vamos a ver cómo podemos factorizar este polinomio. 2x cuadrado

59
00:05:48,040 --> 00:05:55,540
menos 2X menos 24, que esto si nos damos cuenta podemos sacar factor común al 2 que multiplica

60
00:05:55,540 --> 00:06:04,579
X cuadrado menos X menos 12, ¿vale? Y ahora esto, ¿cómo se resuelve? ¿Cómo se factoriza?

61
00:06:04,579 --> 00:06:12,079
Pues aplicando la ecuación de segundo grado, bien, esto es X es igual a menos B, que es

62
00:06:12,079 --> 00:06:27,279
Menos menos 1, que se queda 1, más menos la raíz cuadrada de b al cuadrado, que es 1 menos 4 por a, que es 1, y por c, que es menos 12.

63
00:06:30,480 --> 00:06:32,240
¿Sí? Vale.

64
00:06:32,240 --> 00:06:45,439
dividido entre 2a, que es 2, y esto queda igual a 1 más menos la raíz cuadrada de 1 más 48, 49, partido por 2.

65
00:06:45,439 --> 00:07:01,860
Es decir, esto es igual a 1 más menos raíz cuadrada de 49, 7, partido por 2, y esto es igual a 1 y 7, 8 entre 2, 4, 1 menos 7, menos 6, entre 2 menos 3.

66
00:07:02,240 --> 00:07:13,379
Por lo tanto, esto es igual a 2 que multiplica a x menos 4 por x más 3.

67
00:07:13,879 --> 00:07:17,439
Y la ecuación racional quedaría así.

68
00:07:17,439 --> 00:07:36,199
El primer numerador, que sería x que multiplica a x menos 2 por x menos 1, dividido entre 2 que multiplica a x menos 4 por x más 3.

69
00:07:37,339 --> 00:07:39,959
Debe ser menor o igual que 0.

70
00:07:40,180 --> 00:07:45,139
Esta es mi ecuación racional.

71
00:07:45,139 --> 00:07:53,240
Entonces vamos a hacer lo mismo que hacíamos si todos estos factores, es decir, yo en el numerador tengo tres factores que se están multiplicando

72
00:07:53,240 --> 00:07:57,379
Y en el denominador tengo tres factores contando el 2

73
00:07:57,379 --> 00:08:07,379
Si fuera una única ecuación polinómica, es decir, si en vez de tener una división lo tuviéramos todo multiplicando

74
00:08:07,379 --> 00:08:21,980
Yo aquí tendría estos factores, x, x menos 2, x menos 1, x menos 4 y x más 3, ¿vale?

75
00:08:22,319 --> 00:08:24,860
Y luego aquí tendría la multiplicación de todo.

76
00:08:25,019 --> 00:08:28,779
Lo que pasa es que ahora, en vez de tener la multiplicación, voy a tener la división.

77
00:08:28,779 --> 00:08:41,500
x por x-2 por x-1 partido por 2 que multiplica x-4 por x más 3, ¿vale?

78
00:08:42,679 --> 00:08:51,159
Bien, voy a ver si puedo bajar el ancho del trazo.

79
00:08:55,379 --> 00:09:01,600
Vale, entonces, ahora aquí voy a poner todas las raíces que tenemos, ordenadas.

80
00:09:01,600 --> 00:09:04,779
¿Cuál es la raíz más pequeña que tenemos?

81
00:09:05,539 --> 00:09:07,399
Es decir, las raíces son

82
00:09:07,399 --> 00:09:11,360
Por un lado tenemos

83
00:09:11,360 --> 00:09:14,700
Tenemos la raíz 0

84
00:09:14,700 --> 00:09:17,460
Voy a hacer una pequeña tabla

85
00:09:17,460 --> 00:09:23,500
Tenemos, por un lado

86
00:09:23,500 --> 00:09:26,799
Raíces

87
00:09:26,799 --> 00:09:30,440
Y factores

88
00:09:30,440 --> 00:09:36,019
¿Cuál es la raíz más pequeña?

89
00:09:39,429 --> 00:09:40,330
Menos 3, ¿no?

90
00:09:41,090 --> 00:09:42,029
Menos 3

91
00:09:42,029 --> 00:09:43,990
Luego va 0

92
00:09:43,990 --> 00:09:46,250
Y luego ya son todos positivos

93
00:09:46,250 --> 00:09:48,990
1, 2 y 4

94
00:09:48,990 --> 00:09:50,009
¿Vale?

95
00:09:50,730 --> 00:09:52,730
3, 0, 1, 2, 4

96
00:09:52,730 --> 00:09:54,269
Y los factores son

97
00:09:54,269 --> 00:09:55,389
X más 3

98
00:09:55,389 --> 00:09:58,809
X, X menos 1

99
00:09:58,809 --> 00:10:01,289
X menos 2

100
00:10:01,289 --> 00:10:04,110
Y X menos 4

101
00:10:04,110 --> 00:10:04,629
¿Vale?

102
00:10:04,710 --> 00:10:07,269
Pues entonces yo las raíces las voy a poner en ese orden

103
00:10:07,269 --> 00:10:10,970
Teniendo en cuenta que lo primero de todo es el menos infinito

104
00:10:10,970 --> 00:10:19,669
Menos infinito, 3, 0, 1, 2, 4, más infinito

105
00:10:19,669 --> 00:10:24,360
¿Vale? Bien

106
00:10:24,360 --> 00:10:30,370
Hago igual que si fuera una ecuación polinómica

107
00:10:30,370 --> 00:10:31,669
Exactamente igual

108
00:10:31,669 --> 00:10:34,470
¿Vale? Eso no cambia nada

109
00:10:34,470 --> 00:10:38,789
Esto es todo igual

110
00:10:38,789 --> 00:10:48,559
Ahí así que voy a hacer un poquito de zoom

111
00:10:48,559 --> 00:10:51,740
¿Vale?

112
00:10:52,259 --> 00:10:55,559
¿Cuál es el signo del factor x?

113
00:10:55,559 --> 00:11:01,279
Pues va a ser negativo, negativo, aquí se hace 0 y aquí ya es positivo siempre.

114
00:11:03,100 --> 00:11:05,539
¿Cuál es el signo de x menos 2?

115
00:11:06,059 --> 00:11:13,320
Pues sabemos que se va a hacer 0 en 2 y hasta entonces es negativo y a partir de ahí es positivo.

116
00:11:13,960 --> 00:11:16,059
¿Cuál es el signo de x menos 1?

117
00:11:16,059 --> 00:11:24,980
Pues sabemos que se va a hacer 0 en 1 y hasta entonces es negativo y a partir de entonces es positivo.

118
00:11:24,980 --> 00:11:28,279
¿Cuál es el signo del factor x menos 4?

119
00:11:28,559 --> 00:11:30,480
Sabemos que se hace 0 en 4

120
00:11:30,480 --> 00:11:33,940
Y hasta entonces es negativo

121
00:11:33,940 --> 00:11:35,679
Y a partir de ahí positivo

122
00:11:35,679 --> 00:11:38,200
Y el signo de x más 3

123
00:11:38,200 --> 00:11:42,899
Pues sabemos que va a ser 0 en x menos 3

124
00:11:42,899 --> 00:11:44,580
Hasta entonces negativo

125
00:11:44,580 --> 00:11:46,220
Y a partir de ahí positivo

126
00:11:46,220 --> 00:11:46,840
¿Vale?

127
00:11:48,919 --> 00:11:49,639
Bien

128
00:11:49,639 --> 00:11:58,320
Y cuál va a ser el signo de la razón, de la división del numerador entre el denominador

129
00:11:58,320 --> 00:12:00,720
Pues el producto de todos los signos

130
00:12:00,720 --> 00:12:03,679
Aquí que tenemos tres signos negativos

131
00:12:03,679 --> 00:12:06,539
Luego va a ser, no, perdón, tres y dos, cinco

132
00:12:06,539 --> 00:12:09,860
Cinco negativos, como es un número en par va a ser negativo

133
00:12:09,860 --> 00:12:17,600
Si queréis lo vemos, menos por menos, más por menos, menos por menos, más por menos, menos

134
00:12:17,600 --> 00:12:18,700
¿Vale?

135
00:12:19,639 --> 00:12:38,440
Ahora, ¿cuál va a ser el signo en este intervalo entre menos 3 y 0? Pues el producto de todos los signos. Como tenemos 4 signos negativos multiplicándose, que es un número par, y luego un factor positivo, esto va a ser positivo.

136
00:12:38,440 --> 00:12:43,539
Y aquí, pues tenemos tres signos negativos y dos positivos

137
00:12:43,539 --> 00:12:46,120
Como los negativos son impares, va a ser negativo

138
00:12:46,120 --> 00:12:49,539
A continuación, más por menos, menos, más por menos

139
00:12:49,539 --> 00:12:52,159
O sea, aquí tenemos dos negativos

140
00:12:52,159 --> 00:12:54,820
Que son los que marcan el signo

141
00:12:54,820 --> 00:12:57,139
Luego vamos a tener menos por menos, más

142
00:12:57,139 --> 00:13:00,539
Y en el siguiente producto vamos a tener

143
00:13:00,539 --> 00:13:05,200
Un número impar de factores negativos

144
00:13:05,200 --> 00:13:07,080
Luego el resultado va a ser negativo

145
00:13:07,080 --> 00:13:09,279
y aquí todos positivos, luego positivo

146
00:13:09,279 --> 00:13:13,320
aquí ya no podemos decir tan fácilmente

147
00:13:13,320 --> 00:13:15,879
como en las funciones polinómicas

148
00:13:15,879 --> 00:13:17,779
que la función aquí va a ser 0

149
00:13:17,779 --> 00:13:19,240
solamente va a ser 0

150
00:13:19,240 --> 00:13:20,899
cuando

151
00:13:20,899 --> 00:13:23,840
los factores del denominador

152
00:13:23,840 --> 00:13:24,679
sean 0

153
00:13:24,679 --> 00:13:27,779
perdón, los factores del numerador

154
00:13:27,779 --> 00:13:29,120
que son estos 3

155
00:13:29,120 --> 00:13:31,399
es decir

156
00:13:31,399 --> 00:13:32,480
aquí será 0

157
00:13:32,480 --> 00:13:35,720
porque un factor del numerador

158
00:13:35,720 --> 00:13:36,659
es 0

159
00:13:36,659 --> 00:13:41,360
Aquí también va a ser 0, y aquí, en 2, también va a ser 0.

160
00:13:41,639 --> 00:13:50,240
Pero, donde los ceros del denominador, esto es el numerador, y esto es el denominador.

161
00:13:51,620 --> 00:14:00,259
Cuando el denominador se hace 0, es decir, en menos 3 y 4, esto se va a hacer infinito.

162
00:14:01,419 --> 00:14:03,279
¿Vale? Pero ya no lo vamos a estudiar.

163
00:14:03,279 --> 00:14:06,879
cuando los denominadores hacen cero

164
00:14:06,879 --> 00:14:09,559
es cuando tenemos problemas

165
00:14:09,559 --> 00:14:11,159
la función

166
00:14:11,159 --> 00:14:14,340
o la razón

167
00:14:14,340 --> 00:14:16,019
se va a ir a más infinito

168
00:14:16,019 --> 00:14:17,320
o menos infinito

169
00:14:17,320 --> 00:14:17,840
depende

170
00:14:17,840 --> 00:14:21,139
los ceros del numerador no son problema

171
00:14:21,139 --> 00:14:23,259
porque anulan toda la razón

172
00:14:23,259 --> 00:14:24,340
toda la división

173
00:14:24,340 --> 00:14:27,080
pero los ceros del denominador son problemáticos

174
00:14:27,080 --> 00:14:29,220
porque tenemos infinito

175
00:14:29,220 --> 00:14:30,200
o menos infinito

176
00:14:30,200 --> 00:14:42,360
¿Vale? Luego, como a mí, volviendo ya al tema, lo que me están pidiendo es dónde la división es negativa, pues lo marco negativa o cero. ¿Vale? Negativa o cero.

177
00:14:42,360 --> 00:15:06,179
Bueno, pues la solución será desde menos infinito a 3, menos infinito a 3 abierto, no, a menos 3 cerrado, porque el 0 nos vale, no, no, perdón, perdón, que estoy diciendo yo, esto no es un 0, ¿vale?

178
00:15:06,179 --> 00:15:22,460
Porque aquí hemos dicho que la función se hace infinito. Luego aquí el menos 3, el menos 3 no nos vale, porque la función no se hace 0. Luego el menos 3 es abierto, menos 3 abierto, ¿vale? No es un 0.

179
00:15:22,460 --> 00:15:32,440
Pero, sin embargo, entre 0 y 1 sí que vamos a coger tanto al 0 como al 1, ¿vale?

180
00:15:34,259 --> 00:15:49,450
Unión, intervalo semicerrado desde el 2 hasta el 4 y en el 4 abierto, porque el 4 es un 0 del denominador, no lo podemos coger, ¿vale?

181
00:15:49,450 --> 00:15:54,330
porque ahí la función, la división

182
00:15:54,330 --> 00:15:56,750
no se hace cero, sino que se va a infinito

183
00:15:56,750 --> 00:16:00,289
luego eso tiene que ser un intervalo semiabierto

184
00:16:00,289 --> 00:16:06,210
por si a alguien le ha costado entender

185
00:16:06,210 --> 00:16:09,730
qué es lo que está pasando en menos 3

186
00:16:09,730 --> 00:16:14,330
que lo voy a subrayar, lo voy a poner de otro color

187
00:16:14,330 --> 00:16:17,409
lo voy a recuadrar, ¿por qué lo voy a recuadrar?

188
00:16:17,409 --> 00:16:23,649
porque son los ceros del denominador, ¿vale? Estos son los ceros del denominador, que son problemáticos.

189
00:16:24,330 --> 00:16:34,629
Entonces, aquí, esto es infinito. El valor de la división es infinito, ¿vale?

190
00:16:34,710 --> 00:16:40,389
Por eso no estamos cogiendo ni el 4 ni el menos 3, ¿vale?

191
00:16:40,389 --> 00:16:54,250
Sin embargo, si cogemos el 0, el 1, el 2, porque ahí los valores son 0 porque se anula el numerador.