1
00:00:13,419 --> 00:00:25,420
Hola, hoy vamos a aprender lo que es la bisectriz de un ángulo o de dos rectas, la bisectriz o bisectrices, y cómo calcularla.

2
00:00:26,780 --> 00:00:34,740
Si a nosotros nos dan tres puntos que forman un triángulo, los vértices de un triángulo, y nos piden, por ejemplo, calcular las bisectrices,

3
00:00:34,740 --> 00:00:46,859
La bisectriz, en realidad, es la línea, la recta, que divide un ángulo en dos partes iguales.

4
00:00:46,859 --> 00:00:58,439
Entonces, si nosotros en este triángulo queremos dividir el ángulo en el vértice A en dos partes iguales, lo que me están pidiendo calcular es la bisectriz.

5
00:00:58,439 --> 00:01:02,200
si nosotros tomamos las rectas AB y AC

6
00:01:02,200 --> 00:01:04,859
en realidad lo que vemos son cuatro ángulos

7
00:01:04,859 --> 00:01:08,099
con lo cual podríamos dar dos bisectrices

8
00:01:08,099 --> 00:01:13,379
así que normalmente en un triángulo se calcula solamente

9
00:01:13,379 --> 00:01:18,420
la interna al triángulo pero hay otra perpendicular a ella

10
00:01:18,420 --> 00:01:20,140
porque esto es muy importante

11
00:01:20,140 --> 00:01:24,439
las dos bisectrices son perpendiculares entre sí siempre

12
00:01:24,439 --> 00:01:30,219
Por otro lado, la bisectriz admite una definición como lugar geométrico

13
00:01:30,219 --> 00:01:38,260
como simplemente el lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos rectas dadas

14
00:01:38,260 --> 00:01:43,439
Así que vamos a ver cómo calcular la bisectriz en los dos casos

15
00:01:43,439 --> 00:01:51,180
La manera más habitual es utilizar la definición de lugar geométrico

16
00:01:51,180 --> 00:02:03,480
Eso me permitiría, si yo tengo el segmento AB, serían las coordenadas de B menos las coordenadas de A, daría 4, 3.

17
00:02:03,980 --> 00:02:12,879
Mientras que si calculo el segmento AC, pues me daría menos 1, menos 2, menos 3 y 5, menos 1, 4.

18
00:02:13,680 --> 00:02:19,560
Ahí tengo los dos vectores de los lados del triángulo.

19
00:02:19,560 --> 00:02:23,419
si ahora yo quiero calcular el ángulo en A

20
00:02:23,419 --> 00:02:27,919
si yo defino un punto P de coordenadas X e Y

21
00:02:27,919 --> 00:02:34,740
y quiero que esté a la misma distancia de estos dos segmentos

22
00:02:34,740 --> 00:02:40,219
pues tengo que hacer la recta que pasa por A y por B

23
00:02:40,219 --> 00:02:46,919
pero la recta que pasa por A y por B en forma normal es bastante sencilla de calcular

24
00:02:46,919 --> 00:03:04,159
Si yo pongo 3 por x menos 2, ya que quiero que pase por a, menos 4 por y menos 1, igual a 0, ya tengo la recta que une a con b.

25
00:03:04,159 --> 00:03:26,159
Bien, aquí lo he puesto en forma normal porque me habéis dicho que en los otros vídeos que lo calculaba a ojo pues que se entendía relativamente bien, pero que es más fácil así porque esto me daría ya simplemente 3x menos 4y y si operáis menos 6 más 4 menos 2 igual a 0.

26
00:03:26,159 --> 00:03:29,979
Esta es la recta que pasa por A y por B.

27
00:03:30,719 --> 00:03:36,219
De la misma manera podría hacer la recta que pasa por A y por C.

28
00:03:37,039 --> 00:03:45,780
Cogiendo esto pues sería 4 por X menos 2 más 3 por Y menos 1.

29
00:03:46,020 --> 00:03:52,139
Fijaros que lo que estoy haciendo en realidad es simplemente coger el vector

30
00:03:52,139 --> 00:03:58,139
y darle la vuelta y cambiarle de signo para que el producto escalar sea 0, como sabemos de siempre.

31
00:03:58,780 --> 00:04:07,900
Si lo opero, pues me queda 4x más 3y y menos 8 menos 3 menos 11 igual a 0.

32
00:04:07,900 --> 00:04:11,719
Esa es la recta que pasa por a y por c.

33
00:04:13,080 --> 00:04:20,459
Ahora, si yo utilizo la fórmula de la distancia para calcular la distancia de p a cada una de estas rectas

34
00:04:20,459 --> 00:04:34,600
y igualarlas, lo que nosotros tendríamos sería, en este caso, la fórmula de la distancia, sería ax, es decir, 3 por este x0 y 0, vamos a llamarle así,

35
00:04:34,600 --> 00:04:39,500
o lo dejamos con x e y para que nos salga la ecuación de la recta

36
00:04:39,500 --> 00:04:43,500
3x menos 4y menos 2

37
00:04:43,500 --> 00:04:50,560
partido por el módulo de la raíz cuadrada

38
00:04:50,560 --> 00:04:53,120
de 3 al cuadrado más menos 4 al cuadrado

39
00:04:53,120 --> 00:04:56,980
sería igual al valor absoluto

40
00:04:56,980 --> 00:04:59,660
de 4x más 3y menos 11

41
00:04:59,660 --> 00:05:06,040
partido por la raíz cuadrada

42
00:05:06,040 --> 00:05:11,579
de 4 al cuadrado más 3 al cuadrado

43
00:05:11,579 --> 00:05:14,839
en este caso pues yo he hecho trampa

44
00:05:14,839 --> 00:05:19,519
para que los vectores en el denominador

45
00:05:19,519 --> 00:05:23,220
me den 5, entonces esto da 5

46
00:05:23,220 --> 00:05:26,680
esto da 5 e incluso además se podrían ir

47
00:05:26,680 --> 00:05:30,500
de tal manera que la ecuación de la bisectriz pues quedaría

48
00:05:30,500 --> 00:05:34,899
3x menos 4y menos 2 igual a 4x

49
00:05:34,899 --> 00:05:41,120
más 3Y menos 11. Esta sería una de las dos ecuaciones. Si lo paso todo a la derecha,

50
00:05:41,360 --> 00:05:50,180
por ejemplo, o a la izquierda y lo cambio de signo, 4X menos 3XX, 3Y más 4Y más 7Y

51
00:05:50,180 --> 00:06:01,620
y menos 11 más 2 menos 9, igual a cero. Esta es una de las dos bisectrices que nosotros

52
00:06:01,620 --> 00:06:05,879
buscábamos. Si quiero calcular la otra bisectriz

53
00:06:05,879 --> 00:06:08,379
pues lo único que tengo que hacer ya es

54
00:06:08,379 --> 00:06:13,920
este barra de valor absoluto, pues cambiarle de signo, porque aquí lo que he dicho es

55
00:06:13,920 --> 00:06:17,819
si las dos son positivas, sean iguales. Ahora, si esta es positiva

56
00:06:17,819 --> 00:06:21,160
y esta es negativa, pues me saldrá la otra bisectriz

57
00:06:21,160 --> 00:06:25,540
3x menos 4y menos 2 igual a

58
00:06:25,540 --> 00:06:28,920
menos 4x menos 3y más 11

59
00:06:28,920 --> 00:06:43,980
Y si paso todo a la izquierda, me quedará 7x menos y menos 13 igual a 0, que es la ecuación de la otra bisectriz.

60
00:06:44,579 --> 00:06:51,899
Quiero llamaros especialmente la atención de que las dos bisectrices son perpendiculares entre sí.

61
00:06:51,899 --> 00:07:02,360
1 por 7 es 7, 7 por menos 1 menos 7 da 0. Esto es como tienen que ser las dos bisectrices, siempre perpendiculares entre sí.

62
00:07:02,959 --> 00:07:10,360
De hecho, la segunda A la podríamos haber calculado simplemente haciéndola perpendicular y haciendo que pasara por A.

63
00:07:10,819 --> 00:07:15,540
Sería otra manera, aunque es tan fácil hacerlo así, que no merece la pena.

64
00:07:15,540 --> 00:07:21,399
en el siguiente vídeo, porque vamos a borrar

65
00:07:21,399 --> 00:07:23,180
vamos en el mismo vídeo

66
00:07:23,180 --> 00:07:26,879
vamos a ver cómo calcular la bisectriz de otra manera

67
00:07:26,879 --> 00:07:30,399
y que por supuesto nos va a dar exactamente igual

68
00:07:30,399 --> 00:07:35,939
vamos a seguir con el cálculo de la bisectriz de un ángulo

69
00:07:35,939 --> 00:07:39,379
que tiene otra manera de calcularlo

70
00:07:39,379 --> 00:07:44,220
y que se basa en calcular el vector director de la bisectriz

71
00:07:44,220 --> 00:07:49,839
La explicación es bastante sencilla y la vais a ver ahí representada con GeoGebra

72
00:07:49,839 --> 00:07:56,300
Cuando yo trazo en un cuadrilátero las diagonales

73
00:07:56,300 --> 00:07:59,579
Evidentemente no dividen el ángulo en dos

74
00:07:59,579 --> 00:08:01,899
Excepto en un caso

75
00:08:01,899 --> 00:08:04,199
Y ese caso es el caso del rombo

76
00:08:04,199 --> 00:08:08,819
Las diagonales de un rombo sí que dividen el ángulo en dos

77
00:08:08,819 --> 00:08:11,879
¿Y qué tiene de característico un rombo?

78
00:08:11,879 --> 00:08:15,399
pues que los lados miden lo mismo

79
00:08:15,399 --> 00:08:17,540
de tal manera que si yo mido

80
00:08:17,540 --> 00:08:19,800
o hago la suma de los dos vectores

81
00:08:19,800 --> 00:08:22,959
de dos lados del rombo

82
00:08:22,959 --> 00:08:26,839
me sale la diagonal del rombo

83
00:08:26,839 --> 00:08:29,259
eso me va a permitir en este caso

84
00:08:29,259 --> 00:08:32,879
calcular el vector director de la bisectriz

85
00:08:32,879 --> 00:08:35,559
entonces lo que haré será

86
00:08:35,559 --> 00:08:39,720
buscar vectores que tengan la misma longitud

87
00:08:39,720 --> 00:08:44,639
En este caso la tienen, que sería una casualidad, pero eso no va a ocurrir normalmente.

88
00:08:45,200 --> 00:08:50,379
Entonces lo normal será normalizar los vectores, valga la redundancia.

89
00:08:50,820 --> 00:09:03,419
Entonces yo calcularé el vector AB dividido por el módulo de AB y me sale 4 quintos 3 quintos,

90
00:09:03,419 --> 00:09:11,340
ya que el módulo no es muy difícil de calcular, por Pitágoras, 4 al cuadrado más 3 al cuadrado, 25 raíz cuadrada 5.

91
00:09:11,960 --> 00:09:15,679
Y en el otro caso hago exactamente lo mismo.

92
00:09:17,480 --> 00:09:23,519
Así que me queda en este caso menos 3 quintos, 4 quintos.

93
00:09:23,980 --> 00:09:30,679
Una vez que ya tengo los dos vectores, que van a ser los dos lados de mi rombo normalizados,

94
00:09:30,679 --> 00:09:36,559
porque tienen la misma longitud, que es longitud 1, estos dos vectores tienen longitud 1,

95
00:09:36,960 --> 00:09:46,559
lo único que tengo que hacer es sumar esos dos vectores, de tal manera que me quedará 4 quintos menos 3 quintos y 3 quintos más 4 quintos,

96
00:09:47,360 --> 00:09:52,580
lo cual me da un quinto, 7 quintos.

97
00:09:52,899 --> 00:09:59,659
Y ese es el vector director de nuestra bisectriz.

98
00:09:59,659 --> 00:10:05,059
lógicamente como ya tengo como vector director que lo que quiero es utilizarlo para una recta

99
00:10:05,059 --> 00:10:08,759
lo puedo multiplicar o dividir por el número que me dé la gana

100
00:10:08,759 --> 00:10:15,820
y realmente el vector con el que me quedaré para que salgan números redondos es 1, 7

101
00:10:15,820 --> 00:10:23,960
una vez que tengo ese vector obviamente una de las bisectrices será del tipo 7x menos y

102
00:10:23,960 --> 00:10:28,360
vamos a ponerlo en normal también para que lo veáis más fácil

103
00:10:28,360 --> 00:10:35,889
7X menos 1 por Y igual a 0

104
00:10:35,889 --> 00:10:38,570
y el otro como tiene que ser perpendicular

105
00:10:38,570 --> 00:10:40,950
pues sería con estas mismas coordenadas

106
00:10:40,950 --> 00:10:44,769
1X más 7Y

107
00:10:44,769 --> 00:10:49,029
y ¿qué tengo que poner en el paréntesis?

108
00:10:49,190 --> 00:10:51,190
pues lógicamente el punto por el que quiero que pase

109
00:10:51,190 --> 00:10:55,210
si estoy haciendo las bisectrices que pasan por el punto A

110
00:10:55,210 --> 00:10:57,889
pues será simplemente X menos 2

111
00:10:57,889 --> 00:11:00,070
y menos 1

112
00:11:00,070 --> 00:11:20,990
Si vosotros operáis esto, pues sale rápidamente 7x menos y, menos 14, más 1, menos 13, y x más 7y, menos 2, menos 7, menos 9.

113
00:11:23,149 --> 00:11:31,429
Y vemos fácilmente que hemos llegado a las mismas ecuaciones que por el otro método.

114
00:11:31,429 --> 00:11:44,929
De hecho, en un triángulo, este método de calcular las bisectrices es más rápido que el de las distancias, suele ser más sencillo.

115
00:11:44,929 --> 00:11:57,070
Si nos dan dos rectas, ya normalmente es mejor el otro método. ¿Por qué? Fundamentalmente porque no sé por qué punto pasan las bisectrices y el otro método no lo necesita.

116
00:11:57,070 --> 00:12:04,169
Este método necesita conocer un punto por el que pasan las bisectrices para que realmente sea sencillo.

117
00:12:04,610 --> 00:12:10,830
Si ya tengo que estar resolviendo el sistema de las dos rectas que delimitan los lados del triángulo para calcular la bisectriz,

118
00:12:11,429 --> 00:12:13,870
pues entonces me interesa más el otro método.

119
00:12:14,289 --> 00:12:21,230
En cualquier caso, quería que veréis este método porque tiene cierta curiosidad, ¿no?

120
00:12:21,230 --> 00:12:26,929
el fijarte que en un rombo la suma de los lados da la diagonal.