1
00:00:02,669 --> 00:00:08,669
hola qué tal alumnas y alumnos de segundo bachillerato

2
00:00:08,669 --> 00:00:15,730
vamos a hacer un problema importantísimo este problema es tan importante que

3
00:00:15,730 --> 00:00:20,149
necesitamos tres vídeos el problema es cómo se estudia la

4
00:00:20,149 --> 00:00:25,030
derivabilidad de una función a trozos entonces repito vamos a hacer tres

5
00:00:25,030 --> 00:00:30,149
vídeos este es el primero el primero pregunta lo que estáis viendo estudia la

6
00:00:30,149 --> 00:00:34,310
derivabilidad de una función, pero ya empezamos

7
00:00:34,310 --> 00:00:38,530
viendo que esta función f de x, pues es una función a trozos

8
00:00:38,530 --> 00:00:42,310
donde aquí hay una función y aquí otra

9
00:00:42,310 --> 00:00:44,829
función. Bueno, pues vamos a ver cómo se estudia esto.

10
00:00:46,390 --> 00:00:50,229
Ruego, por favor, que prestéis mucha atención y paráis el vídeo todas

11
00:00:50,229 --> 00:00:54,090
las veces que necesitéis para entender bien esto. Lo primero

12
00:00:54,090 --> 00:00:57,909
que tengo que recordar es esto que hemos

13
00:00:57,909 --> 00:01:06,030
escrito aquí abajo y es tan importante. Le marco con dos asteriscos, cuatro asteriscos.

14
00:01:06,549 --> 00:01:12,170
Importantísimo. Si una función no es continua en x igual a, entonces no existe la derivada

15
00:01:12,170 --> 00:01:20,170
en a. Esto ya lo sabemos y por eso tenemos que empezar estudiando si la función es continua

16
00:01:20,170 --> 00:01:27,109
o no. Porque en el momento que la función no sea continua, ya sabemos que en ese punto

17
00:01:27,109 --> 00:01:37,670
de discontinuidad no va a existir la derivada. Eso es fundamental saberlo, ¿eh? Bien. Entonces, ¿qué vamos a hacer? Pues lo primero que hacemos es estudiar la continuidad de f de x.

18
00:01:38,129 --> 00:01:59,680
Así que empezamos. Estudiamos la continuidad de f de x. Muy bien. Ya tenemos que saber hacerlo muy bien. Muy bien. A ver, en el primer tramo es continua.

19
00:01:59,680 --> 00:02:04,859
¿Por qué es continua? Porque es la suma de dos funciones continuas

20
00:02:04,859 --> 00:02:11,280
Es la suma de una exponencial más 3x que podemos llamar pues que es una recta

21
00:02:11,280 --> 00:02:12,800
Entonces eso es continua

22
00:02:12,800 --> 00:02:15,800
Y en el segundo tramo, en el interior del segundo tramo

23
00:02:15,800 --> 00:02:20,280
Pues también sabemos que es continua porque es una parábola

24
00:02:20,280 --> 00:02:30,580
Por tanto solo queda estudiar qué pasa con la continuidad en el punto de cambio

25
00:02:30,580 --> 00:02:36,129
¿Cómo estudiamos la continuidad en el punto de cambio?

26
00:02:36,250 --> 00:02:37,330
Pues ya también lo sabemos

27
00:02:37,330 --> 00:02:39,009
Tenemos que estudiar dos límites

28
00:02:39,009 --> 00:02:42,689
Límite cuando x tiende a 0 por la izquierda de f de x

29
00:02:42,689 --> 00:02:44,990
Voy a hacer un poquito más rápido

30
00:02:44,990 --> 00:02:47,250
Límite cuando x tiende a la derecha

31
00:02:47,250 --> 00:02:49,509
Cuando tiende a 0 por la derecha

32
00:02:49,509 --> 00:02:52,009
Y también tenemos que estudiar f de 0

33
00:02:52,009 --> 00:02:55,409
Si estos tres valores coinciden

34
00:02:55,409 --> 00:02:57,569
Diremos que es continua en x igual a 0

35
00:02:57,569 --> 00:02:58,110
Muy bien

36
00:02:58,110 --> 00:03:00,409
¿Cuál es el límite cuando x tiende a 0 por la izquierda?

37
00:03:00,490 --> 00:03:01,930
Repito, ya lo voy un poquito deprisa

38
00:03:01,930 --> 00:03:06,169
Aquí estoy en el primer tramo porque son valores menores que cero, luego estoy ahí.

39
00:03:07,349 --> 00:03:09,610
Entonces, elevado a cero es uno más tres, cuatro.

40
00:03:10,969 --> 00:03:14,169
¿Límite por la derecha? Pues estoy en el segundo tramo, aquí.

41
00:03:14,949 --> 00:03:16,710
Sería cero más cero, cuatro.

42
00:03:17,550 --> 00:03:20,430
Y f de cero, estoy en el segundo tramo, es cuatro.

43
00:03:21,030 --> 00:03:32,419
Por tanto, ya sé que f es continua en x igual a cero.

44
00:03:32,419 --> 00:03:41,599
Bien, con esto he llegado a la conclusión de que esta función, voy a poner un poquito más pequeño, esta función es continua en R.

45
00:03:41,840 --> 00:03:57,919
Pues muy bien, pues muy bien, luego con todo esto ya sé que F es continua en R.

46
00:03:57,919 --> 00:04:10,020
Muy bien, bueno, entonces, una vez que sé que la función es continua, una vez que sé esto, ya puedo empezar a estudiar su derivada.

47
00:04:11,539 --> 00:04:16,220
Repito, si hubiera salido que f no es continua en algún punto, ya sabemos que ahí no tiene derivada.

48
00:04:17,579 --> 00:04:29,000
Entonces, como f es continua en r, fijaros, aquí ya empiezan las dificultades, muy bien, entonces, aquí viene un momento clave del problema,

49
00:04:29,360 --> 00:04:59,870
Entonces, fijaros, la derivada, fijaros que ahora viene lo gordo, la derivada, mirad, en el primer tramo, la derivada del primer tramo, que es elevado a x, más 3, y en el segundo tramo, en el interior, la derivada de x cuadrado 2x, más 5, muy bien, y aquí viene lo que quiero que entendáis muy bien, vamos a ver,

50
00:04:59,870 --> 00:05:11,310
Si yo os preguntara cuál es la derivada en el punto 9, pues la derivada en el punto 9 está claro que me tendría que ir a este segundo tramo.

51
00:05:11,930 --> 00:05:16,009
Me tendría que ir a este segundo tramo, que son x mayor o igual que 0.

52
00:05:16,009 --> 00:05:20,550
Pues claro que sí, la derivada en el 9 sería 2 por 9 es 18 más 5 es 23. No hay ningún problema.

53
00:05:21,069 --> 00:05:22,250
Y con otros puntos también.

54
00:05:22,250 --> 00:05:37,629
El problema está que preguntemos cuál es la derivada en x igual a 0. Pues esto es lo que no podemos contestar todavía. No podemos contestar esto todavía. ¿Por qué?

55
00:05:37,629 --> 00:05:46,269
¿Por qué? Porque x igual a 0 es un punto de cambio, entonces yo no puedo decir todavía cuál es la derivada de 0.

56
00:05:47,009 --> 00:05:53,230
Así que aquí viene, fijaros, esta es la clave, x mayor que 0.

57
00:05:54,970 --> 00:06:02,930
Fijaros que este igual que había aquí en la función, este igual yo no lo puedo poner en la derivada,

58
00:06:03,490 --> 00:06:06,670
porque tengo que estudiar lo que pasa en el 0 que es el punto de cambio.

59
00:06:07,629 --> 00:06:30,209
Así que aquí pongo esto importantísimo. Esta derivada vale eso, yo lo sé calcular, salvo en x igual a cero. ¿Qué pasa en x igual a cero? No lo sé, profesor, todavía no podemos contestar, no podemos contestar, no puedo saber lo que pasa en el punto de cambio.

60
00:06:30,209 --> 00:06:35,550
Yo sabía que era continuo en x igual a cero, pero esto no me asegura que sea derivable.

61
00:06:36,589 --> 00:06:39,670
Correcto. Vamos a ver si es derivable en x igual a cero.

62
00:06:40,189 --> 00:06:42,389
Y aquí viene otro momento importante para vosotros.

63
00:06:44,790 --> 00:06:49,350
La derivada, si bien os acordáis, no era ni más ni menos que un límite.

64
00:06:51,129 --> 00:06:55,750
Luego la pregunta que os hago, ¿qué tiene que ocurrir para que exista f' de cero?

65
00:06:55,750 --> 00:07:06,189
Pues para que exista f' de 0, tiene que ocurrir que el límite por la izquierda, que estoy en ese tramo, y el límite por la derecha, que estaré en este tramo, coincidan.

66
00:07:06,730 --> 00:07:12,209
Si estos dos límites coinciden, diré que ese valor es f' de 0.

67
00:07:13,670 --> 00:07:14,189
Exacto.

68
00:07:14,670 --> 00:07:18,410
Luego, lo único que tenemos que hallar son estos dos límites.

69
00:07:18,550 --> 00:07:19,850
Lo voy a poner aquí debajo.

70
00:07:20,790 --> 00:07:22,329
Tengo que hallar el límite.

71
00:07:22,329 --> 00:07:27,949
cuando x tiende a 0 por la izquierda de la derivada de la función en 0

72
00:07:27,949 --> 00:07:33,750
y tengo que hallar el límite cuando x tiende a 0 por la derecha de esa derivada.

73
00:07:34,149 --> 00:07:38,970
Si estos dos límites coinciden, diré que existe el límite

74
00:07:38,970 --> 00:07:42,129
y ese límite lo llamamos derivada.

75
00:07:42,910 --> 00:07:45,370
Si el límite por la izquierda estoy en el primer tramo,

76
00:07:46,889 --> 00:07:48,389
lo voy a escribir aquí, si lo voy a escribir,

77
00:07:48,629 --> 00:07:51,410
límite cuando x tiende a 0 por la izquierda de esta función.

78
00:07:52,990 --> 00:07:55,850
Muy bien, este límite es elevado a 0 es 1 más 3 es 4.

79
00:07:56,069 --> 00:07:56,910
Muy bien, sale 4.

80
00:07:57,449 --> 00:08:01,930
Bueno, pues ahora si este límite, el de por la derecha, también sale 4,

81
00:08:03,009 --> 00:08:04,930
entonces diré que esa es la derivada de 0.

82
00:08:06,529 --> 00:08:08,870
Y este límite vale 5.

83
00:08:11,019 --> 00:08:14,319
¿O salen diferentes?

84
00:08:15,000 --> 00:08:18,699
Muy bien, luego como salen diferentes, diré y contestaré

85
00:08:18,699 --> 00:08:23,100
no existe

86
00:08:23,100 --> 00:08:26,040
f' de 0

87
00:08:26,040 --> 00:08:30,759
no existe f' de 0, o sea, no existe la derivada

88
00:08:30,759 --> 00:08:34,960
en 0, lo pongo en pequeñito, vosotros tenéis buena vista y lo veis

89
00:08:34,960 --> 00:08:38,940
genial, luego fijaros, hemos visto

90
00:08:38,940 --> 00:08:41,500
una función continua

91
00:08:41,500 --> 00:08:46,840
pero en cambio, en el punto 0 no tiene derivada

92
00:08:46,840 --> 00:08:51,159
acordaros, una función porque sea

93
00:08:51,159 --> 00:08:53,080
continua, no te asegura que

94
00:08:53,080 --> 00:08:53,899
sea derivable

95
00:08:53,899 --> 00:08:56,799
al revés, ya sabéis que si

96
00:08:56,799 --> 00:08:59,000
si es derivable es continua, pero de eso no estamos hablando

97
00:08:59,000 --> 00:09:00,919
muy bien, por tanto

98
00:09:00,919 --> 00:09:02,340
solo me queda poner la respuesta

99
00:09:02,340 --> 00:09:05,100
y la respuesta, ya está puesta ahí

100
00:09:05,100 --> 00:09:06,740
pero la vuelvo a escribir, así que

101
00:09:06,740 --> 00:09:08,879
era estudiar la derivabilidad, pues la respuesta

102
00:09:08,879 --> 00:09:10,980
es esta, la voy a poner en verde

103
00:09:10,980 --> 00:09:12,279
que nos da esperanza

104
00:09:12,279 --> 00:09:14,120
la derivada

105
00:09:14,120 --> 00:09:15,820
de la función

106
00:09:15,820 --> 00:09:17,940
es

107
00:09:17,940 --> 00:09:20,279
elevado a x más 3

108
00:09:20,279 --> 00:09:21,940
si x menor que 0

109
00:09:21,940 --> 00:09:24,159
y 2x más 5

110
00:09:24,159 --> 00:09:26,340
si x mayor que 0

111
00:09:26,340 --> 00:09:28,320
parece que me he olvidado del 0

112
00:09:28,320 --> 00:09:29,820
no me he olvidado del 0, ¿por qué?

113
00:09:30,399 --> 00:09:32,100
porque f' de 0

114
00:09:32,100 --> 00:09:36,340
no existe

115
00:09:36,340 --> 00:09:38,399
no existe

116
00:09:38,399 --> 00:09:40,340
lo recuadro

117
00:09:40,340 --> 00:09:41,980
porque esto es importantísima

118
00:09:41,980 --> 00:09:43,600
¿qué más me ha salido el recuadro?

119
00:09:44,659 --> 00:09:45,759
ah, bueno, se arregló

120
00:09:45,759 --> 00:09:47,620
muy bien, luego ahí está

121
00:09:47,620 --> 00:10:04,529
¿Vale? Así que, voy a terminar con esto, muy bien, entonces, vale, la otra pregunta es, ¿qué significa esto? ¿Qué significa que una función sea continua y que la derivada no exista?

122
00:10:05,769 --> 00:10:19,470
¿Qué significa que f' de 0 no exista? Bueno, pues esto significa que es una función que se junta en el 0 pero no se junta de manera suave, puede ser algo como esto, lo estoy inventando.

123
00:10:19,509 --> 00:10:25,480
puede ser así por ejemplo, ahí va, puede ser así la función

124
00:10:25,480 --> 00:10:30,200
en el 0, y ahora aquí en el 0 tiene un pico, y yo que sé lo que hace

125
00:10:30,200 --> 00:10:33,919
así por ejemplo, muy bien, y este es el 0

126
00:10:33,919 --> 00:10:38,799
pues esto lo que pasa, es una función continua, pero

127
00:10:38,799 --> 00:10:43,360
como no se juntan, no se pegan de manera suave, por aquí

128
00:10:43,360 --> 00:10:47,360
la tangente es así, por aquí la tangente es así, y decimos que no existe

129
00:10:47,360 --> 00:10:51,419
bueno, pues este es el

130
00:10:51,419 --> 00:10:59,440
vídeo tan importantísimo que quería, que queríamos enseñar. Y yo diría que si os

131
00:10:59,440 --> 00:11:03,799
tenéis que quedar con algo es que para estudiar si una función es derivable

132
00:11:03,799 --> 00:11:09,940
primero hay que asegurarse de que sea continua. Si es continua, pues continuamos

133
00:11:09,940 --> 00:11:18,320
a estudiar la derivada. Y aquí viene este otro momento. Cuando

134
00:11:18,320 --> 00:11:22,879
estudiamos la derivada no puedo poner lo que pasa en el cero hasta que no haga

135
00:11:22,879 --> 00:11:27,919
al estudio y conteste muy bien pues después de este vídeo viene

136
00:11:27,919 --> 00:11:34,259
el segundo vídeo que ya podéis verlo un saludo y muchas gracias por atender