1
00:00:00,430 --> 00:00:07,629
En este vídeo os voy a explicar la aplicación de las leyes de Newton a cuerpos que se encuentran en un plano inclinado.

2
00:00:08,710 --> 00:00:16,769
Un plano inclinado es una superficie que forma un cierto ángulo alfa con la horizontal.

3
00:00:17,949 --> 00:00:25,449
Sobre este plano tendremos un objeto y vamos a estudiar el movimiento de este objeto.

4
00:00:25,449 --> 00:00:30,929
Vamos a ver diferentes casos y empezaremos por el caso más simple

5
00:00:30,929 --> 00:00:39,509
En este caso tenemos un plano inclinado y no existe rozamiento entre nuestro cuerpo y el suelo

6
00:00:39,509 --> 00:00:46,030
Es decir, el coeficiente de rozamiento es cero

7
00:00:46,030 --> 00:00:53,750
Para poder realizar este estudio lo primero que tenemos que hacer es definir un sistema de referencia

8
00:00:53,750 --> 00:01:00,829
En los planos inclinados el sistema de referencia representa como muestra esta imagen

9
00:01:00,829 --> 00:01:14,109
El eje X paralelo a la superficie del plano y como siempre el eje Y perpendicular al eje X

10
00:01:14,409 --> 00:01:23,409
Una vez que tenemos seleccionados nuestros ejes podemos representar las fuerzas que actúan sobre la caja

11
00:01:23,409 --> 00:01:26,810
En primer lugar representamos el peso

12
00:01:26,810 --> 00:01:32,129
El peso es una fuerza dirigida hacia el centro de la Tierra

13
00:01:32,129 --> 00:01:37,989
Esta fuerza siempre es perpendicular a la horizontal

14
00:01:37,989 --> 00:01:44,129
En estos problemas el peso no está sobre ninguno de los ejes

15
00:01:44,129 --> 00:01:48,230
Por otro lado tenemos la fuerza normal

16
00:01:48,230 --> 00:01:55,329
La fuerza normal siempre es perpendicular a la superficie de contacto de la caja

17
00:01:55,329 --> 00:02:04,030
es perpendicular a nuestro plano inclinado y en este ejemplo coincide con el eje Y.

18
00:02:08,509 --> 00:02:15,069
Una vez que tenemos nuestras dos fuerzas, para poder hacer el estudio de la dinámica de esta caja

19
00:02:15,069 --> 00:02:21,009
tenemos que descomponer en sus componentes X e Y el peso.

20
00:02:21,830 --> 00:02:28,810
Acordaos que para descomponer una fuerza tenemos que obtener las proyecciones de esta fuerza

21
00:02:28,810 --> 00:02:35,849
sobre los ejes, sobre el eje X y sobre el eje Y.

22
00:02:38,580 --> 00:02:42,419
Para hacer esta descomposición tenemos que aplicar trigonometría.

23
00:02:43,300 --> 00:02:49,800
En primer lugar vamos a fijarnos en el triángulo formado por el peso,

24
00:02:51,659 --> 00:02:55,159
la superficie horizontal y nuestro plano inclinado.

25
00:02:55,159 --> 00:02:59,719
Si os fijáis, este es un triángulo rectángulo

26
00:02:59,719 --> 00:03:02,580
porque este ángulo es de 90 grados

27
00:03:02,580 --> 00:03:05,740
Si aplicáis los conocimientos que tenéis de matemáticas

28
00:03:05,740 --> 00:03:11,860
sabéis que en todos los triángulos la suma de los ángulos es 180 grados

29
00:03:11,860 --> 00:03:17,419
y por tanto, si conozco dos de los ángulos, puedo conocer el tercero

30
00:03:17,419 --> 00:03:22,400
En este caso, un ángulo vale 90, otro ángulo vale alfa

31
00:03:22,400 --> 00:03:30,280
la inclinación de mi plano, y al tercer ángulo, este ángulo de aquí, le voy a llamar, por ejemplo, beta.

32
00:03:33,979 --> 00:03:42,199
Si despejo con cuidado, obtengo que beta es igual a 90 grados menos alfa.

33
00:03:43,620 --> 00:03:50,199
Volviendo a mi esquema, si os fijáis, este ángulo de aquí es exactamente el mismo que este,

34
00:03:50,199 --> 00:04:00,419
ya que están formados por líneas paralelas, de hecho el peso es la misma línea y el eje X es paralelo al plano inclinado.

35
00:04:02,490 --> 00:04:10,669
Ahora nos fijamos en este ángulo de aquí, que es el que queremos obtener para hacer la descomposición del peso.

36
00:04:10,669 --> 00:04:21,810
Si este ángulo vale beta, este de aquí será 90 menos beta, ya que ambos ángulos suman 90 grados

37
00:04:21,810 --> 00:04:38,170
Y si miráis en nuestra ecuación, si tengo que este ángulo es 90 menos beta, puedo despejar y me queda 90 menos beta de la ecuación de arriba, sale alfa

38
00:04:38,170 --> 00:04:45,329
Luego este ángulo de aquí es igual al ángulo del plano inclinado.

39
00:04:46,629 --> 00:04:53,050
Conociendo este ángulo puedo obtener las componentes x e y del peso.

40
00:04:55,560 --> 00:05:08,300
Me fijo en un nuevo triángulo, en este caso va a ser el formado por px, el peso y este lado de aquí que corresponde a px.

41
00:05:08,300 --> 00:05:24,560
Si aplico la definición de seno y coseno, sabemos que seno de alfa será cateto opuesto, en este caso px, entre hipotenusa, que es p.

42
00:05:25,399 --> 00:05:32,259
Luego la componente horizontal del peso es p por el seno de alfa.

43
00:05:32,259 --> 00:05:45,420
Si aplico la definición de coseno, coseno de alfa es igual a pi cateto contiguo entre p, hipotenusa.

44
00:05:47,800 --> 00:05:54,139
Componente vertical del peso, pi, será el peso por el coseno de alfa.

45
00:05:58,240 --> 00:06:06,339
Hecha la descomposición del peso, puedo pasar a aplicar las leyes de la dinámica a mi caja y estudiar cómo es un movimiento.

46
00:06:06,339 --> 00:06:10,720
Para estudiar este movimiento lo hacemos por ejes.

47
00:06:15,860 --> 00:06:18,600
En primer lugar, estudiamos el eje Y.

48
00:06:19,660 --> 00:06:27,699
La caja no va a desplazarse en el eje Y, no puede ir hacia abajo porque está al plano y la caja no va a salir volando.

49
00:06:29,600 --> 00:06:32,839
Sabemos que en el eje Y no hay movimiento.

50
00:06:35,209 --> 00:06:39,649
Si no hay movimiento, esto implica que no hay aceleración

51
00:06:39,649 --> 00:06:46,350
Y por tanto, la suma de fuerzas en el eje Y debe ser cero.

52
00:06:47,670 --> 00:06:50,129
¿Qué fuerzas tengo sobre el eje Y?

53
00:06:50,930 --> 00:06:57,189
En el sentido positivo del eje Y, hacia arriba, tengo únicamente la normal.

54
00:06:58,129 --> 00:07:02,949
Y hacia abajo, tengo la componente vertical del peso.

55
00:07:02,949 --> 00:07:14,470
La suma de fuerzas en el eje Y es igual a la normal menos P sub Y y esto debe ser igual a cero.

56
00:07:17,079 --> 00:07:27,060
Despejo y tengo que la normal es igual a la componente vertical del peso que recuerdo que es P por coseno de alfa.

57
00:07:32,220 --> 00:07:35,819
En segundo lugar estudiamos lo que ocurre en el eje X.

58
00:07:35,819 --> 00:07:44,360
Si observáis bien el esquema de mis fuerzas, vemos que en el eje X solo tenemos una fuerza, en la componente horizontal del peso.

59
00:07:44,759 --> 00:07:51,639
Es imposible que se anule, por tanto, en el eje X voy a tener movimiento.

60
00:07:54,439 --> 00:07:57,259
Aplico la segunda ley de Newton a este eje.

61
00:07:57,740 --> 00:08:04,540
Acordaos que la suma de fuerzas en el eje X será igual a la masa por la aceleración en este eje.

62
00:08:05,300 --> 00:08:08,800
En este caso, que es el más sencillo, solo tengo una fuerza.

63
00:08:09,339 --> 00:08:17,759
Luego, Px, que hemos dicho que es P por el seno de alfa, es igual a la masa por la aceleración.

64
00:08:18,319 --> 00:08:27,040
Si sustituyo P por su valor, sería mg, luego escribo el seno de alfa igual a masa por aceleración,

65
00:08:28,000 --> 00:08:30,459
puedo despejar el valor de la aceleración.

66
00:08:30,740 --> 00:08:34,039
La aceleración va a ser g por el seno de alfa.

67
00:08:34,039 --> 00:08:44,679
En este caso la aceleración va a ser hacia abajo y mi caja va a tener un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado hacia abajo.

68
00:08:48,879 --> 00:08:54,019
En esta transparencia os resumo las ecuaciones de este movimiento.

69
00:08:56,450 --> 00:08:58,509
Este es el caso más sencillo de todos.

70
00:08:59,309 --> 00:09:01,830
Vamos a complicarlo un poco con el caso 2.

71
00:09:04,580 --> 00:09:09,379
En el caso 2 tenemos un plano inclinado pero con rozamiento.

72
00:09:09,379 --> 00:09:15,080
Es decir, el coeficiente va a ser distinto de cero.

73
00:09:15,960 --> 00:09:20,779
Acordaos que el rozamiento siempre es contrario a la dirección de movimiento.

74
00:09:21,519 --> 00:09:28,700
Si partimos de lo que sabemos de la situación anterior, hemos obtenido que la aceleración es hacia abajo.

75
00:09:28,960 --> 00:09:37,460
Por tanto, la fuerza de rozamiento va a ser en el eje x hacia arriba.

76
00:09:37,460 --> 00:09:50,870
Nuestro problema en este caso quedaría muy similar al anterior pero tengo la fuerza de rozamiento que va a frenar la caída de la caja

77
00:09:50,870 --> 00:09:55,750
De nuevo voy a estudiar mi movimiento por ejes

78
00:09:56,750 --> 00:10:04,450
En este caso en el eje Y no hemos añadido ninguna fuerza por lo que podemos realizar el mismo estudio que en el caso 1

79
00:10:04,450 --> 00:10:12,610
En este caso, hemos añadido la fuerza de rozamiento que se encuentra exclusivamente en el eje X.

80
00:10:13,389 --> 00:10:18,549
En el eje Y no tenemos fuerzas nuevas y podemos realizar el mismo estudio que en el caso anterior.

81
00:10:19,309 --> 00:10:28,009
Sabemos que la suma de fuerzas en el eje Y será la normal menos la componente Y del peso y esta es igual a cero.

82
00:10:32,350 --> 00:10:36,289
Para el eje X sí que tenemos un cambio, ha aparecido una nueva fuerza.

83
00:10:36,289 --> 00:10:40,169
nuestro planteamiento es exactamente igual que en el caso 1

84
00:10:40,169 --> 00:10:42,929
pero teniendo en cuenta esta fuerza de rozamiento

85
00:10:42,929 --> 00:10:48,490
es decir, la suma de fuerzas en el eje X

86
00:10:48,490 --> 00:10:51,549
va a ser igual a la masa por la aceleración

87
00:10:51,549 --> 00:10:55,309
pero ahora en la suma tenemos que tener en cuenta el rozamiento

88
00:10:55,309 --> 00:10:59,629
tendremos en el sentido positivo del eje X el peso

89
00:10:59,629 --> 00:11:03,350
y en el sentido negativo la fuerza de rozamiento

90
00:11:03,350 --> 00:11:06,690
y esto va a ser igual a la masa por la aceleración

91
00:11:06,690 --> 00:11:13,570
p sub x como hemos calculado antes va a ser igual a p por el seno de alfa

92
00:11:13,570 --> 00:11:19,110
y la fuerza de rozamiento va a ser igual a mu por la normal

93
00:11:19,110 --> 00:11:25,350
que hemos dicho en la transparencia anterior que es igual a la componente vertical del peso

94
00:11:25,350 --> 00:11:32,289
si sustituimos todos estos valores nos va a quedar que p seno de alfa

95
00:11:32,289 --> 00:11:40,809
mu por p coseno de alfa igual a la masa por la aceleración.

96
00:11:41,450 --> 00:11:43,950
Y de nuevo aquí podemos hallar la aceleración.

97
00:11:46,340 --> 00:11:50,059
Podemos encontrarnos que la aceleración sea menor que cero.

98
00:11:50,820 --> 00:11:54,620
Esto querría decir que la caja sube, pero esto es imposible

99
00:11:54,620 --> 00:11:57,860
porque si la aceleración fuera menor que cero,

100
00:11:58,659 --> 00:12:01,480
la fuerza de rozamiento sería en sentido contrario.

101
00:12:01,480 --> 00:12:09,379
Si la fuerza de rozamiento es más grande que el peso, lo que va a pasar es que la caja no se mueva.

102
00:12:13,679 --> 00:12:17,779
En esta transparencia encontráis un resumen de las ecuaciones de este movimiento.

103
00:12:20,480 --> 00:12:22,980
Podemos encontrar diversos casos con planos inclinados.

104
00:12:24,399 --> 00:12:27,059
Que no haya rozamiento y se aplique una fuerza paralela al plano.

105
00:12:28,360 --> 00:12:29,980
El mismo caso pero con rozamiento.

106
00:12:31,080 --> 00:12:33,379
O que las fuerzas no sean paralelas al plano.

107
00:12:33,379 --> 00:12:42,179
Bueno, los casos 3 y 5 podrían considerarse un caso especial de los 4 y 6, por tanto me voy a centrar en estos dos casos.

108
00:12:43,440 --> 00:12:53,899
En primer lugar, estudiamos el caso más sencillo con fuerzas, y es que tenga una fuerza paralela al plano inclinado.

109
00:12:53,899 --> 00:12:58,740
Normalmente estas fuerzas se aplican para frenar la caja

110
00:12:58,740 --> 00:13:03,759
Sería en el mismo sentido que la fuerza de rozamiento

111
00:13:03,759 --> 00:13:06,659
Sería una fuerza hacia arriba

112
00:13:06,659 --> 00:13:09,580
Pero también podría encontrármela hacia abajo

113
00:13:09,580 --> 00:13:13,440
El problema sería exactamente igual pero cambiándola de siglo

114
00:13:13,440 --> 00:13:15,759
Yo lo voy a hacer con este caso

115
00:13:15,759 --> 00:13:20,039
Que sería este de aquí que veis

116
00:13:20,039 --> 00:13:25,059
Tenemos en el eje Y de nuevo solamente la normal

117
00:13:25,059 --> 00:13:33,919
y la componente vertical del peso y en el eje x además de mi p sub x y la fuerza de rozamiento

118
00:13:33,919 --> 00:13:42,350
aparece mi fuerza. Como el problema en el eje y es exactamente igual que en los casos anteriores

119
00:13:42,350 --> 00:13:52,750
no me voy a detener en él. Sí voy a estudiar la dinámica del eje x. Como siempre la suma de

120
00:13:52,750 --> 00:14:04,179
fuerzas en el eje x va a ser igual a la masa por la aceleración. En este caso consideramos que p

121
00:14:04,179 --> 00:14:12,559
sub x menos la fuerza que aplico menos la fuerza de rozamiento será igual a la masa por la

122
00:14:12,559 --> 00:14:31,740
aceleración. Es decir, mg seno de alfa menos f menos mu por mg coseno de alfa igual a la masa

123
00:14:31,740 --> 00:14:42,279
por la aceleración. En esta transparencia os resumo todas las fuerzas. En este caso también

124
00:14:42,279 --> 00:14:48,200
podría darse que la aceleración me salga negativa, eso quiere decir que esté tirando con más fuerza

125
00:14:48,200 --> 00:14:55,419
y el movimiento se hace arriba. Acordaos que siempre que os pase eso significa que el movimiento es

126
00:14:55,419 --> 00:15:06,690
hacia arriba y la fuerza de rozamiento habría que ponerla en sentido contrario. El último caso que

127
00:15:06,690 --> 00:15:16,710
os voy a contar es cuando se le aplica una fuerza que no es paralela al plano inclinado.

128
00:15:16,710 --> 00:15:22,169
Cuando nos encontramos un caso así, lo primero que tenemos que hacer es la descomposición

129
00:15:22,169 --> 00:15:36,389
de la fuerza, es decir, calcular las componentes vertical y horizontal de la fuerza aplicada.

130
00:15:36,389 --> 00:15:56,889
Si por ejemplo nuestra fuerza forma un ángulo beta con la horizontal, la componente x será f por coseno de beta y la componente y será f y f por seno de beta.

131
00:15:59,240 --> 00:16:02,840
Acordaos siempre de las definiciones del coseno y del seno.

132
00:16:02,840 --> 00:16:09,259
Una vez que tengo descompuesta mi fuerza aplicada

133
00:16:09,259 --> 00:16:12,779
tengo que volver a plantear las fuerzas por ejes

134
00:16:12,779 --> 00:16:19,139
En este caso ha aparecido una nueva fuerza en el eje vertical

135
00:16:19,139 --> 00:16:24,259
por lo que voy a estudiar el equilibrio en este eje

136
00:16:24,259 --> 00:16:29,480
Acordaos que en el eje vertical no hay movimiento

137
00:16:29,480 --> 00:16:32,500
Si lo hubiera me lo tendrían que decir en el enunciado

138
00:16:32,500 --> 00:16:36,740
La suma de fuerzas en el eje Y es igual a cero

139
00:16:36,740 --> 00:16:45,620
En el eje Y tenemos como fuerzas positivas la normal, la componente vertical de la fuerza aplicada

140
00:16:45,620 --> 00:16:52,320
y como componentes negativas la componente vertical del peso

141
00:16:52,320 --> 00:16:59,639
En este caso la normal será la componente vertical del peso menos F sub i

142
00:16:59,639 --> 00:17:05,160
Es muy importante que despejemos la normal pues la necesitamos para la fuerza de rozamiento

143
00:17:05,700 --> 00:17:17,460
Sustituyo los valores de estas componentes, mg por coseno de alfa menos la fuerza por el seno de beta.

144
00:17:20,490 --> 00:17:26,269
Y este sería mi equilibrio de fuerzas en el eje Y que nos permite calcular la normal.

145
00:17:28,299 --> 00:17:35,819
En el eje X es similar al caso anterior, he añadido una nueva fuerza que es la componente horizontal de la fuerza aplicada.

146
00:17:35,819 --> 00:17:46,160
En este eje suponemos que tenemos movimiento, por tanto tenemos que la suma de fuerzas es igual a la masa por la aceleración.

147
00:17:47,079 --> 00:18:05,099
Si suponemos que la caja cae hacia abajo, tenemos que la componente horizontal del peso menos la fuerza de rozamiento menos fx es igual a la masa por la aceleración.

148
00:18:06,819 --> 00:18:23,019
Acordaos que Px va a ser mg seno de alfa, que la fuerza de rozamiento va a ser mu por la normal y que Fx va a ser F por coseno de beta.

149
00:18:24,039 --> 00:18:33,319
De nuevo, si al hacer los cálculos A nos queda negativa, quiere decir que la caja no cae, sino que sube y por tanto el rozamiento tiene que ir para abajo.

150
00:18:33,319 --> 00:18:41,240
Y en esta transparencia os dejo un resumen de todas las posibilidades.

151
00:18:42,019 --> 00:18:46,799
Este sería el caso más genérico y lo puedo tomar como punto de partida de cualquier problema,

152
00:18:47,420 --> 00:18:52,039
pero siempre es más sencillo plantear mi problema con los datos que tengo.

153
00:18:52,579 --> 00:19:01,759
Y para eso es fundamental dibujar muy bien, dibujar todas las fuerzas y si tengo que descomponer, hacerlo con cuidado fijándome bien en los ángulos.

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Espero haberos aclarado las distintas situaciones que tenemos con el plano inclinado