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00:00:05,339 --> 00:00:21,289
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:21,289 --> 00:00:25,890
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:25,890 --> 00:00:30,070
de la unidad F1 dedicada a las características globales de las funciones.

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00:00:31,969 --> 00:00:39,679
En la videoclase de hoy estudiaremos el dominio y la imagen de funciones.

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00:00:40,840 --> 00:00:53,039
En esta videoclase vamos a comenzar el estudio de las características de las funciones que

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00:00:53,039 --> 00:00:59,759
vamos a utilizar para describirlas y para poder caracterizarlas, para poder decidir en función de

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00:00:59,759 --> 00:01:04,799
ellas qué tipo de función es la que tenemos entre manos o bien viendo cuál es el tipo de función,

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00:01:04,959 --> 00:01:09,700
cuál es la función elemental con la que estamos, cuáles son los elementos que tenemos que analizar

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00:01:09,700 --> 00:01:15,099
para poder representarlas gráficamente. Vamos a comenzar con el dominio y con la imagen. Tal y

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00:01:15,099 --> 00:01:19,859
como habíamos visto en la primera videoclase de esta unidad, el dominio es el conjunto de valores

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00:01:19,859 --> 00:01:25,120
reales para los cuales la función está definida. Esto son los valores reales que pueden ser

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00:01:25,120 --> 00:01:29,099
aceptados como entrada de la función y para los cuales la función es capaz de calcular

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00:01:29,099 --> 00:01:34,480
una imagen. Estas imágenes es el conjunto de valores reales que toma la función, de

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00:01:34,480 --> 00:01:41,280
tal forma que la función funciona como una caja a la cual entra un valor real perteneciente

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00:01:41,280 --> 00:01:47,439
al dominio de la función y devuelve un nuevo valor real, un único valor real, que pertenece

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00:01:47,439 --> 00:01:54,939
a la imagen de esta función. Para poder ejemplificar cómo funciona esto del dominio y de la imagen,

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00:01:55,500 --> 00:02:00,500
vamos a resolver este ejercicio que tenemos aquí a continuación. Se nos da la representación

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00:02:00,500 --> 00:02:04,700
gráfica de una función, que vemos que es una función definida a trozos. Hay un primer trozo

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00:02:04,700 --> 00:02:11,180
recto, un segundo trozo curvo y un tercer trozo asimismo también curvo, para el cual se nos pide

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00:02:11,180 --> 00:02:17,379
que determinemos el dominio y la imagen. Para estudiar el dominio de la función, lo que tenemos

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00:02:17,379 --> 00:02:24,400
que hacer es centrarnos en el eje x, el eje que corresponde a la variable independiente.

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00:02:25,120 --> 00:02:30,439
Y lo que vamos a hacer es ver para qué valores de x, yendo hacia arriba o hacia abajo, nos

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00:02:30,439 --> 00:02:34,719
encontramos con la representación gráfica de la función. Por ejemplo, para el valor

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00:02:34,719 --> 00:02:39,819
de x igual a menos 7, que estaría aquí, subiendo o bajando, vemos que no hay función. De tal

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00:02:39,819 --> 00:02:44,300
manera que x igual a menos 7 no es un valor que pertenezca al dominio de la función.

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00:02:44,900 --> 00:02:48,960
La mejor forma para determinar el dominio es comenzar por la izquierda del dibujo

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00:02:48,960 --> 00:02:53,120
e ir avanzando de izquierda a derecha en valores crecientes de la x.

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00:02:53,639 --> 00:02:57,419
Y lo que podemos ver es que justamente cuando la x toma el valor menos 6, aquí,

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00:02:57,939 --> 00:03:01,759
la función comienza, puesto que veo que aquí abajo hay un punto relleno.

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00:03:02,580 --> 00:03:08,280
Es el primer punto donde aparece la función cuando yo viajo de izquierda a derecha a lo largo del eje de las x.

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00:03:08,639 --> 00:03:13,099
Así pues, menos 6 es el primer punto donde comienza el dominio.

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00:03:13,620 --> 00:03:24,680
Para valores mayores de x, mayores que menos 6, vemos que la función continúa existiendo hasta que llegamos a este punto relleno que se corresponde con el valor de x igual a menos 4.

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00:03:24,819 --> 00:03:33,939
Este primer trozo está definido entre valores de x igual a menos 6 incluido hasta valor de x igual a menos 4 incluido.

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00:03:33,939 --> 00:03:42,759
Así que para este primer trozo tenemos una definición del dominio de la función desde el menos 6 cerrado con un corchete hasta el menos 4 cerrado con un corchete.

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00:03:43,599 --> 00:03:48,759
¿Qué es lo que ocurre? Que justamente debajo de este punto, con x igual a menos 4, tenemos un punto vacío.

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00:03:49,479 --> 00:03:54,360
Y a partir de él la función continúa, continúa bien definida con este segundo trozo.

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00:03:55,139 --> 00:03:59,919
Así pues, menos 4 no es el límite o uno de los límites del dominio de la función,

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00:04:00,400 --> 00:04:03,539
sino que a partir de x igual a menos 4 la función sigue estando definida.

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00:04:03,879 --> 00:04:06,759
No a partir de este primer trozo, sino a partir de este segundo trozo.

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00:04:07,280 --> 00:04:11,139
A partir de x igual a menos 4 la función sigue estando definida,

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00:04:11,139 --> 00:04:21,620
vemos que la función sube y luego baja, hasta llegar a este punto vacío en aproximadamente x igual a menos 0,5, x igual a menos un medio.

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00:04:22,500 --> 00:04:30,860
Así pues, en este segundo trozo vemos que el dominio de la función finaliza cuando la x toma el valor igual a menos un medio.

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00:04:31,379 --> 00:04:38,600
Y aquí vemos un punto vacío. Eso quiere decir que justamente para el valor de x igual a menos un medio la función no está definida.

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00:04:38,600 --> 00:04:49,819
Tenemos un punto vacío, no hay nada. Así pues, el dominio de la función, cuando alcanzamos el extremo de la derecha, x igual a menos un medio, no está cerrado, sino abierto.

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00:04:49,959 --> 00:04:53,579
No podremos poner un corchete, sino que tendremos que poner un paréntesis.

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00:04:54,519 --> 00:05:05,300
Para valores de x entre menos un medio y cero, en este pequeño trocito que hay aquí, vemos que no hay función, ni hacia arriba ni hacia abajo, y la función vuelve a tomar valores a partir de x igual a cero.

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00:05:05,740 --> 00:05:08,740
Justamente cuando la x toma el valor 0, aquí vemos un punto relleno.

48
00:05:09,680 --> 00:05:16,379
Y a partir de aquí, a partir de que la x vale 0, en este extremo del dominio tendríamos que cerrar el intervalo con un corchete,

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00:05:16,899 --> 00:05:20,040
a partir de aquí vemos que la función va a estar bien definida continuamente.

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00:05:20,560 --> 00:05:22,860
La función baja, luego sube, etc.

51
00:05:22,860 --> 00:05:31,379
Y aquí, aunque parecería que la función finaliza, siempre que veamos algo de este estilo y no veamos un punto relleno o un punto vacío,

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00:05:31,379 --> 00:05:36,620
lo que tenemos que hacer es asumir que la función continúa indefinidamente para x crecientes,

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00:05:36,660 --> 00:05:44,259
a partir de este valor x igual a 8, 9, bien, pues la función continúa existiendo para valores arbitrariamente grandes de x.

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00:05:45,220 --> 00:05:46,959
¿Cuál es entonces el dominio de la función?

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00:05:47,579 --> 00:05:52,680
Vemos que la función va a estar definida para valores a partir de x igual a menos 6, incluido,

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00:05:52,800 --> 00:05:59,319
así que tenemos que cerrar este extremo, hasta valores de x igual a menos un medio, abierto,

57
00:05:59,319 --> 00:06:02,040
Así que en este extremo tenemos que poner un paréntesis.

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00:06:02,560 --> 00:06:06,180
Entre medias, para cualquier valor de x, la función está bien definida.

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00:06:06,680 --> 00:06:08,600
Bien mediante el primer trozo, bien mediante el segundo.

60
00:06:09,600 --> 00:06:13,579
A continuación, la función vuelve a estar definida cuando x toma valor 0.

61
00:06:13,879 --> 00:06:17,000
Cerrado, puesto que tenemos un punto cerrado, así que tenemos que poner un corchete.

62
00:06:17,600 --> 00:06:21,959
Y a partir de aquí, hasta más infinito, puesto que vamos a seguir el convenio que he indicado anteriormente.

63
00:06:22,079 --> 00:06:24,000
Si no tenemos un punto relleno o un punto vacío,

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00:06:24,439 --> 00:06:28,660
tenemos que suponer que la función continúa con su tendencia para valores olvidadamente grandes.

65
00:06:29,319 --> 00:06:33,399
Así pues, el dominio de la función viene dada por la unión de dos intervalos,

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00:06:33,819 --> 00:06:37,579
desde menos 6 cerrado hasta menos 1 medio abierto, unión,

67
00:06:38,079 --> 00:06:40,680
desde el 0 cerrado hasta más infinito abierto.

68
00:06:41,259 --> 00:06:45,860
Os recuerdo que los extremos más infinito y menos infinito, por definición, van a ir siempre abiertos,

69
00:06:45,920 --> 00:06:50,600
no son valores que podamos alcanzar, son valores arbitrariamente grandes o arbitrariamente pequeños,

70
00:06:50,600 --> 00:06:54,920
y que en el caso del más infinito es obligatorio indicar el signo más,

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00:06:55,060 --> 00:06:58,319
puesto que, como veremos más adelante, dentro de un par de unidades,

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00:06:59,279 --> 00:07:04,040
Infinito, más infinito y menos infinito van a representar tres cosas ligeramente distintas.

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00:07:04,860 --> 00:07:10,500
En cuanto a la imagen, tenemos que hacer un estudio similar, pero en este caso, en lugar de fijarnos en el eje de las X,

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00:07:10,939 --> 00:07:16,060
tenemos que fijarnos en el eje de las Y. En lugar de en el eje de abstizas, hay que fijarse en el eje de ordenadas.

75
00:07:17,139 --> 00:07:24,100
Lo que vamos a hacer es ir de abajo hacia arriba, en valores crecientes de la Y, a ver en qué momento aparece la función.

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00:07:24,100 --> 00:07:30,839
Y aquí vemos que el valor donde la función comienza es para este valor de y igual a menos 3, donde está este punto abierto.

77
00:07:31,819 --> 00:07:37,639
Justamente y igual a menos 3 no es un valor que sea tomado por la función en ningún punto, tenemos un punto abierto,

78
00:07:38,160 --> 00:07:42,519
pero a partir de aquí valores ligeramente mayores por encima del menos 3 ya sí son tomados.

79
00:07:42,620 --> 00:07:46,560
Y aquí vemos esta rama de la función con valores a partir del menos 3.

80
00:07:47,399 --> 00:07:50,959
Para valores de y por encima del menos 3 la función existe.

81
00:07:51,920 --> 00:07:54,579
En el caso de la imagen no pasa como con el dominio.

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00:07:55,339 --> 00:08:01,740
En el caso de x perteneciente al dominio de la función, la imagen tiene que ser una y solo una.

83
00:08:02,160 --> 00:08:07,680
En el caso de la imagen, para un valor de la imagen igual a menos dos, podemos tener uno o dos valores.

84
00:08:07,680 --> 00:08:13,839
En el caso de menos dos vemos que la función toma este valor en este punto, en este punto y en este otro. No importa.

85
00:08:14,699 --> 00:08:20,660
Para que un cierto valor de y pertenezca a la imagen de la función, tiene que ser tomado al menos en una ocasión.

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00:08:20,959 --> 00:08:22,600
que sea en más ocasiones, no importa.

87
00:08:23,399 --> 00:08:28,379
Bien, decía que la función comienza a tomar valores a partir de y igual a menos 3,

88
00:08:28,480 --> 00:08:30,339
no menos 3, puesto que tenemos un punto vacío.

89
00:08:31,100 --> 00:08:35,620
A partir de aquí, la función valores crecientes de y, la función toma valores.

90
00:08:36,820 --> 00:08:41,460
Vemos que toma valores hasta que la y toma el valor 2.

91
00:08:42,620 --> 00:08:45,779
Cuando la y toma el valor 2, tenemos estos tres puntos de aquí,

92
00:08:46,299 --> 00:08:50,659
donde la función toma ese valor de 2, pero por encima de este valor de y,

93
00:08:50,960 --> 00:08:55,940
la función ya no aparece, no hay función pintada por encima del valor de y igual a 2.

94
00:08:56,720 --> 00:09:00,600
Así pues, en este caso, la imagen va a venir dada por un único intervalo,

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00:09:01,139 --> 00:09:05,600
a partir de y igual a menos 3, abierto, así que tenemos que poner un paréntesis,

96
00:09:05,960 --> 00:09:11,080
hasta el valor de y igual a 2, cerrado, así que tenemos que poner un corchete, tal y como se muestra aquí.

97
00:09:11,080 --> 00:09:19,409
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

98
00:09:19,409 --> 00:09:24,250
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web

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00:09:24,250 --> 00:09:29,830
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual

100
00:09:29,830 --> 00:09:31,769
Un saludo y hasta pronto