0
00:00:00,000 --> 00:00:07,000
Bueno, vamos con el tercer y último programa, el tercer y último ejercicio del examen en el que

1
00:00:07,000 --> 00:00:13,000
es un ejercicio de geometría, como veis, vectores u y v, un punto, el punto a, y me

2
00:00:13,000 --> 00:00:18,000
están pidiendo que determine ciertas cosas con ellos. El primero de ellos, un vector

3
00:00:18,000 --> 00:00:22,000
que sea a la vez perpendicular a u y a v, que sea unitario y cuya tercera

4
00:00:22,000 --> 00:00:27,000
coordenada sea negativa. Nosotros sabemos que los vectores que son

5
00:00:27,000 --> 00:00:32,000
perpendiculares a dos dados se pueden calcular como el producto vectorial, es

6
00:00:32,000 --> 00:00:38,000
decir, este vector, si lo llamamos v doble, será perpendicular a u y

7
00:00:38,000 --> 00:00:44,000
perpendicular a v. Entonces, lo que podemos hacer es directamente calcular el

8
00:00:44,000 --> 00:00:51,000
producto vectorial. ¿Qué vale? Pues este vector, i, j, k, como el determinante y

9
00:00:51,000 --> 00:01:01,000
menos 1, 2, 3, 2, 0, menos 1. Y desarrollando este vector, pues tendremos un vector que es

10
00:01:01,000 --> 00:01:06,000
perpendicular a los dos. En este caso,

11
00:01:10,000 --> 00:01:15,000
y en este caso, bueno, pues el resultado es el siguiente. Vamos a calcularlo y

12
00:01:15,000 --> 00:01:22,000
listo. Será menos 2, i, es decir, menos 2. Estoy calculando, desarrollando por los elementos de la

13
00:01:22,000 --> 00:01:32,000
primera línea. Después tenemos 1, menos 6, menos 5, cambio de signo, 5, y luego tenemos

14
00:01:32,000 --> 00:01:38,000
el menos 4. Podemos comprobar que lo hemos hecho bien multiplicando menos 1 por

15
00:01:38,000 --> 00:01:45,000
menos 2, 2, 2 por 5, 10, 12, y 3 por menos 4, menos 12, da 0. O sea, que tiene

16
00:01:45,000 --> 00:01:49,000
pinta de estar bien. ¿Qué pasa? Que ese vector no es unitario, así que lo que hacemos es

17
00:01:49,000 --> 00:01:53,000
dividirlo por su módulo. Dividiéndolo por su módulo, tendremos un vector unitario.

18
00:01:53,000 --> 00:01:59,000
El módulo de ese vector lo calculamos en un momento y listo. Será raíz cuadrada de

19
00:01:59,000 --> 00:02:13,000
4 más 25 más 16. ¿Lo que dé? Pues en este caso, 4 y 25, 29, y 29 y 6, 35, y 10, 45. Pues 1 partido por raíz de

20
00:02:13,000 --> 00:02:20,000
45 de el vector menos 2, 5, menos 4. Y ya tenemos, además, que la última coordenada es

21
00:02:20,000 --> 00:02:26,000
negativa. Si no hubiese dado negativa, pues habíamos calculado el opuesto y se acabó.

22
00:02:26,000 --> 00:02:31,000
Bueno, pues esto es. Vamos ahora al siguiente apartado. En el siguiente apartado nos piden que

23
00:02:31,000 --> 00:02:35,000
calculemos un vector w que sea combinación lineal de u y v y que sea

24
00:02:35,000 --> 00:02:42,000
ortogonal, perpendicular a v. Pues, ¿qué haremos? Pues imponerle las condiciones, a ver si somos

25
00:02:42,000 --> 00:02:47,000
capaces de encontrar ese vector. ¿Qué condiciones son? Pues tiene que ser combinación lineal de u y v, pues podemos poner

26
00:02:47,000 --> 00:02:54,000
lambda por u más nu por v y me están pidiendo que sea a la vez perpendicular con u y con v.

27
00:02:54,000 --> 00:03:03,000
Es decir, perdón, me están diciendo que sea perpendicular con v. Es decir, pues lambda u más nu por v, al

28
00:03:03,000 --> 00:03:08,000
multiplicar por v, tiene que dar cero. Si hago este desarrollo, este producto, quedará

29
00:03:08,000 --> 00:03:16,000
lambda u por v más u por v, tiene que ser cero. Vamos a hacer estas cuentas, sustituimos y vemos

30
00:03:16,000 --> 00:03:26,000
una relación entre lambda y nu. Vamos a ver, el vector u era menos 1, 2, 3. El vector v era 2, 0,

31
00:03:26,000 --> 00:03:42,000
menos 1. Y vamos a sustituir y hacer estas operaciones. Estas. Entonces, menos 1 por 2, menos 2, menos 3, menos 5, lambda.

32
00:03:42,000 --> 00:03:51,000
Y aquí queda 2 por 2, 4, más 1, 5, nu. Y esto tiene que ser cero. ¿Cómo consigo que esto sea cero? Bueno, pues esto es

33
00:03:51,000 --> 00:04:00,000
equivalente a que la lambda sea igual a la nu. Es decir, cualquier vector lambda u más nu por v, que verifique que la lambda es igual a la nu, me vale.

34
00:04:00,000 --> 00:04:09,000
Por lo tanto, pues puedo coger, por ejemplo, hay infinitos, pero puedo coger, por ejemplo, los dos valores 1. Es decir, u más v verifica la

35
00:04:09,000 --> 00:04:25,000
denuncia del problema. Esto es, calculamos u más v y ha arreglado. Esto es, menos 1 más 2, 1. 2 más 0, 2. Y 3 menos 1, 2. Podríamos comprobar que este vector es

36
00:04:25,000 --> 00:04:36,000
perpendicular con u y con v. Muy bien, pues ya tenemos el apartado b. Vamos al último, el apartado c, y hemos terminado este último ejercicio de examen.

37
00:04:36,000 --> 00:04:47,000
Entonces, en el apartado c, lo que nos están pidiendo, vamos a verlo por aquí, lo tenemos, determinar los vértices del paralelogramo, cuyos lados tienen las direcciones de los vectores v y u,

38
00:04:47,000 --> 00:04:59,000
y la diagonal está, en las diagonales, el segmento OA. Vamos a hacer un dibujito. La situación es la siguiente. Yo tengo el segmento O, el segmento OA.

39
00:04:59,000 --> 00:05:11,000
Esa va a ser la diagonal del paralelogramo. Yo tengo un vector, que será el vector u, el vector v, que será algo así, y ¿qué es lo que tengo que hacer? Bueno, puedo hacerlo de dos formas.

40
00:05:11,000 --> 00:05:24,000
O trazando paralelas, para encontrar los puntos que me piden, tengo que pedir, me están pidiendo estos dos puntos, el punto b y el punto c. Están aquí, ¿verdad?

41
00:05:24,000 --> 00:05:37,000
O trazando paralelas, o observando lo siguiente. El vector v es un múltiplo, una combinación, o sea, es lambda por u. El vector v será lambda por v.

42
00:05:37,000 --> 00:05:49,000
Entonces, el vector OA, como es la diagonal, por la caracterización geométrica de la combinación lineal, pues será, OA será lambda por u más u por v.

43
00:05:49,000 --> 00:06:01,000
¿Qué tengo que hacer? Pues calcular OA, escribir aquí esta combinación lineal, y resolver el sistema calculando la lambda y la u.

44
00:06:01,000 --> 00:06:10,000
Este problema, básicamente, lo que nos exige es entender la interpretación geométrica de las combinaciones lineales.

45
00:06:10,000 --> 00:06:39,000
U es menos 1, 2, 3, vamos a escribir aquí, menos 1, 2, 3, v era 2, 0, menos 1, y tenemos, finalmente, que OA será los coordenados de A, que es menos 4, 4, 7, menos 4, 4, 7.

46
00:06:39,000 --> 00:07:08,000
Pues nada, tengo que escribir esto como un sistema de ecuaciones, resolverlo, esta sería la primera coordenada, esto es un 4, vaya letra que estoy haciendo aquí con la tableta, 2lambda más 0u, y la última que es 7 igual a 3lambda más menos 1 por u.

47
00:07:08,000 --> 00:07:15,000
Evidentemente, el punto OA, el vector OA tiene que estar en el plano formado por u y v, si no, el problema no tiene solución.

48
00:07:15,000 --> 00:07:34,000
De aquí deducimos que la lambda vale 2, y si la lambda vale 2, pues por aquí obtenemos que aquí es menos 2, que pasa como más 2, que menos 2 será igual a nu que está multiplicado por 2, es decir, nu valdría menos 1.

49
00:07:34,000 --> 00:07:47,000
Y vamos a comprobar que esto se cumple, 3 por 2 más menos 1 por menos 1 es 6 más 1, 7, correcto, nos da 7.

50
00:07:47,000 --> 00:08:03,000
Total, ¿cuáles serían las coordenadas del punto B y del punto C?, les he puesto dos nombres iguales, pues bueno, OC es igual a lambda por v, es decir, las coordenadas de C serán las coordenadas de este vector lambda por v.

51
00:08:03,000 --> 00:08:33,000
Así es que como la lambda vale 2, pues será dos veces el vector v, que es, vamos a ver la lambda, la estoy cogiendo con el vector u, así que vamos a ponerlo bien, este sería el punto B en realidad, vamos a hacerlo bien, es el punto B, lambda por u, que sería dos veces menos 1, 2, 3,

52
00:08:33,000 --> 00:08:49,000
es decir, el punto B es el menos 2, 4, 6, y el punto C será nueces v, es decir, menos una vez el vector 2, 0, menos 1, es decir, será el punto menos 2, 0, 1.

53
00:08:49,000 --> 00:08:56,000
Y aquí tenemos, por tanto, las coordenadas de los puntos que me pedían, y ya está, con esto se acaba el examen.

54
00:08:56,000 --> 00:09:02,000
Hasta otra, chicos, espero que os haya resultado bien el examen, nos vemos en otro, chao.