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00:00:00,500 --> 00:00:06,299
Hola, en este vídeo vamos a ver un poco cuál es la idea de lo que es una derivada.

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00:00:06,639 --> 00:00:11,000
Entonces, para esto, vamos a mirar esta función que tenemos aquí,

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00:00:12,259 --> 00:00:15,720
que es una parábola, pero podría ser cualquier otra función.

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00:00:17,199 --> 00:00:24,079
Yo, para conocerla, la recorro y veo si la función crece, si decrece,

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00:00:25,460 --> 00:00:28,940
si es cóncava, convexa, etc.

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00:00:28,940 --> 00:00:32,880
Pero esto de recorrerla yo ahora lo estoy haciendo con el cursor.

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00:00:33,380 --> 00:00:37,399
¿Se me ocurre algún elemento matemático con que recorrer una curva?

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00:00:37,899 --> 00:00:42,659
Pues sí, lo vamos a recorrer con la recta tangente.

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00:00:43,240 --> 00:00:53,640
La recta tangente en un cierto punto se va a mover con la gráfica de la función.

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00:00:53,640 --> 00:01:06,019
Y vemos que si la función, por ejemplo, crece muy rápido, la recta también cambia su inclinación muy rápido.

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00:01:06,900 --> 00:01:13,819
Que si decrece muy rápido, también la inclinación cambia en el otro sentido también muy rápido.

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00:01:13,819 --> 00:01:26,680
Bueno, entonces, ¿qué propiedad de la recta puedo asociar a esos cambios que sufre la gráfica de mi función?

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00:01:27,200 --> 00:01:28,519
Pues la pendiente.

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00:01:29,659 --> 00:01:37,340
Entonces, definimos la derivada de la función en un punto, en este caso sería en este punto de aquí,

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00:01:37,340 --> 00:01:44,739
asociado al valor de la XA, como la pendiente de la recta tangente en ese punto.

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00:01:46,640 --> 00:01:50,540
Entonces vamos a verlo con un poquito más de detalle.

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00:01:51,579 --> 00:01:54,340
Vamos a coger la misma gráfica.

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00:01:56,180 --> 00:01:59,920
Vamos a coger el punto A y vamos a coger cualquier otro punto.

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00:01:59,920 --> 00:02:09,060
entonces sobre el punto A cogemos el punto de la gráfica de coordenadas A, F de A

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00:02:09,060 --> 00:02:13,879
y sobre X el punto de coordenadas X, F de X

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00:02:13,879 --> 00:02:22,020
y vamos a coger la recta secante que pasa por estos dos puntos

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00:02:22,020 --> 00:02:27,340
según se vaya moviendo la X la recta secante irá cambiando

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00:02:27,340 --> 00:02:33,159
Pero, ¿qué pasa si X se va acercando cada vez más a A? ¿A qué se acerca la recta?

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00:02:35,080 --> 00:02:37,780
La recta acaba siendo la recta tangente.

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00:02:40,280 --> 00:02:50,159
Por tanto, esta recta, digamos que en el límite en que X tiende a A, tiene como límite la recta tangente en A.

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00:02:50,860 --> 00:02:54,439
Pero hemos dicho que lo que me interesa de la recta tangente es la pendiente.

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00:02:54,439 --> 00:03:15,060
¿Y cómo calculo la pendiente de esta recta tangente? Pues si cojo esta distancia y cojo esta distancia, recordad que la pendiente de una recta era el cociente entre la diferencia de las y y la diferencia de las x.

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00:03:15,060 --> 00:03:35,139
Es decir, en este caso, la pendiente de esta recta secante es f de x menos f de a, que es esta distancia de aquí, este segmento de aquí, entre x menos a, que es esta otra longitud de aquí.

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00:03:35,139 --> 00:04:01,590
¿Vale? Entonces, cuando yo X lo voy acercando a A, ¿qué voy teniendo? Voy teniendo el límite cuando X tiende a A, X se va acercando a A, del valor de las pendientes y a esto, es a lo que hemos dicho que llamamos derivada de la función en el punto A, ¿vale?

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00:04:01,590 --> 00:04:03,550
Que va a ser esta recta roja de aquí

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00:04:03,550 --> 00:04:07,909
Por tanto, mi recta secante se acerca, se acerca

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00:04:07,909 --> 00:04:14,349
Hasta que se acaba solapando con la recta tangente

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00:04:14,349 --> 00:04:19,269
Bueno, me diréis, esto todo es muy bonito, pero ¿para qué vale?

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00:04:19,470 --> 00:04:21,370
Bueno, pues eso lo iremos viendo poco a poco

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00:04:21,370 --> 00:04:24,449
Primero, cómo calcular este valor

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00:04:24,449 --> 00:04:27,629
Porque esto no lo vamos a hacer mediante un límite, aunque se pueda

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00:04:27,629 --> 00:04:33,449
y luego cómo vamos a usar estos valores para deducir información de la curva

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00:04:33,449 --> 00:04:36,810
porque al fin y al cabo, en este caso partimos de un dibujo

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00:04:36,810 --> 00:04:41,290
yo veo el dibujo y ya sé todo lo que tengo que saber sobre si la función crece, decrece, etc.

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00:04:42,009 --> 00:04:46,310
pero normalmente vamos a partir de una expresión algebraica de mi función

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00:04:46,310 --> 00:04:49,889
y voy a querer poder llegar a dibujar, vamos a hacer el camino inverso

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00:04:49,889 --> 00:04:54,889
por tanto, tendremos que buscar formas analíticas de calcular este valor

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00:04:54,889 --> 00:05:00,310
y poder deducir información de este valor para poder dibujar la gráfica.