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00:00:05,339 --> 00:00:21,289
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:21,289 --> 00:00:25,890
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:25,890 --> 00:00:30,070
de la unidad F1 dedicada a las características globales de las funciones.

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00:00:31,949 --> 00:00:40,039
En la videoclase de hoy estudiaremos la curvatura y los puntos de inflexión.

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00:00:41,420 --> 00:00:54,960
La curvatura se refiere a si la gráfica de la función es convexa, con esta forma,

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00:00:54,960 --> 00:01:04,560
como la del símbolo de la unión, o bien cóncava, con esta forma, como la que corresponde al símbolo de intersección.

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00:01:05,200 --> 00:01:12,599
En el caso de concavidad o convexidad, que es el término con el que nos referiremos a la curvatura en un momento dado,

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00:01:13,159 --> 00:01:19,819
tenemos que tener cuidado, y es que en distintos contextos a esto se le denomina en lugar de convexo, cóncavo,

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00:01:19,819 --> 00:01:23,840
y a esto, en lugar de cóncavo, convexo. De la forma que en un momento

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00:01:23,840 --> 00:01:27,840
dado va a ser necesario, para que quede bien claro, para que quien quiera

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00:01:27,840 --> 00:01:31,780
que esté revisando nuestros ejercicios sepa de lo que estamos hablando, que hablemos

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00:01:31,780 --> 00:01:35,939
de convexa y dibujemos el símbolo, o bien cóncava

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00:01:35,939 --> 00:01:39,719
y dibujemos el símbolo. En un momento dado se puede hablar

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00:01:39,719 --> 00:01:43,780
de cóncava hacia arriba, cóncava hacia abajo, cuando estamos hablando de la concavidad, con términos

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00:01:43,780 --> 00:01:47,879
generales, de una función. Y decimos hacia arriba porque esto

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00:01:47,879 --> 00:01:52,540
es como una parábola con las ramas hacia arriba, o bien hacia abajo, porque esto es como una parábola

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00:01:52,540 --> 00:01:57,659
con las ramas hacia abajo. Nosotros, en cualquier caso, diremos convexa y dibujaremos un símbolo

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00:01:57,659 --> 00:02:04,659
como el de la unión, cóncava y dibujaremos un símbolo como el de la intersección. La definición

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00:02:04,659 --> 00:02:09,800
algo más rigurosa, que no es como el símbolo de la unión o como una parábola con las ramas

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00:02:09,800 --> 00:02:13,240
hacia arriba, o bien como el símbolo de la intersección o bien como una parábola con las

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00:02:13,240 --> 00:02:19,580
ramas hacia abajo es esta que tenemos aquí. Una función es convexa cuando al unir mediante un

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00:02:19,580 --> 00:02:24,539
segmento dos puntos cualesquiera dentro de un intervalo lo que tenemos es un segmento que está

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00:02:24,539 --> 00:02:31,159
por encima del dibujo de la función y cóncava cuando al dibujar ese segmento lo tenemos por

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00:02:31,159 --> 00:02:37,500
debajo de la gráfica de la función. Evidentemente las líneas rectas no van a tener curvatura

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00:02:37,500 --> 00:02:42,699
definida por definición y cuando hablemos de la curvatura de una recta diremos que no tiene

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00:02:42,699 --> 00:02:48,699
curvatura definida. Como pasaba con la monotonía y con los extremos relativos, la curvatura se va

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00:02:48,699 --> 00:02:54,060
a poder caracterizar de una forma más rigurosa desde un punto de vista algebraico, no con forma

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00:02:54,060 --> 00:02:58,520
de unión o con forma de intersección, cuando lleguemos a la unidad en la que estudiamos las

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00:02:58,520 --> 00:03:06,340
funciones derivadas. Los puntos de inflexión están íntimamente relacionados con la curvatura,

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00:03:06,800 --> 00:03:10,979
de igual manera que los extremos relativos estaban íntimamente relacionados con la monotonía.

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00:03:11,840 --> 00:03:15,360
Nosotros diremos que una función real tiene un punto de inflexión en un determinado punto,

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00:03:15,479 --> 00:03:20,319
cuando en él la función es continua y cambia la curvatura de ser cóncava a convexa

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00:03:20,319 --> 00:03:23,439
o bien al revés, de ser convexa a ser cóncava.

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00:03:23,860 --> 00:03:27,099
Esta definición, nuevamente, es muy sui generis

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00:03:27,099 --> 00:03:31,000
y haremos una definición rigurosa desde el punto de vista algebraico,

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00:03:31,539 --> 00:03:32,740
igual que en el caso de la curvatura,

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00:03:33,379 --> 00:03:37,159
cuando definamos las funciones derivadas en la unidad correspondiente.

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00:03:38,139 --> 00:03:40,780
Para ver cómo funciona, curvatura y puntos de inflexión,

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00:03:40,900 --> 00:03:42,659
vamos a desarrollar este ejemplo,

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00:03:42,659 --> 00:03:45,340
que es el que estamos utilizando a lo largo de todo este apartado,

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00:03:45,479 --> 00:03:51,400
Y vamos a estudiar la curvatura y los puntos de inflexión de esta función dada por esta gráfica.

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00:03:51,719 --> 00:04:00,000
Vamos a hacer igual que en el caso de monotonía y extremos relativos, vamos a ir siguiendo la función de izquierda a derecha a lo largo de su dominio.

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00:04:00,620 --> 00:04:11,120
Y lo primero que hacemos es ver un intervalo entre menos 6 y menos 4, x igual a menos 6 y x igual a menos 4, en el que la función es un segmento recto.

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00:04:11,939 --> 00:04:16,300
Hemos mencionado anteriormente que los tramos rectos no tienen curvatura definida,

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00:04:16,420 --> 00:04:21,120
así que en este intervalo, desde menos 6 hasta menos 4, la función no tiene curvatura definida.

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00:04:21,699 --> 00:04:25,800
Y en este caso tenemos intervalos abiertos, desde menos 6 hasta menos 4.

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00:04:27,240 --> 00:04:30,920
En este otro intervalo, en este otro trozo de la función,

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00:04:30,920 --> 00:04:35,120
desde que la x vale menos 4 hasta que la x vale menos un medio,

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00:04:35,879 --> 00:04:40,660
vemos que la función tiene el aspecto del símbolo de la intersección.

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00:04:41,120 --> 00:04:44,939
No es, pero se parece mucho a una parábola con las ramas hacia abajo.

51
00:04:45,459 --> 00:04:49,519
Así pues, en este intervalo, desde x igual a menos 4 hasta x igual a menos 1 medio,

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00:04:49,959 --> 00:04:51,519
diremos que la función es cóncava.

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00:04:53,420 --> 00:04:58,100
Vamos al siguiente tramo y aquí vemos este primer trocito,

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00:04:58,740 --> 00:05:02,060
desde que comienza la función en x igual a 0 hasta aproximadamente aquí,

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00:05:02,819 --> 00:05:04,459
la x igual a 1, este primer tramo,

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00:05:05,079 --> 00:05:10,639
que tenemos la parte derecha a partir del vértice de una parábola con las ramas hacia abajo.

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00:05:10,639 --> 00:05:23,860
Me puedo imaginar perfectamente una parábola con esta forma. Es algo similar al símbolo de la intersección, así que nuevamente desde x igual a 0 hasta x igual a 1 lo que tengo es una función cóncava.

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00:05:24,459 --> 00:05:39,459
A continuación, desde x igual a 1 hasta x igual a 3, aproximadamente, en este trozo veo algo similar al símbolo de la unión, a una parábola con las ramas hacia arriba. Bueno, pues desde x igual a 1 hasta x igual a 3 lo que tengo es un trozo de función convexa.

59
00:05:40,399 --> 00:05:50,620
Desde x igual a 3 hasta aproximadamente x igual a 5, lo que estoy viendo es este trozo de función donde tengo algo cóncavo.

60
00:05:50,839 --> 00:05:54,939
Tiene la forma del símbolo de la intersección, una parábola con las ramas hacia abajo aproximadamente.

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00:05:55,920 --> 00:06:07,180
Y desde x igual a 5 hasta valores arbitrariamente grandes, x tendiendo a más infinito, lo que veo es algo deformado, pero con el símbolo de la unión.

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00:06:07,180 --> 00:06:16,079
Y entonces es como si fuera una parábola con las ramas hacia arriba, lo único que aquí este extremo se extendería, está x tendiendo más infinito.

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00:06:16,540 --> 00:06:18,899
Aquí lo que tengo es un tramo donde la función es convexa.

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00:06:20,879 --> 00:06:27,620
¿Dónde tenemos los puntos de inflexión? Pues en aquellos puntos donde hemos cambiado la curvatura de cóncavo a convexa o de convexa a cóncava.

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00:06:27,920 --> 00:06:32,100
En concreto en x igual a 1, donde cambiábamos de cóncavo a convexa.

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00:06:32,500 --> 00:06:35,939
En x igual a 3, donde cambiábamos de convexa a cóncava.

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00:06:35,939 --> 00:06:39,680
Y en x igual a 5, donde cambiábamos de cóncava a convexa.

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00:06:40,459 --> 00:06:46,579
Estos extremos no tienen un cambio de curvatura porque son los donde comienza o acaban cada uno de los trozos.

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00:06:46,899 --> 00:06:49,199
Luego no son puntos de inflexión.

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00:06:50,300 --> 00:06:53,339
En síntesis, intervalos donde la función es convexa, siempre abiertos.

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00:06:53,920 --> 00:06:57,120
Desde menos 1 hasta 3, unión de 5 a más infinito.

72
00:06:57,680 --> 00:07:00,500
Desde 1 hasta 3, desde 5 hasta más infinito.

73
00:07:00,500 --> 00:07:04,240
Tiene una forma como el símbolo de la unión.

74
00:07:05,939 --> 00:07:16,579
¿Intervalos donde la función es cóncava? Bueno, pues tenemos desde menos 4 a menos 1 medio, este trozo de aquí, desde 0 hasta 1, este trozo de aquí, y desde 3 hasta 5.

75
00:07:17,360 --> 00:07:21,040
Tiene forma aproximada al símbolo de la intersección.

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00:07:21,879 --> 00:07:27,420
¿Intervalos donde la función no tiene curvatura definida? Donde es recta, desde x igual a menos 6 hasta x igual a menos 4.

77
00:07:27,420 --> 00:07:44,160
Y por último, puntos de inflexión, puntos, primera coordenada es la paréble de la coordenada x, segunda la coordenada y, serían los puntos, vemos 1, 0, 3, 0 y este de aquí, 5, 1.

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00:07:44,399 --> 00:07:53,160
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

79
00:07:53,899 --> 00:07:58,019
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

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00:07:58,860 --> 00:08:03,579
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

81
00:08:04,139 --> 00:08:05,540
Un saludo y hasta pronto.