1 00:00:00,240 --> 00:00:13,720 Bueno, vamos a ver cómo se hace el estudio de una gráfica, las cosas que hay que saber contestar de ella, pues con ejemplos, que esto es que hay que verlo así con ejemplos y no es imposible. 2 00:00:13,720 --> 00:00:31,760 Vamos a ver. Entonces, vamos a empezar por las dos cosas más principales, digamos, que son el dominio, que la abreviatura que se utiliza es o D mayúscula, 3 00:00:31,839 --> 00:00:37,320 y entre paréntesis se pone F, porque digamos que esta sería la gráfica de una determinada función, llámala F de X, 4 00:00:37,320 --> 00:00:44,719 o bien también se puede poner con las tres primeras letras, siempre la primera en mayúscula, una cosa u otra, ¿vale? 5 00:00:45,679 --> 00:00:55,079 Bien, entonces, vamos a ver, para que se pueda dibujar una gráfica, una gráfica no es más que un conjunto infinito de puntos, ¿vale? 6 00:00:56,039 --> 00:01:03,060 Entonces, cada uno de esos puntos tiene dos coordenadas, que son su valor de x y su valor de y. 7 00:01:03,060 --> 00:01:11,060 Entonces, para que algún punto en concreto exista y pertenezca a la gráfica, tiene que tener sus dos coordenadas. 8 00:01:11,420 --> 00:01:16,560 Eso lo vamos a apreciar porque van a ser cualquiera de los puntos donde se va trazando la curva. 9 00:01:16,980 --> 00:01:25,859 Hay puntos especiales, por ejemplo, cuando vemos que hay un agujero, significa que ese punto en realidad no existe, no pertenece a la gráfica. 10 00:01:25,859 --> 00:01:34,299 O cuando vemos una punta de flecha, lo que indica es que esa línea continuaría indefinidamente manteniendo esa tendencia. 11 00:01:34,780 --> 00:01:44,200 En este caso, pues continuaría hacia abajo indefinidamente hasta llegar a menos infinito en la Y, pero también se va abriendo. 12 00:01:44,700 --> 00:01:49,099 Si os dais cuenta, aquí lo que hace es ir hacia la izquierda, ¿vale? 13 00:01:49,700 --> 00:01:53,560 Entonces esa punta de flecha sirve para indicar que eso continúa indefinidamente. 14 00:01:53,560 --> 00:02:00,379 De la misma manera, este punto, por ejemplo, lo que significa es que la gráfica llega exactamente hasta ahí. 15 00:02:01,120 --> 00:02:10,300 En ese sentido, cuando vimos lo de los intervalos, el de los números reales, el principio del curso, eso mismo es lo que vamos a utilizar ahora. 16 00:02:10,539 --> 00:02:22,460 Entonces, había que acordarse que cuando representabas un intervalo, por ejemplo, representábamos un intervalo y lo poníamos, por ejemplo, aquí, desde menos 3 hasta 7. 17 00:02:22,460 --> 00:02:27,460 y hacíamos este dibujo, decíamos todos los números de entre medias, 18 00:02:27,800 --> 00:02:30,199 ¿qué significaba el agujero? ¿qué significaba el punto este? 19 00:02:30,740 --> 00:02:35,599 Pues esto significaba que por aquí llegabas casi, casi, casi, casi hasta menos 3, 20 00:02:35,939 --> 00:02:39,680 pongamos menos 2,9999, pero que justo el menos 3 no. 21 00:02:40,360 --> 00:02:44,099 Y aquí el punto este gordo significaba que llegabas exactamente hasta el 7. 22 00:02:44,740 --> 00:02:48,879 Cuando escribíamos el intervalo, esto se traducía en que en el menos 3 23 00:02:48,879 --> 00:02:54,259 Lo poníamos con un paréntesis, que es la forma de indicar que justo el menos 3 no está incluido 24 00:02:54,259 --> 00:02:59,580 Y en el otro número, cuando veíamos un punto así, lo que hacíamos era ponerle un corchete 25 00:02:59,580 --> 00:03:04,139 Entonces decíamos que el intervalo era cerrado por aquí y abierto por aquí 26 00:03:04,139 --> 00:03:06,759 Esto en concreto se llamaba semiabierto 27 00:03:06,759 --> 00:03:12,080 Bueno, pues es que vamos a utilizar esos intervalos en este tipo de ejercicios 28 00:03:12,080 --> 00:03:14,340 Los vamos a tener que utilizar 29 00:03:14,340 --> 00:03:17,979 Bien, vamos a ver, pues vamos a empezar 30 00:03:17,979 --> 00:03:39,340 Entonces, en esta gráfica en concreto, por ejemplo, en cualquier otra gráfica, para ver el dominio, lo que se hace es recorrer la gráfica de izquierda a derecha, porque el dominio es el conjunto de los valores de la x, la x que es la horizontal, para los que hay gráfica, para los que la gráfica se puede dibujar. 31 00:03:39,340 --> 00:03:46,500 entonces en este caso en concreto si yo miro la gráfica desde así, desde menos infinito vendría esta manita 32 00:03:46,500 --> 00:03:50,500 pues claro sería viniendo por esta parte de la gráfica 33 00:03:50,500 --> 00:03:53,800 entonces esto realmente en la horizontal desde donde vendría 34 00:03:53,800 --> 00:03:56,319 como esto se va abriendo indefinidamente 35 00:03:56,319 --> 00:04:02,060 si esto lo pudiéramos continuar hasta el infinito pues por la izquierda también llegaría hasta el infinito 36 00:04:02,060 --> 00:04:07,819 entonces decimos que en este caso el dominio es desde menos infinito 37 00:04:07,819 --> 00:04:11,360 que se pone con un paréntesis porque al infinito no se llega nunca, 38 00:04:11,900 --> 00:04:15,680 por eso se pone con un paréntesis, coma, y veamos hasta dónde. 39 00:04:16,600 --> 00:04:21,439 Vamos a ver, la curva sigue, por todo esto, los valores de x siguen, 40 00:04:21,560 --> 00:04:22,899 y aquí pega un salto. 41 00:04:23,759 --> 00:04:26,439 ¿Qué hacemos con x igual a 3, que este punto está aquí? 42 00:04:27,000 --> 00:04:29,920 Pues aunque se rompa, esto significa que es discontinuo, 43 00:04:30,040 --> 00:04:32,459 y lo veremos más adelante, en otro vídeo. 44 00:04:32,459 --> 00:04:40,199 pero el valor x igual a 3 si está incluido porque lo toma en este punto de aquí y lo toma en este 45 00:04:40,199 --> 00:04:46,579 punto de aquí cuando pasan estas cosas que pega un salto vale no puede tener este punto gordo en los 46 00:04:46,579 --> 00:04:52,839 dos sitios si en uno tiene un punto en el otro tiene un agujero porque pasa eso porque una cosa 47 00:04:52,839 --> 00:04:58,939 que distingue a lo que es función y lo que no es que para un mismo valor de x no puede haber dos 48 00:04:58,939 --> 00:05:04,639 valores de y diferentes pues yo no puedo poner un punto relleno aquí sólo lo puedo poner en uno de 49 00:05:04,639 --> 00:05:11,100 los dos lados dos agujeros si podría tener porque eso sería que ese valor de x no existiría pero 50 00:05:11,100 --> 00:05:16,639 luego que ese valor de x no tendría ningún valor de y si no tiene valor de y pues muy punto si no 51 00:05:16,639 --> 00:05:21,680 hay las dos coordenadas no hay punto pero si está en uno de ellos no puede estar en el otro en 52 00:05:21,680 --> 00:05:28,100 cualquier caso x igual a 3 si está y desde aquí sigue desde casi casi casi 3 con lo cual el 53 00:05:28,100 --> 00:05:34,519 dominio sigue todavía no hace falta partirlo sigue sigue sigue la gráfica si los valores de 54 00:05:34,519 --> 00:05:40,779 x hasta este punto de aquí que qué valor de x le corresponde 12 y cómo está este punto incluido 55 00:05:40,779 --> 00:05:48,220 pues diríamos que llegamos hasta 12 y para incluirlo ponemos un corchete ese es el dominio 56 00:05:48,220 --> 00:05:53,720 en este caso vamos a hacer una cosa este tipo de conceptos del principio vale lo vamos a ir 57 00:05:53,720 --> 00:06:00,259 viendo en dos gráficas alternativamente aquí tengo preparada otra pues para que vayamos comparando en 58 00:06:00,259 --> 00:06:05,240 este caso cuál es el dominio pues desde donde la gráfica empieza desde este punto y este punto 59 00:06:05,240 --> 00:06:12,959 está en x igual a menos 6 y va de tirón sin romperse vale hasta aquí que aquí lo que tiene 60 00:06:12,959 --> 00:06:18,439 es una punta de flecha lo que quiere decir que eso sería seguiría con esta tendencia abriéndose 61 00:06:18,439 --> 00:06:26,560 abriéndose abriéndose con lo cual cuál es el dominio en esta situación pues desde este punto 62 00:06:26,560 --> 00:06:36,540 que corresponde a x igual a menos 6 con corchete porque está incluido hasta más infinito porque 63 00:06:36,540 --> 00:06:43,040 esto seguiría avanzando hacia arriba y hacia la derecha indefinidamente pues hasta infinito 64 00:06:43,040 --> 00:06:48,019 A ver, en el infinito podemos poner el más o no ponerlo, en el positivo 65 00:06:48,019 --> 00:06:51,180 ¿Vale? Yo es que tengo la costumbre de ponerlo 66 00:06:51,180 --> 00:06:53,139 Pero no pasa nada si no se pone 67 00:06:53,139 --> 00:06:56,040 Eso no se considera un fallo si no se pone 68 00:06:56,040 --> 00:06:59,019 Hombre, obviamente en el negativo sí 69 00:06:59,019 --> 00:07:02,480 Como cualquier número negativo, pues si es menos infinito hay que poner el menos 70 00:07:02,480 --> 00:07:03,819 Pero en el positivo no hace falta 71 00:07:03,819 --> 00:07:05,540 Pues esto es el dominio 72 00:07:05,540 --> 00:07:07,339 Vamos a ver lo que es el recorrido 73 00:07:07,339 --> 00:07:10,939 Re-co-ri-do 74 00:07:10,939 --> 00:07:13,620 el recorrido es que la abreviatura 75 00:07:13,620 --> 00:07:15,220 puede parecer extraño 76 00:07:15,220 --> 00:07:16,500 pero la abreviatura es esta 77 00:07:16,500 --> 00:07:19,660 IM, las dos primeras letras de la palabra 78 00:07:19,660 --> 00:07:21,759 imagen, porque se llama recorrido 79 00:07:21,759 --> 00:07:22,879 o imagen 80 00:07:22,879 --> 00:07:27,360 ¿vale? y la abreviatura es así 81 00:07:27,360 --> 00:07:29,139 porque esto es notación universal 82 00:07:29,139 --> 00:07:30,399 y en inglés 83 00:07:30,399 --> 00:07:32,300 se utiliza la palabra image 84 00:07:32,300 --> 00:07:34,759 que empieza por IM, es solo por eso 85 00:07:34,759 --> 00:07:35,819 hay que aprenderse 86 00:07:35,819 --> 00:07:38,860 la nomenclatura, la forma de nombrar 87 00:07:38,860 --> 00:07:39,800 las cosas y ya está 88 00:07:39,800 --> 00:07:42,139 bueno, pues el recorrido es lo mismo 89 00:07:42,139 --> 00:07:44,779 que el dominio, pero para la Y. 90 00:07:45,019 --> 00:07:47,839 Es decir, para qué valores de Y hay gráfica. 91 00:07:48,639 --> 00:07:51,459 Cuidado con esto, porque siempre hay que hacerlo 92 00:07:51,459 --> 00:07:54,600 en el sentido en el que la coordenada correspondiente avanza. 93 00:07:54,959 --> 00:07:57,379 Pues si las X avanzan de menos a más, 94 00:07:57,600 --> 00:07:58,660 de izquierda a derecha, 95 00:07:59,500 --> 00:08:03,040 la Y es de abajo a arriba. 96 00:08:03,040 --> 00:08:05,240 Para ir de menos a más, es de abajo a arriba. 97 00:08:06,120 --> 00:08:07,240 Hay que tener cuidado, digo, 98 00:08:07,360 --> 00:08:09,279 porque como nosotros leemos de arriba a abajo, 99 00:08:09,939 --> 00:08:11,079 pues nos podemos confundir. 100 00:08:11,079 --> 00:08:14,439 Pero entonces escribiríamos los intervalos al revés y eso no puede ser. 101 00:08:15,060 --> 00:08:19,560 Entonces vamos a mirar de abajo a arriba a ver para qué valores de y tenemos gráfica. 102 00:08:20,120 --> 00:08:25,459 Esto cuesta un poco más porque como la x y la y no están en igualdad en una función, 103 00:08:26,439 --> 00:08:30,139 como he dicho antes, un valor de x solo le puede corresponder un valor de y. 104 00:08:31,779 --> 00:08:34,299 Pero un mismo valor de la y, por ejemplo 6. 105 00:08:34,740 --> 00:08:38,740 En esta gráfica el valor y igual a 6 le corresponden dos puntos, dos valores de x. 106 00:08:38,740 --> 00:08:40,419 este, que sería x igual a 0 107 00:08:40,419 --> 00:08:43,059 y este otro, que sería x igual a 2 108 00:08:43,059 --> 00:08:45,679 entonces, eso sí puede pasar 109 00:08:45,679 --> 00:08:47,519 entonces, puede que por una zona 110 00:08:47,519 --> 00:08:48,860 que estemos mirando la gráfica 111 00:08:48,860 --> 00:08:50,620 veamos que no toma cierto valor de y 112 00:08:50,620 --> 00:08:51,899 pero a lo mejor por otra zona sí 113 00:08:51,899 --> 00:08:54,299 entonces, a la que vamos de abajo a arriba 114 00:08:54,299 --> 00:08:56,200 hay que intentar mirarla 115 00:08:56,200 --> 00:08:58,200 a lo ancho también 116 00:08:58,200 --> 00:09:00,259 ¿vale? para que no se nos despiste nada 117 00:09:00,259 --> 00:09:01,879 bueno, pues esta en concreto 118 00:09:01,879 --> 00:09:04,639 la flecha, esto vendría 119 00:09:04,639 --> 00:09:07,240 desde abajo del todo, desde menos infinito 120 00:09:07,240 --> 00:09:08,559 ¿vale? 121 00:09:08,740 --> 00:09:10,139 Desde menos infinito. 122 00:09:11,559 --> 00:09:14,620 Y entonces, vamos a ver, vendría desde menos infinito. 123 00:09:15,720 --> 00:09:18,299 Y sigue, sigue, sigue habiendo gráfica toda esta zona. 124 00:09:18,440 --> 00:09:21,360 Y aquí llega hasta este punto, que es lo más alto que hay. 125 00:09:22,100 --> 00:09:24,559 Bueno, pues llega hasta el valor de i igual a 8. 126 00:09:25,360 --> 00:09:25,840 ¿Vale? 127 00:09:26,519 --> 00:09:29,740 Entonces, pondríamos hasta 8 con corchete. 128 00:09:29,860 --> 00:09:30,720 ¿Por qué con corchete? 129 00:09:31,299 --> 00:09:34,299 Pues porque hay algún punto donde la i sea exactamente 8. 130 00:09:34,620 --> 00:09:36,039 Pues sí, este punto de aquí. 131 00:09:37,039 --> 00:09:38,320 ¿Qué tendría que pasar? 132 00:09:38,740 --> 00:10:00,000 Por ejemplo, para que aquí en vez de un corchete pusiéramos un paréntesis, pues que justo hasta el 8 no llegara, entonces para eso tendría que tener aquí un agujero, si tuviera un agujero sería una forma de indicar que casi casi casi llegas hasta ahí, pero justo hasta ahí no, como no es el caso que no hay ningún agujero, pues ya está. 133 00:10:00,000 --> 00:10:02,940 a ver cuál es el recorrido en la otra gráfica 134 00:10:02,940 --> 00:10:04,700 pues aquí el recorrido 135 00:10:04,700 --> 00:10:06,960 vamos a ver cuál es 136 00:10:06,960 --> 00:10:09,419 bien, vamos a ver 137 00:10:09,419 --> 00:10:10,779 en todo este tramo de aquí 138 00:10:10,779 --> 00:10:12,320 la función es horizontal 139 00:10:12,320 --> 00:10:14,059 y se dice que es constante 140 00:10:14,059 --> 00:10:15,340 en este tramo 141 00:10:15,340 --> 00:10:18,019 aquí hay un montón de puntos 142 00:10:18,019 --> 00:10:20,220 todo un intervalo desde menos 6 hasta 0 143 00:10:20,220 --> 00:10:22,299 donde la IVA de todo el rato es lo mismo 144 00:10:22,299 --> 00:10:23,139 que vale 5 145 00:10:23,139 --> 00:10:24,460 ¿vale? 146 00:10:25,299 --> 00:10:26,759 bien, eso que quede claro 147 00:10:26,759 --> 00:10:28,120 pero como he dicho antes 148 00:10:28,120 --> 00:10:29,879 tengo que mirarla desde abajo 149 00:10:29,879 --> 00:10:32,320 hasta arriba, entonces yo vengo 150 00:10:32,320 --> 00:10:34,019 desde abajo, no hay nada, no hay nada 151 00:10:34,019 --> 00:10:36,100 y empiezo a ver gráfica desde aquí 152 00:10:36,100 --> 00:10:37,779 ¿qué valor de i es este? 153 00:10:38,460 --> 00:10:39,240 menos 2 154 00:10:39,240 --> 00:10:41,639 pues desde menos 2 155 00:10:41,639 --> 00:10:43,059 incluido 156 00:10:43,059 --> 00:10:46,059 y ahora, digamos, yo diría 157 00:10:46,059 --> 00:10:47,539 pues sigo hasta aquí, pero cuidado 158 00:10:47,539 --> 00:10:49,779 esta punta de flecha que indica 159 00:10:49,779 --> 00:10:51,980 esto sigue indefinidamente 160 00:10:51,980 --> 00:10:53,279 hasta que me salga de la pantalla 161 00:10:53,279 --> 00:10:55,600 luego sería hasta 162 00:10:55,600 --> 00:10:58,200 más infinito con su paréntesis 163 00:10:58,200 --> 00:11:00,330 ¿vale? 164 00:11:00,330 --> 00:11:22,309 Bueno, en este caso, en estas dos funciones hemos tenido que tanto dominio como recorrido van de un solo trozo, pero puede ocurrir, en estas que están puestas aquí de ejemplo no, pero pongamos, vamos a imaginar que por ejemplo, pues mi gráfica hiciera por ejemplo una cosa así, 165 00:11:22,309 --> 00:11:41,509 Pues que viniera haciendo así, así, así, que aquí esto por ejemplo fuese 4, que aquí tuviera este punto y que de repente pues diera un salto, ¿vale? 166 00:11:41,509 --> 00:11:48,049 y luego, pues, hiciera este otro trocito 167 00:11:48,049 --> 00:11:50,409 y que esto, por ejemplo, hiciese así 168 00:11:50,409 --> 00:11:53,330 pues aquí, ¿cuál sería el recorrido? 169 00:11:54,090 --> 00:11:56,950 supongamos que este punto está en menos 3 170 00:11:56,950 --> 00:11:59,690 pues tendríamos un recorrido 171 00:11:59,690 --> 00:12:02,350 desde igual a menos 3 172 00:12:02,350 --> 00:12:04,970 llegaríamos hasta este punto 173 00:12:04,970 --> 00:12:07,269 que vamos a poner aproximadamente 174 00:12:07,269 --> 00:12:09,929 que esto pueda ser 5 175 00:12:09,929 --> 00:12:16,009 pero es que luego desde i igual a 5 hasta este de aquí 176 00:12:16,009 --> 00:12:18,389 que vamos a poner por ejemplo que es 7 177 00:12:18,389 --> 00:12:20,490 no hay gráfica 178 00:12:20,490 --> 00:12:23,250 ¿cómo se escribiría eso en este caso? 179 00:12:23,250 --> 00:12:27,570 pues en este caso el recorrido sería 180 00:12:27,570 --> 00:12:31,389 desde menos 3 181 00:12:31,389 --> 00:12:34,049 luego a la manita 182 00:12:34,049 --> 00:12:35,110 desde menos 3 183 00:12:35,110 --> 00:12:38,309 todos estos valores de i hasta el 5 184 00:12:38,309 --> 00:12:39,470 incluyéndolo 185 00:12:39,470 --> 00:12:42,429 Con su corchete 186 00:12:42,429 --> 00:12:45,149 Y luego tendríamos otro intervalo más 187 00:12:45,149 --> 00:12:47,210 Que serían los valores de ahí 188 00:12:47,210 --> 00:12:48,049 Voy a poner 189 00:12:48,049 --> 00:12:51,629 Que pongamos esto fuese el 8 190 00:12:51,629 --> 00:12:54,269 Este trocito que he dibujado aquí 191 00:12:54,269 --> 00:12:55,789 Los valores de ahí que le corresponden 192 00:12:55,789 --> 00:12:56,789 Son de 7 a 8 193 00:12:56,789 --> 00:12:58,950 Sin coger el 7 porque hay un agujero 194 00:12:58,950 --> 00:13:00,730 Y cogiendo el 8 195 00:13:00,730 --> 00:13:02,789 Eso sería este intervalo 196 00:13:02,789 --> 00:13:04,610 Sería desde el 7 197 00:13:04,610 --> 00:13:06,450 Hasta el 8 198 00:13:06,450 --> 00:13:27,129 Y ahora, cuando tengamos más de un trozo, más de un intervalo, entre medias, se pone este simbolito, este simbolito es el simbolito de unión, y no, no es una U, se parece a una U mayúscula, pero no es una U, es el símbolo de unión, ya está, hay que aprendérselo. 199 00:13:27,129 --> 00:13:32,200 bueno, vamos a ver 200 00:13:32,200 --> 00:13:34,200 entonces espero que haya quedado claro 201 00:13:34,200 --> 00:13:35,500 que a veces puede 202 00:13:35,500 --> 00:13:37,620 la gráfica se nos puede partir 203 00:13:37,620 --> 00:13:40,220 entonces todo esto lo voy a borrar de aquí 204 00:13:40,220 --> 00:13:42,580 porque necesito sitio para lo demás que voy a hacer 205 00:13:42,580 --> 00:13:43,779 pero como está grabado en vídeo 206 00:13:43,779 --> 00:13:46,039 pues se puede revisitar 207 00:13:46,039 --> 00:13:47,460 cuando uno quiera 208 00:13:47,460 --> 00:13:50,399 sin ningún problema 209 00:13:50,399 --> 00:13:52,740 desde la pausa 210 00:13:52,740 --> 00:13:53,419 a lo que queráis 211 00:13:53,419 --> 00:13:56,080 vamos a ver, vamos a volver 212 00:13:56,080 --> 00:13:57,980 a la del principio 213 00:13:57,980 --> 00:13:59,360 pues ya hemos visto dominio 214 00:13:59,360 --> 00:14:05,840 y recorrido como conceptos principales bien vamos a ver más cosas 215 00:14:08,200 --> 00:14:16,820 puntos de corte con los ejes coordenados es un concepto importante puntos de corte 216 00:14:19,259 --> 00:14:25,799 los ejes con el eje x y con el eje y vamos a ver con el eje y empecemos por el eje 217 00:14:25,799 --> 00:14:33,019 ¿Cuántos puede haber? Pues si hay alguno, hay uno solo, ¿vale? Por lo que hemos dicho antes 218 00:14:33,019 --> 00:14:42,960 Para un determinado valor de x, que en este caso sería 0, todos los números, todos los puntos que están en el eje y, su coordenada x es 0 219 00:14:43,379 --> 00:14:50,480 Entonces, como para cada valor de x solo puede haber un valor de y, si la gráfica corta el eje y, es en un solo punto 220 00:14:50,480 --> 00:15:14,529 En este caso se ve perfectamente que ese punto es el 0, 6 y aviso una cosa tiene que quedar clarísima, si me piden puntos, los puntos hay que escribirlos con sus dos coordenadas, no vale poner corta en 6, no, dos coordenadas, hay que poner las dos, eso es importante. 221 00:15:14,529 --> 00:15:20,389 Veamos, con el eje X, aquí pasa lo contrario, no hay límite 222 00:15:20,389 --> 00:15:25,529 Una gráfica puede cortar al eje X desde ninguna sola vez a infinitas 223 00:15:25,529 --> 00:15:29,669 En este caso tenemos cuatro puntos de corte con el eje X 224 00:15:29,669 --> 00:15:36,269 Tenemos este aquí, este aquí, a fin de cuentas es un punto donde la gráfica coincide con el eje X 225 00:15:36,269 --> 00:15:41,029 Luego se considera punto de corte, no tiene por qué atravesarla de lado a lado para que sea punto de corte 226 00:15:41,029 --> 00:15:43,870 Aquí tengo otro y aquí tengo otro 227 00:15:43,870 --> 00:16:12,330 Entonces hay que escribir una lista. ¿Cómo se escriben las listas de cosas? Pues separadas por comas. Pues tendríamos el punto menos uno cero, que es este, voy a marcar, luego tendría el tres cero, que es este de aquí, luego tendría el cinco cero, que es este de aquí, y luego tendría el once cero. 228 00:16:13,870 --> 00:16:21,990 11 0 vale vamos a ver pues ya está estos son los puntos de corte con él con los ejes 229 00:16:21,990 --> 00:16:31,230 córdenas vamos a ver en la segunda gráfica cuáles son puntos d corte a ver con el eje 230 00:16:31,230 --> 00:16:42,750 y eje y tenemos punto de corte pues si este de aquí es el punto 0 5 y con el eje x vamos 231 00:16:42,750 --> 00:16:49,009 A ver, tenemos, veamos, veamos, tenemos dos. Uno aquí y otro aquí. 232 00:16:49,250 --> 00:16:56,509 A ver, a veces pasa con estas gráficas que os preparo, que es un aviso que es muy, muy complicado. 233 00:16:57,529 --> 00:17:03,629 Diseñar y dibujar una gráfica con el ordenador a mano es más fácil, la haces pasar por donde te dé la gana. 234 00:17:03,629 --> 00:17:12,569 Pero con el ordenador es más complicado de lo que pueda parecer hacerla pasar por sitios de manera que los puntos importantes tengan todos coordenadas enteras. 235 00:17:12,750 --> 00:17:19,089 entonces cuando me pase entre medias pues uno aproxima más o menos y ya está, no pasa nada 236 00:17:19,089 --> 00:17:27,650 entonces en el eje x este punto de aquí pues vamos a ver tenemos una coordenada que como se ve está entre 7 y 8 237 00:17:27,650 --> 00:17:35,130 o sea 7 coma algo aproximadamente en el centro no nos comemos la cabeza ponemos 7,5 y ya está 238 00:17:35,130 --> 00:17:40,089 pero como una de las coordenadas es un número decimal en este caso en vez de separar una de otra 239 00:17:40,089 --> 00:17:42,529 la coordenada x de la coordenada y 240 00:17:42,529 --> 00:17:44,490 con una coma se separa 241 00:17:44,490 --> 00:17:46,970 con un punto y coma 242 00:17:46,970 --> 00:17:49,230 ¿vale? y el otro puntito 243 00:17:49,230 --> 00:17:51,049 ¿vale? está, la x está 244 00:17:51,049 --> 00:17:53,130 entre 9 y 10, en este caso pues yo diría 245 00:17:53,130 --> 00:17:54,230 que está más cerca del 9 246 00:17:54,230 --> 00:17:56,869 que del 10, bueno pues podemos poner 247 00:17:56,869 --> 00:17:58,230 por ejemplo 9,3 248 00:17:58,230 --> 00:18:01,049 0, pero a ver que si esto 249 00:18:01,049 --> 00:18:03,029 yo lo pongo en un examen y alguien en vez de 250 00:18:03,029 --> 00:18:04,950 poner 9,3 me pone 9,5 251 00:18:04,950 --> 00:18:07,309 me sirve, sin agobios 252 00:18:07,309 --> 00:18:08,630 ¿vale? eso 253 00:18:08,630 --> 00:18:11,009 lo recuerdo siempre en los exámenes 254 00:18:11,009 --> 00:18:13,049 pues esto es lo de los puntos de corte 255 00:18:13,049 --> 00:18:14,789 sencillo 256 00:18:14,789 --> 00:18:17,130 vale, vamos a ver 257 00:18:17,130 --> 00:18:18,690 veamos 258 00:18:18,690 --> 00:18:22,779 ahora vamos a ver lo que es 259 00:18:22,779 --> 00:18:24,519 se llama monotonía 260 00:18:24,519 --> 00:18:27,079 ¿vale? la monotonía 261 00:18:27,079 --> 00:18:30,240 monotonía 262 00:18:30,240 --> 00:18:32,240 es como se nombra 263 00:18:32,240 --> 00:18:34,779 en conjunto al estudio 264 00:18:34,779 --> 00:18:36,420 de cómo hace la función 265 00:18:36,420 --> 00:18:38,440 en cuanto a si crece 266 00:18:38,440 --> 00:18:40,980 Decrece, donde crece, donde decrece 267 00:18:40,980 --> 00:18:41,880 O donde es constante 268 00:18:41,880 --> 00:18:43,859 Es un concepto muy sencillo 269 00:18:43,859 --> 00:18:47,160 Si yo voy recorriendo la gráfica de izquierda a derecha 270 00:18:47,160 --> 00:18:48,759 Y voy como 271 00:18:48,759 --> 00:18:50,099 Caminando por ella 272 00:18:50,099 --> 00:18:52,039 ¿Qué voy haciendo aquí? Voy subiendo 273 00:18:52,039 --> 00:18:54,839 Pues eso es porque en este tramo la función es creciente 274 00:18:54,839 --> 00:18:56,380 Aquí voy bajando 275 00:18:56,380 --> 00:18:58,039 Pues en este tramo es decreciente 276 00:18:58,039 --> 00:19:00,019 Y aquí ni subo ni bajo 277 00:19:00,019 --> 00:19:02,200 Pues en este tramo es constante 278 00:19:02,200 --> 00:19:03,660 ¿Vale? 279 00:19:04,140 --> 00:19:05,960 Bien, esto 280 00:19:05,960 --> 00:19:07,880 siempre respecto de la X 281 00:19:07,880 --> 00:19:09,740 se contesta con los valores de la X 282 00:19:09,740 --> 00:19:12,200 y siempre con intervalos abiertos 283 00:19:12,200 --> 00:19:14,140 es decir, con paréntesis por los dos lados 284 00:19:14,140 --> 00:19:15,420 ahora aclaro por qué 285 00:19:15,420 --> 00:19:17,420 vamos a empezar a ver con esta 286 00:19:17,420 --> 00:19:19,799 pues la gráfica empieza 287 00:19:19,799 --> 00:19:21,680 con un tramo donde crece 288 00:19:21,680 --> 00:19:23,440 pues empiezo poniendo crece 289 00:19:23,440 --> 00:19:25,720 desde menos infinito 290 00:19:25,720 --> 00:19:27,200 hasta 1 291 00:19:27,200 --> 00:19:29,539 vamos a ver por qué ese intervalo 292 00:19:29,539 --> 00:19:31,400 porque todo este trozo 293 00:19:31,400 --> 00:19:33,019 ¿a qué valores de X corresponde? 294 00:19:33,380 --> 00:19:35,660 habíamos dicho que esto se iba hasta menos infinito 295 00:19:35,660 --> 00:19:39,799 Y entonces llega hasta este punto 296 00:19:39,799 --> 00:19:40,880 Donde ya cambia 297 00:19:40,880 --> 00:19:43,039 Bueno, pues este punto en qué valor de x está 298 00:19:43,039 --> 00:19:44,180 En 1 299 00:19:44,180 --> 00:19:45,859 Por eso este 1 300 00:19:45,859 --> 00:19:48,019 Y se pone abierto 301 00:19:48,019 --> 00:19:50,960 Se pone con paréntesis porque en x igual a 1 302 00:19:50,960 --> 00:19:52,140 Justo en x igual a 1 303 00:19:52,140 --> 00:19:54,160 Ni crece ni decrece 304 00:19:54,160 --> 00:19:56,279 No se puede incluir en ninguna de las dos cosas 305 00:19:56,279 --> 00:19:58,460 Por eso se ponen siempre 306 00:19:58,460 --> 00:19:59,980 Siempre estos intervalos 307 00:19:59,980 --> 00:20:01,099 Siempre con paréntesis 308 00:20:01,099 --> 00:20:04,220 Bien, a continuación tengo un trozo donde decrece 309 00:20:04,220 --> 00:20:21,059 Pues escribo debajo, decrece, y va desde x igual a 1 hasta x igual a 3, porque es este tramo, este trozo, que corresponde a las x desde aquí hasta aquí. 310 00:20:22,359 --> 00:20:32,000 A continuación tengo un trozo donde es constante, pongo la palabra constante, algo constante es que no cambia, a eso se refiere. 311 00:20:32,000 --> 00:20:34,480 ¿Para qué valores de X corresponde? 312 00:20:34,900 --> 00:20:38,460 Pues desde 3 hasta 6 313 00:20:38,460 --> 00:20:41,960 Pues de 3 a 6 314 00:20:41,960 --> 00:20:46,579 A continuación tengo otro tramo donde decrece 315 00:20:46,579 --> 00:20:48,380 Hasta aquí 316 00:20:48,380 --> 00:20:50,119 ¿Qué valores de X corresponde? 317 00:20:50,619 --> 00:20:54,240 Pues desde 6 hasta este que es 9 318 00:20:54,240 --> 00:20:57,259 A ver, decrece 319 00:20:57,259 --> 00:20:59,339 De 6 a 9 320 00:20:59,339 --> 00:21:00,259 ¿Qué habíamos dicho antes? 321 00:21:00,319 --> 00:21:01,839 Que si tengo más de un intervalo 322 00:21:02,000 --> 00:21:08,019 simbolito de unión en medio y a continuación tengo el último trozo que es desde x igual a 323 00:21:08,019 --> 00:21:19,980 9 hasta x igual a 12 donde vuelve a crecer pues unión 9 esto es la monotonía a ver en la otra 324 00:21:19,980 --> 00:21:34,519 gráfica veamos no toni a vamos a ver donde crece decrece y donde es constante 325 00:21:36,299 --> 00:21:42,039 ahora ya voy a decir el truco que tengo yo para que esto me cueste menos lo primero es mirar la 326 00:21:42,039 --> 00:21:48,460 gráfica a ver si tiene de las tres cosas tiene trozo consta uy la mano tiene trozo constante 327 00:21:48,460 --> 00:21:50,000 Tiene trozo donde decrece 328 00:21:50,000 --> 00:21:51,420 Tiene trozo donde crece 329 00:21:51,420 --> 00:21:54,259 Luego hay zonas donde hace alguna de las tres cosas 330 00:21:54,259 --> 00:21:56,579 Entonces yo lo que hago es que me escribo las tres palabras 331 00:21:56,579 --> 00:21:58,819 Y ahora las recorro de izquierda a derecha 332 00:21:58,819 --> 00:22:00,880 Y voy poniendo cada tramo en donde le toca 333 00:22:00,880 --> 00:22:03,480 Hay gente que prefiere decir 334 00:22:03,480 --> 00:22:04,299 A ver, ¿dónde crece? 335 00:22:04,359 --> 00:22:05,039 Y lo va buscando 336 00:22:05,039 --> 00:22:08,779 De aquí a aquí, que sería de 2 a 5 337 00:22:08,779 --> 00:22:11,559 Y de 8 a más infinito 338 00:22:11,559 --> 00:22:13,220 Yo creo que así es más complicado 339 00:22:13,220 --> 00:22:15,660 Pero bueno, aquí eso es opcional 340 00:22:15,660 --> 00:22:16,740 Es solo un consejo 341 00:22:16,740 --> 00:22:18,380 Con que la respuesta al final esté bien 342 00:22:18,380 --> 00:22:32,119 Bueno, pues, ¿qué empiezo haciendo? Ser constante. ¿Dónde? Pues esto, que es desde menos 6 hasta 0. Siempre los valores de la x. De menos 6 a 0. 343 00:22:33,099 --> 00:22:44,500 Un inciso. Puede que alguien diga, jo, es que esto es muy lioso porque aquí pongo paréntesis para los puntos y aquí pongo paréntesis para esto. El contexto de lo que estás haciendo hace que la confusión sea imposible. 344 00:22:44,500 --> 00:22:49,339 Esto es un punto, puntos de corte, esto es un intervalo de valores de x. 345 00:22:49,920 --> 00:22:55,559 En cuanto a uno se hace dos o tres gráficas, eso ya deja de ser un problema, si es que lo es alguna vez. 346 00:22:56,339 --> 00:23:02,380 Bien, el siguiente tramo, que es este de aquí, es un tramo decreciente, desde 0 hasta 2. 347 00:23:03,579 --> 00:23:06,119 Pues lo pongo aquí, desde 0 hasta 2. 348 00:23:06,460 --> 00:23:13,220 Y a continuación tiene un tramo creciente, que es desde 2 hasta 5. 349 00:23:14,500 --> 00:23:39,319 Pues desde 2 hasta 5, a continuación otro tramo decreciente, desde 5 hasta 8, unión desde 5 hasta 8, perdón, sí, sí, no, lo he hecho bien, lo he hecho bien, hasta 8, me había despistado un momentito mirando a donde no era, hasta 8 350 00:23:39,319 --> 00:23:49,279 Y luego, desde x igual a 8 hasta ya, lo que indica la flecha, hasta infinito, miramos el dominio, hasta infinito, lo que hace es crecer. 351 00:23:50,059 --> 00:23:53,339 Desde 8 hasta más infinito, crece. 352 00:23:54,500 --> 00:23:55,740 ¿Vale? Bien, venga. 353 00:23:57,319 --> 00:23:58,740 Ya el penúltimo. 354 00:23:58,740 --> 00:24:23,609 Ahora lo que tenemos son lo que se llaman los extremos. Extremos relativos o absolutos. Vamos a ver. A ver que esto quede claro. Un extremo es un punto donde cambia la monotonía, ¿vale? Pero no de cualquier manera. 355 00:24:23,609 --> 00:24:26,190 o sea, aquí lo de constante no pinta nada 356 00:24:26,190 --> 00:24:29,450 un extremo pueden ser de dos tipos 357 00:24:29,450 --> 00:24:30,750 máximo o mínimo 358 00:24:30,750 --> 00:24:37,170 entonces tenemos máximos y mínimos 359 00:24:37,170 --> 00:24:39,490 como aquí tengo de las dos cosas 360 00:24:39,490 --> 00:24:42,569 puede haber varios de cada 361 00:24:42,569 --> 00:24:44,529 aquí solamente hay uno de cada 362 00:24:44,529 --> 00:24:45,390 vamos a ver 363 00:24:45,390 --> 00:24:47,329 de entrada tiene que tener claro 364 00:24:47,329 --> 00:24:48,849 que un máximo es un punto 365 00:24:48,849 --> 00:24:51,250 al que la función entra creciendo 366 00:24:51,250 --> 00:24:52,789 y del que sale decreciendo 367 00:24:52,789 --> 00:24:56,109 Y un mínimo donde hace lo contrario 368 00:24:56,109 --> 00:24:59,509 Entra decreciendo y a partir de él sigue creciendo 369 00:24:59,509 --> 00:25:01,569 Entonces, en esta gráfica 370 00:25:01,569 --> 00:25:03,430 Tengo dos puntos de ese tipo 371 00:25:03,430 --> 00:25:06,069 Tengo este de aquí 372 00:25:06,069 --> 00:25:10,039 Y tengo este de aquí 373 00:25:10,039 --> 00:25:12,589 Que son 374 00:25:12,589 --> 00:25:14,670 Este es un máximo 375 00:25:14,670 --> 00:25:16,750 ¿Vale? 376 00:25:16,750 --> 00:25:18,430 Y este es un mínimo 377 00:25:18,430 --> 00:25:21,509 En este llego subiendo, salgo de él bajando 378 00:25:21,509 --> 00:25:22,309 Un máximo 379 00:25:22,309 --> 00:25:24,849 En este llego a él bajando 380 00:25:24,849 --> 00:25:31,990 salgo de él subiendo por si hay dudas esto no es un extremo porque es un punto al que entras pero 381 00:25:31,990 --> 00:25:42,049 no sales entonces no se considera extremo vale donde esté bien entonces vamos a ver 382 00:25:43,529 --> 00:25:55,809 qué hay que hacer poner las dos coordenadas qué punto es el máximo es él 18 18 y el mínimo es el 383 00:25:55,809 --> 00:26:06,829 punto 9 menos 4 lo del relativo o absoluto el relativo son la mayoría para que tenga la 384 00:26:06,829 --> 00:26:12,910 categoría de absoluto tiene que ocurrir que además de cumplirse lo de entrar de una manera y salir 385 00:26:12,910 --> 00:26:20,690 de la otra es que siendo máximo sea el punto más alto de toda la gráfica y siendo mínimo sea el 386 00:26:20,690 --> 00:26:26,809 punto más bajo de toda la gráfica en este caso nuestro máximo es absoluto porque además es el 387 00:26:26,809 --> 00:26:33,529 punto más alto de toda la gráfica mientras que el mínimo se queda en relativo porque está el 388 00:26:33,529 --> 00:26:39,470 mínimo aquí hay valores de la gráfica y puntos que están más por debajo de él entonces aquí 389 00:26:39,470 --> 00:26:49,190 Y pondríamos que este es absoluto, mientras que el mínimo es solo relativo. 390 00:26:50,470 --> 00:26:52,309 A ver en la gráfica siguiente. 391 00:26:52,430 --> 00:26:56,009 En la gráfica siguiente tenemos, vamos a marcar los puntos. 392 00:26:57,069 --> 00:26:59,890 Tenemos este, que es un mínimo. 393 00:27:00,789 --> 00:27:02,410 Tenemos este, que es un máximo. 394 00:27:02,769 --> 00:27:04,549 Y tenemos este, que es otro mínimo. 395 00:27:04,549 --> 00:27:06,269 Bien, vamos a ver. 396 00:27:06,990 --> 00:27:07,390 Veamos. 397 00:27:07,390 --> 00:27:10,089 Extremos 398 00:27:10,089 --> 00:27:13,130 Extremos 399 00:27:13,130 --> 00:27:14,769 Vamos a ver 400 00:27:14,769 --> 00:27:17,930 Tenemos el punto 2, 1 401 00:27:17,930 --> 00:27:20,130 Que es este primero de aquí 402 00:27:20,130 --> 00:27:21,809 ¿Qué es? 403 00:27:21,950 --> 00:27:22,710 Es un mínimo 404 00:27:22,710 --> 00:27:25,609 Es mínimo 405 00:27:25,609 --> 00:27:28,509 Y por Dios ponen las tildes 406 00:27:28,509 --> 00:27:30,950 Que estoy harta de leer máximo y mínimo 407 00:27:30,950 --> 00:27:34,809 Vale, bueno, pues esto es un mínimo 408 00:27:34,809 --> 00:27:37,309 Pero es un mínimo relativo 409 00:27:37,309 --> 00:27:46,450 porque puntos de la gráfica que están por debajo de él es bien seguimos el siguiente punto que me 410 00:27:46,450 --> 00:27:58,329 encuentro es el este aquí es el 5 10 5 10 es obviamente un máximo pero mucho cuidadito que 411 00:27:58,329 --> 00:28:03,130 mucha gente a primera vista se cree que es un máximo absoluto porque lo que es esto pero es 412 00:28:03,130 --> 00:28:10,009 quiero recuerdo esta flecha dice que sube sube sube sube sube aunque aquí no se vea esto seguiría así 413 00:28:10,009 --> 00:28:17,970 a ver estas que me salió así de esta manera pero en un examen no voy a poner algo que quede así 414 00:28:17,970 --> 00:28:23,549 porque puede confundir pero bueno está está si hechas sirve de ejemplo y ya está entonces ese 415 00:28:23,549 --> 00:28:34,400 no es máximo absoluto sigue siendo relativo sin embargo este otro de aquí este mínimo que está en 416 00:28:34,400 --> 00:28:50,160 En el punto 8 menos 2 es mínimo y ese sí es absoluto, porque sí es el punto más bajo de toda la gráfica, ¿vale? 417 00:28:50,160 --> 00:28:55,880 Bien, y ya solo falta una cosita, que es si es discontinua en algún punto. 418 00:28:57,299 --> 00:29:10,240 Es discontinua en algún punto, ¿vale? 419 00:29:10,319 --> 00:29:16,440 Bueno, pues discontinua significa que de alguna manera se rompa, como pasa aquí, ¿vale? 420 00:29:16,440 --> 00:29:23,079 Porque, a ver, la idea intuitiva de que una función sea continua es esta frase, que a lo mejor os suena, que dice 421 00:29:23,079 --> 00:29:28,039 que una gráfica es continua si se puede dibujar completa sin levantar el lápiz del papel. 422 00:29:28,980 --> 00:29:30,500 Aquí habría que levantarlo. 423 00:29:32,259 --> 00:29:33,160 Luego ya no es continua. 424 00:29:33,740 --> 00:29:35,200 Todo este tramo sí lo es. 425 00:29:36,000 --> 00:29:42,059 Entonces, como las discontinuidades son los puntos, los valores de la x, donde vemos que la función se rompe. 426 00:29:42,579 --> 00:29:45,779 Entonces, eso se sitúa únicamente con la x. 427 00:29:46,440 --> 00:29:55,619 ¿Vale? Entonces en este caso contestaríamos sí en x igual a 3 y ya está. 428 00:29:56,200 --> 00:30:01,920 Mientras que esta función de aquí no vemos que se rompa en ningún sitio de donde existe. 429 00:30:02,579 --> 00:30:14,259 Pues esta función diríamos que es continua en todo su dominio, es así como se dice. 430 00:30:14,259 --> 00:30:27,259 Es decir, allí donde se puede dibujar, es decir, en el dominio, para los valores de x para los que se puede dibujar, se dibuja de un tirón, sin romperse y sin levantar el lápiz del papel. 431 00:30:28,539 --> 00:30:31,660 Espero que haya quedado claro las características.