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00:00:02,540 --> 00:00:13,039
En este vídeo vamos a explorar las distintas posiciones relativas de dos rectas en el espacio.

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00:00:14,279 --> 00:00:18,780
Como nos dice la intuición geométrica, dos rectas en el espacio pueden ser paralelas

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00:00:18,780 --> 00:00:23,899
si tienen la misma dirección y no tienen puntos en común, pueden ser secantes si tienen

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00:00:23,899 --> 00:00:29,140
un punto en común o pueden cruzarse si no son paralelas pero tampoco tienen puntos en

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00:00:29,140 --> 00:00:34,420
común. Veamos cómo detectar en cuál de los tres casos estamos a partir de las ecuaciones de las

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00:00:34,420 --> 00:00:39,979
rectas. Recordemos antes que hay dos familias de ecuaciones de una recta. Tenemos por un lado las

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00:00:39,979 --> 00:00:44,820
ecuaciones vectorial paramétrica, estas ecuaciones se centran en el vector director de la recta. Por

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00:00:44,820 --> 00:00:51,399
otro lado las ecuaciones cartesianas o implícitas que son ecuaciones en x y z sin parámetros. Por

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00:00:51,399 --> 00:00:56,200
ello va a haber dos maneras de trabajar al estudiar simultáneamente dos rectas o bien mediante un

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00:00:56,200 --> 00:01:00,640
sistema de ecuaciones cartesianas, para ello deberemos comparar los rangos de la matriz de

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00:01:00,640 --> 00:01:06,000
coeficientes y la matriz ampliada, esto se va a llamar estudio analítico, o bien analizando los

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00:01:06,000 --> 00:01:11,760
vectores directores de las rectas, es decir, un estudio vectorial. Comencemos por el estudio

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00:01:11,760 --> 00:01:20,560
vectorial. Dadas dos rectas, contamos con dos puntos posición p y q y dos vectores directores u y v.

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00:01:21,219 --> 00:01:25,599
Podemos introducir un tercer vector, el vector pq, y olvidarnos de los dos puntos posición.

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00:01:26,200 --> 00:01:32,439
Ahora tendremos dos matrices, la formada por u y v, y la formada por u, v y pq.

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00:01:33,200 --> 00:01:35,640
Comparando los rangos de estas dos matrices tendremos

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00:01:35,640 --> 00:01:40,099
Si rango de u y v es 1, los vectores directores son paralelos,

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00:01:40,540 --> 00:01:45,280
por lo que si el rango de u, v y pq es igual a 2, las rectas serán paralelas.

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00:01:45,799 --> 00:01:54,989
Si el rango de u y v es igual a 2 y el rango de u, v y pq es igual a 3,

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00:01:54,989 --> 00:01:59,489
las rectas ni son paralelas ni pueden estar contenidas en un plano,

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00:01:59,489 --> 00:02:06,629
es decir, se cruzan. Para que las rectas se corten, deben ser no paralelas y contenidas en un plano,

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00:02:06,909 --> 00:02:16,229
esto es, los rangos de uv y de uv y pq deben ser igual a 2. Finalmente, un caso extremo ocurre

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00:02:16,229 --> 00:02:24,430
cuando los tres vectores uv y pq son proporcionales. En este caso, las dos rectas coinciden. Pasemos

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00:02:24,430 --> 00:02:31,069
ahora al estudio analítico de la posición relativa de dos rectas en el espacio. Una recta se escribe

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00:02:31,069 --> 00:02:37,050
como intersección de dos planos, esto es, con dos ecuaciones cartesianas, con lo que con dos rectas

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00:02:37,050 --> 00:02:42,310
tendremos cuatro ecuaciones. Escribiendo el sistema matricialmente tendremos una matriz de coeficientes

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00:02:42,310 --> 00:02:49,810
4 por 3 y una matriz ampliada 4 por 4. Los distintos casos de rangos de estas dos matrices serían,

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00:02:50,509 --> 00:02:55,509
Si ambos rangos valen 3, el sistema es compatible determinado y las rectas se cortan en un punto.

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00:03:00,389 --> 00:03:06,129
Si el rango de A es igual a 3 y el rango de la ampliada es igual a 4, el sistema es incompatible,

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00:03:06,469 --> 00:03:10,849
pero las rectas no pueden ser paralelas, esto es, las rectas se cruzan.

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00:03:15,599 --> 00:03:20,580
Si el rango de A es igual a 2 y el rango de la ampliada es igual a 3, los rangos no coinciden

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00:03:20,580 --> 00:03:25,939
y por lo tanto el sistema vuelve a ser incompatible, pero en este caso las rectas son paralelas

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00:03:25,939 --> 00:03:27,919
porque el rango de la matriz A es igual a 2.

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00:03:28,259 --> 00:03:40,789
Y por último, si el rango de A es igual al rango de la ampliada es igual a 2, el sistema es compatible e indeterminado porque hay tres incógnitas y el rango es 2.

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00:03:41,169 --> 00:03:42,909
Las rectas coinciden.

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00:03:43,569 --> 00:03:48,949
Veamos un ejemplo sencillo de posición relativa de dos rectas para empezar a aplicar todo esto.

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00:03:50,110 --> 00:03:57,009
Se trata de calcular la posición relativa de estas dos rectas R y S que están dadas, como veis, en forma continua.

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00:03:57,009 --> 00:04:10,849
Para ello, lo primero que tenemos que sacar son los vectores directores. El vector director de la recta R será menos 3, 2, menos 1, porque son los denominadores de la ecuación en forma continua.

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00:04:12,030 --> 00:04:24,750
El siguiente vector, el vector de la recta S, será el vector, por tanto, 2, 4, 1. Es exactamente los denominadores de la ecuación en forma continua de la recta S.

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00:04:24,750 --> 00:04:29,810
A continuación unimos los vectores, a continuación unimos los puntos P y Q

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00:04:29,810 --> 00:04:36,370
Para ello extraemos el punto posición de la recta R que será el 2, menos 4, 5

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00:04:36,370 --> 00:04:44,050
Recordad que va cambiado de signo y el punto Q que será el 0, 4, menos 5

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00:04:47,470 --> 00:04:53,310
Ahora lo que hacemos es calcular el vector PQ restando las coordenadas del punto Q menos las del punto P

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00:04:53,310 --> 00:04:58,870
y obtendremos el menos 2, 8, menos 10.

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00:04:59,870 --> 00:05:06,029
Y bueno, ahora podemos simplificar este vector, puesto que nos importan vectores más que longitudes.

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00:05:06,230 --> 00:05:09,629
Menos 2, 8, menos 10 es proporcional a menos 1, 4, menos 5.

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00:05:10,269 --> 00:05:13,470
Ahora calculamos el rango de la matriz formada por estos tres vectores.

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00:05:18,720 --> 00:05:20,240
Y esta matriz la llamamos A.

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00:05:20,439 --> 00:05:23,939
Lo que tenemos que hacer es calcular el determinante de A y ver si vale 0 o no 0.

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00:05:29,329 --> 00:05:32,410
Y bueno, pues claramente ese determinante es no nulo.

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00:05:32,589 --> 00:05:43,949
Por lo que los tres vectores van a ser linealmente independientes y por lo tanto las rectas se cruzan porque el rango de la matriz de los tres vectores es igual a 3.

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00:05:46,420 --> 00:05:50,199
Y esto ha sido todo. Nos vemos en futuros vídeos. Hasta la próxima.