1 00:00:00,000 --> 00:00:08,939 tales, ¿vale? El teorema de tales, el teorema de tales en triángulos semejantes, triángulos 2 00:00:08,939 --> 00:00:18,570 semejantes, que además de ser semejantes, son triángulos rectángulos, ¿de acuerdo? 3 00:00:20,050 --> 00:00:29,899 Vale, volvemos a intentar dibujar los tres ángulos. Por un lado, tengo el grande, ¿vale? 4 00:00:29,899 --> 00:00:37,479 que esto era A, esto era B y esto era C. Esto era alfa, esto era un ángulo recto y esto 5 00:00:37,479 --> 00:00:42,960 es 90 menos alfa. Y este es el triángulo 1. Voy a poner 1 en romano. ¿De acuerdo? 6 00:00:44,060 --> 00:00:51,719 Ahora, si nosotros hacemos aquí la altura, comprobamos que tenemos el triángulo 2, donde 7 00:00:51,719 --> 00:00:54,640 Esto era A, esto era B y esto era H. 8 00:00:55,859 --> 00:00:57,439 Este es el triángulo 2. 9 00:00:57,920 --> 00:01:04,000 Y tenemos el triángulo 3, donde esto era B, esto era H y esto era C. 10 00:01:04,540 --> 00:01:11,260 Recordemos que esto es alfa, esto es 90 grados, esto es 90 grados y esto es 90 menos alfa. 11 00:01:11,480 --> 00:01:16,700 Aquí mide alfa y aquí mide 90 menos alfa. 12 00:01:16,980 --> 00:01:20,540 ¿Cómo hago yo la relación de los lados? 13 00:01:20,540 --> 00:01:27,239 Esto vamos a poner aquí, que es el punto H, esto de aquí, ¿vale? Aunque en el 1 me da un poco igual. 14 00:01:27,700 --> 00:01:34,700 Pues para hacer el teorema de Tales y aplicarlo correctamente, yo me puedo fijar, por ejemplo, en los ángulos, ¿vale? 15 00:01:35,280 --> 00:01:39,780 Bueno, en los lados, que es lo que me interesa, pero los lados que unen dos ángulos. 16 00:01:40,739 --> 00:01:48,120 ¿Cuál es si relacionamos el triángulo 1 con el triángulo 2? ¿Vale? 17 00:01:48,120 --> 00:01:55,400 Pues aquí ponemos cuál es el lado que va desde alfa a 90 grados. 18 00:01:56,420 --> 00:02:13,060 Pues en el triángulo 1, el lado que une alfa con 90, vemos que en el triángulo 1 el lado que une alfa con 90 es AB. 19 00:02:13,060 --> 00:02:16,759 este de aquí, a B 20 00:02:16,759 --> 00:02:20,180 une el alfa con 90 21 00:02:20,180 --> 00:02:23,120 y en el 2, ¿cuál es el que une alfa con 90? 22 00:02:23,400 --> 00:02:25,439 pues aquí vemos que es AH 23 00:02:25,439 --> 00:02:27,520 ¿vale? 24 00:02:28,819 --> 00:02:31,080 y eso que nos dice Tales 25 00:02:31,080 --> 00:02:33,460 pues que esta división de aquí 26 00:02:33,460 --> 00:02:36,819 de estos lados tiene que ser igual 27 00:02:36,819 --> 00:02:40,020 es proporcional al que une por ejemplo 28 00:02:40,020 --> 00:02:42,560 alfa con 90 menos alfa 29 00:02:43,319 --> 00:02:48,520 ¿Cuál es el lado en el triángulo 1 que une el ángulo alfa con 90 menos alfa? 30 00:02:48,639 --> 00:02:52,599 Pues vemos que es toda la hipotenusa, que es AC. 31 00:02:53,639 --> 00:02:58,060 ¿Y en el triángulo 2 cuál es el que une alfa con 90 menos alfa? 32 00:02:58,180 --> 00:03:00,520 Pues este de aquí, que es AB. 33 00:03:01,560 --> 00:03:02,139 ¿Lo veis? 34 00:03:02,139 --> 00:03:16,460 Pues esto además tiene que ser proporcional al lado que une 90 con 90 menos alfa, o al revés, 90 menos alfa con 90. 35 00:03:16,460 --> 00:03:26,180 ¿Cuál es el lado del triángulo 1 que une 90 con 90 menos alfa? Pues vemos que es este de aquí, que es BC. 36 00:03:26,180 --> 00:03:34,960 Y en el triángulo 2, ¿cuál es? Pues este es 90 menos alfa y este es 90, o 90 menos 90 menos alfa es BH. 37 00:03:36,300 --> 00:03:51,659 Con lo cual aquí podemos averiguar, si tenemos cualquiera de tres lados, esta relación en la que Tales verifica la razón de semejanza entre el triángulo 1 y el triángulo 2. 38 00:03:51,659 --> 00:04:08,860 Pero es que el triángulo 1 también es semejante al triángulo 3. Si os fijáis, AB, AC y BC son los lados del triángulo 1 y AH, AB y BH son los lados del triángulo 2. 39 00:04:08,860 --> 00:04:22,060 Ahora vamos a ver las relaciones de semejanza entre el 1 y el 3. ¿Cuál es el lado que une alfa con 90? Pues ya hemos dicho que en el triángulo 1 es AB. AB une alfa con 90. 40 00:04:22,060 --> 00:04:41,240 Y en el 3, ¿cuál es el que une alfa con 90? Pues precisamente BH. Ahora, en el triángulo 1, ¿cuál es el lado que une alfa con 90 menos alfa? Pues hemos dicho que es AC. AC une alfa con 90 menos alfa. 41 00:04:41,240 --> 00:04:57,540 Y en el triángulo 3, que es este de aquí, este es el triángulo 2, ¿vale? Y este es el triángulo 3. En el triángulo 3, ¿cuál es el lado que une alfa con 90 menos alfa? Pues vemos que es BC. 42 00:04:57,540 --> 00:05:20,180 Y por último, el lado que une 90 con 90 menos alfa, hemos visto que es BC en el triángulo 1, 90 con 90 menos alfa, y aquí cuál es el lado que une 90 con 90 menos alfa, pues CH o HSM, da igual porque miden lo mismo, ¿de acuerdo? 43 00:05:20,180 --> 00:05:28,860 Pues esto también se verifica si nosotros hacemos la relación de semejanza entre el 1 y el 3. 44 00:05:29,339 --> 00:05:34,939 ¿Qué ocurre? Que el 2 y el 3, el 2 y el 3 también son semejantes. 45 00:05:35,279 --> 00:05:36,800 ¿También son semejantes? ¿Por qué? 46 00:05:37,259 --> 00:05:40,279 Porque los tres ángulos son iguales. 47 00:05:40,459 --> 00:05:47,079 Entonces, también se verifica la semejanza entre el triángulo 2 y el triángulo 3. 48 00:05:47,680 --> 00:05:48,319 ¿Vale? 49 00:05:48,319 --> 00:06:11,860 Lo vemos aquí. Igual, ¿cuál es el lado que une alfa con 90 en el triángulo 2? Pues ya hemos dicho que es AH, ¿verdad? AH es el que une alfa con 90 y en el 3 es BH, ¿vale? BH aquí une alfa con 90. 50 00:06:12,420 --> 00:06:17,439 ¿Cuál es el lado en el triángulo 2 que une alfa con 90 menos alfa? 51 00:06:17,519 --> 00:06:19,040 Aquí lo vemos, ¿no? Es AB. 52 00:06:19,439 --> 00:06:22,040 Pues AB y aquí BC. 53 00:06:23,459 --> 00:06:23,899 ¿De acuerdo? 54 00:06:24,379 --> 00:06:29,319 ¿Y cuál es el que une 90 con 90 menos alfa en el triángulo 2? 55 00:06:29,319 --> 00:06:40,959 BH. BH es igual a CH, porque CH es del triángulo 3 el que une 90 con 90 menos alfa. 56 00:06:41,860 --> 00:06:53,339 ¿De acuerdo? Entonces, lo importante del teorema de Tales es que los lados proporcionales son los que unen los mismos ángulos, ¿vale? 57 00:06:53,839 --> 00:07:01,779 Entonces, como tenemos tres ángulos, uno es alfa, el otro es 90 y el otro es 90 menos alfa, 58 00:07:01,779 --> 00:07:12,319 pues vamos a distinguir entre los lados que unen alfa con 90, otro alfa con 90 menos alfa y otro que une 90 con 90 menos alfa. 59 00:07:12,500 --> 00:07:17,980 Cuando no tengamos un triángulo rectángulo es exactamente igual, ¿de acuerdo? Es exactamente igual. 60 00:07:18,259 --> 00:07:26,600 Si tenemos A, B y C, A, B y C de triángulo, ¿vale? Y tenemos el ángulo A, el ángulo B y el ángulo C 61 00:07:26,600 --> 00:07:36,759 Y tenemos otro triángulo que también tiene los mismos ángulos, pues en vez de hacer de alfa 90 podemos hacer de A a B y luego de B a C y por último de A a C. 62 00:07:36,920 --> 00:07:51,879 Y lo importante es eso, que en el numerador nosotros elijamos siempre del mismo triángulo, si os fijáis todos estos son del mismo triángulo 1 63 00:07:51,879 --> 00:07:58,139 y en el denominador son todos del mismo denominador, del mismo triángulo, el 2. 64 00:07:58,800 --> 00:08:04,339 Igual si nosotros relacionamos el 1 con el 3, en el numerador son todos del triángulo 1 65 00:08:04,339 --> 00:08:07,439 y en el denominador son todos del triángulo 3. 66 00:08:07,839 --> 00:08:12,180 Si nosotros, por ende, estamos relacionando el triángulo 2 y el 3, 67 00:08:12,180 --> 00:08:19,860 vemos que arriba son todos los lados del triángulo 2, que está formado por los vértices ABH, 68 00:08:19,860 --> 00:08:24,939 y abajo son todos del triángulo 3, ¿vale? 69 00:08:25,459 --> 00:08:34,200 No vayáis a hacer, a poner arriba un lado del triángulo 2 y aquí en el triángulo 3 70 00:08:34,200 --> 00:08:36,220 y sin embargo aquí le deis la vuelta. 71 00:08:36,220 --> 00:08:40,940 Esos son los fallos más comunes que tienen los estudiantes, ¿de acuerdo? 72 00:08:41,539 --> 00:08:46,580 ¿Qué ocurre de aquí? Pues que precisamente de estas relaciones que vemos aquí 73 00:08:46,580 --> 00:08:57,340 podemos sacar el teorema del seno y del coseno, ¿vale? 74 00:08:57,379 --> 00:09:03,220 Si nos acordamos, perdona, el teorema de la altura y el teorema del cateto, ¿de acuerdo? 75 00:09:04,100 --> 00:09:08,279 El teorema de la altura, ¿qué nos decía aquí? 76 00:09:08,759 --> 00:09:11,700 Pues que en este caso, la altura que es vh, ¿verdad? 77 00:09:11,700 --> 00:09:21,360 ¿Qué es esto de aquí? VH. VH al cuadrado es lo mismo que AH por HC, ¿verdad? AH por HC. 78 00:09:23,440 --> 00:09:30,559 ¿Y de dónde podemos sacar esta relación que nos dice que VH al cuadrado es igual a H por HC? 79 00:09:30,559 --> 00:09:46,279 Pues vamos a buscar dónde tenemos BH aquí. Precisamente de esta relación de aquí vemos que AH partido de BH es igual a BH partido de CH. 80 00:09:46,279 --> 00:09:58,580 Lo voy a poner aquí en colorado. Esto de aquí es igual a esto y es igual a esto. Por ende, esto y esto son también iguales. 81 00:09:58,580 --> 00:10:03,460 Entonces tenemos AH partido de BH es igual a BH partido de CH. 82 00:10:04,440 --> 00:10:08,860 Dos fracciones son proporcionales y al multiplicarla en cruz da lo mismo. 83 00:10:08,860 --> 00:10:21,460 Entonces si yo multiplico en cruz veo que AH por CH es igual a BH por BH y BH por BH que es BH al cuadrado. 84 00:10:21,460 --> 00:10:31,100 ¿Lo veis? Con lo cual esto es igual que esto y es el teorema de la altura, ¿vale? 85 00:10:31,100 --> 00:10:51,980 El teorema del coseno lo que nos decía es que un cateto, en este caso AB, al cuadrado es igual a toda la hipotenusa por la proyección, es toda la hipotenusa por la proyección de ese cateto en la hipotenusa. 86 00:10:51,980 --> 00:11:04,759 ¿Vale? Vamos a ver de dónde sacamos esa relación. Voy a parar un momento y luego lo edito.