1
00:00:03,250 --> 00:00:21,550
Buenos días. Empezamos el tema de derivadas. Lo primero que podemos hacer es definir a qué se llama tasa de variación media de una función en un intervalo a b, que es f en b menos f en a partido de b menos a.

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00:00:22,489 --> 00:00:24,050
Gráficamente, ¿qué representa?

3
00:00:24,750 --> 00:00:26,629
Esta curva de aquí es la función.

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00:00:27,690 --> 00:00:29,129
Este punto, este valor es a.

5
00:00:29,670 --> 00:00:31,350
Voy a la función y esto es f de a.

6
00:00:31,890 --> 00:00:34,789
Este punto es b, voy a la función y este punto es f de b.

7
00:00:35,750 --> 00:00:40,490
El numerador de esta expresión que estamos considerando es justamente esta medida.

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00:00:41,429 --> 00:00:43,770
El denominador es justamente esta medida.

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00:00:44,469 --> 00:00:49,990
Como tengo este cociente, esta medida entre esta medida justamente es la pendiente de esta recta.

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00:00:49,990 --> 00:01:02,429
Por tanto, la tasa de variación media de una función en un intervalo AB es la pendiente de la recta que pasa por los puntos AF de A y BF de B.

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00:01:04,200 --> 00:01:21,670
Con frecuencia, al intervalo, en vez de llamarlo AB, se le llama A, A más H. En ese caso, tendríamos una definición parecida. Esto es A y esto es A más H, esto es F de A, el valor aquí es F de A más H.

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00:01:22,269 --> 00:01:25,989
Lo mismo, la tasa de variación media es la pendiente de esta recta.

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00:01:29,719 --> 00:01:34,500
A veces lo que se quiere medir es lo que varía la función justamente en un punto.

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00:01:34,959 --> 00:01:41,120
Entonces lo que se hace es considerar que esta variación h se va haciendo cada vez más pequeña.

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00:01:42,000 --> 00:01:49,519
Como yo quiero saber exactamente aquí, esto tiende a cero y se define la tasa de variación instantánea como este límite.

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00:01:50,620 --> 00:01:53,340
Y justamente ese límite va a ser la derivada.

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00:01:53,340 --> 00:02:01,219
La derivada de una función en un punto se representa por f' de a y es justamente este límite.

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00:02:02,060 --> 00:02:09,000
Si yo miro este límite cuando h tiende a cero, el denominador es cero y sería una expresión en principio que no tendría mucho sentido.

19
00:02:09,699 --> 00:02:15,419
Lo que sucede es que el numerador, cuando h es muy pequeñito, también va a tender a cero.

20
00:02:15,979 --> 00:02:21,360
Entonces el cociente en muchos casos va a ser un número real. En ese caso es la derivada.

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00:02:22,159 --> 00:02:27,599
Por ejemplo, calcular la derivada de esta función en x igual a 3.

22
00:02:28,400 --> 00:02:31,759
Significa que tengo que sustituir aquí la a por 3.

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00:02:32,860 --> 00:02:35,740
La a por 3 ahí, la sustituyo aquí y aquí.

24
00:02:37,159 --> 00:02:43,879
Sustituyo como f de x es x al cuadrado, f de 3 más h, 3 más h al cuadrado y f de 3, 3 al cuadrado.

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00:02:45,180 --> 00:02:48,939
Desarrollo, es una identidad notable y simplifico.

26
00:02:49,599 --> 00:02:55,520
La h y la h aquí se va y me queda h más 6, cuando h tiende a 0, 0 más 6 es 6.

27
00:02:56,400 --> 00:02:57,199
Y ya lo tendría.

28
00:02:59,689 --> 00:03:03,569
Nos interesa a veces, en vez de hallar la derivada de la función en un punto 3,

29
00:03:03,849 --> 00:03:05,750
hallar la función derivada global.

30
00:03:07,050 --> 00:03:09,250
Que no sea en 3, que sea en cualquier punto x.

31
00:03:09,409 --> 00:03:11,150
Eso es lo que se llama función derivada.

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00:03:12,210 --> 00:03:17,610
Y la definición es parecida a la anterior, en lugar de a se pone x.

33
00:03:17,610 --> 00:03:21,939
Esa es la definición de derivada.

34
00:03:23,740 --> 00:03:29,319
La derivada de una función es el límite cuando h tiende a cero f de x más h menos f de x partida de h.

35
00:03:30,240 --> 00:03:32,520
Una definición un poco labriosa.

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00:03:32,900 --> 00:03:37,960
Vamos a hallar la derivada de algunas funciones elementales aplicando esa regla.

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00:03:38,319 --> 00:03:43,639
Por ejemplo, si yo tengo la función f de x igual a 5, pongo la definición de derivada.

38
00:03:44,460 --> 00:03:46,180
Y ahora calculo f de x más h.

39
00:03:46,319 --> 00:03:50,139
Si la función vale siempre 5, f de x más h es 5.

40
00:03:50,699 --> 00:03:56,139
f de x es 5, me queda 0 entre h, que es 0, y ahora ya calculo el límite.

41
00:03:56,560 --> 00:03:59,960
El límite cuando h tiende a 0 de 0 es 0.

42
00:04:00,740 --> 00:04:04,840
Bueno, pues esto no solo ocurre con f de x igual a 5, f de x igual a 7, f de x igual a 9,

43
00:04:04,840 --> 00:04:09,180
f de x igual a k, cualquier valor real, la derivada siempre vale 0.

44
00:04:10,939 --> 00:04:16,680
Otro ejemplo importante, la derivada de la función identidad, f de x igual a x,

45
00:04:16,680 --> 00:04:22,620
significa que f de 5 vale 5, f de 7 es 7, f de m vale m. Vamos a aplicar la definición que sería

46
00:04:22,620 --> 00:04:31,759
todo esto. f de x más h, pues x más h. f de x, x. Simplifico la x, se va con la x, me queda h entre

47
00:04:31,759 --> 00:04:39,279
h. h entre h vale 1 y el límite de 1 es 1. Tenemos la segunda regla, la derivada de la función

48
00:04:39,279 --> 00:04:46,240
en identidad, si queréis, de la bisectriz del primer cuadrante es 1. Vamos a un tercer ejemplo.

49
00:04:47,759 --> 00:04:56,100
f de x igual a x cuadrado. Aplico la fórmula, pongo lo que vale, desarrollo, simplifico, podéis comprobar

50
00:04:56,100 --> 00:05:03,040
que sale 2x, la derivada es 2x. Ya no hacemos ninguna más, podríamos hacer la derivada de x cubo

51
00:05:03,040 --> 00:05:10,459
haciéndolo igual, o de x elevado a n. Pero lo que vamos a hacer a partir de ahora es ya dar las reglas directamente.

52
00:05:10,680 --> 00:05:15,579
Reglas sin necesidad de aplicar la definición, reglas que tenéis que saberos de memoria.

53
00:05:16,139 --> 00:05:23,459
Y están aquí las primeras reglas para poder derivar un polinomio.

54
00:05:23,480 --> 00:05:28,980
La primera que hemos calculado, si y igual a k es un número, 5, 7, pi, lo que sea.

55
00:05:28,980 --> 00:05:34,699
La derivada, 0. Si es y igual a x, la derivada de x, 1.

56
00:05:35,180 --> 00:05:39,899
Si es y igual a x cuadrado, la derivada de 2x. Esas las hemos deducido.

57
00:05:41,180 --> 00:05:44,240
Una potencia de x, y igual a x elevada a n.

58
00:05:44,379 --> 00:05:52,060
Bueno, pues se puede demostrar que no lo haremos, que la derivada es n, el exponente, por x, la base, elevado a n menos 1.

59
00:05:53,699 --> 00:05:58,500
Derivada de operaciones con funciones, la derivada de la suma. Pues la suma de la derivada, facilísimo.

60
00:05:59,399 --> 00:06:03,379
La derivada de un número por una función es el número por la derivada de la función.

61
00:06:05,180 --> 00:06:14,800
Empezamos. Por ejemplo, la derivada de x elevada a 6. Apartado a. Aplico esta regla. Sería el exponente 6 por x elevada a 5. Es mecánico.

62
00:06:15,639 --> 00:06:24,639
x elevada a 9, 9x elevada a 8. x elevada a 4, pensarlo. x elevada a 7, pensarlo. Y x elevada a 3, pensarlo.

63
00:06:25,560 --> 00:06:33,000
Vamos ampliando. Tengo un número por una potencia. Aplico esta fórmula. Es el número por la derivada de esa potencia.

64
00:06:33,000 --> 00:06:42,600
5x elevado a 4 derivado es 5 por la derivada de x elevado a 4, que es la fórmula esta, 4x elevado a 3.

65
00:06:43,600 --> 00:06:51,319
Multiplico 20x elevado a 3, se hace directamente, se dice 5 por 4, 20x elevado a 4 menos 1, 3.

66
00:06:55,009 --> 00:06:56,350
Hacer vosotros estas de aquí.

67
00:06:57,670 --> 00:07:04,449
Apartado de, si tenemos una suma, aquí tenemos que la derivada de la suma es la suma de la derivada.

68
00:07:04,930 --> 00:07:09,670
Lo único que tenemos que hacer con cada uno de estos términos, con la recta igual que no lo he puesto,

69
00:07:10,149 --> 00:07:13,110
la derivada de cada uno de estos términos, aplicar lo que hemos visto aquí.

70
00:07:13,110 --> 00:07:23,230
3 por 2, 6x elevado a 2 menos 1, más 5x, 5 por la derivada de x es 1, que la tenemos ahí más arriba.

71
00:07:25,149 --> 00:07:27,370
La derivada de x es 1, que es una de las deducidas.

72
00:07:28,050 --> 00:07:31,410
Menos 4, la derivada de 4 es una constante, es 0.

73
00:07:32,290 --> 00:07:33,149
Derivar lo siguiente.