1 00:00:03,700 --> 00:00:09,980 Resulta que una recta va a poder escribirse de muchas maneras. 2 00:00:10,359 --> 00:00:27,019 Nosotros estamos acostumbrados a una forma de dar la ecuación de una recta, pero vamos a ver que hay otras muchas formas de expresar una recta en el plan. 3 00:00:28,179 --> 00:00:36,020 Lo primero que hacen en geometría es definir lugares geométricos. 4 00:00:36,020 --> 00:00:43,920 geométricos. El primer lugar geométrico que hemos visto es el punto. Entonces, fijaos, 5 00:00:43,920 --> 00:00:54,799 voy a poner aquí un punto. Bueno, pues antes veíamos que si cojo un vector me llevo ese 6 00:00:54,799 --> 00:01:08,000 punto a otro lado, ¿no? O queréis desconectar ya. Venga. Sandra, ¿estás? Venga. Imaginaos 7 00:01:08,000 --> 00:01:23,480 este punto. Entonces, le voy a sumar un vector. El vector 1, 1. ¿Vale? Entonces consigo otro 8 00:01:23,480 --> 00:01:34,959 punto que estaría aquí. Ahora le voy a sumar otro punto que va a ser el 2, 2. Tienen que 9 00:01:34,959 --> 00:01:44,299 ser, le voy sumando múltiplos del mismo vector. El 2, 2 estaría aquí. Ahora le sumo el 3, 10 00:01:44,299 --> 00:01:53,540 3, ¿vale? Y voy consiguiendo puntos. Ahora le sumo el 4, 4 y así sucesivamente, o con 11 00:01:53,540 --> 00:02:02,000 decimales. El 1 con 1, 1 con 1. El 2 con 2, 2 con 2. El 3 con 3, 3 con 3. Entonces, una 12 00:02:02,000 --> 00:02:11,180 recta en geometría se define como un conjunto de puntos que resultan de sumarles a un punto 13 00:02:11,180 --> 00:02:19,960 dado múltiplos del mismo vector. Si os fijáis tiene un poco de sentido lo que acabamos de 14 00:02:19,960 --> 00:02:26,840 decir. O sea, si cojo un punto y al mismo vector le voy sumando, o sea, le voy multiplicando 15 00:02:26,840 --> 00:02:30,219 por uno, por dos, por tres, por uno con uno, por cinco con cinco, por lo que sea, pues 16 00:02:30,219 --> 00:02:36,199 me van saliendo puntos sucesivos y todos están en la misma dirección porque estoy utilizando 17 00:02:36,199 --> 00:02:44,900 el mismo vector director, que se llama. Bueno, pues así se forma una recta, con esos puntos 18 00:02:44,900 --> 00:02:51,099 que corresponden a irle sumando el mismo vector multiplicado por un número determinado, se 19 00:02:51,099 --> 00:02:57,419 forma una recta. Entonces eso nos lleva a la primera ecuación de una recta, que se 20 00:02:57,419 --> 00:03:08,860 llama ecuación vectorial. Y la ecuación vectorial de una recta dice que una recta 21 00:03:08,860 --> 00:03:15,460 es un conjunto. ¿Os acordáis cuando hablábamos de los dominios? Vamos a abrir una llave. 22 00:03:15,560 --> 00:03:25,240 Esta llave significa un conjunto. Es un conjunto de puntos X, Y. Es un conjunto de puntos con 23 00:03:25,240 --> 00:03:36,680 una coordenada X y una coordenada Y, que resulta de coger un punto P, cuyas coordenadas son 24 00:03:36,680 --> 00:03:58,930 P1 y P2, y sumarle K veces, K es el múltiplo por el que voy a ir multiplicando, el vector 25 00:03:58,930 --> 00:04:00,330 V1 26 00:04:00,330 --> 00:04:03,490 V2 27 00:04:03,490 --> 00:04:08,219 ¿Vale? 28 00:04:08,379 --> 00:04:10,180 Y bueno, ahí se añade la coletilla 29 00:04:10,180 --> 00:04:13,000 Que K es un número real 30 00:04:13,000 --> 00:04:18,829 Venga, vamos a entender 31 00:04:18,829 --> 00:04:19,569 Esto 32 00:04:19,569 --> 00:04:22,829 ¿Qué está escrito? 33 00:04:23,050 --> 00:04:24,689 Lo repito, he cogido un punto 34 00:04:24,689 --> 00:04:25,990 El punto P 35 00:04:25,990 --> 00:04:27,350 Mi punto inicial 36 00:04:27,350 --> 00:04:30,430 Y el punto P, pues sus coordenadas las hemos llamado 37 00:04:30,430 --> 00:04:31,389 P1 y P2 38 00:04:31,389 --> 00:04:32,589 ¿Vale? Pues esto de aquí 39 00:04:32,589 --> 00:04:35,029 Y entonces, hago 40 00:04:35,029 --> 00:04:44,870 que K valga 1, para empezar. Lo hago para K igual a 1. Y V1, V2 es un vector, por ejemplo, el 1, 1. 41 00:04:46,410 --> 00:04:54,930 ¿Vale? Pues entonces si a P1 y a P2 le sumo 1, 1, me sale otro punto. Luego hago que K valga 2. 42 00:04:55,430 --> 00:05:03,069 Entonces, como el vector es 1, 1, ahora le voy a sumar a este punto inicial 2, 2. ¿Vale? Y me sale 43 00:05:03,069 --> 00:05:10,170 otro punto de la misma recta, o sea, lo que yo voy a ir variando es esta acá, v1, v2 44 00:05:10,170 --> 00:05:19,370 es el vector de esa recta, concretamente, si cambio v1, v2 ya cambio de recta. Entonces 45 00:05:19,370 --> 00:05:25,370 la ecuación vectorial de la recta se lee matemáticamente, es el conjunto de puntos 46 00:05:25,370 --> 00:05:28,009 x y que salen de 47 00:05:28,009 --> 00:05:29,509 coger un punto 48 00:05:29,509 --> 00:05:31,709 p1, p2 e irle sumando 49 00:05:31,709 --> 00:05:33,889 este vector 50 00:05:33,889 --> 00:05:35,589 pero todos sus múltiplos 51 00:05:35,589 --> 00:05:37,209 multiplicados por k 52 00:05:37,209 --> 00:05:40,230 siendo k un número real 53 00:05:40,230 --> 00:05:45,089 bueno, pues esa es una ecuación 54 00:05:45,089 --> 00:05:45,970 de la recta 55 00:05:45,970 --> 00:05:51,529 que viene, esta ecuación 56 00:05:51,529 --> 00:05:54,129 digamos que sale de la propia definición 57 00:05:54,129 --> 00:05:56,230 en geometría de lo que es una recta 58 00:05:56,230 --> 00:06:00,360 siguiente ecuación 59 00:06:00,360 --> 00:06:02,439 de recta 60 00:06:02,439 --> 00:06:08,120 Ahora veréis que van derivando unas de otras 61 00:06:08,120 --> 00:06:11,860 La siguiente ecuación se llama paramétrica 62 00:06:11,860 --> 00:06:20,870 Y la ecuación paramétrica viene de decir 63 00:06:20,870 --> 00:06:23,949 Esto lo voy a expresar por partes 64 00:06:23,949 --> 00:06:31,290 Partiendo de la ecuación vectorial vamos a decir 65 00:06:31,290 --> 00:06:33,610 La coordenada X 66 00:06:33,610 --> 00:06:36,470 Solo la coordenada X 67 00:06:36,470 --> 00:06:39,649 Pues resulta que la X va a ser 68 00:06:39,649 --> 00:07:10,350 P1, la primera parte de cada término de la expresión, más K por V1 y la I va a ser P2 más esa misma K por la otra coordenada del vector. 69 00:07:10,350 --> 00:07:13,790 O sea, hasta ahora no he hecho nada raro. 70 00:07:13,910 --> 00:07:19,430 Si habéis entendido la primera, esta otra es hacer lo mismo pero por partes. 71 00:07:20,949 --> 00:07:36,480 Otra expresión que viene ahora se llama ecuación continua. 72 00:07:44,819 --> 00:07:51,459 Y la ecuación continua viene de la anterior despejando la K. 73 00:07:52,060 --> 00:07:54,639 Voy a hacerlo en otro color y luego lo borro. 74 00:07:55,879 --> 00:07:58,819 Voy a despejar la K en la primera expresión. 75 00:07:58,819 --> 00:08:01,259 entonces me quedaría 76 00:08:01,259 --> 00:08:04,459 x menos p1 77 00:08:04,459 --> 00:08:06,620 partido de v1 78 00:08:06,620 --> 00:08:12,459 primero hago x menos p1 79 00:08:12,459 --> 00:08:14,240 paso la p1 que está sumando 80 00:08:14,240 --> 00:08:16,720 la paso restando, igual a k por v1 81 00:08:16,720 --> 00:08:18,899 y ahora para despejar la k 82 00:08:18,899 --> 00:08:20,220 me queda en el numerador 83 00:08:20,220 --> 00:08:23,220 x menos p1 y abajo v1 84 00:08:23,220 --> 00:08:25,180 si despejo la k 85 00:08:25,180 --> 00:08:26,660 en la segunda expresión 86 00:08:26,660 --> 00:08:33,759 Pues estamos en las mismas, el P2 pasa restando y me queda Y menos P2 partido de V2 87 00:08:33,759 --> 00:08:40,389 Entonces K por un lado es X menos P1 partido de V1 88 00:08:40,389 --> 00:08:43,669 Y por otro lado es Y menos P2 partido por V2 89 00:08:43,669 --> 00:08:48,929 Bueno, pues lo que hace la ecuación continua es combinar esas dos expresiones 90 00:08:48,929 --> 00:09:05,870 Entonces, la ecuación continua dice que la recta la puedo expresar como x menos p1 partido de v1 igual a y menos p2 partido de v2. 91 00:09:16,419 --> 00:09:30,409 Como veis, parte todo de la primera expresión que tuvimos, pero vamos haciendo distintas maniobras. 92 00:09:32,690 --> 00:09:35,389 Bueno, la que viene ahora es súper importante. 93 00:09:37,350 --> 00:09:47,129 Se llama, voy a poner en mayúsculas, voy a bajar esto un poquito ya, se llama ecuación punto pendiente. 94 00:09:47,950 --> 00:10:08,080 Y me sirve para resolver problemas como calcula la ecuación de una recta que pasa por el punto 1, 3, cuya pendiente es 7. 95 00:10:08,080 --> 00:10:20,850 Entonces, viene de esta misma expresión, pero voy a combinar los denominadores. 96 00:10:22,850 --> 00:10:37,470 Hacer lo mismo que antes, voy a utilizar en otro color para que veáis que viene de esta, pero voy a pasar la V2, que está dividiendo a todo el denominador, la voy a pasar al otro lado. 97 00:10:37,470 --> 00:10:49,509 Voy a hacer v2 partido de v1. Todo esto multiplica a x menos p1. Esto es igual a y menos p2. 98 00:10:54,879 --> 00:11:01,740 ¿Veis lo que he hecho? Lo único que he hecho ha sido pasar la v2 al otro lado. Y ahora voy a reorganizar esto. 99 00:11:01,740 --> 00:11:42,019 Entonces, la ecuación punto pendiente me queda, voy a escribir primero el otro lado, I menos P2 es igual a V2 partido de V1 por X menos P1. 100 00:11:42,019 --> 00:11:56,039 Y resulta que v2 partido de v1 es lo que decíamos antes que es la pendiente, lo que llamamos m, en una recta. 101 00:11:56,039 --> 00:12:25,059 Entonces, si yo tuviera un ejercicio que dijera, calcula la ecuación de una recta que pasa por el punto 1, 2 con pendiente 3, pues ya la podría escribir. 102 00:12:25,059 --> 00:12:43,620 La ecuación de esta recta es y menos yp2 es la segunda coordenada del punto, 2, igual a la pendiente, 3, por x menos la primera coordenada del punto, que es 1. 103 00:12:44,879 --> 00:12:48,159 Y entonces esta es la expresión de la recta. 104 00:12:57,789 --> 00:13:11,960 Me parece que me queda una. 105 00:13:12,899 --> 00:13:13,740 Hay que hacer una pausa. 106 00:13:13,740 --> 00:13:39,580 Nos quedaban dos. Una se llama ecuación explícita y es la que conocemos de toda la vida. 107 00:13:41,220 --> 00:13:59,419 Sale de la de aquí arriba, voy a escribir ya como mx-p1 y vamos a dejarla ahí sola. 108 00:13:59,419 --> 00:14:24,179 Entonces, aplicando la distributiva aquí me queda mx menos mp1, ¿vale? 109 00:14:24,279 --> 00:14:32,679 He hecho este por este más este por este, así no menos, y después la p2 que estaba 110 00:14:32,679 --> 00:14:34,840 restando la paso sumando. 111 00:14:37,879 --> 00:14:42,220 Y ahora lo que voy a hacer es llamar n a todo esto de aquí. 112 00:14:42,220 --> 00:15:07,690 Entonces la ecuación explícita es la que conocemos de toda la vida, de cuando las funciones y eso, es M por X más N, tiene esta función, siendo M la pendiente y sigue siendo lo que veíamos aquí, ¿vale? 113 00:15:07,690 --> 00:15:17,690 V2 partido de V1. Y N es lo que llamamos la ordenada en el origen, el punto de corte de 114 00:15:17,690 --> 00:15:33,889 la recta con el eje vertical. Esta es mucho más complicada de desarrollar. Esta se utiliza 115 00:15:33,889 --> 00:15:41,850 más cuando estamos en tres dimensiones. Entonces vamos a poner, se llama ecuación implícita, 116 00:15:44,250 --> 00:15:50,750 sale como todas de hacer este tipo de desarrollos a partir de esta, de la ecuación punto pendiente. 117 00:15:52,129 --> 00:15:58,649 Pero ya no, os voy a poner solo el resultado final, lo que es la ecuación y qué significa 118 00:15:58,649 --> 00:16:08,409 cada uno de los términos. La ecuación implícita ya es la última de todas las ecuaciones 119 00:16:08,409 --> 00:16:31,379 de la recta y es de la forma ax más bi más c igual a cero. Pero tenemos que saber que 120 00:16:31,379 --> 00:16:46,139 CA es V2, o sea, la coordenada del vector S que venimos heredando desde el principio, la segunda coordenada del vector que me indica la dirección de la recta. 121 00:16:46,139 --> 00:16:55,399 B es menos V1, o sea, el primer vector, pero la primera coordenada del vector cambiada de signo. 122 00:16:59,370 --> 00:17:12,680 Y C es V1 por P2 menos V2 por P1. 123 00:17:14,259 --> 00:17:19,519 Bueno, esto no creo que nos salga ningún ejercicio ni nada de eso, pero...