1
00:00:00,180 --> 00:00:06,219
Vamos a explicar el ejercicio 15 del tema 2, de cuarto de la ESO, académicas.

2
00:00:06,879 --> 00:00:11,800
Vamos a ver, nos piden que factoricemos los siguientes ejercicios.

3
00:00:12,140 --> 00:00:18,440
Y yo lo he pedido en el aula virtual que lo hagáis siempre que se pueda, calculando las raíces.

4
00:00:18,780 --> 00:00:21,879
¿De acuerdo? Bien, para factorizar, vamos a hacer el apartado A.

5
00:00:23,260 --> 00:00:27,559
El apartado A dice, bueno, factoricemos este polinomio,

6
00:00:27,559 --> 00:00:32,000
que lo que hacemos es, en primer lugar, como siempre, sacar factor común

7
00:00:32,000 --> 00:00:36,020
que se puede sacar x cuadrado, 2x cuadrado incluso

8
00:00:36,020 --> 00:00:40,100
y me queda aquí x al cuadrado menos 9

9
00:00:40,100 --> 00:00:41,200
¿de acuerdo?

10
00:00:41,700 --> 00:00:45,000
pues bien, ¿cómo continuamos factorizando este polinomio?

11
00:00:45,799 --> 00:00:48,340
pues para factorizar este polinomio

12
00:00:48,340 --> 00:00:52,539
vemos que ésta, al ser un polinomio de grado 2

13
00:00:52,539 --> 00:00:56,600
pues se puede factorizar obteniendo las raíces del polinomio

14
00:00:56,600 --> 00:01:10,379
Así que resuelvo esta ecuación, que me sale como solución es x igual a más menos la raíz de 9, que es más menos 3.

15
00:01:11,280 --> 00:01:15,739
Por lo tanto, las raíces son 3 y menos 3.

16
00:01:16,299 --> 00:01:25,459
En consecuencia, el polinomio x cuadrado menos 9 tendrá como factorización x menos 3 por x más 3.

17
00:01:25,459 --> 00:01:35,939
Sustituyendo arriba, obtenemos que la factorización de este polinomio es 2x cuadrado por x más 3 por x menos 3

18
00:01:35,939 --> 00:01:42,079
Realmente lo podíamos haber visto aplicando los productos notables al revés

19
00:01:42,079 --> 00:01:49,799
El de suma por diferencia, pero me interesaba hacerlo mediante el cálculo de la raíz del polinomio

20
00:01:49,799 --> 00:01:52,760
¿De acuerdo? Vamos a hacer, por ejemplo, el apartado B

21
00:01:52,760 --> 00:02:27,740
Vamos a ver, el apartado B dice que factoricemos este polinomio. El apartado B nos pide que factoricemos x al cuadrado, x a la cuarta, menos x cubo, menos x cuadrado, menos x menos 2.

22
00:02:27,740 --> 00:02:37,879
Pues bien, en primer lugar, como es un polinomio de grado 4, las raíces no las puedo encontrar de manera directa, tengo que buscar divisores mediante Ruffini en este caso.

23
00:02:39,080 --> 00:02:50,060
Así que hacemos Ruffini con divisores del término independiente.

24
00:02:50,379 --> 00:02:59,159
Los divisores del término independiente son 1, menos 1, 2 y menos 2.

25
00:02:59,159 --> 00:03:23,110
Por lo tanto, Ruffini, ponemos aquí el 1, a ver, 1 por 1, 1, 0, 0, menos 1, menos 1, menos 2, no da 0, es 1, 1, 0, 0, menos 1, menos 1, menos 2, menos 2, no sale.

26
00:03:23,110 --> 00:03:40,210
Vamos a ver con menos 1, sería menos 2, sería 2, y aquí es 1, menos 1, menos 2, 2 y 0.

27
00:03:40,210 --> 00:03:54,509
O sea que efectivamente un divisor es x más 2, y el cociente, por cierto, sale de aquí, que debo de continuar factorizando.

28
00:03:54,550 --> 00:04:08,349
Bien, continuamos factorizando por Ruffini y probamos otra vez con el menos 1, no vaya a ser un divisor doble. Menos 1, menos 3, 3, 4 y vemos que no, efectivamente.

29
00:04:08,349 --> 00:04:39,199
Pues vamos a probar ahora con el 2, 2, 0, 0, 1, 2 y resto 0, por lo tanto otro divisor es x menos 2, ya tenemos 2, son por un lado x más 1 y x menos 2, un divisor es x más 1 y otro es x menos 2.

30
00:04:39,980 --> 00:04:58,079
Muy bien, ahora continuaríamos. Lo que pasa es que aquí ya se desprende que es un polinomio de grado 2, así que efectivamente la factorización sería, este polinomio sería este por este por lo que dé este cociente, que es x cuadrado más 1.

31
00:04:58,819 --> 00:05:06,160
Pero ahora, para factorizar este polinomio, como es de grado 2, lo igualo a cero y encuentro las raíces.

32
00:05:06,699 --> 00:05:12,740
Y resulta que no tiene, porque este polinomio no tiene, no existe raíz de menos uno.

33
00:05:12,839 --> 00:05:17,019
Así que ya está factorizado, no se puede continuar factorizando, esto se queda así.

34
00:05:17,500 --> 00:05:19,720
Esta sería la factorización del polinomio.

35
00:05:21,360 --> 00:05:22,899
Bien, vamos a continuar con el C.

36
00:05:22,899 --> 00:05:32,079
En primer lugar, este polinomio, como vemos, se puede sacar factor común x, lo primero que hacemos siempre, y nos queda esto.

37
00:05:34,519 --> 00:05:41,360
Bien, y esta parte del polinomio, como es de grado 2, en lugar de hacer Ruffini, lo resuelvo buscando directamente las raíces.

38
00:05:42,360 --> 00:05:48,220
Pues como ya hemos dicho, resolvemos la ecuación, esta para encontrar las raíces.

39
00:05:48,220 --> 00:06:08,759
Y nos quedará, aplicando la fórmula, menos b más menos b cuadrado menos 4ac partido de 2a. En mi caso a es el coeficiente que multiplica x cuadrado, es 1. b sería el coeficiente que multiplica x, que es menos 13.

40
00:06:08,759 --> 00:06:10,939
los signos son importantes aquí

41
00:06:10,939 --> 00:06:13,240
y C es el término independiente, 36

42
00:06:13,240 --> 00:06:14,759
y al sustituir aquí

43
00:06:14,759 --> 00:06:16,920
nos daría

44
00:06:16,920 --> 00:06:19,920
menos menos 13

45
00:06:19,920 --> 00:06:23,740
más menos raíz cuadrada

46
00:06:23,740 --> 00:06:26,100
de menos 13 al cuadrado

47
00:06:26,100 --> 00:06:32,319
menos 4 por 1

48
00:06:32,319 --> 00:06:35,660
por C, que es 36

49
00:06:35,660 --> 00:06:39,240
partido de 2A, que es 2 por 1

50
00:06:39,240 --> 00:06:42,120
y si continuamos operando

51
00:06:42,120 --> 00:06:47,420
Obtenemos que es soluciones 9 y 4

52
00:06:47,420 --> 00:06:51,160
Por lo tanto, 9 y 4 son raíces del polinomio

53
00:06:51,160 --> 00:06:53,720
Y como hemos visto en el vídeo anterior

54
00:06:53,720 --> 00:06:58,259
Si 9 es raíz del polinomio, x menos 9 es un divisor

55
00:06:58,259 --> 00:07:02,860
Y si 4 es raíz del polinomio, x menos 4 es otro divisor

56
00:07:02,860 --> 00:07:08,040
Así pues, los divisores de la factorización de este polinomio serían

57
00:07:08,040 --> 00:07:29,139
Por un lado está x, por x menos 9, por x menos 4. ¿Se ve? Entonces, insisto, la técnica consiste en buscar las raíces, evitando así tener que aplicar Ruffini cuando el polinomio es de grado 2.

58
00:07:29,139 --> 00:07:32,939
Voy a realizar ahora el apartado E

59
00:07:32,939 --> 00:07:38,420
El D me lo dejo porque requiere otro...

60
00:07:38,420 --> 00:07:42,699
Tiene su peculiaridad y vamos a hacerlo quizá en un vídeo aparte

61
00:07:42,699 --> 00:07:43,779
Porque es un poco peculiar

62
00:07:43,779 --> 00:07:44,600
Vamos a hacer el E

63
00:07:44,600 --> 00:07:48,740
Bien, en primer lugar, pues bueno, para factorizar este polinomio

64
00:07:48,740 --> 00:07:52,509
Perdón, que lo había copiado mal

65
00:07:52,509 --> 00:07:53,810
Este es el E

66
00:07:53,810 --> 00:07:55,029
Bien, ¿qué hacemos?

67
00:07:55,029 --> 00:07:57,230
Pues sacamos factor común

68
00:07:57,230 --> 00:07:59,350
X al cuadrado

69
00:07:59,350 --> 00:08:08,449
x al cubo, perdón, y nos queda x al cubo por x al cuadrado más x menos 2.

70
00:08:08,750 --> 00:08:13,509
Y ahora, como este es un polinomio de grado 2, en lugar de continuar haciendo Ruffini,

71
00:08:14,569 --> 00:08:19,430
buscamos las raíces, como hemos estado viendo anteriormente,

72
00:08:20,389 --> 00:08:26,470
y para ello igualamos a cero y resolvemos la ecuación

73
00:08:26,470 --> 00:08:31,970
aplicando la fórmula de menos b más menos raíz cuadrada de b cuadrado menos 4 hace partido 2a.

74
00:08:32,470 --> 00:08:34,990
Ya la hemos hecho en el apartado anterior.

75
00:08:34,990 --> 00:08:44,830
Pues bien, las soluciones son, si aplicáis esa fórmula, la solución es 1 y menos 2.

76
00:08:45,769 --> 00:08:49,129
x es igual a 1 y x es igual a menos 2.

77
00:08:49,129 --> 00:09:21,899
Por tanto, al ser 1 raíz del polinomio este, pues un factor va a ser x menos 1, un divisor. Y al ser menos 2 raíz de este polinomio, pues el otro divisor será x más 2. Así pues, este polinomio, o este, tendrá como factorización x al cubo por x menos 1 por x más 2.

78
00:09:21,899 --> 00:09:28,059
¿De acuerdo? Muy bien.

79
00:09:29,019 --> 00:09:34,080
Bien, vamos a hacer el F, que por una errata aquí en los enunciados pone que es la segunda E, pero es el F.

80
00:09:34,620 --> 00:09:41,580
¿De acuerdo? Factorizamos este polinomio por Ruffini, porque este grado 3 no podría resolver esta ecuación para buscar las raíces.

81
00:09:41,940 --> 00:09:48,059
Al ser de grado 3 no conocéis todavía la técnica, así que lo que hacemos es factorizar por Ruffini.

82
00:09:48,059 --> 00:09:55,240
1, término 0, no os olvidéis porque falta el término en x cuadrado, se pone el 0

83
00:09:55,240 --> 00:09:57,519
Luego el menos 3 y el 2

84
00:09:57,519 --> 00:10:00,519
¿Cuáles son los divisores del término independiente?

85
00:10:01,940 --> 00:10:06,759
Pues serían más menos 1 y más menos 2

86
00:10:06,759 --> 00:10:10,480
Así que vamos tanteando con el 1, por ejemplo

87
00:10:10,480 --> 00:10:21,820
Y efectivamente vemos que x menos 1 da resto 0 al dividirlo y por tanto es un divisor

88
00:10:21,820 --> 00:10:43,720
Ya tenemos el primer divisor, x menos 1. Ahora podríamos continuar con esto haciendo Ruffini, pero al ser ya, equivale el cociente este, un polinomio de grado 2, que podríamos poner aquí así, como x cuadrado menos x, más x, perdón, menos 2, ahora factorizaríamos este polinomio.

89
00:10:43,720 --> 00:10:47,240
Que no lo voy a hacer por Ruffini, sino buscando las raíces, como ya digo.

90
00:10:48,659 --> 00:10:51,559
Igualo a cero y despejamos x.

91
00:10:54,570 --> 00:11:01,549
Bien, aquí tenéis la solución de esta ecuación, como digo, aplicando la fórmula de la ecuación de grado 2 completa.

92
00:11:02,070 --> 00:11:04,889
Y obtenemos que las raíces son 1 y menos 2.

93
00:11:04,990 --> 00:11:12,970
Por lo tanto, x menos 1 sería uno de los otros divisores restantes y x más 2 sería el otro divisor restante.

94
00:11:12,970 --> 00:11:41,039
Así pues, la factorización de este polinomio sería, por un lado, este de aquí, que es x menos 1, y por otro lado, este otro x menos 1, es doble, y por otro, este x más 2, que podríamos dejar mejor escrito como x menos 1 al cuadrado por x más 2.