1
00:00:00,000 --> 00:00:07,600
Venga, vamos a repetir alguno de los ejemplos que hemos visto esta mañana del álgebra de Boolean

2
00:00:07,600 --> 00:00:11,720
clase y vamos a hacer el resto de problemas que... os voy a mostrar las soluciones del

3
00:00:11,720 --> 00:00:17,760
resto de problemas que os he subido a Classroom. Venga, vamos a empezar por el ejercicio 16.

4
00:00:17,760 --> 00:00:25,920
A ver, el ejercicio 16, que nos dice simplifica la siguiente función, esto lo hemos hecho

5
00:00:25,920 --> 00:00:37,640
en clase, es A por el complementario de B o B negado, más A por B por C, más A B negado

6
00:00:37,640 --> 00:00:43,900
C, más AB. Vale, da igual llamarlo, a los que tienen la barrita encima, llamarlo complementario

7
00:00:43,900 --> 00:00:49,120
o negado, nos entendemos igual. Vale, vamos a solucionar esto. ¿Esto a qué es igual?

8
00:00:49,120 --> 00:00:53,000
¿Qué es lo primerísimo que tenemos que hacer, que hemos hecho esta mañana? Sacar factor

9
00:00:53,000 --> 00:00:59,760
común. ¿Qué factor común tengo en todas? A, por aquí, por aquí, por aquí y por aquí.

10
00:00:59,760 --> 00:01:12,320
Pues digo que A multiplica AB negado, más BC, más B negado C, más B. ¿Esto a qué

11
00:01:12,320 --> 00:01:16,920
es igual? Se me acaba la línea y tengo que bajar abajo, igual al final, igual al principio.

12
00:01:17,920 --> 00:01:24,520
Vale, ¿qué tengo por aquí? Más para simplificar, tengo esta B con esta B negado que se suman,

13
00:01:24,520 --> 00:01:38,880
algo más, su complementario es 1. Luego tengo A que multiplica a 1, más BC, más B negado por C.

14
00:01:39,840 --> 00:01:49,720
¿Qué tengo aquí? Nuevamente, lo puedo hacer de dos formas. Si lo veo, veo que tengo 1 más algo,

15
00:01:49,720 --> 00:02:01,720
esto va a ser 1, todo esto va a ser 1. O si yo no lo veo, pues sigo esperando. ¿Qué puedo hacer?

16
00:02:01,720 --> 00:02:10,200
Sacar factor común de aquí a la C. Esto es A que multiplica a 1, más C que multiplica a B,

17
00:02:10,200 --> 00:02:23,040
más B negado. B más B negado, un número más su complementario, esto es 1. Y C por 1 es C.

18
00:02:23,880 --> 00:02:33,720
Luego esto será igual a A que multiplica a 1, más C. Y 1 más C que es 1. A por 1 es igual a A,

19
00:02:33,720 --> 00:02:41,600
que era lo que podría haber sacado de aquí directamente. Bien. Segundo ejercicio, 17.

20
00:02:41,600 --> 00:02:46,160
Este ejercicio tiene tres apartados. Vamos a empezar por el primero. Aquí tenemos que demostrar

21
00:02:46,160 --> 00:02:55,240
una serie de igualdades. Primera de ellas, A por B es igual a, no, perdón, es igual, no. A por B,

22
00:02:55,240 --> 00:03:07,680
más A por B negado, más A negado por B, más A negado por B negado. Esto me dice que es igual a

23
00:03:07,680 --> 00:03:18,760
1. Pues vamos a ver si es verdad. ¿Qué tengo aquí? Pues saco factor común. Tengo A que multiplica

24
00:03:18,760 --> 00:03:27,680
a B, más B negado, de esta parte de aquí. Y luego que tengo A negado, que multiplica a B, más B negado.

25
00:03:27,680 --> 00:03:43,080
Un número más su complementario es 1. Esto es 1. Esto es 1. Luego, ¿en qué se me queda? En A por 1,

26
00:03:43,080 --> 00:03:51,720
que es A, más A negado por 1, que es A negado. Y algo más su complementario, efectivamente,

27
00:03:51,720 --> 00:04:02,120
es 1, como me estaba diciendo el enunciado. ¿Apartado B? Venga, ahora aquí tenemos que usar las leyes de Morgan.

28
00:04:02,120 --> 00:04:27,320
Tengo A por B negado, multiplicado por C de negado, todo ello, negado a su vez, me dice que es igual A negado más B negado,

29
00:04:27,320 --> 00:04:42,320
todo ello, lo niego, le doy la vuelta, más C negado más D negado, todo ello, nuevamente negado. Pues vamos a ver si esta igualdad se cumple o no.

30
00:04:42,320 --> 00:04:55,320
Leyes de Morgan me dicen que cuando yo tengo, lo voy a poner aquí a la derecha, cuando yo tengo A por B negado, es lo mismo que A negado más B negado.

31
00:04:56,320 --> 00:05:07,320
Y si yo tengo A más B, todo ello negado, es lo mismo que el producto de las negaciones individuales. Bien, pues con esto vamos a resolver el problema.

32
00:05:07,320 --> 00:05:29,320
Yo aquí tengo un producto negado, pues ¿qué será? A por B negado, que sería este valor, más C de negado y los tengo que negar.

33
00:05:29,320 --> 00:05:41,320
Estoy usando este primer teorema. La doble negación de algo es el mismo, A B más C D. ¿Qué tengo al otro lado del igual? Voy a ponerlo.

34
00:05:41,320 --> 00:06:01,320
Tengo una suma negada, luego tengo el producto A negado negado por B doble negación y aquí lo mismo, C doble negación más D doble negación.

35
00:06:01,320 --> 00:06:24,320
A doblemente negado es A por B, C por D. A ver que aquí me he confundido. Esto es un por. Convierto en producto. A B más C D es igual a A B más C D. Demostrado, se cumple también.

36
00:06:24,320 --> 00:06:51,320
Venga, nos queda el C. Vamos a bajar un poquito. Apartado C, igualdad me da, me dice que A por A más B por A más B más C es igual a, vamos a ver si es verdad, este paréntesis de aquí yo lo puedo quitar, ¿no?

37
00:06:51,320 --> 00:07:19,320
Vamos a ver. A más A B, esto de aquí. ¿A qué es igual? Miro mi hoja de fórmulas y esto es igual a A. A que multiplica a A más B más C.

38
00:07:19,320 --> 00:07:41,320
Yo puedo ver, bueno, vamos, no lo vemos. Voy a abrir el paréntesis. Tengo A por A más A por B más A por C. ¿Y esto qué es igual? Un número por sí mismo es el mismo.

39
00:07:41,320 --> 00:07:55,320
A más A B más A C. ¿Qué tengo aquí?

40
00:07:55,320 --> 00:08:15,320
Esto es A que multiplica a 1 más B más C.

41
00:08:16,320 --> 00:08:39,320
¿Esto qué es? 1 más algo es 1. Luego aquí tengo que es A por 1 porque todo este paréntesis vale 1. 1 más lo que sea es 1. Luego esto es igual a A que efectivamente era lo que me estaba diciendo aquí.

42
00:08:40,320 --> 00:08:41,320
¿Vale?

43
00:08:42,320 --> 00:08:48,320
Vamos a hacer el siguiente problema. 18.

44
00:08:49,320 --> 00:09:01,320
El anterior era del EBAU del 2003, este es del 2004 que nos dice usando las propiedades del álgebra de Boole y sabiendo que A, B, C son variables binarias demuestra otras tres igualdades.

45
00:09:02,320 --> 00:09:19,320
Igualdad A. Tengo A por B por C es igual a C negado más B negado más A negado. Todo ello me la nega.

46
00:09:20,320 --> 00:09:30,320
Pues vamos a ver qué tenemos por aquí. Este paréntesis no es necesario.

47
00:09:31,320 --> 00:09:35,320
Esto es A por B por C y no lo puedo simplificar más.

48
00:09:36,320 --> 00:09:49,320
¿Qué tengo al otro lado de mi igual? Vuelvo a usar las leyes de Morgan. Tengo la negación de una suma, pues es el producto de las negaciones individuales de los dos términos que tenga a ambos lados del más.

49
00:09:49,320 --> 00:09:59,320
Es decir, tengo la negación del primer término que ya estaba negado, pues lo niego doblemente por la negación de este paréntesis.

50
00:10:00,320 --> 00:10:04,320
B negado más A negado, negado.

51
00:10:09,320 --> 00:10:11,320
C doblemente negado, ¿quién es C?

52
00:10:12,320 --> 00:10:33,320
Negación de una suma es el producto de sus negados, o sea que esto es, este paréntesis será B negado negado por A negado, que era el valor que tenía, negado.

53
00:10:34,320 --> 00:10:45,320
Doble negación, esto es B, esto es A y esto es C, que efectivamente es el A por B por C que tenía antes.

54
00:10:46,320 --> 00:10:49,320
Vamos a hacer el apartado B.

55
00:10:51,320 --> 00:10:58,320
B dice que A más 1 es igual a B por 0 negado.

56
00:10:59,320 --> 00:11:00,320
Vamos a ver si es verdad.

57
00:11:04,320 --> 00:11:12,320
A más 1 es 1, cualquier cosa más 1 es 1 y cualquier cosa por 0 será 0, pero vamos a quitar la negación.

58
00:11:13,320 --> 00:11:16,320
¿Por qué? Porque si yo lo hago directamente no me va a dar.

59
00:11:17,320 --> 00:11:22,320
Tengo el producto negado, luego será B negado más 0 negado.

60
00:11:23,320 --> 00:11:26,320
Ojo que si hacéis B por 0 os cargáis la solución.

61
00:11:27,320 --> 00:11:29,320
¿Contrario de 0 cuánto es?

62
00:11:30,320 --> 00:11:42,320
1 más B negado, 1 más cualquier cosa, efectivamente es 1, esto vale 1, como queríamos demostrar.

63
00:11:42,320 --> 00:11:58,320
Y por último nos queda, voy a hacerlo aquí al lado, el C, que es A más B por A más B negado, me dice que es igual a A, pues vamos a ver si es igual a A.

64
00:11:59,320 --> 00:12:16,320
Esto que es igual a A por B más B negado, algo más o contrario que es 1, esto es A por 1 que es igual a A, que efectivamente es este A que teníamos aquí, como queríamos demostrar.

65
00:12:16,320 --> 00:12:22,320
¿Hay otras formas de hacerlo? Sí, son válidas, claro, siempre y cuando me dé el mismo resultado son válidas.

66
00:12:26,320 --> 00:12:28,320
Vamos al siguiente ejercicio.

67
00:12:28,320 --> 00:12:33,320
¿Qué será el 19? Tenemos otras 3 demostraciones para hacer.

68
00:12:33,320 --> 00:12:53,320
19, apartado A, me dice que A más B multiplicado por A es igual a A más B negado.

69
00:12:53,320 --> 00:13:18,320
19, apartado A, me dice que A más B multiplicado por A más B negado, multiplicado por A negado más B, por A negado más B negado, me dice que todo esto será igual a 0, vamos a ver si es verdad.

70
00:13:24,320 --> 00:13:48,320
¿Qué tengo aquí? Pues tengo A que multiplica a B más B negado, por A negado, si sacando factores comunes, que multiplica a B más B negado.

71
00:13:48,320 --> 00:14:03,320
B más su complementario es 1, luego aquí tengo A por A complementario y un valor por su complementario efectivamente es 0, como me decía el enunciado.

72
00:14:04,320 --> 00:14:27,320
Vamos a ver el apartado B. Tengo B que multiplica a A más su complementario y me dice que esto es igual a B más A por su complementario, vamos a ver si esta igualdad se cumple.

73
00:14:27,320 --> 00:14:51,320
Aquí que tengo algo más su complementario es 1, luego tengo B por 1 es igual a B más un valor por su complementario, A por su complementario es 0, algo más 0, pues es ese algo, tengo que B es igual a B como queríamos demostrar.

74
00:14:52,320 --> 00:15:08,320
Y el último apartado de este ejercicio, el C. Tengo que A más A por B es igual a A por A más C, pues vamos a ver si esto es igual.

75
00:15:08,320 --> 00:15:31,320
Teorema de la absorción. Vamos a usar, que me dice que A más A por algo es A, o A por A más algo también es A.

76
00:15:32,320 --> 00:15:52,320
A más A por algo es A, A por A más lo que sea también es A. Aplico el teorema de la absorción a ambos lados y tengo que A es igual a A. Este se usa muchísimo, el teorema de la absorción.

77
00:15:52,320 --> 00:16:06,320
¿Hay otra forma de resolverlo? Pues por supuesto que sí. A ver si la encontráis. Vamos a ver el problema 20. Empezamos a mezclar los problemas de simplificar con las tablas de la verdad.

78
00:16:07,320 --> 00:16:18,320
Aquí nos están pidiendo que comprobemos el primer teorema de Morgan, que es A por B negado es A negado más B negado, que lo demostremos mediante una tabla de la verdad.

79
00:16:18,320 --> 00:16:28,320
¿Qué teníamos que hacer para hacer una tabla de la verdad? Pues hacer una columna con el valor de A, otra columna con el valor de B. ¿Cuántos valores voy a tener? Pues tengo dos variables.

80
00:16:28,320 --> 00:16:45,320
Luego voy a tener 2 elevado a dos variables, cuatro valores, que los empiezo a colocar de la siguiente forma, 0 0 1 1. Siguiente columna, tengo que colocar también dos y tengo que hacer todas las combinaciones posibles.

81
00:16:45,320 --> 00:17:01,320
Y se escribe así, 0 1 0 1. ¿Qué tengo que hacer ahora? Multiplicarlo. A por B. ¿Y luego qué tendré que hacer? Darle la vuelta.

82
00:17:02,320 --> 00:17:16,320
¿Sí? A por B, 0 por 0 es 0, 0 por 1 es 0, 1 por 0 es 0 y 1 por 1 es 1. ¿Le doy la vuelta? ¿Le hago el complementario? ¿Lo niego? Pues le doy la vuelta a esos valores.

83
00:17:17,320 --> 00:17:32,320
Esto era este lado de aquí. Ahora en verde voy a hacer el otro lado. ¿Qué tengo? A negado, columna, otra columna con el B negado. Luego tendré que sumar ambos valores.

84
00:17:32,320 --> 00:17:51,320
Pues vamos a ver qué nos da. En esta columna que tengo que poner, contrario de A, negado de A, 1 1 0 0. Le doy la vuelta a esta columna. En la siguiente, el contrario de la columna B, 1 0 1 0.

85
00:17:52,320 --> 00:18:07,320
Y ahora lo sumo. 1 más 1, 1. 1 más 0, 1. 0 más 1, 1. Y 0 más 0, 0. Como queríamos demostrar, estas dos columnas son iguales, con lo que queda demostrado el primer teorema de Morgan.

86
00:18:07,320 --> 00:18:21,320
Ahora tenemos que demostrar, en el ejercicio 21, el segundo teorema de Morgan que dice que A más B negado es igual a A negado por B negado. Vamos a ver si es verdad.

87
00:18:22,320 --> 00:18:44,320
Tabla de la verdad que hacemos nuevamente. Columna con el valor de A. Columna con el valor de B. Los sumo y luego les doy la vuelta, los complemento, los niego, como lo queréis llamar. 0 0 1 1 0 1 0 1.

88
00:18:44,320 --> 00:19:01,320
Sumo. 0 1 1 y 1. Por Dios que nadie me ponga que 1 más 1 es 2. Ahora le doy la vuelta. Donde tengo un 0 pongo un 1 y donde tengo unos pongo ceros. Este era este lado. Ahora hacemos este.

89
00:19:01,320 --> 00:19:26,320
¿Qué tengo? Negado o complementario de A, complementario de B y luego los multiplico. Vamos a ver. Columna de la negación de A. 1 1 0 0. De la negación de B. 1 0 1 0. Y ahora los multiplico. 1 0 0 0.

90
00:19:26,320 --> 00:19:45,320
Nuevamente, como queríamos demostrar, esta columna es igual a esta. Y con esto hemos terminado los ejercicios del álgebra de Boole. Practicarlos en casa. Si veis que no los entendéis, me preguntáis. De todas formas, seguiremos haciendo ejercicios. Hasta luego.