1 00:00:12,210 --> 00:00:17,629 Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 2 00:00:17,629 --> 00:00:22,370 Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 3 00:00:22,370 --> 00:00:27,410 de la unidad PR2 dedicada a la probabilidad en experimentos aleatorios compuestos. 4 00:00:31,109 --> 00:00:35,429 En la videoclase de hoy resolveremos el ejercicio propuesto 4. 5 00:00:47,539 --> 00:00:53,560 En este ejercicio propuesto 4 se nos pide que consideremos que, con el objetivo de recaudar 6 00:00:53,560 --> 00:00:59,740 fondos para un viaje, los alumnos de un instituto realizan una rifa con 500 números. Uno de los 7 00:00:59,740 --> 00:01:05,219 alumnos compra dos números y se nos pregunta, en primer lugar, si solamente hubiera un premio, 8 00:01:05,780 --> 00:01:11,900 ¿qué probabilidad tiene el alumno de que le toque a él? Este es un caso de cálculo de probabilidades 9 00:01:11,900 --> 00:01:18,180 en el que no necesitamos considerar que se trata de un experimento compuesto. Podemos calcular 10 00:01:18,180 --> 00:01:24,760 directamente esta probabilidad utilizando la ley de Laplace. Fijaos, el espacio muestral está formado 11 00:01:24,760 --> 00:01:30,260 por cada uno de los 500 números que participan en la rifa, puesto que de los 500 números se va a 12 00:01:30,260 --> 00:01:35,900 sortear y se va a extraer uno. ¿Cuál es el espacio muestral? Cada uno de los 500 números. ¿Cuántos 13 00:01:35,900 --> 00:01:42,900 elementos hay en el espacio muestral? Pues cardinal de e igual a 500. En cuanto al suceso cuya 14 00:01:42,900 --> 00:01:52,439 probabilidad estamos calculando que al alumno le toque el premio ocurrirá cuando bien salga uno de 15 00:01:52,439 --> 00:01:56,760 los números que tenga bien cuando salga el otro de los números que tengan no sabemos cuáles son 16 00:01:56,760 --> 00:02:03,359 pero tampoco es relevante sabemos que el suceso a tiene un cardinal igual a 2 hay dos elementos del 17 00:02:03,359 --> 00:02:09,060 espacio muestral hay dos números que tiene el alumno en su mano de tal forma que dado que la 18 00:02:09,060 --> 00:02:13,900 probabilidad de que salga cada uno de esos 500 números va a ser la misma, cada uno de los 19 00:02:13,900 --> 00:02:19,080 elementos del espacio mostral es equiprobable, podemos calcular la probabilidad de A utilizando 20 00:02:19,080 --> 00:02:24,180 la ley de Laplace, cardinal de A entre cardinal de E, número de casos favorables al suceso A, 21 00:02:24,740 --> 00:02:30,479 dividido entre el número de casos posibles, 2 entre 500, simplificado, 1 partido por 250. 22 00:02:31,520 --> 00:02:37,939 En el segundo apartado sí tendremos que utilizar la probabilidad compuesta. Fijaos que se nos dice 23 00:02:37,939 --> 00:02:44,500 si hubiera dos premios, no uno sino dos, ¿qué probabilidad tiene el alumno de que le toque al 24 00:02:44,500 --> 00:02:51,560 menos uno de ellos? Vamos a representar el experimento utilizando un árbol, como el que 25 00:02:51,560 --> 00:02:57,280 tenemos aquí. Un árbol anotado, puesto que no solamente vamos a poner las distintas ramas, 26 00:02:57,819 --> 00:03:03,479 sino que vamos a poner las probabilidades de cada una de ellas. Y no pondremos únicamente las hojas, 27 00:03:03,479 --> 00:03:12,719 sino que pondremos las probabilidades de cada una de ellas, las probabilidades entonces de la realización de cada una de esas hojas. 28 00:03:13,460 --> 00:03:28,560 Vamos a empezar con los sucesos. Vamos a denotar en cada uno de los casos n como que el alumno tenga el número premiado y el contrario de n, n con barra, que no tenga el número premiado. 29 00:03:29,539 --> 00:03:32,520 Veamos, vamos a realizar imaginariamente el experimento. 30 00:03:32,620 --> 00:03:37,759 Tenemos los 500 números dentro de la urna y extraemos el primero de ellos. 31 00:03:38,479 --> 00:03:42,080 La representación en el árbol parte de un nodo raíz, que estará vacío, 32 00:03:42,680 --> 00:03:45,639 y tenemos una primera ramificación en dos casos, 33 00:03:45,639 --> 00:03:51,280 puesto que podría ser que el número lo tuviera el alumno, podría ser que no lo tuviera. 34 00:03:52,219 --> 00:03:56,199 A partir de aquí se extrae la segunda bola con el segundo número. 35 00:03:56,199 --> 00:03:59,580 Y tenemos también una nueva ramificación en dos casos. 36 00:04:00,240 --> 00:04:08,240 Podría ser que si el primer número fue premiado en el segundo también lo sea, puesto que recordemos hay dos números premiados, 37 00:04:09,099 --> 00:04:13,080 podría ser que el primero fuera premiado y el segundo no lo sea. 38 00:04:14,719 --> 00:04:19,860 Por otro lado, si el primer número no fue premiado porque no era uno de los que tenía el alumno, 39 00:04:19,860 --> 00:04:26,800 pues podría ser que el segundo, con la segunda extracción, sí sea premiado o podría ser que no fuera premiado. 40 00:04:27,439 --> 00:04:32,579 En las hojas habríamos puesto el primer número tiene premio y el segundo también. 41 00:04:33,100 --> 00:04:34,899 Este alumno se llevaría los dos premios. 42 00:04:35,920 --> 00:04:41,120 O bien podríamos tener el primer número tiene premio y el segundo no, se llevaría el primero. 43 00:04:41,879 --> 00:04:47,740 O bien tendríamos el primer número no fue premiado, el segundo sí, se llevaría el segundo premio. 44 00:04:47,740 --> 00:04:54,079 O bien, el primer número no fue premiado y el segundo tampoco, en cuyo caso no se llevaría ninguno de los premios. 45 00:04:54,879 --> 00:05:03,459 Tendríamos el suceso n, el suceso n y como hoja n, intersección n, el primer número fue premiado y el segundo también. 46 00:05:04,899 --> 00:05:13,920 n, el primer número fue premiado, contrario de n, el segundo número no fue premiado y como hoja, el primer número fue premiado y el segundo no lo fue, etc. 47 00:05:13,920 --> 00:05:24,420 He dicho que vamos a anotar el árbol y eso quiere decir que en cada ramificación vamos a poner la probabilidad que corresponda, utilizando, por supuesto, la de la plaza. 48 00:05:26,879 --> 00:05:34,839 Hacemos la primera extracción y nos preguntamos por cuál es la probabilidad de que el estudiante tenga un número premiado. 49 00:05:35,220 --> 00:05:40,319 Y esa probabilidad, la probabilidad de que el primer número sea premiado, se calcula con la de la plaza. 50 00:05:40,759 --> 00:05:44,779 Hay 500 casos posibles, de los cuales hay dos favorables. 51 00:05:45,120 --> 00:05:46,699 El alumno tiene dos números en su mano. 52 00:05:47,120 --> 00:05:48,839 Esta probabilidad es 2 partido de 500. 53 00:05:49,779 --> 00:05:53,759 Si no nos preguntamos por la probabilidad de que de verdad se lleve el premio, 54 00:05:53,860 --> 00:05:55,300 sino por la de que no se lo lleve, 55 00:05:55,879 --> 00:05:58,860 en ese caso calculamos la probabilidad también con la ley de Laplace. 56 00:05:59,480 --> 00:06:02,879 Hay 500 números entre los cuales se puede hacer la extracción. 57 00:06:02,879 --> 00:06:04,120 Hay 500 casos posibles. 58 00:06:04,819 --> 00:06:08,759 Y favorables a no se lleva premio hay 498. 59 00:06:08,759 --> 00:06:20,160 Hay dos posibilidades para que le toque el premio. El alumno tiene dos números en su mano y 498 de que no. Hay 498 números que no ha comprado. 60 00:06:20,860 --> 00:06:31,699 Fijaos que 2 quinientosavos más 498 quinientosavos suma la unidad, puesto que o bien uno de los números está premiado o bien no. 61 00:06:31,699 --> 00:06:41,560 La probabilidad de que uno de los números sea premiado es dos quinientos avos, de que ninguno de los dos números sea premiado es 498 quinientos avos. 62 00:06:43,040 --> 00:06:49,560 Supongamos que el primer número fue premiado. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer el segundo también tenga premio? 63 00:06:49,980 --> 00:06:57,560 Bien, en este caso el número de casos posibles es 499. Hemos sacado un número, quedan 499. 64 00:06:57,560 --> 00:07:10,560 En cuanto al número de casos favorables, será solamente uno. Uno de los números ha sido premiado, me queda un número como posibilidad para que sea premiado. Me queda solo uno. 65 00:07:11,160 --> 00:07:21,540 En el caso en el que, habiendo sido el primer número afortunado, habiendo sido premiado, el segundo no lo sea, calculamos la probabilidad nuevamente con la ley de Laplace. 66 00:07:22,120 --> 00:07:27,040 Número de casos posibles, 499. Hemos sacado un número, quedan 499. 67 00:07:27,740 --> 00:07:31,939 Y en este caso, favorables a y no le toca el premio, son 498. 68 00:07:32,439 --> 00:07:36,759 Quedan 498 números que no ha comprado el estudiante. 69 00:07:37,259 --> 00:07:44,939 Si os fijáis, la suma de 1 499 avos más 498 499 avos vuelve a ser la unidad. 70 00:07:45,639 --> 00:07:50,000 Y en este caso, las probabilidades se denotan de una forma ligeramente distinta. 71 00:07:50,699 --> 00:07:53,360 Aquí tenemos probabilidad de que el número sea premiado, 72 00:07:54,019 --> 00:07:59,819 y aquí lo que tenemos es probabilidad de que el segundo número sea premiado sabiendo que el primero lo fue. 73 00:08:00,079 --> 00:08:02,660 Y aquí tenemos la barra para indicar probabilidad condicionada. 74 00:08:04,339 --> 00:08:08,120 ¿Cómo calculo la probabilidad final, la probabilidad de la hoja? 75 00:08:08,259 --> 00:08:10,860 ¿El primer número fue premiado y el segundo también? 76 00:08:11,459 --> 00:08:15,319 Bueno, pues utilizando lo que hemos visto de la probabilidad compuesta. 77 00:08:15,899 --> 00:08:20,879 Multiplicando la probabilidad de que se verifique el primer suceso, que el primer número sea premiado, 78 00:08:21,420 --> 00:08:26,519 por la probabilidad de que se verifique el segundo suceso sabiendo que ha ocurrido el primero. 79 00:08:26,519 --> 00:08:30,660 La probabilidad de que el segundo sea premiado sabiendo que el primero lo fue. 80 00:08:31,300 --> 00:08:36,639 Habría que multiplicar 2 quinientosavos por un 499avo. 81 00:08:36,740 --> 00:08:39,919 El resultado sería este que tenemos aquí a la derecha, ya simplificado. 82 00:08:40,799 --> 00:08:45,700 Y antes hablaba, al hablar de la probabilidad compuesta, del principio de multiplicación, 83 00:08:46,159 --> 00:08:50,639 puesto que para calcular la probabilidad de esta hoja, lo que hemos de hacer es recorrer el árbol 84 00:08:50,639 --> 00:08:54,759 e ir multiplicando las probabilidades que vayamos encontrando en las anotaciones. 85 00:08:55,460 --> 00:08:59,399 ¿El primer número fue premiado? La probabilidad de que el primer número sea premiado. 86 00:09:00,019 --> 00:09:04,360 Ahora, sabiendo que el primero fue premiado, que el segundo también lo sea, 87 00:09:04,779 --> 00:09:09,460 probabilidad de que el segundo número sea premiado, sabiendo que el primero lo fue. 88 00:09:10,399 --> 00:09:15,360 En esta rama, tenemos en la hoja el primer número fue premiado y el segundo no. 89 00:09:15,600 --> 00:09:18,519 Bueno, pues tenemos que multiplicar para calcular esta probabilidad, 90 00:09:19,159 --> 00:09:21,259 probabilidad de que el primer número fuera premiado, 91 00:09:21,740 --> 00:09:26,019 por probabilidad de que el segundo no lo haya sido, sabiendo que el primero lo fue. 92 00:09:26,019 --> 00:09:27,720 Aquí tenemos el resultado final. 93 00:09:27,720 --> 00:09:37,440 En el caso en el que en la primera extracción no tenemos premio, porque no han sacado uno de los números que tenemos nosotros, o que no tiene el estudiante, 94 00:09:38,340 --> 00:09:45,500 pues a continuación se nos abre una nueva posibilidad. Al sacar el segundo número, puede ser que sí sea premiado, puede ser que no lo sea. 95 00:09:46,519 --> 00:09:49,220 Recordemos cómo estamos haciendo la notación en las probabilidades. 96 00:09:49,740 --> 00:09:53,399 Sabiendo que el primer número no fue premiado, tenemos que el primero sí lo fue. 97 00:09:54,120 --> 00:09:57,399 Probabilidad de que el segundo sea premiado, sabiendo que el primero no lo fue. 98 00:09:57,720 --> 00:10:07,240 En este caso, sabiendo que el primer número no fue premiado, el segundo tampoco lo es. Probabilidad de que el segundo número no se ha premiado, sabiendo que el primero tampoco lo es. 99 00:10:08,559 --> 00:10:11,659 ¿Cómo ponemos estas probabilidades? Utilizamos la ley de Laplace. 100 00:10:12,519 --> 00:10:18,480 Número de casos posibles, 499. En la urna quedan, después de haber sacado un número, 499. 101 00:10:18,480 --> 00:10:29,620 En este caso, cuando el número que se sacó no fue premiado, posibilidades, número de casos favorables a que sea premiado, tengo dos, me quedan dos números en la mano. 102 00:10:30,200 --> 00:10:33,279 Cualquiera de ellos dos podría ser uno de estos que sea premiado. 103 00:10:33,919 --> 00:10:39,279 Números que no sean premiados, bueno, pues 497 de los 499 que tenía en total. 104 00:10:40,120 --> 00:10:47,080 Cuando vaya a poner las probabilidades de cada una de estas hojas, lo que tengo que hacer es aplicar el principio de multiplicación y multiplicar. 105 00:10:47,840 --> 00:10:53,299 Veamos, probabilidad de que el primer número no fue premiado y el segundo sí, pues recorro el árbol. 106 00:10:53,840 --> 00:11:01,000 Probabilidad de que el primer número no fuera premiado por probabilidad de que el segundo número sí sea premiado, sabiendo que el primero no lo fue. 107 00:11:01,299 --> 00:11:04,200 Y aquí tenemos estas probabilidades. 108 00:11:04,519 --> 00:11:12,159 Cuando hemos escrito el árbol para encontrar cada uno de estos sucesos, que son las hojas, los elementos del espacio muestral, 109 00:11:12,620 --> 00:11:15,860 y hemos determinado las probabilidades que corresponden a cada uno de ellos, 110 00:11:15,860 --> 00:11:24,539 Ahora nos preguntamos para qué hemos hecho este trabajo. Recordemos, tenemos que calcular la probabilidad de que le toque al menos un premio. 111 00:11:25,179 --> 00:11:31,659 Que le toque al menos un premio es, bien que le toque el primero, bien que le toque el segundo, bien que le toque los dos. 112 00:11:31,840 --> 00:11:33,419 Estaría este caso, sería una suerte. 113 00:11:34,259 --> 00:11:41,200 Nosotros en este momento vamos a calcular esa probabilidad como la probabilidad del, utilizando, perdón, la probabilidad del suceso contrario. 114 00:11:41,200 --> 00:11:45,840 El contrario de que le toque al menos un premio es que no le toque ninguno 115 00:11:45,840 --> 00:11:49,539 Y entonces vamos a calcular la probabilidad de que le toque al menos un premio 116 00:11:49,539 --> 00:11:53,779 Como 1 menos la probabilidad del suceso contrario que no le toque ninguno 117 00:11:53,779 --> 00:11:57,820 Que no le toque ninguno es que no le toque ni el primero ni el segundo 118 00:11:57,820 --> 00:12:01,700 Y esa probabilidad es esta que tenemos aquí al final de esta rama 119 00:12:01,700 --> 00:12:05,419 Donde no le toca el primer premio y tampoco le toca el segundo 120 00:12:05,419 --> 00:12:09,200 Así que la probabilidad que nos han pedido es 1 menos este 121 00:12:09,200 --> 00:12:20,000 123.753, 124.750 avos y al final sería esta fracción que tenemos aquí. Fijaos, este ejercicio 122 00:12:20,000 --> 00:12:26,600 se encuentra dentro del apartado de probabilidad compuesta y el objetivo es calcular estas 123 00:12:26,600 --> 00:12:32,200 probabilidades en cada una de las hojas multiplicando las probabilidades que tengo en las 124 00:12:32,200 --> 00:12:38,259 anotaciones conforme voy recorriendo el árbol hasta alcanzar la hoja. En este caso, al final 125 00:12:38,259 --> 00:12:43,399 del todo. Probabilidad de que no le toque el primer premio y no le toque el segundo se calcula 126 00:12:43,399 --> 00:12:51,179 multiplicando. Empiezo por la raíz. No le toca el primer premio, su probabilidad por... Ahora, 127 00:12:51,440 --> 00:12:56,080 no le toca el segundo, sabiendo que no le tocó el primero, esta otra probabilidad. Aquí lo tenemos 128 00:12:56,080 --> 00:13:04,639 puesto, aquí tenemos el resultado. En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles 129 00:13:04,639 --> 00:13:10,820 otros recursos y cuestionarios. Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas 130 00:13:10,820 --> 00:13:16,179 y en la web. No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas 131 00:13:16,179 --> 00:13:18,980 en el aula virtual. Un saludo y hasta pronto.