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00:00:01,710 --> 00:00:09,609
Hola, soy Pedro Lomas y voy a resolver el ejercicio 1 del modelo que ha propuesto la Junta de Comunidades de Castilla-La Mancha

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00:00:09,609 --> 00:00:14,609
para la PAU del curso 2024-2025.

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00:00:15,029 --> 00:00:21,170
En el ejercicio 1 nos plantean construir unos envases con forma de prisma de base cuadrada

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00:00:21,170 --> 00:00:26,609
cuyo volumen sea un decímetro cuadrado y que tengan la mínima superficie.

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00:00:26,609 --> 00:00:55,560
Bien, estos envases son prismas de seis caras, dos de las caras son cuadrados del lado X y las otras dos caras son rectángulos de base X y altura Y, es decir, esto mide X, esto también mide X, esto mide X y esto mide Y.

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00:00:55,560 --> 00:01:02,979
y lo que necesitamos son dos cuadrados y cuatro rectángulos de este tipo

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00:01:02,979 --> 00:01:07,620
con lo cual la función que queremos optimizar tiene dos variables

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00:01:07,620 --> 00:01:15,260
y es la función de las superficies 2x al cuadrado más 4x por y

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00:01:15,260 --> 00:01:21,939
como esta función tiene dos variables necesitamos poner una variable en función de la otra

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00:01:21,939 --> 00:01:25,379
para tener una función de una única variable y poder derivar

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00:01:25,379 --> 00:01:29,480
Hay un dato que todavía no hemos utilizado del enunciado, que es este.

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00:01:29,599 --> 00:01:32,519
Nos dice que el volumen del prisma es de un decímetro cúbico.

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00:01:33,159 --> 00:01:38,560
Sabemos que el volumen de un prisma es la superficie de la base por la altura del prisma.

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00:01:38,680 --> 00:01:42,219
En el caso que tenemos es x al cuadrado por y.

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00:01:43,459 --> 00:01:47,900
Por tanto, sabemos que x al cuadrado por y tiene que valer 1,

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00:01:47,900 --> 00:01:57,480
que es lo mismo que decir que la y es 1 partido por x al cuadrado o x a la menos 2.

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00:01:58,040 --> 00:02:09,520
Si en la función de la superficie escribimos donde nos aparezca una y el valor x a la menos 2

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00:02:09,520 --> 00:02:13,860
ya tenemos la función que vamos a tener que optimizar

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00:02:13,860 --> 00:02:20,099
que podemos simplificar escribiéndolo de la forma 2x cuadrado más 4x

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00:02:20,099 --> 00:02:25,680
sabemos que el óptimo de esta función va a estar donde la primera derivada sea 0

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00:02:25,680 --> 00:02:35,439
por tanto hacemos la primera derivada de la función que es 2 por 2x más 4

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00:02:35,439 --> 00:02:40,939
hay una errata aquí, disculpad, 1 menos 2, esto es x a la menos 1

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00:02:40,939 --> 00:03:03,379
2 por x a la menos 1 por 4 por menos 1x a la menos 2, ya lo hemos derivado y es 4x menos 4 por x a la menos 2, con lo que es lo mismo 4x menos 4 partido por x al cuadrado.

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00:03:03,379 --> 00:03:15,699
La primera derivada se anulará cuando 4x menos 4 partido por x al cuadrado vale 0

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00:03:15,699 --> 00:03:23,159
Que es lo mismo que decir que 4x es igual que 4 partido por x al cuadrado

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00:03:23,159 --> 00:03:27,000
Si el x al cuadrado lo pasamos multiplicando será x al cubo

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00:03:27,000 --> 00:03:30,780
Es lo mismo que 4 partido por 4, es decir 1

28
00:03:30,780 --> 00:03:37,159
Necesitamos que x al cubo sea 1, lo cual ocurre cuando la x vale 1

29
00:03:37,159 --> 00:03:43,080
Así que cuando la x es 1, esta función tiene un punto de tangente horizontal

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00:03:43,080 --> 00:03:45,080
Que puede ser un máximo o un mínimo

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00:03:45,080 --> 00:03:47,219
¿Cómo sabemos si es máximo o mínimo?

32
00:03:48,060 --> 00:03:49,939
Pues utilizando la segunda derivada

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00:03:49,939 --> 00:03:58,759
La segunda derivada es 4 menos 4 por menos 2 por x elevado a menos 3

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00:03:58,759 --> 00:04:03,699
O lo que es lo mismo, 4 más 8 partido por x al cubo.

35
00:04:04,780 --> 00:04:13,280
La segunda derivada en el 1 vale 4 más 8 partido por 1 al cubo, que es 12.

36
00:04:14,159 --> 00:04:22,379
No importa tanto su valor como su signo, como 12 es positivo, de aquí podemos deducir que x a la 1 es un mínimo de esta función.

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00:04:22,379 --> 00:04:38,709
así que el prisma que estamos buscando es aquel cuya base cuadrada tiene lado 1

38
00:04:38,709 --> 00:04:48,629
y la altura será, tenemos aquí que la y es 1 partido por x al cuadrado

39
00:04:48,629 --> 00:04:55,629
pues 1 partido por 1 al cuadrado es 1, es decir que el prisma en realidad es un cubo de arista 1

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00:04:55,629 --> 00:04:59,209
solo nos falta el apartado C en el que nos pide

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00:04:59,209 --> 00:05:03,649
cuál va a ser la superficie de cada envase y su coste

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00:05:03,649 --> 00:05:07,129
bien, si volvemos ahora a la función superficie que hemos creado al principio

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00:05:07,129 --> 00:05:11,569
y vemos su valor cuando la x y la y valen 1, tenemos que es 2 por 1 al cuadrado

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00:05:11,569 --> 00:05:13,649
más 4 por 1 y por 1

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00:05:13,649 --> 00:05:18,529
esto es 2 más 4

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00:05:18,529 --> 00:05:23,069
que son 6 decímetros cúbicos, perdón

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00:05:23,069 --> 00:05:24,870
6 decímetros cuadrados

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00:05:24,870 --> 00:05:27,709
es la superficie del prisma y ahora el coste

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00:05:27,709 --> 00:05:31,350
pues será 6 por 5

50
00:05:31,350 --> 00:05:35,129
porque nos decía que era 5 euros

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00:05:35,129 --> 00:05:36,709
cada decímetro cuadrado

52
00:05:36,709 --> 00:05:39,370
30 euros es lo que nos costará

53
00:05:39,370 --> 00:05:41,629
cada envase

54
00:05:41,629 --> 00:05:47,399
ahí tenéis el problema completo