1
00:00:00,000 --> 00:00:04,160
Bueno, pasamos ahora a las demostraciones de todas estas fórmulas, y todas estas

2
00:00:04,160 --> 00:00:11,080
fórmulas tienen su demostración, que es la manera de asegurarnos que son

3
00:00:11,080 --> 00:00:14,240
realmente ciertas.

4
00:00:15,360 --> 00:00:20,400
Vamos a ir demostrándolas poco a poco y espero que se entienda bien.

5
00:00:20,400 --> 00:00:24,600
Partimos del triángulo rectángulo en el cual hemos llamado a y b a los catetos y

6
00:00:24,600 --> 00:00:29,720
h a la hipotenusa, y si colocamos las razones trigonométricas del ángulo alfa

7
00:00:29,760 --> 00:00:34,120
pues sería seno del ángulo alfa, cateto opuesto a partir de la hipotenusa, a

8
00:00:34,120 --> 00:00:39,680
partido de h, el coseno del ángulo alfa es lo que mide el cateto contiguo

9
00:00:39,680 --> 00:00:44,200
dividido entre lo que mide la hipotenusa, b partido de h, y por último la tangente

10
00:00:44,200 --> 00:00:50,200
sería a partido de b. Si nosotros queremos demostrar, por ejemplo, la primera de las

11
00:00:50,200 --> 00:00:54,200
fórmulas, pues es claro de las definiciones que acabamos de colocar

12
00:00:54,200 --> 00:01:02,480
aquí, que seno de alfa dividido entre el coseno de alfa sería lo siguiente.

13
00:01:02,480 --> 00:01:08,680
Si nosotros cogemos que el seno de alfa es igual a a partido de h y lo colocamos

14
00:01:08,680 --> 00:01:15,240
aquí, tendríamos que en vez de seno de alfa, pues yo coloco a dividido entre h,

15
00:01:15,400 --> 00:01:22,520
eso dividido entre el coseno de alfa, pues sería ahora

16
00:01:22,520 --> 00:01:27,520
b partido h, es decir, en vez de escribir seno de alfa entre coseno de alfa, yo cojo

17
00:01:27,520 --> 00:01:31,960
mi triángulo y coloco pues estas dos fracciones, que son las definiciones del

18
00:01:31,960 --> 00:01:37,360
seno y el coseno. Bien, si recordamos cómo se dividían

19
00:01:37,360 --> 00:01:42,440
fracciones, resulta que el resultado de esa división será otra

20
00:01:42,440 --> 00:01:47,720
fracción, la cual se obtiene de la forma siguiente. Multiplico a por h y lo

21
00:01:47,720 --> 00:01:54,240
coloco arriba en el numerador, eso me da a por h, y multiplico h por b y lo coloco

22
00:01:54,240 --> 00:02:00,280
en el denominador. Lo puedo escribir así también, b por h o h por b, y eso sería

23
00:02:00,280 --> 00:02:08,040
lo que me resultaría. Puedo simplificar la fracción, entonces podría simplificar h

24
00:02:08,040 --> 00:02:15,560
arriba y abajo, y me quedaría entonces que ese cociente da a partido por b, pero

25
00:02:15,560 --> 00:02:20,560
justamente a partido por b es la tangente de alfa, de manera que tengo

26
00:02:20,560 --> 00:02:25,720
justamente lo que quería, es decir, he empezado

27
00:02:26,160 --> 00:02:30,200
calculando seno de alfa dividido entre el coseno de alfa, y después de un

28
00:02:30,200 --> 00:02:34,440
desarrollo en el que todos los pasos son ciertos, pues he llegado a que es igual a

29
00:02:34,440 --> 00:02:40,600
la tangente de alfa, por lo tanto pues he demostrado la primera de las relaciones.

30
00:02:42,960 --> 00:02:48,320
Vamos a por la segunda. La segunda relación nos dice que seno al

31
00:02:48,320 --> 00:02:55,400
cuadrado de alfa más coseno al cuadrado de alfa es igual a 1. Nosotros lo que

32
00:02:55,400 --> 00:02:58,320
vamos a hacer es partir del seno al cuadrado de alfa más coseno al cuadrado

33
00:02:58,320 --> 00:03:05,080
de alfa, ir sustituyendo y ver si efectivamente da 1 o no. Bien, sustituimos el

34
00:03:05,080 --> 00:03:11,000
seno al cuadrado de alfa por lo que debe ser, que sería a partido h elevado al

35
00:03:11,000 --> 00:03:17,640
cuadrado más, y ahora colocamos en vez del coseno de alfa al cuadrado, pues

36
00:03:17,640 --> 00:03:23,480
colocamos b partido por h al cuadrado, es decir, hemos sustituido por su valor.

37
00:03:23,480 --> 00:03:28,840
Si ahora elevamos al cuadrado, la fracción pues sería el cuadrado del

38
00:03:28,840 --> 00:03:33,160
numerador dividido entre el cuadrado del denominador, en ambos casos, en los dos

39
00:03:33,160 --> 00:03:37,840
sumando, y puesto que estas fracciones tienen el mismo denominador, podemos sumar

40
00:03:37,840 --> 00:03:43,200
los numeradores y nos quedaría entonces arriba a cuadrado más b cuadrado y abajo

41
00:03:43,200 --> 00:03:50,400
h cuadrado. Bien, ¿cuál sería ahora el resultado de sumar a al cuadrado más b al

42
00:03:50,400 --> 00:03:59,240
cuadrado? ¿Cuál sería el resultado de eso? Pues, por el teorema de Pitágoras, a

43
00:03:59,240 --> 00:04:03,720
cuadrado más b cuadrado justamente vale lo mismo que h al cuadrado. Recordemos

44
00:04:03,720 --> 00:04:07,560
el teorema de Pitágoras, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al

45
00:04:07,560 --> 00:04:12,160
cuadrado de la hipotenusa. Por tanto, a cuadrado más b cuadrado valdría h al

46
00:04:12,160 --> 00:04:19,160
cuadrado y nos quedaría entonces que esa fracción sería igual a esta. Claro, h al

47
00:04:19,200 --> 00:04:23,000
cuadrado dividido entre h al cuadrado es un número, dividido entre el mismo

48
00:04:23,000 --> 00:04:28,040
número, pues daría 1. Vemos entonces cómo la segunda fórmula es cierta, pues

49
00:04:28,040 --> 00:04:31,440
hemos partido de seno al cuadrado de alfa más coseno al cuadrado de alfa y hemos

50
00:04:31,440 --> 00:04:35,000
llegado a que eso tiene que valer 1.

51
00:04:37,320 --> 00:04:43,480
De acuerdo, vamos ahora a demostrar la tercera de las relaciones trigonométricas

52
00:04:43,480 --> 00:04:50,920
fundamentales. La tercera se obtiene a partir de la segunda. A partir de la

53
00:04:50,920 --> 00:04:56,400
segunda, si dividimos esa igualdad entre el coseno al cuadrado de alfa,

54
00:04:56,400 --> 00:05:01,400
tendríamos lo siguiente. Nosotros escribimos, esa sería seno al cuadrado de

55
00:05:01,400 --> 00:05:05,440
alfa más coseno al cuadrado de alfa igual a 1, esa es la igualdad. Si dividimos

56
00:05:05,440 --> 00:05:10,040
tanto un miembro como otro entre el coseno al cuadrado de alfa y ahora lo

57
00:05:10,040 --> 00:05:13,800
desarrollamos, puesto que partimos de una igualdad cierta, pues llegaremos a

58
00:05:13,800 --> 00:05:18,960
otra igualdad cierta. Aquí hay que tener un poco la precaución de comprobar que

59
00:05:18,960 --> 00:05:24,360
el coseno al cuadrado de alfa no es nunca cero y efectivamente, si lo

60
00:05:24,360 --> 00:05:27,640
pensamos un poquito, pues veremos que para los ángulos con los que estamos

61
00:05:27,640 --> 00:05:34,400
trabajando es así, pero efectivamente el coseno al cuadrado de alfa pues no vale

62
00:05:34,440 --> 00:05:40,040
cero. Bueno, si ahora colocamos la igualdad un

63
00:05:40,040 --> 00:05:45,320
poquito mejor, vamos a ir separando convenientemente de el primer miembro,

64
00:05:45,320 --> 00:05:49,360
vamos a colocar separado seno al cuadrado de alfa dividido entre el coseno al

65
00:05:49,360 --> 00:05:54,080
cuadrado de alfa más coseno al cuadrado de alfa dividido entre el coseno al cuadrado de alfa.

66
00:05:54,080 --> 00:05:59,280
Es decir, hemos escrito esa suma de fracciones de otra manera

67
00:05:59,280 --> 00:06:02,760
y nos vamos a fijar en que 1 partido el coseno al cuadrado de alfa es

68
00:06:02,800 --> 00:06:09,720
justamente, por la propia definición, pues la secante al cuadrado de alfa, puesto que

69
00:06:09,720 --> 00:06:14,560
1 partido coseno es la secante, pues 1 partido coseno al cuadrado de alfa pues

70
00:06:14,560 --> 00:06:18,000
es la secante al cuadrado. Ya vamos viendo un poco por donde va la

71
00:06:18,000 --> 00:06:23,880
fórmula, ¿verdad? Si ahora nos fijamos aquí, tenemos que seno al cuadrado

72
00:06:23,880 --> 00:06:29,480
dividido entre el coseno al cuadrado es justamente igual que, por la fórmula

73
00:06:29,480 --> 00:06:34,040
primera, es justamente igual que la tangente al cuadrado de alfa, puesto que

74
00:06:34,040 --> 00:06:37,840
seno al cuadrado entre el coseno al cuadrado, pues sería la tangente al

75
00:06:37,840 --> 00:06:44,120
cuadrado y coseno al cuadrado entre el coseno al cuadrado, pues como un número

76
00:06:44,120 --> 00:06:51,040
entre otro igual, pues eso es 1. De manera que hemos llegado a la tercera

77
00:06:51,040 --> 00:06:55,640
de las relaciones trigonométricas fundamentales

78
00:06:59,480 --> 00:07:02,880
y la cuarta, bueno, pues se demostraría de una forma parecida, como hemos

79
00:07:02,880 --> 00:07:07,040
demostrado la tercera, pero en vez de dividir la igualdad entre el coseno al

80
00:07:07,040 --> 00:07:12,480
cuadrado, pues se divide entre seno al cuadrado. Eso no lo vamos a hacer aquí, pero

81
00:07:12,480 --> 00:07:16,720
podéis intentar hacerlo vosotros en vuestro cuaderno.