1 00:00:00,690 --> 00:00:06,910 En el siguiente vídeo vamos a ir realizando poco a poco varios ejercicios del tema de probabilidad. 2 00:00:07,250 --> 00:00:12,330 Os recomiendo que cojáis lápiz y papel porque vamos a hacer los ejercicios entre todos. 3 00:00:13,269 --> 00:00:28,289 En el primer ejercicio me dicen, en las elecciones al consejo escolar en un instituto se sabe que la probabilidad de que una madre acuda a votar es del 0,28. 4 00:00:28,289 --> 00:00:43,829 La probabilidad de que vote un padre es 0,21 y la del voto de los dos es 0,15. Me piden la probabilidad de los siguientes casos. Lo primero que tengo que hacer es definir los sucesos. 5 00:00:43,829 --> 00:01:02,399 vamos a poner que A es votar la madre, vota madre, B vota padre, por ejemplo, y sé que hay un último suceso, que es la de que voten los dos, 6 00:01:03,000 --> 00:01:13,879 pero este suceso no hace falta que lo defina. Ahora vamos a ver por qué. Mirad, si pongo los datos del problema, la probabilidad de que acude a la madre es 0,28, 7 00:01:13,879 --> 00:01:21,540 esto se traduciría a probabilidad de A 0,28, ¿verdad? Si la probabilidad de que vote el 8 00:01:21,540 --> 00:01:30,640 padre es 0,21, pues la probabilidad de B es 0,21. Y ahora os pregunto, ¿la probabilidad 9 00:01:30,640 --> 00:01:39,219 de qué suceso sería el 0,15? Según me dicen en el enunciado es que voten los dos. Entonces 10 00:01:39,219 --> 00:01:48,739 ahora pensad si esto sería la unión o la intersección. Efectivamente es la probabilidad 11 00:01:48,739 --> 00:01:54,620 de la intersección, porque me están diciendo que voten los dos, es decir, los dos a la 12 00:01:54,620 --> 00:02:01,519 vez, que vote la madre y que vote el padre. Es por eso que es la probabilidad de la intersección. 13 00:02:02,439 --> 00:02:08,680 Perfecto, pues vamos ya al asunto y vamos a resolver la probabilidad del apartado A. 14 00:02:08,680 --> 00:02:27,360 Ahí lo que me piden en el apartado A es la probabilidad de que vote al menos uno de los dos. Bueno, pues este suceso nosotros también lo podemos definir con una operación de los sucesos que he definido. 15 00:02:27,360 --> 00:02:49,620 ¿Qué operación es? Pensad, probabilidad de que al menos uno de los dos vote. Pues efectivamente es la probabilidad de A unión B. ¿Por qué? Porque en este caso o sucede de A, es decir, que vota la madre, o sucede B. 16 00:02:49,620 --> 00:02:53,759 Pero siempre al menos uno de los dos vota, ¿de acuerdo? 17 00:02:54,759 --> 00:03:06,960 Bueno, pues en este caso, yo con todos los datos que tengo para calcular justamente la probabilidad de la unión, lo que tengo que aplicar es una de las propiedades de la probabilidad. 18 00:03:07,620 --> 00:03:12,099 ¿Sabéis cuál es? En el caso de que sepáis cuál es, os animo a que pongáis la fórmula. 19 00:03:12,099 --> 00:03:30,849 Efectivamente la fórmula me decía que era probabilidad de A más probabilidad de B menos probabilidad de A intersección B y todas estas probabilidades las tengo. 20 00:03:30,849 --> 00:03:53,840 Entonces, si yo sustituyo, miro a ver qué probabilidad me da. Efectivamente sería 0,28, 0,21 menos 0,15. Todo esto da 0,34. 21 00:03:53,840 --> 00:03:57,340 Perfecto, vamos a por el apartado B 22 00:03:57,340 --> 00:04:03,000 En el apartado B me dicen que no vote ninguno de los dos 23 00:04:03,000 --> 00:04:04,740 No vote ninguno de los dos 24 00:04:04,740 --> 00:04:08,680 Es decir, que no puede votar la madre y no puede votar el padre 25 00:04:08,680 --> 00:04:10,659 ¿Cuál sería este suceso? 26 00:04:14,080 --> 00:04:18,879 Perfecto, en este caso me están pidiendo la probabilidad del suceso 27 00:04:18,879 --> 00:04:22,620 Contrario de A porque no vota la madre 28 00:04:22,620 --> 00:04:37,660 Y intersección contrario de B porque no vota el padre. En este caso se me tiene que encender la bombillita y recordar unas leyes. ¿Qué leyes tengo que recordar? 29 00:04:37,660 --> 00:05:06,699 Bueno, efectivamente tengo que recordar las leyes de Morgan, en el que, bueno, según las leyes de Morgan, la intersección de los contrarios es justamente un suceso contrario, el contrario en este caso de la unión, es decir, si yo tengo los dos sucesos contrarios pero intersecados, vale, esto sería lo mismo que el suceso contrario a la operación que no es la intersección, es decir, la unión, vale. 30 00:05:06,699 --> 00:05:15,480 Y por las propiedades de la probabilidad, yo sé que esto de aquí es justamente la probabilidad total menos la probabilidad de la unión. 31 00:05:19,139 --> 00:05:29,620 Como esto ya lo tengo por el apartado A, esto sería 1 menos 0,34, pues exactamente 0,66. 32 00:05:30,920 --> 00:05:33,860 Perfecto. Vamos a por el apartado C. 33 00:05:34,540 --> 00:05:38,800 En el apartado C me piden que únicamente vote la madre. 34 00:05:38,800 --> 00:05:49,600 Claro, todo el mundo diría, bueno, pues eso no es la probabilidad de A. Pues no, porque en la probabilidad de A, en el suceso A, puede ocurrir también que vote el padre. 35 00:05:50,339 --> 00:05:57,379 Y por tanto, lo que tengo que hacer es justamente a este suceso quitarle la parte que tiene con B. 36 00:05:57,379 --> 00:06:25,560 Esta probabilidad sería la probabilidad de la operación diferencia, restarle el suceso A al B, pero a hechos de probabilidad esto se traduce por efectivamente la probabilidad de A menos la probabilidad de la parte que compartan A y B. 37 00:06:25,560 --> 00:06:31,639 No puedo quitar todo el suceso B porque todo el suceso B no tiene por qué estar contenido en A. 38 00:06:31,939 --> 00:06:34,939 Solamente tengo que quitar la parte que tienen en común. 39 00:06:36,579 --> 00:06:49,660 Esto también lo conozco, me lo dan desde el enunciado, sería 0,28 menos 0,15 y da exactamente 0,13. 40 00:06:50,800 --> 00:06:54,379 Bueno, como podéis ver, este primer problema ha sido fácil. 41 00:06:54,379 --> 00:07:05,420 Vamos a seguir con otros problemas. Por ejemplo, en este otro ejercicio vamos a utilizar y a trabajar con la probabilidad condicionada. 42 00:07:05,819 --> 00:07:19,759 Me comentan, en una ciudad el 35% de los ciudadanos utiliza el metro al menos una vez al día, el 24% usa el autobús y un 15% ambos medios de transporte. 43 00:07:19,759 --> 00:07:37,480 Pues lo primero que tenemos que hacer efectivamente es definir los sucesos. Por ejemplo, si yo decido que A sea el suceso, pues bueno, como estoy viendo que uno es autobús, voy a llamar utiliza el autobús a la. 44 00:07:37,480 --> 00:07:42,459 utiliza autobús 45 00:07:42,459 --> 00:07:46,220 sería al menos una vez al día 46 00:07:46,220 --> 00:07:48,360 pero bueno, esto ya lo vamos a suponer 47 00:07:48,360 --> 00:07:53,420 y M vamos a poner utiliza metro 48 00:07:53,420 --> 00:07:55,420 y así yo creo que me aclaro mejor 49 00:07:55,420 --> 00:07:57,279 ¿de acuerdo? 50 00:07:57,939 --> 00:07:59,579 bueno, pues como antes 51 00:07:59,579 --> 00:08:01,899 este 35% 52 00:08:01,899 --> 00:08:04,819 que son los ciudadanos que utilizan el metro 53 00:08:04,819 --> 00:08:06,139 al menos una vez al día 54 00:08:06,139 --> 00:08:08,839 supondría que la probabilidad de M 55 00:08:08,839 --> 00:08:32,759 es 0,35, como un 24% utiliza el autobús y un 15% ambos medios de transporte, pues ya directamente la probabilidad de A es 0,24 y por último la probabilidad de E me intersecciona 0,15. 56 00:08:33,600 --> 00:08:41,360 Claro, si utilizamos medios de transporte, lo que me están dando es la probabilidad de la intersección, como hemos visto en el ejercicio anterior. 57 00:08:42,200 --> 00:08:42,559 ¿De acuerdo? 58 00:08:43,240 --> 00:08:47,240 Me dicen, si elige una persona al azar, calcula la probabilidad de que. 59 00:08:47,879 --> 00:08:50,259 Bueno, pues vamos a hacer exactamente lo mismo. 60 00:08:51,759 --> 00:08:54,500 Use el autobús si se sabe que coge el metro. 61 00:08:55,200 --> 00:09:01,500 Este, si se sabe que coge el metro, por supuesto, es una probabilidad condicionada. 62 00:09:01,500 --> 00:09:24,870 ¿Qué probabilidad condicionada es? Me están pidiendo que calcule la probabilidad de qué sabiendo qué. Efectivamente la probabilidad de A sabiendo M. Y esto por definición es muy fácil, sería la probabilidad de la intersección partido la probabilidad de la condición. 63 00:09:24,870 --> 00:09:46,929 Vale, en este caso 0,15 partido 0,35. Vale, esto daría 0,42857. Sería esta probabilidad. La verdad es que este apartado A ha sido bastante fácil. 64 00:09:46,929 --> 00:09:59,470 Vamos a ver qué ocurre con el apartado B. En el apartado B también me piden otra probabilidad condicionada. Me dicen que sabiendo que montan el metro no utilice el autobús. 65 00:09:59,470 --> 00:10:26,179 A ver, ¿podríais decirme cuál es la probabilidad que me piden y cómo puedo calcularla? Efectivamente, la probabilidad sería el contrario a utilizar autobús, porque la probabilidad que me piden realmente es la de que no utilice el autobús, pero es una probabilidad condicionada, ya que sé que es una persona que monta en el metro. 66 00:10:26,960 --> 00:10:28,360 ¿Cómo lo calculo esto? 67 00:10:30,659 --> 00:10:40,460 Efectivamente, como arriba sé justamente la probabilidad de alguien que, sabiendo que utiliza el metro, utilice también el autobús, 68 00:10:41,059 --> 00:10:44,460 justamente la probabilidad que me piden ahora es la contraria de la de arriba. 69 00:10:44,940 --> 00:10:55,019 Luego, por las propiedades de la probabilidad, probabilidad total 1 menos la probabilidad de que utilice el autobús sabiendo que utiliza el metro. 70 00:10:55,019 --> 00:11:13,500 Como esta probabilidad la tengo arriba, sería justamente 1 menos este resultado que me ha dado en el apartado A y justamente es 0,57143. Esta sería la probabilidad del apartado B. 71 00:11:13,500 --> 00:11:30,960 Vamos al apartado C. En el apartado C lo que me piden es que no utilice ni el metro ni el autobús. ¿Cuál es la probabilidad que me están pidiendo? La probabilidad de que suceso. Plantea el suceso e intenta resolverlo. 72 00:11:33,269 --> 00:11:39,950 Efectivamente me están pidiendo que no utilice el metro y no utilice el autobús. 73 00:11:41,350 --> 00:11:45,889 Y esto nos recuerda mucho al ejercicio que hemos hecho en primera instancia. 74 00:11:46,730 --> 00:11:53,730 Por las leyes de Morgan esto sería la probabilidad del suceso contrario a utilizar el metro o el autobús. 75 00:11:53,730 --> 00:12:05,330 Y, bueno, pues al ser un suceso contrario, puedo decir que es la probabilidad total menos la probabilidad de la unión, de esa unión. 76 00:12:06,049 --> 00:12:17,129 Y esto, pues sería la probabilidad total menos, voy a utilizar la propiedad de la probabilidad que me dice cuál es la probabilidad de esta unión. 77 00:12:17,129 --> 00:12:26,429 Pues es la probabilidad de que utilice el metro más la probabilidad de que utilice el autobús menos la probabilidad de la intersección. 78 00:12:26,909 --> 00:12:30,610 Y todas estas probabilidades me las dan en el enunciado. 79 00:12:31,529 --> 00:12:41,090 Sería 1 menos 0,35 más 0,24 menos la intersección 0,15. 80 00:12:41,090 --> 00:12:47,450 El resultado final es 0,56. 81 00:12:48,789 --> 00:12:54,929 Perfecto. Vamos a ir a un último problema en el que repasemos el teorema de Bayes. 82 00:12:55,669 --> 00:13:01,669 Por ejemplo, el ejercicio 102. En el ejercicio 102 tenemos una partición bien clara. 83 00:13:02,470 --> 00:13:05,429 Tres máquinas A, B y C fabrican tornillos. 84 00:13:05,429 --> 00:13:11,850 En una hora la máquina A produce 600 tornillos, de los cuales el 1% es defectuoso. 85 00:13:12,549 --> 00:13:21,190 La máquina B produce 300 y el 2% es defectuoso y la máquina C produce 100, de ellos el 3% es defectuoso. 86 00:13:22,289 --> 00:13:27,490 En cada hora se juntan los tornillos producidos y se elige uno al azar. 87 00:13:29,070 --> 00:13:35,190 Vamos a empezar primero a definir los sucesos que voy a utilizar. 88 00:13:35,429 --> 00:14:01,129 Por supuesto, el tornillo que yo elijo, pues puede pertenecer a la máquina A, ¿vale? Vamos a poner únicamente máquina A. B, la máquina B, el tornillo pertenece a la máquina B. Y C, pues el tornillo pertenece a la máquina C. 89 00:14:01,129 --> 00:14:11,149 Perfecto, ¿qué es lo que me van a preguntar? Pues seguramente lo que me van a preguntar es si este tornillo está defectuoso 90 00:14:11,149 --> 00:14:20,399 Recomiendo que si estáis en un examen esto, por favor, lo desarrolléis como Dios manda 91 00:14:20,399 --> 00:14:24,740 Vamos a hacer el diagrama de árbol que aclara bastante 92 00:14:25,120 --> 00:14:28,440 Bueno, la partición del espacio claramente viene aquí 93 00:14:28,440 --> 00:14:43,200 Porque este tornillo que yo he elegido sabemos que o pertenece a la máquina A o a la máquina B o a la máquina C. ¿Con qué probabilidad? Bueno, pues es muy fácil. Pensad un poquito. 94 00:14:43,200 --> 00:14:58,889 Efectivamente, cada hora se producen 600, 300 y 100, es decir, 600 más 300 más 100, 1000 tornillos. 95 00:14:58,889 --> 00:15:13,990 De los cuales 600 son de la máquina A, es decir, 600 de 1000 da un total de una probabilidad de 0,6 de que sea el tornillo fabricado por la máquina A. 96 00:15:13,990 --> 00:15:25,610 0,3 vale la probabilidad de que sea fabricado por la máquina B y por último 0,1 de que sea fabricado por la máquina C. 97 00:15:26,110 --> 00:15:32,730 Por ejemplo, ¿por qué este 0,1? Pues porque solo son, aquí lo tenemos, 100 tornillos de 1000. 98 00:15:32,730 --> 00:15:53,750 ¿De acuerdo? Perfecto. En la máquina, chicos, la probabilidad de que sea defectuoso también me la dicen porque me dicen que el 1% son defectuosos. Pues defectuosos el 1%, pues no defectuosos justamente la probabilidad contraria. 99 00:15:53,750 --> 00:16:15,090 Es decir, total menos la inicial. Uy, acabo de ver un fallo. El 1% no es 0,1. Cuidado con esto. Es 0,01 y por tanto la probabilidad contraria sería 0,99. 100 00:16:15,090 --> 00:16:36,309 En el caso de la máquina B, los tornillos también pueden ser defectuosos o no. Defectuosos lo son, me lo dice el enunciado, el 2%, es decir, no os confundáis como antes, 0,02 y el otro 0,98. 101 00:16:36,309 --> 00:16:53,509 Y por último, en la máquina C, defectuosos son el 0,03 y no defectuosos 0,97. Es lógico que la probabilidad de que sean defectuosos sea baja. 102 00:16:54,309 --> 00:17:02,470 ¿De acuerdo? Vamos a ver qué es lo primero que me piden. En el apartado A me piden la probabilidad de ser defectuoso. 103 00:17:02,470 --> 00:17:11,910 Bueno, ¿podríais decirme qué teorema voy a utilizar? Muy bien, el teorema de la probabilidad total. 104 00:17:11,910 --> 00:17:38,349 En este caso, lo que voy a hacer es ir moviéndome por cada una de las particiones. Por ejemplo, voy a elegir el camino de la máquina A y sabiendo que es de la máquina A ser defectuosos, máquina B y sabiendo que es de un tornillo de la máquina B ser defectuosos, máquina C y lo mismo ser defectuosos. 105 00:17:38,349 --> 00:18:01,210 Esto se traduciría, tenemos que ser capaces de poner la fórmula a la fórmula de la probabilidad total, ya lo hemos dicho, que sería probabilidad de A por probabilidad de ser un tornillo defectuoso sabiendo que es de la máquina A, más probabilidad de B por probabilidad de ser defectuoso sabiendo que es de B, 106 00:18:01,210 --> 00:18:06,029 más por último probabilidad de ser un tornillo de la máquina C 107 00:18:06,029 --> 00:18:09,089 por la probabilidad de ser defectuoso 108 00:18:09,089 --> 00:18:11,829 sabiendo que provengo de la máquina C 109 00:18:11,829 --> 00:18:15,210 y todas estas probabilidades las conozco 110 00:18:15,210 --> 00:18:17,490 las he reflejado en el diagrama de árbol 111 00:18:17,490 --> 00:18:18,890 esto sería 112 00:18:18,890 --> 00:18:23,369 bueno, os animo a que lo hagáis primero vosotros 113 00:18:23,369 --> 00:18:26,529 y a ver si os da lo mismo que me da a mí 114 00:18:26,529 --> 00:18:30,690 0,6 por 0,01 115 00:18:30,690 --> 00:18:52,009 más 0,3 por 0,02 más 0,1 por 0,03. El resultado total daría exactamente 0,015. 116 00:18:54,150 --> 00:18:59,690 Perfecto. Vamos a ver qué probabilidad me piden en el apartado B. En el apartado B me pide una 117 00:18:59,690 --> 00:19:05,769 probabilidad condicionada, ya que yo conozco la condición de que haya sido fabricado por 118 00:19:05,769 --> 00:19:13,869 la máquina C, perdón, al revés, lo que sé es que es defectuoso. Aquí está. Lo de 119 00:19:13,869 --> 00:19:18,329 que haya sido fabricado por la máquina C es la probabilidad que me piden. Esto lo tenemos 120 00:19:18,329 --> 00:19:28,150 que tener muy claro. Entonces voy a borrar este apartado, por ejemplo, para poder hacer 121 00:19:28,150 --> 00:19:34,089 sitio y seguir. A ver, en el apartado B, como hemos dicho, la probabilidad condicionada 122 00:19:34,089 --> 00:19:48,029 que me piden es efectivamente la probabilidad de C sabiendo que es defectuoso. Aquí tengo 123 00:19:48,029 --> 00:19:57,609 que utilizar el teorema de Bayes, aunque bueno, el teorema de Bayes no deja de ser una aplicación 124 00:19:57,609 --> 00:20:01,569 de la definición de probabilidad condicionada. 125 00:20:02,329 --> 00:20:05,990 Mirad, ya sabemos que por la definición de probabilidad condicionada 126 00:20:05,990 --> 00:20:12,230 arriba tendría que dividir la probabilidad de C intersección D. 127 00:20:13,230 --> 00:20:18,529 Lo único que en este caso, el teorema de Bayes, no lo escribo así, 128 00:20:19,369 --> 00:20:26,509 sino que deduzco esta intersección utilizando que la probabilidad de la intersección 129 00:20:26,509 --> 00:20:39,789 sería lo mismo que el tornillo haya sido fabricado por la máquina C y además sea defectuoso sabiendo que ha sido fabricado por la máquina C. 130 00:20:40,269 --> 00:20:42,950 Esto sería exactamente lo mismo que la intersección. 131 00:20:43,890 --> 00:20:51,450 Y esta intersección, esta probabilidad de la intersección que voy a desarrollar así, lo tendría que dividir entre la probabilidad de la condición, 132 00:20:51,450 --> 00:20:55,190 que en este caso es lo que sé que es defectuoso. 133 00:20:55,190 --> 00:21:13,789 Aquí abajo en el teorema de Bayes tendría que desarrollar toda la fórmula de la probabilidad total. No lo voy a hacer porque ya lo he hecho en el apartado A. En el apartado A he desarrollado y me había dado que era 0,015 la probabilidad. 134 00:21:13,789 --> 00:21:34,589 Y aquí arriba, estas dos probabilidades, cuyo producto sería la probabilidad de la intersección, también las conozco, la probabilidad de ser fabricado por la máquina C es 0,1 y sabiendo que he sido fabricado por esa máquina, ser defectuoso sería 0,03. 135 00:21:34,589 --> 00:21:56,369 Bueno, el resultado de todas estas operaciones es 0,2, así que la probabilidad de que el tornillo sea fabricado por la máquina C sabiendo que es defectuoso, bueno, pues es 0,2, que la verdad es que no es una probabilidad bastante grande. 136 00:21:57,369 --> 00:22:02,910 También tenemos que tener en cuenta que la producción de tornillos con esa máquina es muy baja. 137 00:22:04,589 --> 00:22:10,349 Bueno, espero que os haya aclarado este vídeo 138 00:22:10,349 --> 00:22:12,470 todas las dudas sobre 139 00:22:12,470 --> 00:22:13,309 probabilidad.