1 00:00:00,370 --> 00:00:09,349 Vamos a ver el último caso de funciones racionales, que es cuando el denominador nos va a dar raíces complejas, ¿vale? 2 00:00:09,750 --> 00:00:23,800 Vamos a resolver x cuadrado menos 2x más 5 igual a 0, resolvemos la ecuación, x igual a menos b más menos raíz cuadrada de b cuadrado que es 4, 3 00:00:23,800 --> 00:00:28,019 menos 4ac es menos 20 4 00:00:28,019 --> 00:00:29,339 partido de 2a 5 00:00:29,339 --> 00:00:35,100 esto es 2 más menos la raíz de menos 16 6 00:00:35,100 --> 00:00:37,100 partido por 2 7 00:00:37,100 --> 00:00:39,679 en los reales no tiene solución 8 00:00:39,679 --> 00:00:40,820 pero en los complejos sí 9 00:00:40,820 --> 00:00:44,479 la solución sería 2 más menos 4i 10 00:00:44,479 --> 00:00:45,960 partido de 2 11 00:00:45,960 --> 00:00:47,659 o lo que es lo mismo 12 00:00:47,659 --> 00:00:50,240 1 más menos 2i 13 00:00:50,240 --> 00:00:52,939 entonces, ¿qué vamos a hacer cuando al resolver 14 00:00:52,939 --> 00:00:59,280 o sea, al calcular las raíces del denominador en una función racional, lo que obtenemos son números complejos. 15 00:00:59,799 --> 00:01:01,840 Vale, pues no nos tenemos que asustar. 16 00:01:02,619 --> 00:01:08,760 Lo que vamos a hacer es transformar esta ecuación, perdón, esta integral en la suma de dos integrales. 17 00:01:09,359 --> 00:01:13,859 Una va a ser una integral logarítmica y la otra va a ser un arco tangente. 18 00:01:14,640 --> 00:01:20,879 Vale, entonces, para poder llegar, o sea, para poder hacer eso, tenemos que recordar una serie de cosas, 19 00:01:20,879 --> 00:01:25,019 de conceptos, una sobre los números complejos que no sé si 20 00:01:25,019 --> 00:01:29,400 lo visteis el año pasado o no, pero hacéis un acto de fe 21 00:01:29,400 --> 00:01:32,299 es decir, voy a poner otro color, si tenemos la ecuación 22 00:01:32,299 --> 00:01:37,359 ax cuadrado más bx más c 23 00:01:37,359 --> 00:01:41,340 igual a cero y al resolverlo obtenemos 24 00:01:41,340 --> 00:01:44,439 las soluciones conjugadas alfa 25 00:01:44,439 --> 00:01:48,420 soluciones complejas conjugadas alfa más beta por y 26 00:01:48,420 --> 00:02:17,740 Entonces lo que ocurre es que el polinomio ax cuadrado más bx más c se podía factorizar como a por todo el a que multiplica x menos la parte real que es alfa al cuadrado más la parte imaginaria al cuadrado. 27 00:02:18,419 --> 00:02:23,180 ¿Vale? No sé si esto lo visteis el año pasado o no, pero hacemos el acto de fe. 28 00:02:23,759 --> 00:02:28,759 En nuestro caso el polinomio que tenemos es mónico, es decir, es cuando el coeficiente principal es 1, 29 00:02:29,500 --> 00:02:37,379 y en este caso si a es igual a 1, lo que obtenemos es que x cuadrado más bx más c 30 00:02:37,379 --> 00:02:45,039 es simplemente igual a x menos alfa al cuadrado más beta, ¿vale? Al cuadrado. 31 00:02:45,039 --> 00:02:50,599 Bien, pues esto es lo que vamos a utilizar por un lado para transformarlo en un arco tangente 32 00:02:50,599 --> 00:02:58,039 Porque voy a poner aquí a la derecha, vamos a poner lo que era el arco tangente 33 00:02:58,039 --> 00:03:06,419 Voy a ver si me lo sumo y luego me lo pega, me lo ha cogido muy abajo 34 00:03:06,419 --> 00:03:10,439 Vale, aquí ya lo tenía escrito 35 00:03:10,439 --> 00:03:17,520 Bien, pues a ver, la integral de u' diferencial de x partido por a cuadrado más u cuadrado 36 00:03:17,520 --> 00:03:19,840 Es justamente un arco tangente 37 00:03:19,840 --> 00:03:24,080 Fijaos, aquí en el denominador que tengo a cuadrado más u cuadrado 38 00:03:24,080 --> 00:03:27,139 Que es un poco lo que acabamos de poner aquí 39 00:03:27,139 --> 00:03:30,639 Bueno, pues en estas cosas, en las dos partes que he escrito en verde 40 00:03:30,639 --> 00:03:36,780 Es en lo que nos vamos a basar para resolver estas integrales cuando tenemos raíces complejas 41 00:03:36,780 --> 00:03:40,360 Pero para llegar a ello tenemos que jugar un poquito 42 00:03:40,360 --> 00:03:43,319 ¿Cómo vamos a jugar? Bueno, pues por un lado, lo primero 43 00:03:43,319 --> 00:03:49,219 Vamos a transformarlo, hemos dicho que va a ser un logaritmo y un arco tangente 44 00:03:49,219 --> 00:03:55,780 Para un logaritmo, si mi denominador es x cuadrado menos 2x más 5 45 00:03:55,780 --> 00:04:00,039 Yo arriba, para que sea un logaritmo, necesito tener la derivada 46 00:04:00,039 --> 00:04:03,460 La derivada es 2x menos 2, ¿vale? 47 00:04:03,939 --> 00:04:05,520 Pero lo que tengo es un más 1 48 00:04:05,520 --> 00:04:08,620 Bueno, pues jugamos como hacíamos con los límites 49 00:04:08,620 --> 00:04:13,680 he puesto un menos 2, pues sumo un más 2, y así es como si no hubiera hecho nada, 50 00:04:14,139 --> 00:04:18,620 y que tengo que añadir el más 1 que teníamos, diferencial de x. 51 00:04:20,040 --> 00:04:26,420 Y ahora esto me queda integral de, lo voy a dividir en dos sumandos, 52 00:04:27,420 --> 00:04:35,360 por un lado el 2x menos 2, partido por el x cuadrado menos 2x más 5, ¿vale? 53 00:04:35,360 --> 00:04:41,639 más el otro sumando, que voy a poner lo que me falta, 54 00:04:42,060 --> 00:04:47,199 o sea, lo que no he puesto, este más 1 y el más 2, que hace un 3, 55 00:04:48,019 --> 00:04:54,540 partido de x cuadrado menos 2x más 5, diferencial de x. 56 00:04:55,480 --> 00:04:57,139 Y entonces, ¿qué hemos transformado? 57 00:04:57,139 --> 00:05:00,899 La primera función que teníamos, la función racional inicial, 58 00:05:01,420 --> 00:05:02,699 en una suma de dos fracciones. 59 00:05:02,699 --> 00:05:20,680 El primer sumando es un logaritmo, que es lo que lo hemos transformado igual, así, lo voy a poner aquí abajo, esto es el logaritmo neperiano de x cuadrado menos 2x más 5, ¿vale? 60 00:05:21,240 --> 00:05:24,319 Para eso nos hemos inventado ese menos 2 que no teníamos. 61 00:05:24,519 --> 00:05:29,699 ¿Y qué me queda después? Pues más 3 veces la integral de ¿quién? 62 00:05:30,120 --> 00:05:35,480 El 3 lo he sacado fuera, ¿vale? Para que me quede 1 partido de este denominador, 63 00:05:35,660 --> 00:05:41,259 pero en lugar de poner este denominador vamos a aplicar esta formulita, ¿vale? 64 00:05:41,259 --> 00:05:48,459 Es decir, aquí hemos calculado la raíz y ahora lo que tengo es que el x cuadrado menos 2x más 5 65 00:05:48,459 --> 00:05:52,939 Lo vamos a factorizar, sabemos quiénes son mi alfa y mi beta 66 00:05:52,939 --> 00:05:55,300 El alfa es 1 y el beta es 2 67 00:05:55,300 --> 00:05:59,740 Lo vamos a poner como x menos parte real al cuadrado 68 00:05:59,740 --> 00:06:03,019 Más la parte imaginaria que es 2 al cuadrado 69 00:06:03,019 --> 00:06:09,459 Y veis que lo que yo acabo de escribir es como la formulita del arco tangente 70 00:06:09,459 --> 00:06:11,259 Que hemos puesto antes 71 00:06:11,259 --> 00:06:14,240 Luego aquí que me queda voy a poner primero el 2 al cuadrado 72 00:06:14,240 --> 00:06:20,540 más el x menos 1 al cuadrado diferencial de x 73 00:06:20,540 --> 00:06:24,699 y justamente es la misma fórmula aplícola del arco tangente 74 00:06:24,699 --> 00:06:27,660 y entonces esto es logaritmo neperiano 75 00:06:27,660 --> 00:06:33,480 de valor absoluto x cuadrado menos 2x más 5 76 00:06:33,480 --> 00:06:39,579 más 3 veces y lo que tengo es el arco tangente 77 00:06:39,579 --> 00:06:43,879 la a vale 2 y la función u es x menos 1 78 00:06:43,879 --> 00:07:00,199 ya que la derivada de x menos 1 es 1, por lo tanto aquí sería el 1 partido por a es dividir por 2 por el arco tangente de la función u que es x menos 1 dividido por a que es 2 más k. 79 00:07:01,079 --> 00:07:07,939 Y ya estaría resuelta. Entonces fijaos que lo que nos hemos basado es en la parte que os he puesto verde. 80 00:07:07,939 --> 00:07:12,180 por un lado en cómo podemos factorizar calculando las raíces complejas 81 00:07:12,180 --> 00:07:16,540 y por otro lado utilizando la integral de un arcotangente.