1
00:00:00,000 --> 00:00:06,520
Aquí tenemos un plano dado en forma general y nuestro objetivo es expresar

2
00:00:06,520 --> 00:00:13,960
el mismo plano pero a través de ecuaciones paramétricas que recordamos

3
00:00:13,960 --> 00:00:19,040
que son ecuaciones de este estilo. Hay varias formas de hacerlo, la primera a

4
00:00:19,040 --> 00:00:22,320
la que vamos a llamar resolver el sistema se basa en observar que aquí

5
00:00:22,320 --> 00:00:28,080
tenemos un sistema de ecuaciones con una sola ecuación y que tiene tres

6
00:00:28,080 --> 00:00:33,760
incógnitas. Si tengo tres incógnitas y una sola

7
00:00:33,760 --> 00:00:39,720
ecuación entonces me hacen falta dos parámetros

8
00:00:39,960 --> 00:00:46,200
así que por ejemplo elegiremos que y sea landa y que zeta sea mu

9
00:00:46,200 --> 00:00:52,760
entonces de la primera ecuación no nos queda más que despejar 2x menos 3

10
00:00:52,760 --> 00:01:00,880
landa más zeta, ya no es zeta, ahora zeta se llama mu, tiene que ser 5 y por lo

11
00:01:00,880 --> 00:01:11,480
tanto x tendrá que ser igual a 5 medios más 3 medios por landa menos un medio

12
00:01:11,480 --> 00:01:18,480
de mu y ya estaría porque lo obtenido aquí es un objeto exactamente de este

13
00:01:18,480 --> 00:01:24,800
tipo. Si lo escribimos con un poco de orden pues observamos que este 5 medios

14
00:01:24,800 --> 00:01:34,600
es p sub 1, aquí como no hay constantes pues son 0, un landa, aquí habría claro

15
00:01:34,600 --> 00:01:41,120
0 landa y aquí habría 0 mu y aquí habría un mu. El segundo método es más

16
00:01:41,120 --> 00:01:45,360
geométrico y consiste en obtener directamente el punto y los dos vectores

17
00:01:45,360 --> 00:01:50,480
necesarios para poder escribir todas estas ecuaciones. Para obtener el

18
00:01:50,480 --> 00:01:55,960
punto pues vamos a la ecuación general que nos han dado y x y z es un punto del

19
00:01:55,960 --> 00:02:00,320
plano si verifica esta ecuación por lo tanto si yo encuentro valores de x y z

20
00:02:00,320 --> 00:02:05,720
que verifiquen la ecuación pues tengo un punto del plano.

21
00:02:05,720 --> 00:02:11,760
¿Cómo voy a proceder entonces? Bueno pues como tengo tres incógnitas y sólo me

22
00:02:11,760 --> 00:02:16,360
hace falta conseguir que encajen puedo inventarme por ejemplo que x sea cero

23
00:02:16,360 --> 00:02:20,520
que y sea cero y z tendrá que ser lo que falte para que se cumpla la ecuación en

24
00:02:20,520 --> 00:02:28,320
este caso 5. Ese es un punto seguro de mi plano.

25
00:02:28,320 --> 00:02:32,040
Por supuesto podría haber inventado cualquier otra cosa por ejemplo podría

26
00:02:32,040 --> 00:02:38,240
haber elegido que y fuera cero que z fuera cero y entonces x sería cinco

27
00:02:38,240 --> 00:02:43,760
medios que por cierto es el punto del plano que se lee aquí.

28
00:02:44,080 --> 00:02:47,520
Bueno basta que nos quedemos con un punto el que hemos obtenido al principio

29
00:02:47,520 --> 00:02:51,880
por ejemplo y que podemos hacer para obtener los vectores directores.

30
00:02:51,880 --> 00:02:55,120
Bueno pues primero hay que recordar que los coeficientes de las variables en

31
00:02:55,120 --> 00:03:01,720
esta ecuación son las coordenadas del vector normal es decir que si este es el

32
00:03:01,720 --> 00:03:08,640
plano y este es el vector normal a él en este caso tendrá coordenadas 2 menos

33
00:03:08,640 --> 00:03:14,040
3 y 1. Aquí estaría mi punto p por ejemplo.

34
00:03:14,040 --> 00:03:19,160
Yo necesito encontrar dos vectores directores del plano independientes que

35
00:03:19,160 --> 00:03:21,960
entonces tienen que ser dos vectores me da igual cuáles que sean

36
00:03:21,960 --> 00:03:27,720
perpendiculares a n así que podemos recurrir al truco habitual para

37
00:03:27,720 --> 00:03:31,480
encontrar valores perpendiculares. Basta conseguir que el producto

38
00:03:31,480 --> 00:03:38,680
escalar entre mi vector v y el vector normal sea cero por ejemplo podría

39
00:03:38,680 --> 00:03:43,880
inventarme que esta coordenada fuera cero y esto fuera 1 y 3 es decir estas

40
00:03:43,880 --> 00:03:48,480
dos cambiadas de orden y una de ellas de signo y para conseguir otro vector

41
00:03:48,480 --> 00:03:52,160
independiente w pues podría repetir el truco pero haciendo cero en otra

42
00:03:52,160 --> 00:03:57,560
coordenada por ejemplo en esta y ahora bastaría que fueran estas otras dos

43
00:03:57,560 --> 00:04:01,360
coordenadas las que invierten su posición y fuera de y cambia una de

44
00:04:01,360 --> 00:04:04,960
ellas de signo. En todo caso podemos comprobar que el producto escalar entre

45
00:04:04,960 --> 00:04:08,720
este vector y este vector es cero y el producto escalar entre este vector y este vector es

46
00:04:08,720 --> 00:04:14,160
cero es decir estos son vectores directores de mi plano.

47
00:04:16,720 --> 00:04:21,680
Bien pues con esta información un punto del plano y los vectores directores del

48
00:04:21,680 --> 00:04:27,360
plano puedo escribir unas ecuaciones paramétricas que tienen siempre esta

49
00:04:27,400 --> 00:04:31,360
estructura de aquí que tenemos que añadir pues en primer lugar las

50
00:04:31,360 --> 00:04:35,840
coordenadas de un punto cualquiera del plano 0 0 5 es el punto que yo había

51
00:04:35,840 --> 00:04:41,760
obtenido como coeficiente de lambda tendré que añadir las coordenadas del

52
00:04:41,760 --> 00:04:50,120
vector v pues en este caso podrían ser más 0 lambda más 1 lambda más 3 lambda

53
00:04:50,120 --> 00:04:55,280
que son estas coordenadas de aquí y de la misma manera procedo con mu y las

54
00:04:55,280 --> 00:05:02,760
coordenadas de w que sería más 3 más 2 y más 0. Puede sorprender al principio

55
00:05:02,760 --> 00:05:06,560
que los dos métodos de resultados aparentemente tan distintos como este y

56
00:05:06,560 --> 00:05:12,440
este pero es que un mismo plano tiene muchas ecuaciones paramétricas porque en

57
00:05:12,440 --> 00:05:19,480
realidad podemos utilizar para el mismo plano multitud de puntos base y multitud

58
00:05:19,480 --> 00:05:24,640
de vectores directores distintos. Parezcan aquí un punto y vectores

59
00:05:24,640 --> 00:05:30,440
directores las ecuaciones paramétricas serán unas ecuaciones correctas.