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00:00:00,000 --> 00:00:12,000
Hola, buenos días a todos. Con este ejercicio vamos a aprender a resolver operaciones con matrices, como puede verse en el apartado A, y también vamos a aprender a calcular la inversa.

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00:00:12,000 --> 00:00:24,000
Es un ejercicio que se presentó el año 2019 en la convocatoria extraordinaria. Se trata de un ejercicio sencillo porque la matriz que se presenta es una matriz de orden 2x2.

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00:00:24,000 --> 00:00:35,000
Lo bueno de este ejercicio es que aparece un parámetro y aprenderemos a resolver operaciones con matrices en las que aparece algún parámetro.

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00:00:35,000 --> 00:00:47,000
Empecemos a resolverlo. Se da una matriz de orden 2x2, la matriz A, que tiene los valores 2, 5A, A y 3. A pertenece a R.

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00:00:47,000 --> 00:00:56,000
Tenemos que determinar los valores del parámetro A para los que se verifica la igualdad. A cuadrado menos 5A igual a menos I, donde I es la identidad.

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00:00:56,000 --> 00:01:01,000
Recordad que A cuadrado es A por A y menos 5A es menos 5 por A.

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00:01:01,000 --> 00:01:27,000
Lo que vamos a hacer es sustituir A por su correspondiente valor y I por su correspondiente valor. A es 2, 5A, A, 3. Esto sería A por A, que sería A cuadrado, menos 5 por la matriz A, que le hemos cambiado por su valor, igual a menos I.

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00:01:27,000 --> 00:01:36,000
Recordad que la matriz I es la matriz identidad, que tiene 1 y 1. Como tiene un valor menos I, hay que cambiar de signo toda la matriz.

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00:01:36,000 --> 00:01:47,000
Recordad que la matriz identidad solo tiene 1 sobre la diagonal principal. Fuera de esa diagonal principal, sus valores son 0.

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00:01:48,000 --> 00:02:04,000
Recordad que para multiplicar matrices se multiplica 1ª fila por 1ª columna, 1ª fila por 2ª columna y se pone aquí. 2ª fila por 1ª columna y se pone aquí. 2ª fila por 2ª columna y se pone aquí.

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00:02:04,000 --> 00:02:24,000
Vamos a hacer el primero. 2 por 2, 4. Más 5A por A, 5A cuadrado. Esto correspondería al primer valor. 1ª fila por 2ª columna, 2 por 5A, 10A. 5A por 3, 15A.

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00:02:25,000 --> 00:02:41,000
Multiplicamos ahora la 2ª fila. A por 2, 2A. 3 por A, 3A. Multiplicamos la 2ª fila por la 2ª columna. A por 5A, 5A cuadrado. 3 por 3, 9.

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00:02:42,000 --> 00:02:56,000
Multiplicamos 5 por cada elemento de la matriz. 5 por 2, 10. 5 por 5A, 25A. 5 por A, 5A. 5 por 3, 15. Igual a lo que ya teníamos.

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00:02:57,000 --> 00:03:10,000
Ahora lo que vamos a hacer es realizar esta operación. Esta matriz, le restamos esta matriz. 4 más 5A cuadrado, le restamos menos 10. 10A más 15A, le restamos 25A.

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00:03:11,000 --> 00:03:24,000
2A más 3A, menos 5A. Y por último restamos 5A cuadrado más 9, menos 15. 5A cuadrado más 9, menos 15. Y lo igualamos a la matriz menos 5.

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00:03:25,000 --> 00:03:40,000
Ahora lo que tenemos que hacer es agrupar un poco cada uno de estos elementos. Y quedaría 5A cuadrado menos 6, 0, 0. 5A cuadrado menos 6, igual a menos 1, 0, 0 y menos 1.

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00:03:40,000 --> 00:03:49,000
Ahora igualamos. Si dos matrices son iguales, este valor tiene que ser igual a este. Este es igual a este. Como sucede, este es igual a este y este es igual a este.

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00:03:50,000 --> 00:03:59,000
Finalmente, llegamos a una ecuación del tipo 5A cuadrado menos 6, igual a menos 1. El menos 6 pasa al otro lado. Quedaría 5, como ponemos aquí.

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00:03:59,000 --> 00:04:09,000
A cuadrado igual a 5 entre 5. A cuadrado igual a 1. A es igual a raíz cuadrada de 1, que es más menos 1. Por lo tanto, la igualdad se verifica.

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00:04:09,000 --> 00:04:18,000
La igualdad A cuadrado menos 5A igual a menos A. Si y solo si. Recordad este símbolo. Si y solo si. A es igual a más menos 1.

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00:04:18,000 --> 00:04:24,000
En el apartado B tenemos que calcular la inversa para un valor concreto de A que nos dan, que es igual a menos 1.

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00:04:24,000 --> 00:04:32,000
Entonces, si esta es la matriz A, lo que tenemos que hacer es sustituir A por menos 1. Entonces, el 2 se queda como está.

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00:04:32,000 --> 00:04:37,000
El 5A sería menos 5. A sería menos 1. Y el 3 sería 3.

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00:04:37,000 --> 00:04:47,000
Para calcular la inversa, recordad que tenemos que utilizar la expresión 1 partido determinante de A por la traspuesta.

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00:04:47,000 --> 00:05:00,000
Tenemos que utilizar esta expresión que os vuelvo a poner aquí. La inversa es 1 partido determinante de A por el adjunto de A traspuesta.

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00:05:00,000 --> 00:05:04,000
Y esa es la expresión que vamos a utilizar para calcular la inversa.

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00:05:04,000 --> 00:05:11,000
Lo primero que hacemos es calcular el determinante de A. El determinante de A es un determinante fácil del 2 por 2, que sería 2 por 3, 6.

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00:05:11,000 --> 00:05:18,000
Tenemos que restarle el resultado de multiplicar menos 1 por menos 5, que sería A5, 6 menos 5, 1.

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00:05:18,000 --> 00:05:21,000
Ya tenemos este valor de aquí, que vale 1.

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00:05:21,000 --> 00:05:28,000
Vamos a calcular cada uno de los adjuntos. Recordad que los adjuntos van asociados cada uno de los elementos de la matriz.

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00:05:28,000 --> 00:05:32,000
Asociado al 2 sería el A1, 1. Asociado al menos 5 sería el A1, 2.

32
00:05:32,000 --> 00:05:36,000
Asociado al menos 1 sería el A2, 1. Y asociado al 3 sería el A2, 2.

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00:05:36,000 --> 00:05:38,000
¿Cómo se calcula esto?

34
00:05:38,000 --> 00:05:44,000
A1, 1 es el adjunto menos 1 elevado a la suma de estos dos valores, 1, 1.

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00:05:44,000 --> 00:05:50,000
Y es el resultado de tachar la fila y la columna en la que aparece el término A1.

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00:05:50,000 --> 00:05:52,000
Luego nos quedaría el determinante de 3.

37
00:05:52,000 --> 00:05:57,000
Esto no es valor absoluto. Esto es determinante. Y el determinante de 3 es 3.

38
00:05:57,000 --> 00:06:01,000
Menos 1 al cuadrado es 1. 1 por 3 es 3.

39
00:06:01,000 --> 00:06:07,000
A1, 2 sería menos 1 elevado a la suma de estos dos. 1 más 2 son 3.

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00:06:07,000 --> 00:06:14,000
Determinante del resultado de tachar la fila y columna en la que está el A1, 2, que sería...

41
00:06:14,000 --> 00:06:17,000
Solamente nos quedaría el menos 1.

42
00:06:17,000 --> 00:06:22,000
Determinante de menos 1, que es menos 1 por menos 1, igual más 1.

43
00:06:22,000 --> 00:06:26,000
Recordad, esto no es valor absoluto, aunque tiene el mismo aspecto.

44
00:06:26,000 --> 00:06:30,000
A2, 1 sería menos 1 elevado a 3.

45
00:06:30,000 --> 00:06:36,000
Valor absoluto del determinante que resulta de tachar la fila y columna está donde está el menos 1.

46
00:06:36,000 --> 00:06:39,000
Y nos quedaría determinante de menos 5.

47
00:06:39,000 --> 00:06:42,000
Menos 1 al cubo sería menos 1, menos 1.

48
00:06:42,000 --> 00:06:47,000
Esto sería menos 5, menos 1 por menos 5, más 5.

49
00:06:47,000 --> 00:06:53,000
Y el A2, 2 sería menos 1 elevado a 4. 2 más 2, 4.

50
00:06:53,000 --> 00:07:01,000
Aquí hay una pequeña errata. Esto es un 4, que sale de sumar 2 más 2.

51
00:07:01,000 --> 00:07:05,000
El resultado no varía, evidentemente, porque es par.

52
00:07:05,000 --> 00:07:07,000
Y entonces sería menos 1 elevado a 4.

53
00:07:07,000 --> 00:07:10,000
Y el resultado de tachar el A2, 2, que es...

54
00:07:10,000 --> 00:07:13,000
El A2, 2 es 3. Tachamos la fila y columna en la que está el A2, 2.

55
00:07:13,000 --> 00:07:17,000
Y nos queda determinante de 2, que es 2. 2 por 1, 2.

56
00:07:17,000 --> 00:07:20,000
Ponemos en la fórmula.

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00:07:20,000 --> 00:07:23,000
A elevado a menos 1 sería 1 partido del determinante de A.

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00:07:23,000 --> 00:07:25,000
El determinante de A era 1.

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00:07:25,000 --> 00:07:30,000
Partid por la traspuesta de la junta, que ya la ponemos directamente.

60
00:07:30,000 --> 00:07:32,000
3, que es el A1, 1.

61
00:07:32,000 --> 00:07:35,000
El A1, 2 es 1. Lo ponemos en la columna.

62
00:07:35,000 --> 00:07:39,000
El A2, 1 es el 5. Y el A2, 2 es el 2.

63
00:07:39,000 --> 00:07:41,000
Y ahora, a continuación, multiplicamos.

64
00:07:41,000 --> 00:07:43,000
No hay que multiplicar nada porque 1 entre 1 es 1.

65
00:07:43,000 --> 00:07:46,000
Y al multiplicar por esto quedaría exactamente igual.

66
00:07:46,000 --> 00:07:48,000
3, 5, 1, 2.

67
00:07:48,000 --> 00:07:53,000
Bueno, espero que os hayáis enterado de este ejercicio.

68
00:07:53,000 --> 00:08:00,000
Y hayáis aprendido a calcular la inversa en una matriz cuadrada de orden 2.

69
00:08:00,000 --> 00:08:03,000
Y también a operar con matrices.