1
00:00:00,180 --> 00:00:05,740
Hola chicos, el motivo de este vídeo es en primer lugar desearos que todos estéis bien

2
00:00:05,740 --> 00:00:12,519
y daros una serie de indicaciones para la siguiente entrega que ya tenéis colgada en el aula virtual.

3
00:00:13,400 --> 00:00:20,460
Os he pedido que dibujéis seis parábolas, seis funciones cuadráticas, estudiando sus características.

4
00:00:21,079 --> 00:00:25,559
Os voy a hacer un ejemplo completo en la pizarra, tenéis que hacer lo mismo con las otras seis.

5
00:00:25,559 --> 00:00:31,920
No hace falta que toméis apuntes porque todo lo que voy a escribir aquí lo tenéis escaneado y colgado ya en el aula

6
00:00:31,920 --> 00:00:34,020
¿Vale? Espero que os haya ido de ayuda

7
00:00:34,020 --> 00:00:39,799
Bueno, en primer lugar, una función cuadrática es una función de esta forma

8
00:00:39,799 --> 00:00:43,039
Igual a x cuadrado más bx más c

9
00:00:43,039 --> 00:00:46,039
Esto nos recuerda a una ecuación de segundo grado

10
00:00:46,039 --> 00:00:50,579
Con la diferencia de que la ecuación de segundo grado está igualada a cero

11
00:00:50,579 --> 00:00:53,039
Y aquí lo tengo igualado a una y

12
00:00:53,039 --> 00:00:56,740
que también lo puedo tener como f de x.

13
00:00:59,359 --> 00:01:01,899
Su representación gráfica es una parábola.

14
00:01:02,119 --> 00:01:06,120
Siempre la a tiene que ser distinto de cero y a, b y c son números reales.

15
00:01:06,400 --> 00:01:08,519
¿Qué significa que la a sea positiva?

16
00:01:08,920 --> 00:01:13,280
Si la a es positiva, la parábola va a tener las ramas hacia arriba, tiene esta forma.

17
00:01:13,760 --> 00:01:18,540
Si a es menor que cero, la parábola tiene esta forma, las ramas hacia abajo.

18
00:01:19,099 --> 00:01:21,760
¿Qué características vamos a estudiar de una parábola?

19
00:01:21,760 --> 00:01:24,140
Vamos a hacer el siguiente ejemplo

20
00:01:24,140 --> 00:01:28,560
Igual a x al cuadrado

21
00:01:28,560 --> 00:01:34,340
x al cuadrado menos 6x más 5

22
00:01:34,340 --> 00:01:36,379
En este ejemplo, ¿qué pasa?

23
00:01:36,900 --> 00:01:38,099
Pues que la a vale 1

24
00:01:38,099 --> 00:01:41,140
Porque es el número que acompaña a x al cuadrado

25
00:01:41,140 --> 00:01:43,379
Como vale 1 y es mayor que 0

26
00:01:43,379 --> 00:01:46,079
Ya sé que mi parábola va a tener esta forma

27
00:01:46,079 --> 00:01:48,840
b vale menos 6

28
00:01:48,840 --> 00:01:51,140
y c vale 5

29
00:01:52,000 --> 00:01:55,900
La primera característica que vamos a estudiar, el dominio de la función.

30
00:01:56,420 --> 00:01:57,959
¿Qué es el dominio de la función?

31
00:01:58,319 --> 00:02:05,079
Ya vimos en el tema anterior que el dominio de una función es el conjunto de números reales,

32
00:02:05,359 --> 00:02:09,159
de números que puede coger la variable independiente, es decir, la x.

33
00:02:09,800 --> 00:02:15,460
Es decir, ¿por qué valores de x puedo yo sustituir aquí para que esto tenga sentido?

34
00:02:15,460 --> 00:02:18,060
A x le puedo dar cualquier valor.

35
00:02:18,060 --> 00:02:25,819
Entonces, como a x le puedo dar cualquier valor, el dominio de esta función serán todos los números reales,

36
00:02:25,879 --> 00:02:31,599
que también se pueden poner en forma de intervalo, como de menos infinito a más infinito.

37
00:02:32,259 --> 00:02:36,800
El siguiente punto que vamos a estudiar son los puntos de corte con los ejes.

38
00:02:37,199 --> 00:02:41,319
Para estudiar los puntos de corte, tengo que estudiar dos casos.

39
00:02:41,979 --> 00:02:46,360
Uno con el eje x y otro con el eje y.

40
00:02:46,360 --> 00:02:56,400
¿Qué pasa con el eje X? Para calcular los puntos con el eje X, siempre voy a tener que imponer que la Y vale 0.

41
00:02:56,520 --> 00:03:02,900
¿Por qué? Porque cuando yo tengo mis ejes coordenados, los puntos de corte con el eje X son los que están aquí.

42
00:03:03,280 --> 00:03:10,039
Entonces, todos los puntos de aquí tienen como coordenada Y 0. Este será el 1, 0, el 2, 0, el 3, 0.

43
00:03:10,039 --> 00:03:18,180
Por eso impongo que la y sea 0. Si impongo que la y sea 0, lo que tengo que hacer es sustituir por 0 el valor de la y.

44
00:03:18,479 --> 00:03:25,020
Entonces tengo 0 igual a x al cuadrado menos 6x más 5.

45
00:03:25,860 --> 00:03:29,439
Y esto es una ecuación de segundo grado completa.

46
00:03:29,439 --> 00:03:59,419
Resuelvo aplicando la fórmula.

47
00:03:59,439 --> 00:04:02,039
6 es 4, partido todo, por 2.

48
00:04:02,479 --> 00:04:04,379
Llegado aquí, tengo dos soluciones.

49
00:04:04,979 --> 00:04:10,099
6 más 4 partido de 2, que son 10 medios, es decir, 5,

50
00:04:10,800 --> 00:04:16,500
y 6 menos 4 partido de 2, 2 partido de 2, que es 1.

51
00:04:17,060 --> 00:04:17,939
¿Eso qué pasa?

52
00:04:17,939 --> 00:04:22,480
Eso que significa que tengo dos soluciones de la ecuación de segundo grado,

53
00:04:23,040 --> 00:04:26,199
por tanto, dos puntos de corte con el eje X.

54
00:04:26,199 --> 00:04:47,920
¿Cuáles son? X, 5 y 0, luego este me lleva al punto 5, 0 y este al punto 1, 0, que cuando los vaya a representar veo que efectivamente esos puntos están en el eje X, ¿vale?

55
00:04:47,920 --> 00:05:07,329
Para calcular el punto de corte con el eje Y, borro aquí, con el eje Y, lo que tengo que hacer es imponer que la X es 0.

56
00:05:07,889 --> 00:05:17,389
Cuando yo impongo que la X es 0, para calcular el punto de corte con el eje Y, lo que hago es imponer que la X es 0.

57
00:05:17,389 --> 00:05:31,629
Entonces, si la x vale 0, sustituyo otra vez en la fórmula y igual a 0 al cuadrado menos 6 por 0 más 5, operando 0 menos 0 más 5, 5.

58
00:05:32,110 --> 00:05:40,470
Obtengo solo un punto de corte. ¿Y cuál es en este caso? Pues la x vale 0, la y vale 5.

59
00:05:41,129 --> 00:05:45,889
Claro, entonces ya tendría el punto 0, 5.

60
00:05:47,389 --> 00:05:50,209
¿Eso está claro? Imagino que sí.

61
00:05:50,910 --> 00:05:55,290
Vale, siguiente característica muy importante es el vértice.

62
00:05:55,509 --> 00:06:02,290
Una parábola siempre tiene un vértice. ¿Qué es el vértice? El punto máximo o el punto mínimo.

63
00:06:02,290 --> 00:06:07,589
¿Cómo se calcula el vértice de una parábola? Pues aplicando la siguiente fórmula.

64
00:06:08,569 --> 00:06:17,319
Para calcular el vértice, la tercera característica va a ser el vértice.

65
00:06:18,199 --> 00:06:21,100
Lo que aplico es la siguiente fórmula.

66
00:06:21,519 --> 00:06:32,220
F menos B partido de 2A, F de menos B partido de 2A.

67
00:06:32,459 --> 00:06:33,839
¿Qué significa eso?

68
00:06:34,339 --> 00:06:50,500
Pues a ver, menos B partido de 2A, a ver, este no vale, menos B partido de 2A, lo tengo aquí, que no lo he borrado,

69
00:06:50,500 --> 00:07:02,240
b es menos 6, entonces menos b, menos menos 6, partido de 2 por 1, 6 partido de 2, que me queda 3.

70
00:07:02,939 --> 00:07:10,579
Entonces tengo que calcular menos b partido de 2a, que ya sé que es 3, y f de ese valor, es decir, f de 3.

71
00:07:10,579 --> 00:07:17,319
Eso es la imagen del 3. ¿Cómo se calcula la imagen del 3? Sustituyendo otra vez en la ecuación.

72
00:07:17,319 --> 00:07:34,699
3 al cuadrado menos 6 por 3 más 5, sustituyo, opero, 3 al cuadrado 9 menos 6 por 3, 18 más 5, 9 menos 18 menos 9, menos 9 más 5, menos 4.

73
00:07:35,399 --> 00:07:42,079
Entonces, ¿cuál es el vértice de mi parábola? Pues el punto 3 menos 4.

74
00:07:42,079 --> 00:07:49,399
Lo podría dibujar, luego lo vamos a hacer mejor, pero el punto 3 menos 4 estaría aquí.

75
00:07:49,660 --> 00:07:53,079
Y ya podemos hacernos una idea de lo que va a hacer esta función.

76
00:07:53,560 --> 00:07:54,959
¿Qué pasa con las parábolas?

77
00:07:55,180 --> 00:07:59,259
Todas las parábolas son simétricas respecto de su eje de simetría.

78
00:07:59,680 --> 00:08:04,959
Es decir, van a tener una recta por la cual van a ser simétricas respecto de ella.

79
00:08:05,199 --> 00:08:10,759
Es decir, los valores que equidistan de esa recta van a tener el mismo valor de la imagen.

80
00:08:10,759 --> 00:08:23,620
¿Cuál va a ser esa recta? Pues el eje de simetría de una parábola se calcula simplemente es la recta que pasa por el vértice

81
00:08:23,620 --> 00:08:37,080
Entonces la recta vertical que pasa por el vértice es x igual a 3, siempre x igual a menos b partido de 2a y ese es el eje de simetría

82
00:08:37,080 --> 00:08:43,940
La siguiente característica que vamos a utilizar es una tabla de valores para poder hacer mejor el dibujo.

83
00:08:44,419 --> 00:08:47,460
Es como se calcula una tabla de valores bien hecha.

84
00:08:48,019 --> 00:08:53,639
Siempre os voy a pedir que el primer valor que escribamos sea el vértice.

85
00:08:54,120 --> 00:09:01,379
Y a partir de ahí le vamos a dar tres valores a la izquierda del vértice y tres valores a la derecha.

86
00:09:01,379 --> 00:09:10,970
A ver, tabla de valores, se puede hacer en horizontal o vertical, ya sabéis

87
00:09:10,970 --> 00:09:14,090
¿Quién pongo en primer lugar? El vértice

88
00:09:14,090 --> 00:09:18,370
¿El vértice quién era? El 3 menos 4

89
00:09:18,370 --> 00:09:25,350
Ahora, ¿qué hago? Darle valores 3 a la derecha del vértice y 3 a la izquierda del vértice

90
00:09:25,350 --> 00:09:29,730
Si el vértice empezaba en el 3, 3 valores a la derecha

91
00:09:29,730 --> 00:09:45,909
serán el 4 el 5 y el 6 4 5 y 6 tres valores a la izquierda del vértice 2 1 y 0 2 1 y 0 y como

92
00:09:45,909 --> 00:09:53,970
calculó esa tabla de valores sustituyendo en la ecuación sustituyó el 4 4 al cuadrado menos 6

93
00:09:53,970 --> 00:10:05,669
por 4 más 5, 16 menos 20 más 5, 16 menos 20 menos 4, menos 4 más 5, 1. Y así sucesivamente

94
00:10:05,669 --> 00:10:12,750
con todos. Si recordáis, el 5 era un punto de corte y ya sabía que su imagen era el

95
00:10:12,750 --> 00:10:24,730
0, para el 6, me das, y haces los cálculos, 5, para el 2, menos 3, para el 1, 0, y para

96
00:10:24,730 --> 00:10:30,490
el 0, 5, estos serán también puntos de corte, pues que hago ahora para representar mi parábola,

97
00:10:31,009 --> 00:10:41,700
dibujar todos esos puntos, lo voy a hacer más grande, hago los ejes coordenados, y dibujo

98
00:10:41,700 --> 00:10:53,799
el 3 menos 4 1 2 3 menos 4 1 2 3 4 ese punto va a ser el vértice el 4 1

99
00:10:53,799 --> 00:11:01,100
no tengo aquí el 50

100
00:11:01,100 --> 00:11:08,820
no puede ser que la imagen de 4 es el menos 3 a veces hemos hecho 4 cuadrado

101
00:11:08,820 --> 00:11:11,360
Menos 6 por 4 más 5

102
00:11:11,360 --> 00:11:14,740
16 menos 6 por 4 son 24

103
00:11:14,740 --> 00:11:19,159
16 menos 24 más 5

104
00:11:19,159 --> 00:11:21,379
16 y 5, 21

105
00:11:21,379 --> 00:11:23,159
21 menos 4, menos 3

106
00:11:23,159 --> 00:11:23,860
¿Habéis visto?

107
00:11:24,399 --> 00:11:26,460
Me he dado cuenta que me he equivocado

108
00:11:26,460 --> 00:11:29,059
Porque me quedaba aquí el 5, 0

109
00:11:29,059 --> 00:11:30,799
Esto no puede ser una parábola

110
00:11:30,799 --> 00:11:33,019
Me repaso y me he dado cuenta

111
00:11:33,019 --> 00:11:35,220
De que el que estaba mal

112
00:11:35,220 --> 00:11:37,899
Era este

113
00:11:37,899 --> 00:11:58,720
Entonces ya dibujo el 4 menos 3, el 5, 0, el 6, 5, el 2 menos 3, el 1, 0 y el 0, 5.

114
00:11:59,279 --> 00:12:06,320
Y ahora ¿qué tengo que hacer? Unir esos puntos, pero siempre prolongando porque la parábola es infinita.

115
00:12:07,100 --> 00:12:10,639
Uno los puntos y tengo aquí mi parábola.

116
00:12:10,639 --> 00:12:14,240
¿Qué era eso del eje de simetría que os estaba intentando explicar?

117
00:12:14,899 --> 00:12:19,940
El eje de simetría es una recta vertical que pasa justo por el vértice

118
00:12:19,940 --> 00:12:22,200
¿Qué significa eje de simetría?

119
00:12:22,659 --> 00:12:29,120
Pues que los puntos que equidistan de esa recta, es decir, los que están a la misma distancia, tienen el mismo valor

120
00:12:29,120 --> 00:12:35,440
Si os dais cuenta aquí, este punto está a la misma distancia que este del vértice

121
00:12:35,440 --> 00:12:36,919
Entonces tienen el mismo valor

122
00:12:36,919 --> 00:12:41,779
Estos dos puntos están a dos unidades del eje de simetría

123
00:12:41,779 --> 00:12:43,759
Por tanto, tienen el mismo valor

124
00:12:43,759 --> 00:12:48,200
Estos dos puntos están a tres unidades del eje de simetría

125
00:12:48,200 --> 00:12:49,659
Tienen el mismo valor

126
00:12:49,659 --> 00:12:54,019
Es decir, el eje de simetría lo que significa es que si yo cojo mi función

127
00:12:54,019 --> 00:12:58,480
Y la doblo por esta recta, las dos partes coinciden

128
00:12:58,480 --> 00:13:03,580
¿Vale? Pues una vez que tenemos el dibujo, seguimos estudiando características

129
00:13:03,580 --> 00:13:08,679
La siguiente que os pido es el recorrido o imagen de una función.

130
00:13:08,919 --> 00:13:15,080
El recorrido de una función era el conjunto de valores que tomaba la variable dependiente.

131
00:13:15,519 --> 00:13:22,879
¿Y cómo se hacía eso? Se representa como imagen de f de x o recorrido de f de x.

132
00:13:23,019 --> 00:13:26,059
Eso es muy fácil, son los valores de y que yo tomo.

133
00:13:26,700 --> 00:13:32,779
¿Cuál es el valor más pequeño que toma mi función? Este, que correspondía al menos 4.

134
00:13:32,779 --> 00:13:38,100
Entonces parto del menos 4 y luego toma todos los valores que hay por encima

135
00:13:38,100 --> 00:13:43,720
Entonces el recorrido desde menos 4 cerrado a más infinito

136
00:13:43,720 --> 00:13:45,759
Aquí lo dejamos el último día de clase

137
00:13:45,759 --> 00:13:47,720
¿Qué significa el corchete?

138
00:13:47,720 --> 00:13:52,720
Que el menos 4 está menos 4 cerrado a más infinito

139
00:13:52,720 --> 00:13:54,059
¿Vale?

140
00:13:54,580 --> 00:13:56,059
Siguiente característica

141
00:13:56,059 --> 00:14:01,580
Quiero que me digáis cuando crece y cuando decrece la función

142
00:14:01,580 --> 00:14:08,519
Esta del recorrido era la 6, si no recuerdo mal, esta la 7

143
00:14:08,519 --> 00:14:11,679
¿Cuándo crece y cuándo decrece la función?

144
00:14:12,240 --> 00:14:17,340
¿Cuándo crece? Cuando si yo tiro una pelota, yo si pongo una pelota en este extremo

145
00:14:17,340 --> 00:14:22,259
¿Qué pasa? Que la pelota baja, decrece hasta este punto

146
00:14:22,259 --> 00:14:25,019
A partir de aquí vuelve a crecer

147
00:14:25,019 --> 00:14:29,039
¿Desde dónde crece? Desde aquí en adelante

148
00:14:29,039 --> 00:14:32,659
El crecimiento, la monotonía, siempre se mira desde el eje x.

149
00:14:33,120 --> 00:14:36,559
Este punto, ¿a qué x correspondía? Al 3.

150
00:14:36,960 --> 00:14:41,440
Entonces crece desde 3 a más infinito.

151
00:14:41,580 --> 00:14:45,379
Siempre abiertos, porque en un punto una función ni crece ni decrece.

152
00:14:46,019 --> 00:14:49,120
¿Cuándo decrece? Cuando baja la pelota.

153
00:14:49,519 --> 00:14:53,799
Y baja desde aquí hasta aquí, que también corresponde con el 3.

154
00:14:53,799 --> 00:15:01,879
Y este valor, como esto crece tanto como yo quiera, proviene de menos infinito, de menos infinito a 3.

155
00:15:03,139 --> 00:15:09,740
Otra característica, los extremos. ¿Qué son los extremos? Pues decir si la función tiene algún máximo o algún mínimo.

156
00:15:10,039 --> 00:15:15,019
¿Qué va a ser un máximo? Cuando la función pasa de ser creciente a decreciente.

157
00:15:15,159 --> 00:15:19,980
¿Cuándo tendrá un mínimo? Al revés, cuando la función pasa de decreciente a creciente.

158
00:15:19,980 --> 00:15:44,559
¿Esta función tiene alguna cosa de esas? Sí, esto, eso es un mínimo, luego esta función presenta un mínimo, ¿en qué punto? Hay que decir las dos coordenadas, en el vértice, ¿y quién era el vértice? X3 y menos 4, ese es el mínimo y ya me queda solo lo de la simetría que ya lo he dicho,

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00:15:44,559 --> 00:15:54,240
esta función es simétrica respecto de su eje de simetría, respecto de la recta x igual a 3,

160
00:15:54,519 --> 00:16:02,980
y la última, que es una función continua, y simplemente a este nivel tenéis que saber que una función es continua

161
00:16:02,980 --> 00:16:12,039
si yo la puedo dibujar sin levantar el boli del papel, esta parábola yo la puedo dibujar sin levantarlo,

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00:16:12,039 --> 00:16:14,159
Entonces, es una función continua.

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00:16:15,080 --> 00:16:22,139
Pues nada, estas son las 10 características que quiero que me pongáis en los 6 ejemplos que tenéis colgados en el aula virtual.

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00:16:22,879 --> 00:16:27,360
Espero que sean los últimos ejercicios que os mande y que podamos vernos muy pronto.

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00:16:27,659 --> 00:16:28,399
Venga, ánimo.