1
00:00:00,430 --> 00:00:12,730
Hola chicas, hola chicos. Vamos a demostrar esta fórmula que hemos utilizado que nos sirve para resolver indeterminaciones del tipo 1 elevado a infinito.

2
00:00:13,070 --> 00:00:24,829
Queremos calcular el límite cuando x tiende a infinito o cuando x tiende a un número de una función elevado a otra y la base tiende a 1 y el exponente tiende a infinito.

3
00:00:24,829 --> 00:00:42,030
¿Vale? Entonces, hemos visto y vamos a demostrar ahora que el límite, bien cuando x tiende a infinito, bien cuando x tiende a un número de f elevado a g, me da lo mismo que e elevado al límite cuando x tiende a infinito a un número de f de x menos 1 multiplicado por g.

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00:00:42,469 --> 00:00:49,450
Y podemos usar esta fórmula para resolver la indeterminación 1 elevado a infinito, que es lo que nos interesa.

5
00:00:49,450 --> 00:01:00,009
Ahora voy a cambiar de color. Indeterminaciones, perdón, voy a poner aquí el lápiz. Esto es indeterminaciones del tipo 1 elevado a infinito.

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00:01:00,729 --> 00:01:15,469
Bueno, entonces, para hacer esto vamos a basarnos en una propiedad que conocemos, que es que el límite cuando x tiende a infinito de 1 más 1 partido por x elevado a x, esto por definición es el número e.

7
00:01:15,469 --> 00:01:34,349
Y en general, si tenemos el límite cuando x tiende a infinito de 1 más 1 partido por una función, que voy a llamar h, elevado a h, y cuando x tiende a infinito, h también tiende a infinito, entonces esto también da el número e.

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00:01:34,349 --> 00:01:39,810
Vamos a poner aquí h de x, h de x, h de x tiende a infinito cuando x tiende a infinito.

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00:01:41,370 --> 00:01:47,969
Entonces vamos a basarnos en esto para transformar nuestra potencia en una cosa que sea similar a esta.

10
00:01:48,709 --> 00:01:55,010
Nosotros partimos de que tenemos, lo voy a hacer solo con el límite, cuando x tiende a infinito, como lo he hecho arriba,

11
00:01:55,170 --> 00:02:02,030
pero si fuera cuando aquí, cuando x tiende a un número, la función tiende a infinito, pues eso también da el número e.

12
00:02:02,030 --> 00:02:08,509
entonces la demostración con x cuando x tiende a un número sería similar

13
00:02:08,509 --> 00:02:12,250
siempre que la función h repito tiende a infinito cuando x tiende a ese número

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00:02:12,250 --> 00:02:18,409
bueno entonces partimos de lo que tenemos que es esto de aquí

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00:02:18,409 --> 00:02:23,729
recordamos que f tiende a 1 y g tiende a infinito que es lo que tenemos puesto arriba

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00:02:23,729 --> 00:02:30,270
vale y vamos a transformar esta potencia que tenemos aquí para que nos salga algo parecido a esto que tenemos aquí

17
00:02:31,030 --> 00:02:37,349
Entonces, ¿qué nos falta? Pues lo primero que nos falta es este, el primer 1 sumando, este de aquí, ¿vale?

18
00:02:37,409 --> 00:02:39,530
Pues eso vamos a ponerlo de la siguiente forma.

19
00:02:39,729 --> 00:02:44,969
Vamos a calcular el límite cuando x tiende a infinito y a la base le sumo y le resto 1.

20
00:02:44,969 --> 00:02:51,849
Si le sumo y le resto 1, pues las cosas se quedan como están, ¿vale?

21
00:02:51,990 --> 00:02:55,210
Bueno, este 1 de aquí va a ser ese 1 de aquí, que ya lo tengo.

22
00:02:55,889 --> 00:03:01,030
Vale, ¿y ahora qué tengo que tener? Fijaros, tengo que tener aquí en la suma un 1 en el numerador.

23
00:03:01,030 --> 00:03:26,729
Pues lo que voy a hacer para eso es que voy a poner en el denominador la inversa de esto que tengo aquí, de f de x menos 1, ¿vale? Y esto lo escribo de esta manera, el límite cuando x tiende a infinito de 1, vamos a poner un paréntesis más grande, bueno, lo voy a dejar así de momento, 1 partido por 1 más, y ahora escribo la inversa de eso que tengo ahí, 1 partido por f de x menos 1.

24
00:03:27,689 --> 00:03:31,490
Vale, fijaros, si yo te hiciera toda esta operación de aquí dentro, ¿vale?

25
00:03:31,590 --> 00:03:33,270
Eso me daría f, ¿vale?

26
00:03:33,270 --> 00:03:37,909
Lo podéis desarrollar si queréis comprobarlo, que eso da f elevado a g de x.

27
00:03:38,770 --> 00:03:41,969
Vale, entonces fijaros, la base ya la tengo escrita de esta manera,

28
00:03:42,189 --> 00:03:45,129
porque esta función, como f de x tiende a 1,

29
00:03:45,949 --> 00:03:49,650
1 menos 1, 0, 1 partido por 0, eso va a tender a infinito, ¿vale?

30
00:03:49,729 --> 00:03:51,870
Igual que la función h, esto tiende a infinito,

31
00:03:52,250 --> 00:03:55,050
y todo esto que tengo en el denominador también tiende a infinito.

32
00:03:55,050 --> 00:03:59,150
lo único que me falta es que en el exponente aparezca la misma función

33
00:03:59,150 --> 00:04:02,590
¿vale? bueno, entonces para eso lo que voy a hacer es

34
00:04:02,590 --> 00:04:07,310
que voy a multiplicar y a dividir el exponente por eso que tengo ahí

35
00:04:07,310 --> 00:04:08,889
por lo que tengo en el denominador

36
00:04:08,889 --> 00:04:11,990
entonces me quedaría el límite cuando x tiende a infinito

37
00:04:11,990 --> 00:04:18,449
de 1 más 1 partido por 1 f de x menos 1

38
00:04:18,449 --> 00:04:22,310
¿vale? el exponente lo voy a multiplicar por esto

39
00:04:22,310 --> 00:04:24,250
para tener lo mismo

40
00:04:24,250 --> 00:04:28,269
¿Vale? Y lo voy a multiplicar por la inversa también

41
00:04:28,269 --> 00:04:34,240
¿Vale? Puedo poner aquí un corchete para que esté más claro

42
00:04:34,240 --> 00:04:38,120
Y por el exponente que ya teníamos, g de x

43
00:04:38,120 --> 00:04:41,779
¿Vale? Aquí he multiplicado por una cosa y su inversa

44
00:04:41,779 --> 00:04:44,120
Con lo cual es lo mismo que si hubiera multiplicado por uno

45
00:04:44,120 --> 00:04:46,819
Pero fijaros, voy a cambiar de color

46
00:04:46,819 --> 00:04:50,079
Ahora, este límite que tengo aquí

47
00:04:50,079 --> 00:04:54,680
¿Vale? Eso que tengo ahí es similar a este que tengo aquí

48
00:04:54,680 --> 00:05:02,180
¿Vale? 1 más 1 partido por una función elevado a una función ¿Vale? Así que todo eso da el número e

49
00:05:02,180 --> 00:05:11,100
Entonces ¿Qué me va a quedar? Pues me va a quedar que todo eso es el número e y me queda por calcular el límite de lo que me sobra

50
00:05:11,100 --> 00:05:19,740
Fijaros que es el límite cuando x tiende a infinito de f de x menos 1 por g de x

51
00:05:19,740 --> 00:05:27,240
Y eso es lo que queríamos demostrar, ¿vale? Que también podemos calcular el límite de esa manera y se obtiene el mismo resultado.

52
00:05:28,220 --> 00:05:36,139
En otros vídeos voy a calcular límites de este tipo para funciones concretas utilizando todo este método de demostración.

53
00:05:36,259 --> 00:05:43,180
Lo voy a desarrollar con una función concreta por si lo queréis usar de manera alternativa a esta fórmula que acabamos de ver.

54
00:05:43,319 --> 00:05:47,759
De todas maneras, esos límites siempre se pueden calcular también utilizando esta fórmula.

55
00:05:47,759 --> 00:05:49,920
un saludo, hasta luego