1 00:00:02,740 --> 00:00:12,919 Hola alumnas y alumnos, vamos a explicar con este vídeo cómo se calcula la matriz inversa. 2 00:00:13,519 --> 00:00:21,480 Para calcular la matriz inversa hay que emplear una técnica, que hay que sabérsela, es una fórmula, que hay que sabérsela. 3 00:00:21,739 --> 00:00:27,920 La fórmula está aquí, voy a explicarle un poquito la fórmula y luego la vamos a desarrollar. 4 00:00:28,920 --> 00:00:35,460 En este vídeo sólo voy a explicar cómo se hace, el por qué es así ya lo diremos en clase. 5 00:00:35,979 --> 00:00:43,460 Lo primero que hacemos viendo la fórmula, mirando la fórmula, perdón, es que esto de aquí es un número, 6 00:00:43,460 --> 00:00:53,740 es 1 partido por el determinante de A, y esto que hay aquí, que ahora os puede sonar un poco raro, 7 00:00:54,539 --> 00:00:57,820 menos la T esa, y esto de aquí es una matriz. 8 00:00:57,920 --> 00:01:02,719 así que la matriz inversa de A será un número por una matriz 9 00:01:02,719 --> 00:01:07,540 acordaros que un número por una matriz significa multiplicar cada elemento de la matriz por ese número 10 00:01:07,540 --> 00:01:11,400 bien, esta T de aquí es traspuesta de A, que si sabéis lo que es 11 00:01:11,400 --> 00:01:15,260 y aquí pone adjunto de A que no sabéis lo que es, que ya lo explicaré 12 00:01:15,260 --> 00:01:19,640 entonces lo primero que observamos mirando a este número 1 partido por A 13 00:01:19,640 --> 00:01:23,239 es que para que exista la matriz inversa 14 00:01:23,239 --> 00:01:27,719 para que yo pueda calcular esto de aquí 15 00:01:27,719 --> 00:01:32,219 lo primero es que este número de abajo del denominador no puede ser cero. 16 00:01:33,219 --> 00:01:36,319 Así que esto es lo primero que aprendemos hoy. 17 00:01:37,239 --> 00:01:42,519 Como es tan importante, lo voy a escribir. 18 00:01:43,280 --> 00:01:45,319 Así que, lo más importante. 19 00:01:47,280 --> 00:01:55,159 Existe la matriz inversa de A si el determinante de A no vale cero. 20 00:01:57,170 --> 00:02:00,170 Esto es fundamental para ahora y para siempre. 21 00:02:03,049 --> 00:02:07,150 Bueno, no he dicho, pero lo recuerdo que estamos siempre trabajando con matrices cuadradas, ¿eh? 22 00:02:07,549 --> 00:02:09,590 Si habla de determinante, pues son matrices. 23 00:02:10,069 --> 00:02:11,129 Así que empezamos. 24 00:02:11,650 --> 00:02:18,389 Así que el primer paso para calcular la matriz inversa de una que nos dan es calcular su determinante. 25 00:02:19,449 --> 00:02:25,590 Porque si este determinante sale cero, pues entonces aquí se acababa el problema y se pone notín inversa. 26 00:02:25,590 --> 00:02:26,330 Vamos a ver lo que es. 27 00:02:26,789 --> 00:02:34,469 Entonces, este determinante lo vamos a hacer muy rápidamente, espero no confundirme, y vamos allá. 28 00:02:35,669 --> 00:02:47,110 Así que este determinante sería, a ver, esto sería 0, 0, 0, 0, menos 1, más 3, 2. 29 00:02:47,110 --> 00:02:54,930 Muy bien, como 2 es distinto de 0, ya estoy contento y puedo poner que existe la inversa. 30 00:02:54,930 --> 00:03:28,219 Bueno, vamos al siguiente paso. El siguiente paso, vamos a ver qué tal me apaño con esto. Ahí está. El siguiente paso, sigo, me pongo aquí la matriz. El siguiente paso es calcular la matriz adjunta de A. 31 00:03:28,759 --> 00:03:34,719 Esto es matriz, lo escribo, adjunta de A. 32 00:03:36,080 --> 00:03:38,319 ¿Qué es la matriz adjunta de A? Pues allá vamos. 33 00:03:38,639 --> 00:03:40,520 Una cosa hay que tener en cuenta dos cositas. 34 00:03:41,979 --> 00:03:43,099 Matriz adjunta de A. 35 00:03:44,419 --> 00:03:47,969 Esta es mi matriz. Vaya. 36 00:03:48,569 --> 00:03:50,490 Esta es mi matriz. Vaya. 37 00:03:53,370 --> 00:03:57,250 Lo siento por este vídeo porque está saliendo un poco raro, pero bueno. 38 00:04:03,039 --> 00:04:05,780 Vale. La matriz adjunta de A. ¿Qué es? Pues allá voy. 39 00:04:05,780 --> 00:04:17,850 Mirad, la matriz adjunta de A aquí, o aquí en este banco, aquí, matriz adjunta de A, es un pedazo de matriz, que va a ser también de 3 por 3. 40 00:04:18,709 --> 00:04:26,410 Pues, ¿qué significa adjunta? Significa, vamos a este primer elemento, ahora voy a tener que escribir y borrar, no sé cómo lo voy a hacer porque va a ser complicado. 41 00:04:27,009 --> 00:04:30,189 Me fijo en este primer elemento de aquí, luego lo tengo que borrar, ¿eh? 42 00:04:30,189 --> 00:04:39,629 Entonces quito su fila y su columna, y me queda este determinante de aquí, 0, 1, 1, 1, ¿lo veis? 43 00:04:40,250 --> 00:04:43,029 Y quito esta fila 1 y columna 1, me queda esto. 44 00:04:43,389 --> 00:04:53,029 Vamos al siguiente elemento, es este, el menos 1, lo escribo, lo pongo ahí, menos 1, quito columna 2, fila 1, 45 00:04:53,029 --> 00:05:03,689 Me queda este determinancito. 3, 1, 0, 1. Y si quito este 0, me queda el 3, 0, 0, 1. Muy bien. 46 00:05:04,370 --> 00:05:09,610 Estos determinantes que estoy escribiendo aquí tienen un nombre muy bonito. Se llaman los menores. 47 00:05:10,589 --> 00:05:18,589 Muy bien puesto, porque es de un determinante de 3 por 3. Quitas una fila y una columna y te queda un determinante menor. 48 00:05:18,589 --> 00:05:22,389 Estos determinantes se llaman menores. Pues esto mismo tengo que hacer con todos. 49 00:05:23,870 --> 00:05:29,889 Vamos a ver si... vamos a ver cómo sería este. 50 00:05:30,069 --> 00:05:30,589 Vamos a seguir. 51 00:05:31,329 --> 00:05:32,509 Vamos con este 3 de aquí. 52 00:05:32,629 --> 00:05:36,149 Este 3 que está en la fila 2, columna 1. 53 00:05:36,290 --> 00:05:49,670 Si quito fila 2, columna 1, pues me quedaría, no te confundas, pi, pa, pa, menos 1, 0, 1, 1. 54 00:05:50,110 --> 00:05:51,310 Y así voy haciendo con todos. 55 00:05:51,310 --> 00:05:53,110 Quito esto, 1, 0, 0, 1. 56 00:05:56,459 --> 00:06:04,240 Quito este de aquí, pla, pla, 1, menos 1, 1, menos 1, 0, 1, y me queda la última fila. 57 00:06:04,319 --> 00:06:06,939 Vamos, vamos a seguir, venga, con tranquilidad. 58 00:06:07,560 --> 00:06:19,509 Quitamos este, quito, fila y columna, lo quito y me queda el, menos 1, 0, 0, 1, 59 00:06:19,509 --> 00:06:24,649 Bueno, quito este, 1, 0, 3, 1 60 00:06:24,649 --> 00:06:32,470 Y quito el último, 1, menos 1, 3, 0 61 00:06:32,470 --> 00:06:36,589 Bueno, pues esta matriz no es la matriz adjunta 62 00:06:36,589 --> 00:06:38,529 Y ahora viene lo más importante de todo 63 00:06:38,529 --> 00:06:45,329 La matriz adjunta adquiere mucha importancia 64 00:06:45,329 --> 00:06:47,550 Los signos que hay que poner a estos determinantes 65 00:06:47,550 --> 00:06:49,310 Los signos que tenemos que poner delante 66 00:06:49,310 --> 00:06:51,629 Bueno, pues entonces hay que saberse esto 67 00:06:51,629 --> 00:07:04,769 Los signos van así, lo voy a poner aquí, yo lo llamo el baile de los signos y esto es el primer signo que se pone es más, luego menos, más, menos, más, menos, más, menos, más. 68 00:07:05,949 --> 00:07:17,850 Si la matriz fuera de 2 por 2, siempre el primer signo más, luego ya alternando menos, ya le voy a hacer mal, menos, menos, más. 69 00:07:18,389 --> 00:07:21,209 Y si nos volviéramos locos y nos piden una matriz de 4x4, pues sería 70 00:07:21,209 --> 00:07:26,069 mal, menor, mal, menor, menor, mal, menor, mal, pa, pa. 71 00:07:26,970 --> 00:07:28,730 Bueno, es ir alternando. 72 00:07:28,990 --> 00:07:29,810 Y así podría ser. 73 00:07:30,029 --> 00:07:30,350 Muy bien. 74 00:07:30,850 --> 00:07:33,790 Entonces aquí, estas matrices, estos son los menores, 75 00:07:34,410 --> 00:07:35,610 pues hay que poner un signo adelante. 76 00:07:35,610 --> 00:07:37,589 Hemos dicho, estamos ahora en este. 77 00:07:37,970 --> 00:07:39,230 Nosotros estamos en este caso. 78 00:07:40,509 --> 00:07:41,629 Entonces hay que poner ese signo. 79 00:07:41,930 --> 00:07:43,750 Voy a poner en rojo porque es importantísimo. 80 00:07:43,750 --> 00:07:53,730 Aquí sería más, menos, más, menos, más, menos, más, menos, más. 81 00:07:53,970 --> 00:07:55,670 Esto sí que es la matriz adjunta. 82 00:07:56,269 --> 00:07:59,370 Así que recuerda, la matriz adjunta es la matriz de los menores, 83 00:07:59,949 --> 00:08:03,610 pero esos menores hay que multiplicarlos por más uno o por menos uno, 84 00:08:03,930 --> 00:08:05,589 según nos indique el baile de los signos. 85 00:08:06,550 --> 00:08:08,850 Pues entonces ya aquí ya sí que podemos seguir. 86 00:08:09,790 --> 00:08:11,990 Así que ahora ya vamos rapidito. 87 00:08:11,990 --> 00:08:16,730 y entonces ya ponemos que la matriz adjunta, a ver qué tal estamos de cálculo, 88 00:08:16,990 --> 00:08:21,569 la matriz adjunta de A, vamos a calcularla. 89 00:08:22,170 --> 00:08:23,949 Lo mejor es hacer primero el determinante. 90 00:08:24,050 --> 00:08:28,449 Primer determinante, menos 1, como tiene un más delante, pues se queda con menos 1. 91 00:08:29,050 --> 00:08:32,830 Segundo determinante, 3, como tiene un menos delante, se pone menos. 92 00:08:34,250 --> 00:08:35,649 3 se queda como está. 93 00:08:36,730 --> 00:08:38,909 Menos 1, como tiene un menos, más 1. 94 00:08:40,090 --> 00:08:42,750 1, como tiene un más delante, se queda como está. 95 00:08:43,429 --> 00:08:46,309 1, como tiene un menos delante, menos 1. 96 00:08:46,909 --> 00:08:49,789 Menos 1, como tiene un más delante, menos 1. 97 00:08:50,730 --> 00:08:52,909 1, como tiene un menos delante, menos 1. 98 00:08:54,190 --> 00:08:55,649 3, como tiene un menos delante, menos 3. 99 00:08:55,950 --> 00:08:57,029 Y esta es la matriz adjunta. 100 00:08:59,139 --> 00:09:00,240 Esta es la matriz adjunta. 101 00:09:01,799 --> 00:09:02,000 ¿Vale? 102 00:09:03,600 --> 00:09:05,399 Bueno, ahí lo hemos conseguido, ¿eh? 103 00:09:06,139 --> 00:09:06,500 Vale. 104 00:09:07,679 --> 00:09:08,559 Voy a seguir ahora por aquí. 105 00:09:09,519 --> 00:09:11,519 Punto 3. Voy a seguir por aquí para que se vea bien la pantalla. 106 00:09:11,600 --> 00:09:12,500 Ya tenemos la adjunta. 107 00:09:12,500 --> 00:09:14,500 Bueno, pues ahora hay que hacer... 108 00:09:15,240 --> 00:09:19,740 El paso 3, que lo tenemos ahí, el paso 3, aquí lo voy a poner, 109 00:09:20,720 --> 00:09:24,879 el paso 3 consiste en hallar la traspuesta de la adjunta. 110 00:09:25,419 --> 00:09:28,259 Así que es esta matriz, pero traspuesta. 111 00:09:30,700 --> 00:09:34,159 Acordaos que la t, esto era un defecto de notación, pero se hace así, 112 00:09:34,299 --> 00:09:36,039 no es elevado a t, es traspuesta de la t. 113 00:09:36,820 --> 00:09:39,980 Y entonces era coger la primera fila, menos 1, menos 3, 3, 114 00:09:39,980 --> 00:09:43,480 y ponerla como columna, menos 1, menos 3, 3, como columna. 115 00:09:43,480 --> 00:10:11,559 1, 1, menos 1, como con 1, 1, 1, menos 1, y la última fila, menos 1, menos 1, 3, menos 1, menos 1, 3, muy bien, y entonces ya estamos terminando, ya estamos terminando, porque ahora como terminamos, pues el último paso, ya es poner nuestra formulita, y me dice que la matriz inversa es 1 partido por el determinante de A, por la matriz traspuesta de la junta, 116 00:10:11,559 --> 00:10:21,559 y entonces ya sí, así que ya podemos terminar, es 1 partido por el determinante, el determinante era 2, aquí está, 2, 117 00:10:22,179 --> 00:10:31,860 así que es un medio por, y vuelve a escribir todo, menos 1, 1, menos 1, menos 3, 1, menos 1, 3, menos 1, 3. 118 00:10:33,600 --> 00:10:38,840 Esto se puede dejar así perfectamente, se puede dejar así porque está muy bien indicado. 119 00:10:39,419 --> 00:10:42,320 Ahora, que alguien dice, no, no, profesor, es que yo quiero, quiero, pues escribe la matriz. 120 00:10:42,399 --> 00:10:43,179 Bueno, pues la escribimos. 121 00:10:43,360 --> 00:10:44,620 ¿Quieres multiplicar un número por un medio? 122 00:10:44,700 --> 00:10:47,279 Pues todo, multiplicar cada elemento por un medio. 123 00:10:48,700 --> 00:10:51,440 Bueno, esto nadie lo escribe, pero para que veáis vuestra primera matriz. 124 00:10:53,419 --> 00:10:54,700 Vaya, ¿por qué no escribes? 125 00:11:00,629 --> 00:11:01,230 ¿Algo ha pasado? 126 00:11:01,409 --> 00:11:02,070 ¿Por qué no me escribe? 127 00:11:10,470 --> 00:11:10,850 A ver. 128 00:11:12,029 --> 00:11:21,029 Eh, perdóname, pero bueno. 129 00:11:32,289 --> 00:11:33,210 A ver, ¿qué ha pasado aquí? 130 00:11:39,570 --> 00:11:41,490 Creo que se me ha ido el internet, vaya pena. 131 00:11:41,490 --> 00:11:42,129 Bueno. 132 00:11:42,129 --> 00:11:45,529 Ahora, ahora, ahora, ya ha salido, perdón 133 00:11:45,529 --> 00:11:50,809 Menos tres medios, un medio, menos un medio, ahí lo escribo muy rápido 134 00:11:50,809 --> 00:11:52,850 Tres medios, menos un medio, tres 135 00:11:52,850 --> 00:11:54,649 Pues esta es la matriz inversa 136 00:11:54,649 --> 00:11:57,289 Ya la tenemos aquí, matriz inversa 137 00:11:57,289 --> 00:11:59,409 ¿Qué hacemos ahora si tenemos tiempo? 138 00:11:59,570 --> 00:12:03,870 Pues ahora si tenemos tiempo, cojo la matriz A, la multiplico por la inversa de A 139 00:12:03,870 --> 00:12:05,590 Y me tiene que dar la identidad 140 00:12:05,590 --> 00:12:10,629 Tenéis que fiar porque está bien hecho 141 00:12:10,629 --> 00:12:14,169 Bueno, pues con esto ya está el vídeo terminado 142 00:12:14,909 --> 00:12:19,370 Después de este vídeo vamos a hacer otro a continuación con dos ejemplos más. 143 00:12:19,769 --> 00:12:20,970 Espero que os haya interesado. 144 00:12:21,710 --> 00:12:22,669 Bueno, un saludo.