1 00:00:00,060 --> 00:00:03,560 Grabando. Venga, decía que lo que habíamos hecho en los últimos días 2 00:00:03,560 --> 00:00:08,259 era estudio de funciones y hoy lo que os he preparado, entre otras cosas, 3 00:00:08,460 --> 00:00:11,080 pues es hacer un estudio de una función en concreto, 4 00:00:11,919 --> 00:00:16,120 en la que lo que vamos a intentar va a ser, pues eso, estudiar una serie de cosas 5 00:00:16,120 --> 00:00:18,519 que son las que al final nos van a permitir poder dibujar la función. 6 00:00:19,519 --> 00:00:23,300 Así que venga, vamos a ello, voy a compartir la pantalla y empezamos. 7 00:00:26,320 --> 00:00:30,559 A ver, joder, está... ya. Vale. 8 00:00:32,020 --> 00:00:35,539 Venga, pues la función que yo os propongo es la siguiente. 9 00:00:43,960 --> 00:00:58,420 Venga, os propongo esta de aquí. Voy a copiarla otra vez y si estáis apuntando o estáis haciendo vosotros también a la vez, os propongo que vayáis haciéndolo también. 10 00:00:58,420 --> 00:01:06,980 Entonces, como somos poquitos, vamos, sois dos, podemos ir haciéndolo pues un poco a la vez incluso. 11 00:01:08,579 --> 00:01:12,739 Hay un poco de jaleo hoy aquí, no sé si escucharéis lío, hay una reunión de padres o algo parecido. 12 00:01:13,560 --> 00:01:17,680 Y a ver si veis que hay mucho ruido, me lo decís y cierro ventanas y de todo. 13 00:01:19,060 --> 00:01:20,500 Bueno, esta es la función que yo os propongo. 14 00:01:21,280 --> 00:01:26,640 Cuando hacemos un estudio completo de una función, lo que hacemos es estudiar pues punto por punto 15 00:01:26,640 --> 00:01:32,540 qué es lo que nos permitiría hacer esta función. Entonces, lo primero que vemos aquí es que esta 16 00:01:32,540 --> 00:01:37,859 función tiene un dominio determinado. Así que vamos a calcular el dominio. Voy a ir apuntando, 17 00:01:38,540 --> 00:01:43,879 no sé si lo voy a apuntar al mismo orden en el que lo soléis hacer o no, pero bueno, al final es un 18 00:01:43,879 --> 00:01:49,659 poco hacer todos los pasos necesarios para poder representarla. Vamos a empezar, luego vamos a ir 19 00:01:49,659 --> 00:01:56,620 viendo cómo surgen las cosas. Entonces, lo primero que vamos a intentar apuntar es el dominio. El 20 00:01:56,620 --> 00:02:01,140 El dominio de la función es una función racional compuesta por la división de dos polinomios. 21 00:02:01,859 --> 00:02:09,000 Entonces el polinomio del denominador, es decir, las raíces del polinomio del denominador son aquellos valores que tenemos que excluir del dominio. 22 00:02:09,500 --> 00:02:14,819 Así que el dominio de esta función, bueno, la llamamos f de x y como queráis, la voy a llamar f. 23 00:02:15,659 --> 00:02:24,360 Va a ser todos los números reales menos aquellos valores donde se anula el denominador, las raíces del denominador, que no es muy difícil ver, que son menos rey de 2 y rey de 2. 24 00:02:25,219 --> 00:02:29,060 ¿Qué ponemos? ¿Raíz de 2 o ponemos 1,44 no sé qué, no sé cuánto? 25 00:02:29,379 --> 00:02:33,939 En principio, lo más adecuado, creo yo, es poner este menos raíz de 2 y raíz de 2. 26 00:02:35,020 --> 00:02:42,280 ¿Qué es lo que va a haber en raíz de 2? En x igual a raíz de 2, porque estos son los valores x que vamos a tener para meter dentro de la función. 27 00:02:43,099 --> 00:02:46,400 Lo que vamos a tener en estos dos valores van a ser asíntotas verticales. 28 00:02:47,340 --> 00:02:51,060 Así que empezamos a ver. Lo que ya tenemos vamos a hacer el estudio de asíntotas. 29 00:02:54,090 --> 00:03:02,110 Las asíntotas verticales ya las tenemos, que son la primera en menos raíz de 2 y la segunda en raíz de 2. 30 00:03:02,590 --> 00:03:07,849 Voy a ir haciendo a la vez, yo creo, en GeoGebra voy a ir haciendo las pintaditas. 31 00:03:09,069 --> 00:03:18,729 Así que tendríamos los ejes coordenados, imaginaos, pues en un examen los haríais estos ejes. 32 00:03:18,729 --> 00:03:28,849 Entonces, realmente no hay preguntas tan extensas como esta en una evau, pero sí que partes de lo que vamos a tratar ahora sí que se piden en preguntas de evau de manera concreta. 33 00:03:28,969 --> 00:03:36,669 Nosotros vamos a hacerlo completo, es decir, vamos a hacer toda la representación con unos ejes que tendríamos en el papel o los pintaríamos. 34 00:03:37,310 --> 00:03:46,750 Y entonces vamos a ir apuntando y pintando, yo lo voy a hacer ya digo en GeoGebra, aquellos elementos que me permiten hacer el dibujo de la función completo, que es lo que yo querría hacer en principio. 35 00:03:46,750 --> 00:04:04,270 Entonces voy a apuntar raíz de 2 y menos raíz de 2. Raíz cuadrada en GeoGebra es sqrt, square root sqrt, y ponemos entre paréntesis 2. 36 00:04:05,889 --> 00:04:10,069 No sé si funciona sin paréntesis, pero cuando pones el paréntesis sale la raíz cuadrada, así que lo voy a poner así. 37 00:04:10,069 --> 00:04:15,490 Y estos los voy a poner en verde, por ejemplo. 38 00:04:21,649 --> 00:04:25,350 Todo esto es un poco para ver cómo pensaríamos a la hora de hacer el dibujo. 39 00:04:26,129 --> 00:04:28,329 Y menos raíz de 2 también lo vamos a poner. 40 00:04:28,810 --> 00:04:32,629 Menos rt de 2. 41 00:04:33,990 --> 00:04:35,250 Y este también en verde. 42 00:04:42,839 --> 00:04:50,040 Vale, entonces ya sabemos que ahí lo que vamos a tener es que la función o bien se va a más infinito o bien se va a menos infinito. 43 00:04:50,040 --> 00:04:52,720 que es una cosa que vamos a analizar un poquito después. 44 00:04:54,279 --> 00:04:59,740 Hay ocasiones en las que cuando se estudian asíntotas específicamente se ve por dónde vienen, por dónde van, etc. 45 00:05:00,660 --> 00:05:07,100 Yo en principio lo voy a dejar así y vamos a ir analizando lo que realmente vayamos necesitando un poco a demanda de la función. 46 00:05:08,000 --> 00:05:13,740 Así que por ahora la función tiene que ir a más infinito o menos infinito dentro de estos rangos. 47 00:05:14,379 --> 00:05:15,139 Así que vamos allá. 48 00:05:15,860 --> 00:05:17,019 ¿Qué más cosas podemos ver? 49 00:05:17,019 --> 00:05:19,079 Vamos a ver si tenemos alguna asíntota horizontal. 50 00:05:20,040 --> 00:05:34,120 Las asíntotas horizontales, para ello vamos a calcular el límite cuando x tiende a infinito de la función. 51 00:05:34,639 --> 00:05:40,939 Y no es muy difícil verlo y si no sabéis muy bien cómo se hace, me lo decís. 52 00:05:42,339 --> 00:05:51,079 Sería x al cuadrado. Bueno, esto no haría falta hacerlo porque se ve directamente, pero bueno, es un poquito la manera de explicarlo un poco más detalladamente, aunque no demasiado. 53 00:05:51,079 --> 00:06:10,740 Ya veis que los coeficientes de los términos de mayor grado, primero los grados son los mismos y los coeficientes son 1 partido de 1, entonces ya sabéis que si dividís todos los términos de arriba y abajo entre x al cuadrado, pues nos va a quedar 1 partido de 1 al final, es decir, el límite cuando x tiende a infinito va a ser 1. 54 00:06:11,500 --> 00:06:14,540 Podría distinguir entre más infinito y menos infinito. 55 00:06:15,120 --> 00:06:19,879 Lo que ocurre es que aquí, obviamente, al dividir entre x al cuadrado partido de x al cuadrado, 56 00:06:20,019 --> 00:06:24,160 cuando x es muy grande, ya sea positivo o negativo, el elevado al cuadrado siempre va a ser positivo. 57 00:06:24,759 --> 00:06:30,300 Así que cuando x tiende a infinito tanto por la derecha como por la izquierda, lo que vamos a tener es 1. 58 00:06:30,620 --> 00:06:35,839 Así que la asíntota horizontal la vamos a tener en y igual a 1. 59 00:06:35,839 --> 00:06:39,540 tenemos asíntotas verticales, tengo una asíntota horizontal 60 00:06:39,540 --> 00:06:45,279 voy a ir pintándola y igual a 1 61 00:06:45,279 --> 00:06:49,339 asíntota horizontal, la voy a poner en verde también 62 00:06:49,339 --> 00:06:52,980 vamos a jugar un poquito con los colores para que quede bien claro y luego podamos pintarla 63 00:06:52,980 --> 00:06:57,459 aunque luego también la dibujaremos, claro, para ver si coincide 64 00:06:57,459 --> 00:07:01,379 con lo que estamos haciendo, venga, más cosas que podemos hacer 65 00:07:01,379 --> 00:07:05,459 vamos a estudiar ahora mismo la monotonía, ya sabemos que por la izquierda 66 00:07:05,459 --> 00:07:12,639 por la izquierda tanto como por la derecha va a tender a infinito lo que pasa perdón va a tender 67 00:07:12,639 --> 00:07:17,399 a 1 lo que pasa que yo no sé si tiene por arriba o tiene por abajo pues eso lo que vamos a ir 68 00:07:17,399 --> 00:07:26,139 viendo como lo podemos ver pues podríamos analizar el límite con un bar lo más fácil es seguir 69 00:07:26,139 --> 00:07:31,379 estudiando la monotonía porque si la función no sale creciente desde menos infinito hasta no sé 70 00:07:31,379 --> 00:07:36,339 cuánto, hasta raíz de 2, menos raíz de 2, pues sí que va a ir hacia arriba, porque 71 00:07:36,339 --> 00:07:39,879 no puede cruzar. Se ve que viene desde menos infinito, no va a cruzar a la asíntota, a 72 00:07:39,879 --> 00:07:43,019 no ser que tenga algún máximo o algún mínimo, que es lo que vamos a ver precisamente ahora. 73 00:07:43,959 --> 00:07:48,399 Así que vamos a analizar la monotonía. Bueno, tiene asíntota horizontal, entonces obviamente 74 00:07:48,399 --> 00:07:53,579 las asíntotas oblicuas no existen, no son compatibles asíntotas horizontales con asíntotas 75 00:07:53,579 --> 00:08:03,089 oblicuas. Así que vamos a analizar la monotonía. Vale, siempre se me olvida la función, así 76 00:08:03,089 --> 00:08:07,470 Así que x más 2 al cuadrado partido de x al cuadrado menos 2. 77 00:08:07,529 --> 00:08:08,370 La voy a copiar otra vez. 78 00:08:10,149 --> 00:08:12,269 Vale, voy a poner f de x para poner f' y eso. 79 00:08:14,370 --> 00:08:20,009 x más 2 elevado al cuadrado partido de, creo que era x más 2, no, menos 2. 80 00:08:23,120 --> 00:08:24,600 Vale, entonces vamos a hacer la primera derivada. 81 00:08:25,899 --> 00:08:27,779 Si hacemos la primera derivada, venga, sin equivoc... 82 00:08:27,779 --> 00:08:29,300 Tiene un cuadrado la x del denominador. 83 00:08:29,620 --> 00:08:29,920 ¿Perdón? 84 00:08:30,399 --> 00:08:32,399 Tiene un cuadrado el x del denominador. 85 00:08:32,399 --> 00:08:33,720 Vale, gracias. 86 00:08:33,720 --> 00:08:36,519 Esto me hace ver que estás ahí atento 87 00:08:36,519 --> 00:08:39,320 Me congratula, muchísimas gracias 88 00:08:39,320 --> 00:08:40,820 Creo que eres Benito, ¿verdad? 89 00:08:41,940 --> 00:08:42,179 Vale 90 00:08:42,179 --> 00:08:44,299 Vamos a hacer la derivada 91 00:08:44,299 --> 00:08:46,860 La derivada de una división consiste 92 00:08:46,860 --> 00:08:49,799 No os olvidéis, porque a mí a veces se me olvida algún término 93 00:08:49,799 --> 00:08:51,519 En la derivada del primero por el de abajo 94 00:08:51,519 --> 00:08:53,299 Menos la derivada del de abajo por el de arriba 95 00:08:53,299 --> 00:08:54,799 Partido del de abajo elevado al cuadrado 96 00:08:54,799 --> 00:08:56,580 Así que, sin más 97 00:08:56,580 --> 00:08:58,360 Podríamos desarrollar el numerador 98 00:08:58,360 --> 00:08:59,659 Va a dar exactamente igual 99 00:08:59,659 --> 00:09:02,740 Casi lo voy a poner desarrollado 100 00:09:02,740 --> 00:09:08,100 porque parece que es más claro, ¿no? x al cuadrado más 4x más 4, si no me he confundido. 101 00:09:08,779 --> 00:09:15,139 Así que tendríamos 2x más 4 multiplicado por x al cuadrado menos 2, menos la derivada 102 00:09:15,139 --> 00:09:22,039 de abajo, que sería 2x, que multiplicaría todo el numerador. x al cuadrado más 4x más 103 00:09:22,039 --> 00:09:32,720 4. Vale. Y abajo tendríamos el x al cuadrado menos 2 elevado al cuadrado. Vale. x más 104 00:09:32,720 --> 00:09:41,279 más 2, la verdad es que estoy haciendo, bueno, venga, vamos a desarrollar, estaba buscando 105 00:09:41,279 --> 00:09:51,279 ver si a lo mejor sacando un factor común nos resultaría más fácil, vamos a tirar 106 00:09:51,279 --> 00:09:59,360 así, o sí, venga, voy a intentar hacer, esto sería x más 2 elevado al cuadrado, x más 107 00:09:59,360 --> 00:10:06,139 2 elevado al cuadrado, si no me confundo, esto sería 2 por x más 2, a ver si se puede 108 00:10:06,139 --> 00:10:13,940 hacer un poco más sencillo de esta manera, menos 2x, x más 2 elevado al cuadrado, x 109 00:10:13,940 --> 00:10:18,840 elevado al cuadrado menos 2 elevado al cuadrado, vamos a intentar sacar el factor común x 110 00:10:18,840 --> 00:10:25,519 más 2, a ver si nos apaña algo, y con factor común x más 2 ya voy a desarrollar, es decir, 111 00:10:25,519 --> 00:10:51,889 Voy a extraer un factor común. Esto ya no es más que operativa. He extraído ese factor común, x más 2, y vamos a ver qué queda. 2x al cuadrado menos 4, y ahora el 2x por x más 2. A ver que no me confunda. 2x al cuadrado menos 4x. 112 00:10:51,889 --> 00:10:54,629 bueno, puede que sí que no se facilite las cosas 113 00:10:54,629 --> 00:10:55,830 haber hecho el factor común así 114 00:10:55,830 --> 00:10:58,370 elevado al cuadrado 115 00:10:58,370 --> 00:10:59,889 entonces esto significa, ahora 116 00:10:59,889 --> 00:11:02,529 muchas veces hay la tentación de decir 117 00:11:02,529 --> 00:11:04,710 pues elimino este de aquí arriba 118 00:11:04,710 --> 00:11:06,710 con este de aquí abajo, este de aquí arriba 119 00:11:06,710 --> 00:11:08,809 coño, lo elimino con este 120 00:11:08,809 --> 00:11:09,730 de aquí abajo, pero 121 00:11:09,730 --> 00:11:12,690 el de abajo no va a influir 122 00:11:12,690 --> 00:11:13,750 en el signo 123 00:11:13,750 --> 00:11:16,190 quiero decir, como está al cuadrado 124 00:11:16,190 --> 00:11:18,710 me va a dar igual el signo que haya en el denominador 125 00:11:18,710 --> 00:11:20,169 ese no va a influir para nada, así que 126 00:11:20,169 --> 00:11:51,860 Entonces, por experiencia, antes de hacer esa simplificación, vamos a intentar ver qué es lo que podemos hacer. Esto es, antes de hacer esa simplificación, vamos a ver qué podemos sacar, x más 2, y ahora este 2x al cuadrado se elimina con ese 2x al cuadrado, y quedaría un menos, que voy a poner delante, porque queda menos 4 menos 4x, un 4, es decir, que es como si extrajera un factor común menos 4, 127 00:11:51,860 --> 00:12:04,860 y tendría x más 1, si no me confundo, si es un factor común 4, menos 4 más bien, vale, x al cuadrado menos 2 elevado al cuadrado, vale, perfecto. 128 00:12:06,139 --> 00:12:12,299 Venga, pues entonces, esto es lo que vamos a igualar a 0 para calcular los puntos singulares. 129 00:12:18,190 --> 00:12:23,049 Vale, los puntos singulares los vamos a encontrar haciendo la primera derivada igual a 0. 130 00:12:23,590 --> 00:12:27,809 Esto es, como el numerador ya lo tenemos factorizado, tenemos dos valores que serían singulares, 131 00:12:28,389 --> 00:12:34,909 que serían x1 igual a menos 2 y otro que le vamos a llamar x2 igual a menos 1. 132 00:12:35,529 --> 00:12:41,070 Y conforme a estos vamos a ver el signo que vamos a obtener en los intervalos en los que podemos dividir el dominio, 133 00:12:41,190 --> 00:12:42,389 incluyendo las asíntotas. 134 00:12:43,610 --> 00:12:47,409 Este, como veis, no va a influir en el signo porque este siempre es positivo. 135 00:12:49,779 --> 00:12:53,539 Y este otro siempre es negativo y sí va a influir en el signo. 136 00:12:53,539 --> 00:13:26,710 De hecho nos va a cambiar el signo de todo. Así que vamos a dividir en intervalos el dominio, incluyendo aquellos valores que son asíntotas. Así que menos infinito, vamos hijo, menos infinito, menos 2, recuerdo que las asíntotas estaban en menos raíz de 2 y más raíz de 2, aquí vendría el menos 1, aquí más raíz de 2 y más infinito. 137 00:13:26,710 --> 00:13:56,470 Tenemos todos estos intervalos en los que podemos dividir el dominio, ¿de acuerdo? Y ahora vamos a analizar, por un lado, el signo de la primera derivada y, por otro lado, decir si la función es creciente o decreciente. Así que la primera derivada y aquí la función como tal, vamos a ponerle flechitas para ver si es creciente o decreciente. 138 00:13:56,470 --> 00:14:34,789 Bueno, lo pongo un poquito más arriba para ver el criterio que vamos a seguir para ver los signos. Entonces, fijaos que lo que aquí tenemos es, vamos a pensar con lógica. En los intervalos en los que tengo esto dividido significa que este primero, este primero si quiere pintar el bolígrafo, pinta hijo, vamos, vamos, vamos, vamos, voy a cerrar otra vez y volver a abrir. 139 00:14:34,789 --> 00:14:37,009 a ver qué le pasa a esto 140 00:14:37,009 --> 00:14:51,929 se me ha quedado colgado el equipo 141 00:14:51,929 --> 00:14:54,370 no sé ni siquiera si me estáis 142 00:14:54,370 --> 00:14:55,169 escuchando ya 143 00:14:55,169 --> 00:15:00,700 vale, vale 144 00:15:00,700 --> 00:15:02,759 es que en cuanto empiezas 145 00:15:02,759 --> 00:15:04,539 a hacer todo gráfico y encima grabando 146 00:15:04,539 --> 00:15:06,539 se queda colgado y no pinta el bolígrafo 147 00:15:06,539 --> 00:15:08,279 no responde los controles, bueno 148 00:15:08,279 --> 00:15:11,039 es una mierda esto 149 00:15:11,039 --> 00:15:14,779 decía que vamos a actuar 150 00:15:14,779 --> 00:15:16,559 vamos a pensar un poquito con lógica 151 00:15:16,559 --> 00:15:18,200 x más 2 152 00:15:18,200 --> 00:15:20,840 ese factor va a ser 153 00:15:20,840 --> 00:15:26,860 menor que cero por debajo de menos dos. Es decir, entre menos infinito y menos dos, este 154 00:15:26,860 --> 00:15:31,919 factor va a ser negativo. Estos dos factores que tengo aquí, los voy a poner, los que 155 00:15:31,919 --> 00:15:36,059 ya tenía puestos, los voy a poner en otro color para que quede claro que estos factores 156 00:15:36,059 --> 00:15:40,320 no van a cambiar de signo. Así que este siempre va a ser positivo, este siempre va a ser negativo. 157 00:15:40,879 --> 00:15:44,399 Y ahora estoy analizando el primer intervalo entre menos infinito y menos dos. Entre menos 158 00:15:44,399 --> 00:15:47,960 infinito y menos dos, el primero va a ser negativo siempre. Y el segundo, donde cambio 159 00:15:47,960 --> 00:15:55,740 de signos en menos 1, o sea que también va a ser negativo. Así que si empiezo a multiplicar 160 00:15:55,740 --> 00:15:59,559 signos, el de abajo no influye para nada, menos por menos más por menos menos. Así 161 00:15:59,559 --> 00:16:07,799 que primer intervalo, signo negativo. Significa esto que la función es decreciente. Sin temor 162 00:16:07,799 --> 00:16:14,679 a equivocarnos, vamos a decir que, voy a volver a la función, aunque esto lo analizaremos 163 00:16:14,679 --> 00:17:03,779 luego todo en conjunto. Ya podemos decir aquí, no sé si aquí se puede escribir, creo que no, bueno, ya podemos decir sin temor a equivocarnos, a ver, un momentito, que, a ver si puedo escribir aquí, a ver, esta es la función que estamos pintando, voy a pintarla, voy a pintarrajear un poquito sobre ella, vale. 164 00:17:03,779 --> 00:17:15,140 Bien, lo que vamos a empezar ya a ver es que por la izquierda la función es decreciente hasta llegar a, creo que era menos 2, ¿verdad? 165 00:17:16,279 --> 00:17:17,299 Era menos 2, sí. 166 00:17:18,019 --> 00:17:26,140 Entonces, la función hasta llegar a menos 2 es decreciente, así que si tiende a 1 cuando x tiende a menos infinito, 167 00:17:26,660 --> 00:17:31,839 la función siendo decreciente está claro que va a aproximarse por la izquierda de esta manera. 168 00:17:32,400 --> 00:17:39,279 De alguna forma va a estar por debajo del asíntota ya que es decreciente. 169 00:17:39,420 --> 00:17:42,859 Sería imposible que fuese por encima del asíntota y fuese hacia abajo después. 170 00:17:43,420 --> 00:17:47,539 Así que al ser decreciente ya deducimos que la función va a ir de esta manera. 171 00:17:47,880 --> 00:17:52,599 Luego después analizaremos la concavidad y la convexidad con esta misma función para también hacerlo como ejercicio. 172 00:17:52,599 --> 00:17:54,599 Pero ni siquiera haría falta. 173 00:17:54,740 --> 00:18:00,599 Ya voy viendo que la función va a ser en este caso, vamos a llamar cóncava a esto en este intervalo. 174 00:18:00,599 --> 00:18:02,319 Así que 175 00:18:02,319 --> 00:18:04,180 Vamos a seguir 176 00:18:04,180 --> 00:18:05,259 Siguiente intervalo 177 00:18:05,259 --> 00:18:07,240 Voy a borrar estos verdes que he puesto aquí 178 00:18:07,240 --> 00:18:09,960 Una pregunta, con lo de concavidad-convexidad 179 00:18:09,960 --> 00:18:11,140 Que dijiste 180 00:18:11,140 --> 00:18:13,700 Es que lo dijiste en la clase de mates normales 181 00:18:13,700 --> 00:18:14,259 El otro día 182 00:18:14,259 --> 00:18:17,079 O sea, que si lo entendías de otra manera 183 00:18:17,079 --> 00:18:18,779 ¿Qué pasaba? ¿Que tenías que representarlo? 184 00:18:18,980 --> 00:18:19,960 Sí, siempre ponlo 185 00:18:19,960 --> 00:18:22,940 Esto es lo que yo he visto en el libro 186 00:18:22,940 --> 00:18:24,400 Para mí esto siempre ha sido al revés 187 00:18:24,400 --> 00:18:26,579 Claro, es que en física 188 00:18:26,579 --> 00:18:28,319 Lo estamos dando igual 189 00:18:28,319 --> 00:18:30,440 Que cóncava es, digamos, como un cuenco 190 00:18:30,440 --> 00:18:32,440 y conversa desde otro lado. 191 00:18:33,180 --> 00:18:34,619 Ponerlo de esta manera, ponerlo siempre. 192 00:18:34,779 --> 00:18:36,619 De hecho, en los libros incluso ya lo ponen 193 00:18:36,619 --> 00:18:38,720 y te lo indican, que como no hay un criterio 194 00:18:38,720 --> 00:18:40,599 unificado, que lo que hacemos 195 00:18:40,599 --> 00:18:42,599 es ponerlo. Es decir, la curvatura siempre 196 00:18:42,599 --> 00:18:44,680 escribes el arquito. ¿Qué le llamas 197 00:18:44,680 --> 00:18:46,519 cóncava? Pones un arquito. En realidad, como si 198 00:18:46,519 --> 00:18:48,500 no le llamas nada. Dices, es 199 00:18:48,500 --> 00:18:50,680 así. Esto es lo que 200 00:18:50,680 --> 00:18:52,519 ponen en el libro de mates. Para mí es al revés, 201 00:18:52,779 --> 00:18:54,759 pero como es lo que ponen los libros, últimamente 202 00:18:54,759 --> 00:18:56,180 pues yo lo pongo siempre así. 203 00:18:56,559 --> 00:18:58,759 Pero vamos, siempre indícalo, siempre pon el dibujito ese. 204 00:18:59,460 --> 00:18:59,539 Vale. 205 00:19:00,440 --> 00:19:02,799 dibujito, pero si, o sea, ¿puedo poner el dibujito 206 00:19:02,799 --> 00:19:04,579 así del primero y poner el convexa? 207 00:19:05,259 --> 00:19:06,480 Sí, también, como si 208 00:19:06,480 --> 00:19:08,119 pones al revés, como si 209 00:19:08,119 --> 00:19:10,640 en vez de ponerlo así, lo pones al revés 210 00:19:10,640 --> 00:19:12,559 Vale, o sea 211 00:19:12,559 --> 00:19:13,720 la cosa es que salga el dibujito, ¿no? 212 00:19:13,960 --> 00:19:16,500 Sí, sí, sí, las letras van a dar un poco igual 213 00:19:16,500 --> 00:19:17,400 Vale 214 00:19:17,400 --> 00:19:19,200 Las letras dan exactamente igual 215 00:19:19,200 --> 00:19:22,079 Yo esto creo que lo he hablado con Félix y también lo hemos comentado 216 00:19:22,079 --> 00:19:24,000 que nosotros hemos visto toda la vida 217 00:19:24,000 --> 00:19:26,440 la concavidad y la convexidad de esta manera 218 00:19:26,440 --> 00:19:28,099 esto como convexa 219 00:19:28,099 --> 00:19:29,259 y esto como cóncavo 220 00:19:29,259 --> 00:19:31,819 esto es lo que yo entendería siempre 221 00:19:31,819 --> 00:19:33,500 porque concavo es como un cuenco 222 00:19:33,500 --> 00:19:36,019 pero a lo mejor nos equivocamos 223 00:19:36,019 --> 00:19:37,759 todos porque nos pensamos que la regla 224 00:19:37,759 --> 00:19:39,460 mnemotécnica es así por facilidad 225 00:19:39,460 --> 00:19:40,660 que al final es al revés 226 00:19:40,660 --> 00:19:43,819 no nos liamos más, simplemente lo dibujas 227 00:19:43,819 --> 00:19:44,720 y ya está 228 00:19:44,720 --> 00:19:47,640 el caso es que lo que yo quiero que veáis 229 00:19:47,640 --> 00:19:49,980 es que no haría falta para dibujar esta función 230 00:19:49,980 --> 00:19:51,059 estudiar la curvatura 231 00:19:51,059 --> 00:19:52,960 porque automáticamente nos va a salir 232 00:19:52,960 --> 00:19:54,619 simplemente por lógica 233 00:19:54,619 --> 00:19:56,259 porque no puede ser de otra manera 234 00:19:56,259 --> 00:19:57,980 vamos a seguir 235 00:19:57,980 --> 00:20:15,019 Bien, siguiente intervalo. En el siguiente intervalo, ya a partir de menos 2, ya la primera función, la primera función no, el primer factor, ya va a ser positivo. El siguiente factor no va a ser positivo hasta que no lleguemos a menos 1, así que este va a seguir siendo negativo. 236 00:20:15,019 --> 00:20:19,759 Con lo cual, aquí ya tenemos un positivo y la función vuelve a crecer. 237 00:20:20,200 --> 00:20:22,819 Conclusión, ¿qué es lo que pasa en menos 2? Pues que tenemos un mínimo. 238 00:20:23,559 --> 00:20:29,759 ¿Haría falta hacer la segunda derivada para ver si la segunda derivada evaluada en menos 2 es mayor o menor que 0? 239 00:20:29,859 --> 00:20:30,720 En realidad, no. 240 00:20:31,319 --> 00:20:33,980 Si se pide expresamente a justificarlo, sí se hace. 241 00:20:34,359 --> 00:20:39,220 Pero si no, con las deducciones que estamos haciendo aquí ya es suficiente, porque en menos 2 la función es continua. 242 00:20:40,019 --> 00:20:42,940 Ahora, en menos raíz de 2 tenemos una asíntota vertical. 243 00:20:42,940 --> 00:20:49,980 Eso significa que la función se va a aproximar hacia ella, hacia la asíntota vertical, se va a aproximar hacia arriba, hacia más infinito. 244 00:20:50,480 --> 00:20:56,640 Entonces, ¿deberíamos hacer el límite por la izquierda cuando la función tiende a menor rey de 2 para ver que tiende a más infinito? 245 00:20:57,380 --> 00:21:07,900 Pues no es necesario, porque habiendo hecho el estudio de la monotonía, ya se sobreentiende, si está bien hecho, claro, que la función se va a aproximar hacia más infinito desde la izquierda. 246 00:21:07,900 --> 00:21:10,640 vamos a ver el siguiente intervalo 247 00:21:10,640 --> 00:21:12,319 bueno, si lo queremos pintar aquí 248 00:21:12,319 --> 00:21:14,259 la función ahora a la asíntota 249 00:21:14,259 --> 00:21:15,619 se va a aproximar por aquí 250 00:21:15,619 --> 00:21:20,430 y bueno, aquí lo que tendríamos 251 00:21:20,430 --> 00:21:22,210 que hacer es en menos 2 252 00:21:22,210 --> 00:21:24,109 poner, es aquí 253 00:21:24,109 --> 00:21:26,009 un mínimo, no sé dónde estará 254 00:21:26,009 --> 00:21:27,789 eso luego lo calcularemos, aquí habría un mínimo 255 00:21:27,789 --> 00:21:30,049 entonces bueno, para hacer bien el dibujo 256 00:21:30,049 --> 00:21:32,150 deberíamos ampliarlo un poquito porque entre menos 2 257 00:21:32,150 --> 00:21:33,329 y menos raíz de 2 258 00:21:33,329 --> 00:21:35,950 pues no hay mucho espacio, entonces la función 259 00:21:35,950 --> 00:21:38,269 pues yo que sé, haría algo parecido 260 00:21:38,269 --> 00:21:39,170 a esto por aquí 261 00:21:39,170 --> 00:21:41,549 Pero bueno, eso lo vamos a hacer ahora después 262 00:21:41,549 --> 00:21:44,869 Intentando hacer el dibujo un poquito más ampliado 263 00:21:44,869 --> 00:21:48,369 O sea, dices que tiende a más infinito 264 00:21:48,369 --> 00:21:50,490 Porque, digamos, en el intervalo anterior 265 00:21:50,490 --> 00:21:54,549 Te sale que, o sea, en el intervalo antes del menos raíz de 2 266 00:21:54,549 --> 00:21:56,910 Te sale que va hacia arriba, o sea, que es creciente 267 00:21:56,910 --> 00:21:57,789 Claro, es creciente 268 00:21:57,789 --> 00:22:00,150 Hasta x igual a menos 2 269 00:22:00,150 --> 00:22:02,650 La función es decreciente, va hacia abajo 270 00:22:02,650 --> 00:22:05,390 Y a partir de ahí es creciente 271 00:22:05,390 --> 00:22:09,089 Claro, a partir de ahí hasta llegar a menos raíz de 2 272 00:22:09,089 --> 00:22:30,859 A partir de aquí yo no sé qué es lo que va a pasar, que es lo que vamos a seguir analizando. El primer intervalo sería este de aquí. El primer intervalo sería hasta menos 2. El segundo intervalo es este pequeñito, porque menos 2 está aquí y esto sería menos raíz de 2. 273 00:22:30,859 --> 00:22:49,099 Y el siguiente intervalo sería este. Luego volvemos otra vez a, no sé si era 1 o 2, no me acuerdo ahora. Menos 1. Entonces, antes, no, menos 1, es verdad, ciertamente, es menos 1. Así que el siguiente intervalo tenemos es este pequeñito de aquí, hasta ahí. 274 00:22:49,099 --> 00:22:52,660 entonces, bueno, aquí tendríamos que ampliar un poco para verlo bien 275 00:22:52,660 --> 00:22:54,259 entonces tendríamos el intervalo 276 00:22:54,259 --> 00:22:57,220 el intervalo 1 277 00:22:57,220 --> 00:23:02,000 el segundo intervalo, el tercer intervalo 278 00:23:02,000 --> 00:23:03,819 luego el cuarto y aquí el quinto 279 00:23:03,819 --> 00:23:06,039 y en cada uno de ellos la función va a ir hacia arriba y hacia abajo 280 00:23:06,039 --> 00:23:06,960 y vamos a ir deduciendo 281 00:23:06,960 --> 00:23:10,500 por dónde va la función y qué concavidad, convexidad tiene 282 00:23:10,500 --> 00:23:12,940 en función de si crece o decrece en cada uno de ellos 283 00:23:12,940 --> 00:23:16,059 ahora después ampliamos un poquito y lo vamos viendo un poquito mejor 284 00:23:16,059 --> 00:23:18,019 de hecho lo voy a ir haciendo ya 285 00:23:18,019 --> 00:23:20,460 vamos a ver el siguiente intervalo 286 00:23:20,460 --> 00:23:22,000 Entonces sí, después vamos a ir pintando. 287 00:23:22,720 --> 00:23:27,640 Entre menos raíz 2 y menos 1 realmente no me va a cambiar nada 288 00:23:27,640 --> 00:23:31,359 porque ya estoy viendo que el primer factor, que es x más 2, 289 00:23:31,440 --> 00:23:34,839 hablo del numerador, va a seguir siendo positivo 290 00:23:34,839 --> 00:23:36,420 porque ya nos hemos pasado el menos 2 291 00:23:36,420 --> 00:23:39,319 y a partir del menos 2 ese factor siempre va a ser positivo 292 00:23:39,319 --> 00:23:41,579 y todavía no hemos llegado al menos 1, 293 00:23:41,680 --> 00:23:43,460 que es donde el segundo factor va a cambiar de signo. 294 00:23:43,839 --> 00:23:45,759 Así que el signo va a ser exactamente igual. 295 00:23:46,140 --> 00:23:48,000 Vamos a tener signo positivo. 296 00:23:48,000 --> 00:23:54,059 sí, ¿verdad? entonces la función va a seguir siendo creciente 297 00:23:54,059 --> 00:23:55,960 deducción acerca de esto 298 00:23:55,960 --> 00:23:57,400 y ahora sí que voy a ampliar 299 00:23:57,400 --> 00:23:58,900 para volver a hacer otra copia 300 00:23:58,900 --> 00:24:01,859 y verlo en el dibujo 301 00:24:01,859 --> 00:24:04,730 voy a ampliarlo y de hecho 302 00:24:04,730 --> 00:24:06,029 yo creo que voy a poner 303 00:24:06,029 --> 00:24:07,970 el 2 304 00:24:07,970 --> 00:24:10,609 o sea el menos 2 y el menos 1 305 00:24:10,609 --> 00:24:13,029 no sé qué he hecho 306 00:24:13,029 --> 00:24:15,009 no, me lo he hecho mal, perdón 307 00:24:15,009 --> 00:24:18,009 que no lo veía y he puesto la i 308 00:24:18,009 --> 00:24:20,410 un segundito 309 00:24:20,410 --> 00:24:27,000 era menos 2 310 00:24:27,000 --> 00:24:29,119 este lo vamos a poner un poquito más difuminado 311 00:24:29,119 --> 00:24:31,299 porque aquí lo que va a haber 312 00:24:31,299 --> 00:24:33,579 vaya hombre, aquí lo que va a haber 313 00:24:33,579 --> 00:24:35,680 es un extremo 314 00:24:35,680 --> 00:24:36,119 relativo 315 00:24:36,119 --> 00:24:38,380 era menos 2 316 00:24:38,380 --> 00:24:41,519 y x igual a, quiero recordar 317 00:24:41,519 --> 00:24:42,579 que era menos 1 318 00:24:42,579 --> 00:24:45,599 vale, pues entonces, aquí en estos intervalos 319 00:24:45,599 --> 00:24:47,900 que van a ir indeterminados por estas líneas 320 00:24:47,900 --> 00:24:49,420 las voy a poner ya digo 321 00:24:49,420 --> 00:24:51,500 en otro color, las voy a poner en 322 00:24:51,500 --> 00:24:53,180 gris por ejemplo, un poquito más difuminado 323 00:24:53,180 --> 00:24:54,900 esta 324 00:24:54,900 --> 00:24:56,440 y esta otra 325 00:24:56,440 --> 00:25:01,079 Aquí lo que vamos a tener 326 00:25:01,079 --> 00:25:02,720 Bueno, se ve un poquito 327 00:25:02,720 --> 00:25:06,250 A ver, un poco más oscuro 328 00:25:06,250 --> 00:25:14,069 Lo que vamos a tener en estos intervalos 329 00:25:14,069 --> 00:25:15,410 Es que la función va a ir cambiando 330 00:25:15,410 --> 00:25:17,089 Todavía no sé cuál es el valor del mínimo 331 00:25:17,089 --> 00:25:19,109 Pero en esos intervalos 332 00:25:19,109 --> 00:25:21,210 Entre el menos infinito y el menos 2 333 00:25:21,210 --> 00:25:22,150 La función va para abajo 334 00:25:22,150 --> 00:25:25,170 Entre menos 2 y menos raíz de 2 335 00:25:25,170 --> 00:25:26,150 La función va para arriba 336 00:25:26,150 --> 00:25:28,309 O sea que va a tener un MAC, un mínimo ahí 337 00:25:28,309 --> 00:25:30,509 Y luego va a tender hacia arriba 338 00:25:30,509 --> 00:25:33,210 Hasta ir pegándose a la asíntota 339 00:25:33,210 --> 00:25:35,130 Voy a hacer la copia, que aquí no puedo pintar 340 00:25:35,130 --> 00:26:19,390 Ahora, decía que la función va a venir pegada por aquí, cuando llegue a menos 2, no sé si por debajo o por encima del eje, eso tendríamos que ver ahora después el corte porque no hemos terminado, la función va a venir por aquí, luego va a subir después de hacer un mínimo, veis, en menos 2 va a haber un mínimo, y luego va a subir hacia arriba. 341 00:26:20,349 --> 00:26:23,029 Luego, después va a seguir siendo creciente. 342 00:26:23,230 --> 00:26:23,769 ¿Y qué significa? 343 00:26:24,089 --> 00:26:28,150 Pues que ahora, por la derecha, si hiciéramos el límite cuando x tiende a menos raíz de 2, 344 00:26:28,670 --> 00:26:31,309 vamos a ver, veríamos que es menos infinito. 345 00:26:31,410 --> 00:26:33,569 Es decir, va a volver a subir por aquí. 346 00:26:35,779 --> 00:26:36,700 ¿Qué pasa en menos 1? 347 00:26:36,859 --> 00:26:37,920 Pues eso es a lo que vamos ahora. 348 00:26:38,319 --> 00:26:41,759 ¿Veis? Por ahora ya sé que en el primer intervalo, 349 00:26:42,640 --> 00:26:45,140 desde menos infinito hasta menos 2, la función es decreciente. 350 00:26:45,140 --> 00:26:46,140 Y va a ser... 351 00:26:47,019 --> 00:26:49,880 Joder, qué pesado es esto. 352 00:26:50,759 --> 00:27:01,339 Va a ser así. Después, desde el menos 2 al menos 1,5, la función va a ser así y tendiendo más infinito. 353 00:27:01,980 --> 00:27:10,460 Entre el menos raíz de 2, que es menos 1,4 no sé qué, hasta menos 1, pues la función va a ser de esta manera y creciente. 354 00:27:10,799 --> 00:27:15,180 Entonces, vamos a ver qué pasa a partir de aquí. A ver, este estudio se hace un poquito más deprisa. 355 00:27:15,279 --> 00:27:19,160 Yo lo estoy haciendo muy despacio para hacer todas las explicaciones, pero luego esto es muchísimo más rápido. 356 00:27:19,160 --> 00:27:21,559 entre menos 1 y más raíz de 2 357 00:27:21,559 --> 00:27:23,140 ahora ya tenemos un cambio de signo 358 00:27:23,140 --> 00:27:25,700 porque el x menos 2 va a seguir siendo negativo 359 00:27:25,700 --> 00:27:27,720 y ahora x más 1 360 00:27:27,720 --> 00:27:28,859 a partir de menos 1 361 00:27:28,859 --> 00:27:30,140 ya va a ser positivo 362 00:27:30,140 --> 00:27:33,019 así que volvemos otra vez a cambiar el signo 363 00:27:33,019 --> 00:27:34,180 ahora va a ser negativo 364 00:27:34,180 --> 00:27:36,420 y si es negativo, decreciente 365 00:27:36,420 --> 00:27:37,660 ¿qué pasa en menos 1 entonces? 366 00:27:37,859 --> 00:27:40,140 pues que tenemos un máximo, lo deducimos fácilmente 367 00:27:40,140 --> 00:27:43,359 tenemos un máximo en menos 1 368 00:27:43,359 --> 00:27:45,220 la función vuelve a decrecer 369 00:27:45,220 --> 00:27:46,619 después de pasar por ese máximo 370 00:27:46,619 --> 00:27:47,839 que aún no sabemos dónde está 371 00:27:47,839 --> 00:27:50,799 y que tendremos que calcular su valor para pintar la función correctamente. 372 00:27:51,240 --> 00:27:55,279 Pero ya sé que a la siguiente asíntota va a tender hacia menos infinito. 373 00:27:56,119 --> 00:28:00,119 Esto es, tendremos en menos 1 un máximo, no sé dónde estará, 374 00:28:00,119 --> 00:28:15,569 y va a tender a la siguiente asíntota, que está en raíz de 2, va a tender hacia abajo. 375 00:28:16,049 --> 00:28:18,029 Y la función aquí, pues de nuevo, va a ser así también. 376 00:28:18,890 --> 00:28:28,970 A partir de ahí, ¿qué es lo que va a pasar? A partir de ahí no me haría falta ni hacerlo, porque si sé que tiene que tender a la siguiente asíntota, la función aquí tiene que ser creciente por narices. 377 00:28:30,349 --> 00:28:36,710 Bueno, no, no, no, puede venir desde la asíntota desde arriba, perdón. Vamos a ver qué es lo que pasa. Bueno, vamos a ver qué es lo que pasa, puede venir de la asíntota por arriba. 378 00:28:37,569 --> 00:28:39,329 Así que, siguiente intervalo. 379 00:28:39,470 --> 00:28:42,789 En el siguiente intervalo no va a cambiar nada en los signos de los factores. 380 00:28:43,329 --> 00:28:52,210 Es decir, va a seguir siendo negativo y, por tanto, decreciente. 381 00:28:52,569 --> 00:28:55,690 Así que sí, va a tener que bajar desde arriba. 382 00:28:58,920 --> 00:29:02,039 Así que la función esbozada está así. 383 00:29:02,839 --> 00:29:03,839 ¿Qué es lo que hemos de hacer ahora? 384 00:29:03,839 --> 00:29:06,700 Pues vamos a ver los extremos relativos, los máximos y los mínimos. 385 00:29:07,220 --> 00:29:09,319 Ya sé cuáles son las tendencias en las asíntotas, 386 00:29:09,319 --> 00:29:13,640 tanto en las verticales, hacia arriba y hacia abajo, como en las horizontales, por encima o por debajo. 387 00:29:13,759 --> 00:29:15,400 Y sé dónde están los extremos también. 388 00:29:15,900 --> 00:29:19,059 Así que lo único que me haría falta realmente para pintar esta función 389 00:29:19,059 --> 00:29:23,480 van a ser cuáles son esos extremos, es decir, los valores de la ordenada 390 00:29:23,480 --> 00:29:27,759 de las abstizas de los extremos que acabo de deducir dónde están. 391 00:29:28,720 --> 00:29:30,079 Entonces, los deducimos. 392 00:29:32,200 --> 00:29:33,299 Extremos relativos. 393 00:29:39,650 --> 00:29:41,430 Vaya pesadilla informática, por Dios. 394 00:29:45,789 --> 00:29:47,029 Los extremos relativos. 395 00:29:47,029 --> 00:30:09,130 Voy a tener el primero en menos 2, que es un mínimo. Y cogiendo la función original, que creo que era, voy a poner aquí otra vez, x más 2 elevado al cuadrado partido de x al cuadrado menos 2, podemos calcular en menos 2, menos 2 más 2 es 0. 396 00:30:09,130 --> 00:30:35,750 Entonces este mínimo estaría en el menos 2. Si sustituimos arriba menos 2 más 2 es 0, en menos 2 es 0. El siguiente, x2 igual a menos 1. Y aquí tenemos un máximo. 397 00:30:35,750 --> 00:30:50,950 Si sustituimos menos 1 en la función, tendríamos menos 1 más 2 es menos 1, que elevado al cuadrado sería 1, partido de menos 1 al cuadrado, que es 1, 1 menos 2, menos 1, es decir, menos 1. 398 00:30:51,710 --> 00:30:54,849 Así que menos 1, menos 1, si no me equivocaba de hacer el cálculo. 399 00:30:54,849 --> 00:30:59,029 vale, así que esto ya lo podemos ir pintando 400 00:30:59,029 --> 00:31:01,650 los voy a pintar en los ejes coordenados 401 00:31:01,650 --> 00:31:04,869 ya pintándolos con el propio programa 402 00:31:04,869 --> 00:31:07,569 entonces, menos 2, 0 y menos 1, menos 1 403 00:31:07,569 --> 00:31:12,529 menos 2, 0 404 00:31:12,529 --> 00:31:15,289 y menos 1, menos 1 405 00:31:15,289 --> 00:31:23,019 vale, la función mal que bien ya la podemos pintar 406 00:31:23,019 --> 00:31:26,740 o sea, sabiendo por dónde va para arriba 407 00:31:26,740 --> 00:31:29,960 por dónde va para abajo, realmente yo ya puedo pintar la función 408 00:31:29,960 --> 00:31:32,180 vamos a esbozarla un poco por ahora 409 00:31:32,180 --> 00:31:39,980 bueno, realmente esta es la copia que iba a hacer 410 00:31:39,980 --> 00:31:41,920 así que voy a ver 411 00:31:41,920 --> 00:31:43,900 si puedo borrar todo esto que tengo aquí 412 00:31:43,900 --> 00:31:44,240 hecho 413 00:31:44,240 --> 00:31:48,750 vale 414 00:31:48,750 --> 00:31:51,490 venga, entonces el punto menos 2 415 00:31:51,490 --> 00:31:53,430 0 sería el mínimo 416 00:31:53,430 --> 00:31:55,710 y el punto menos 1 menos 1 417 00:31:55,710 --> 00:31:59,410 sería el 418 00:31:59,410 --> 00:32:00,450 máximo, ¿verdad? 419 00:32:00,450 --> 00:32:01,130 sí, ¿verdad? 420 00:32:02,750 --> 00:32:04,289 el máximo menos 1 menos 1 421 00:32:04,289 --> 00:32:06,450 vale, entonces la función 422 00:32:06,450 --> 00:32:13,009 aquí no me cabe del todo, pero bueno, vendría aproximadamente por aquí, llega hasta aquí y aquí empieza a subir, ¿vale? 423 00:32:14,549 --> 00:32:23,329 Viene ahora desde abajo, llega a ser este máximo y ahora, bueno, aunque no cabe muy bien aquí porque me quedo sin área para pintar, 424 00:32:23,450 --> 00:32:30,089 esto iría para abajo hacia la asíntota y luego de nuevo vuelve a ser decreciente de esta manera por ahí arriba. 425 00:32:30,089 --> 00:32:35,750 aunque aquí no quepa muy bien para haber podido pintar esta parte que hay entre menos 2 y el menos raíz de 2 426 00:32:35,750 --> 00:32:42,029 pues nos queda un poquito así, pero si dibujamos la función ya veremos que realmente es así 427 00:32:42,029 --> 00:32:48,490 una cosa más que nos podría ayudar para poder definir la función ya completamente son los cortes con los ejes 428 00:32:48,490 --> 00:33:01,289 voy a hacerlos para tener otro par de puntos más en los que poder apoyarme para hacer la pintada de la función 429 00:33:01,289 --> 00:33:12,779 ve el corte con el eje y 430 00:33:12,779 --> 00:33:22,000 el corte con el eje y sería x igual a 0 y si ponemos 431 00:33:22,000 --> 00:33:25,859 x igual a 0 tendría 0 más 2 serían 2 432 00:33:25,859 --> 00:33:46,109 estoy teniendo muchas dificultades para pintar aquí, bueno no puedo 433 00:33:46,109 --> 00:33:52,430 escribir, voy a cerrar y abrir otra vez el programa a ver si consigo que esto 434 00:33:52,430 --> 00:34:16,579 que esto funcione, que sé de donde la va la gana 435 00:34:16,579 --> 00:34:40,039 vale, entonces el valor para x 436 00:34:40,039 --> 00:34:47,230 igual a cero de la y, pues no puedo, no sé qué es lo que ocurre, pero no puedo escribir. 437 00:34:48,969 --> 00:34:57,889 Voy a intentar hacerlo con el dedo. Y de x igual a cero va a ser igual a cero más dos 438 00:34:57,889 --> 00:35:10,800 es dos, partido de cero menos dos, pues sería menos uno, ¿no? Si metemos un cero, cero 439 00:35:10,800 --> 00:35:15,719 más dos sería dos, partido de menos dos, menos uno, si no me he equivocado. Y el corte 440 00:35:15,719 --> 00:35:27,340 con el eje x, es decir, el punto sería el 0, menos 1. Y el corte con el eje x sería, 441 00:35:27,780 --> 00:35:35,960 pues, si 0 tiene que ser igual al x más 2 elevado al cuadrado partido de x al cuadrado 442 00:35:35,960 --> 00:35:52,059 menos 2, entonces, se ha jodido el bolígrafo, yo no sé qué es lo que ha pasado. Entonces 443 00:35:52,059 --> 00:36:03,510 ¿Qué tendríamos? Si esto tiene que ser igual a 0, entonces x sería igual a menos 2, ¿verdad? 444 00:36:05,929 --> 00:36:08,710 0 es igual a x más 2 elevado al cuadrado, es decir, x es igual a menos 2. 445 00:36:08,829 --> 00:36:17,030 Así que el otro punto de corte sería el menos 2, 0. 446 00:36:17,030 --> 00:36:20,610 Así que puntos de corte 0, menos 1 y menos 2, 0. 447 00:36:21,309 --> 00:36:24,789 Vamos a verlo aquí. 0, menos 1 y menos 2, 0. 448 00:36:24,789 --> 00:36:34,389 ¿dónde estás? 449 00:36:36,170 --> 00:36:37,070 menos 2 450 00:36:37,070 --> 00:36:38,869 0 451 00:36:38,869 --> 00:36:41,329 vale 452 00:36:41,329 --> 00:36:44,070 estos son los puntos que tendríamos 453 00:36:44,070 --> 00:36:46,050 de corte, si yo no me he confundido 454 00:36:46,050 --> 00:36:47,869 ya digo, por un lado en la Y 455 00:36:47,869 --> 00:36:49,590 tenemos el punto D y por lo tanto en la X 456 00:36:49,590 --> 00:36:50,809 tenemos el punto C 457 00:36:50,809 --> 00:36:54,130 que el punto 458 00:36:54,130 --> 00:36:55,389 C no me convence 459 00:36:55,389 --> 00:36:58,309 a ver, ¿qué es lo que teníamos? 460 00:37:00,699 --> 00:37:01,500 mira a ver si he cometido 461 00:37:01,500 --> 00:37:02,760 algún error porque estoy 462 00:37:02,760 --> 00:37:05,400 un poquito despistado 463 00:37:05,400 --> 00:37:06,860 con que no funcione la informática 464 00:37:06,860 --> 00:37:08,780 y no doy pie con bola 465 00:37:08,780 --> 00:37:10,860 a ver 466 00:37:10,860 --> 00:37:13,579 veis, es imposible 467 00:37:13,579 --> 00:37:14,920 que sea el 0-1 468 00:37:14,920 --> 00:37:16,400 me he equivocado al hacer 469 00:37:16,400 --> 00:37:18,539 o bien el máximo 470 00:37:18,539 --> 00:37:20,579 o bien me he confundido a hacer el corte 471 00:37:20,579 --> 00:37:21,980 con el eje Y 472 00:37:21,980 --> 00:37:27,460 vamos a comprobarlo 473 00:37:27,460 --> 00:37:28,840 el máximo está bien hecho 474 00:37:28,840 --> 00:37:31,059 nx2 igual a 475 00:37:31,059 --> 00:37:33,679 menos 1, sería menos 1 más 2 476 00:37:33,679 --> 00:37:35,199 es 1 477 00:37:35,199 --> 00:37:36,400 partido de 478 00:37:36,400 --> 00:37:38,119 1 menos 2 479 00:37:38,119 --> 00:37:39,199 es 480 00:37:39,199 --> 00:37:40,619 perdón, a ver 481 00:37:40,619 --> 00:37:42,280 sería 1 482 00:37:42,280 --> 00:37:43,940 esto sigue sin escribir 483 00:37:43,940 --> 00:37:47,329 creo que está bien, ¿eh? 484 00:37:47,550 --> 00:37:47,769 sí 485 00:37:47,769 --> 00:37:49,889 y el corte con los ejes 486 00:37:49,889 --> 00:37:50,409 ¿lo has comprobado 487 00:37:50,409 --> 00:37:51,150 a ver si está bien también? 488 00:37:52,150 --> 00:37:53,010 sí, sí 489 00:37:53,010 --> 00:37:53,590 pero 490 00:37:53,590 --> 00:37:55,269 a ver, el corte 491 00:37:55,269 --> 00:37:56,449 el eje x sí que me da 492 00:37:56,449 --> 00:37:58,309 y 0 menos 1 493 00:37:58,309 --> 00:38:00,829 y el otro 494 00:38:00,829 --> 00:38:04,150 igual a 0 495 00:38:04,150 --> 00:38:05,730 significa que x más 2 496 00:38:05,730 --> 00:38:08,550 Ah, el otro creo que es 497 00:38:08,550 --> 00:38:09,130 Es un 2 498 00:38:09,130 --> 00:38:11,869 Es un menos 2, claro 499 00:38:11,869 --> 00:38:14,449 Vale, pues eso 500 00:38:14,449 --> 00:38:17,250 Aquí está, es que esto sigue sin escribir 501 00:38:17,250 --> 00:38:20,690 Este es un menos 2, ¿verdad? 502 00:38:21,630 --> 00:38:21,889 Sí 503 00:38:21,889 --> 00:38:25,650 Bueno, estoy pintando con el dedo 504 00:38:25,650 --> 00:38:28,630 Menos 2, así que 0 menos 2 505 00:38:28,630 --> 00:38:29,349 Vamos a cambiarlo 506 00:38:29,349 --> 00:38:31,510 ¿Dónde estás? 507 00:38:31,510 --> 00:38:32,250 ¿Dónde estás? 508 00:38:32,909 --> 00:38:34,110 0 menos 2 509 00:38:34,110 --> 00:38:39,690 venga hijo 510 00:38:39,690 --> 00:38:43,829 0 menos 2 511 00:38:43,829 --> 00:38:48,920 vale, ahora sí 512 00:38:48,920 --> 00:38:51,280 ahora sí tiene lógica, porque ahora lo que vamos a hacer 513 00:38:51,280 --> 00:38:53,199 es ya poder pintar 514 00:38:53,199 --> 00:38:55,039 sobre esto, aunque ya digo 515 00:38:55,039 --> 00:38:57,119 que la escala en la que estamos haciéndolo 516 00:38:57,119 --> 00:38:58,860 pues hay que apretarse un poquillo, por lo menos 517 00:38:58,860 --> 00:39:01,119 en la que hay entre el menos 2 y el menos raíz de 2 518 00:39:01,119 --> 00:39:02,599 pero bueno, vamos a 519 00:39:02,599 --> 00:39:15,659 intentarlo otra vez, imposible 520 00:39:15,659 --> 00:39:27,650 vale 521 00:39:27,650 --> 00:39:30,570 entonces, fijaos que ya 522 00:39:30,570 --> 00:39:32,909 vamos a pasar por el corte 523 00:39:32,909 --> 00:39:37,719 vamos a ver 524 00:39:37,719 --> 00:39:40,199 es que no puedo escribir 525 00:39:40,199 --> 00:39:42,840 vamos a ver cómo puedo hacerlo 526 00:39:42,840 --> 00:39:44,519 con el rato 527 00:39:44,519 --> 00:39:45,420 yo creo, a ver 528 00:39:45,420 --> 00:39:49,679 vale, pues entonces vendría por aquí 529 00:39:49,679 --> 00:39:51,119 aquí corta 530 00:39:51,119 --> 00:39:54,119 ahora, perdón 531 00:39:54,119 --> 00:39:55,679 perdón, he dicho que por aquí corta 532 00:39:55,679 --> 00:39:59,760 vendríamos por aquí 533 00:39:59,760 --> 00:40:01,219 aquí corta 534 00:40:01,219 --> 00:40:03,880 se va hasta 535 00:40:03,880 --> 00:40:08,039 ¿dónde se va? Ah, no, en menos 2 tenía el mínimo, perdón 536 00:40:08,039 --> 00:40:12,639 no es que se fuera el corte, también es el corte pero es un mínimo 537 00:40:12,639 --> 00:40:16,420 entonces aquí vendría para arriba, ahora 538 00:40:16,420 --> 00:40:20,920 vendría desde abajo, porque hemos comprobado que es creciente 539 00:40:20,920 --> 00:40:24,880 en este intervalo, pasaría por este máximo, corta el eje 540 00:40:24,880 --> 00:40:29,340 aquí, se va hacia la asíntota y luego vuelve desde la asíntota 541 00:40:29,340 --> 00:40:32,840 y hace aproximadamente esto 542 00:40:32,840 --> 00:40:51,659 Entonces el dibujo de la función ya lo tendríamos. Si nos piden dónde es cóncava o convexa, es decir, cuál es la curvatura o dónde están los puntos de inflexión, lo primero que vemos es que aquí no hay ningún punto de inflexión porque la función es, bueno, sí, sí, sí, habría un punto de inflexión, perdón, ¿dónde habría un punto de inflexión? A ver si lo sabéis. 543 00:40:52,079 --> 00:40:53,440 ¿Dónde habría un punto de inflexión? 544 00:40:54,239 --> 00:40:57,239 ¿En qué intervalo vamos? ¿Dónde exactamente? ¿Qué lo vamos a calcular ahora? 545 00:40:57,860 --> 00:41:03,340 Si os fijáis, la función es decreciente desde menos infinito hasta llegar a menos 2, donde tiene un máximo. 546 00:41:03,519 --> 00:41:06,500 En algún momento tiene que haber cambiado la curvatura por narices. 547 00:41:07,099 --> 00:41:10,900 Así que en caso de que se nos pidiera expresamente y queramos dibujarla con toda la precisión, 548 00:41:10,980 --> 00:41:15,619 que normalmente no ocurre así, porque no se pide un ejercicio tan extenso en evau, 549 00:41:16,000 --> 00:41:21,219 lo que vamos a hacer es calcular o esperar que haya un punto de inflexión entre menos infinito y menos 2. 550 00:41:21,219 --> 00:41:47,099 Vamos a dibujar de todas maneras la función, hacer el dibujo con el programa para que veáis que realmente corresponde a lo que hemos deducido. Era x más 2 elevado al cuadrado partido de x al cuadrado menos 2, menos 2, que como veis coincide con todo lo que hemos visto. 551 00:41:47,099 --> 00:42:07,260 Y lo que os decía es, fijaos que aquí en la parte de la izquierda, en el intervalo que va desde menos infinito hasta menos 2, que es uno de los intervalos en los que hemos dividido el dominio, aquí la función pasa de ser, vamos a llamarla convexa, a ser cóncava y en algún punto cambia su curvatura. 552 00:42:07,880 --> 00:42:12,320 Vamos a calcular ese punto para practicar también lo que estábamos viendo antes, ayer. 553 00:42:12,320 --> 00:42:19,590 yo no sé, ahora pinta esto 554 00:42:19,590 --> 00:42:24,159 venga, vamos a ver la curvatura 555 00:42:24,159 --> 00:42:26,420 para ver la curvatura 556 00:42:26,420 --> 00:42:28,079 voy a coger la primera derivada 557 00:42:28,079 --> 00:42:29,579 que la tenía por aquí, por algún sitio 558 00:42:29,579 --> 00:42:32,500 la primera derivada 559 00:42:32,500 --> 00:42:34,900 que es esta que tengo aquí con los signos más y los menos 560 00:42:34,900 --> 00:42:36,699 x más 2, x más 1 561 00:42:36,699 --> 00:42:38,280 x al cuadrado menos 2 562 00:42:38,280 --> 00:42:53,449 vamos a hacer la segunda derivada 563 00:42:53,449 --> 00:42:54,530 vamos a ver si nos da tiempo 564 00:42:54,530 --> 00:42:57,030 si hacemos la segunda derivada 565 00:42:57,030 --> 00:42:59,309 pues venga, empezamos 566 00:42:59,309 --> 00:43:00,789 el menos 4 567 00:43:00,789 --> 00:43:04,789 hay que ponerlo, luego derivada del menos 4 568 00:43:04,789 --> 00:43:08,429 va a multiplicar a todo lo siguiente, sería derivada del primero que es 1 569 00:43:08,429 --> 00:43:12,670 por el segundo, x más 1, también multiplicaría 570 00:43:12,670 --> 00:43:16,789 a la derivada del segundo multiplicado por el primero que es 571 00:43:16,789 --> 00:43:20,349 x más 2 y todo esto hemos de multiplicarlo 572 00:43:20,349 --> 00:43:24,690 este menos 4 realmente no me va a hacer falta, ese paréntesis, multiplicarlo 573 00:43:24,690 --> 00:43:28,550 por x al cuadrado menos 2 elevado al cuadrado, menos 574 00:43:28,550 --> 00:44:00,929 Vamos a hacer la derivada del de abajo y multiplicarlo por todo el de arriba. Si lo multiplicamos por todo el de arriba, en realidad nos va a quedar un más por el menos 4, ya lo voy adelantando, y ahora, derivada del de abajo tendríamos 2 que multiplicaría a la derivada del de dentro, que sería 2x multiplicada por x al cuadrado menos 2 elevado al cuadrado menos 1, 575 00:44:00,929 --> 00:44:11,190 y ahora multiplicado por el menos que ya lo he multiplicado, el 4 que ya lo he multiplicado y por x más 2 y por x más 1 y ahora partido del cuadrado del de abajo. 576 00:44:13,780 --> 00:44:21,619 Vale, todo esto como veis en la segunda derivada y muchas veces que se complica un poco en extremo, por eso calcular la curvatura a veces, 577 00:44:22,079 --> 00:44:28,460 bueno a veces, vamos que lo más conveniente es hacerlo simplemente deduciendo, no haciendo la segunda derivada porque a veces se complica en extremo. 578 00:44:28,460 --> 00:45:02,190 Vamos a intentar hacer algo por aquí, entonces sacamos factor común por algún lado, menos 4, tengo el x más 1, voy a ir marcándoles, menos 4, el x más 1, el menos 4, el x más 1, tengo el x más 2 también, un x más 2, tengo un x al cuadrado menos 2, tendría un x al cuadrado menos 2 y ya está. 579 00:45:02,190 --> 00:45:07,070 Ahí esto quedaría multiplicando a, en el primero me quedaba en x al cuadrado menos 2, 580 00:45:07,429 --> 00:45:13,570 en el segundo me quedaría, como he sacado un menos 4, me quedaría un menos, un 4x. 581 00:45:13,929 --> 00:45:16,150 Si no me he confundido, que puede ser muy posible. 582 00:45:21,170 --> 00:45:28,989 Y esto sería igual a, vale, lo único que tendría que hacer sería factorizar eso. 583 00:45:28,989 --> 00:45:47,500 Entonces, vamos a igualarlo a cero, vamos a igualarlo a cero, entonces, posibles valores que serían puntos de inflexión, pues x igual a, bueno, voy a hacer la ecuación de segundo grado. 584 00:45:47,500 --> 00:47:11,280 2 por 4 son 8, de 2, 16 y 8 son 24, que son 6 por 4, es decir, 2 serían 6 por 4, 6 raíz de 2, y esto serían 2 más menos raíz de 6, que esto tendrá dos valores, 3 por 4 y abajo 2 menos raíz de 6. 585 00:47:12,820 --> 00:47:25,570 menos 0,44 586 00:47:25,570 --> 00:47:27,869 vale, del dibujo que he hecho 587 00:47:27,869 --> 00:47:29,929 que bueno, también es verdad que lo he corroborado 588 00:47:29,929 --> 00:47:30,449 con la 589 00:47:30,449 --> 00:47:34,190 pues con la graficación 590 00:47:34,190 --> 00:47:35,309 en el programa 591 00:47:35,309 --> 00:47:38,030 de todos estos que tengo aquí 592 00:47:38,030 --> 00:47:40,570 yo solamente voy a probar el menos 0,44 593 00:47:40,570 --> 00:47:42,150 si vamos a la función 594 00:47:42,150 --> 00:47:46,300 bueno, es que no puede ser 595 00:47:46,300 --> 00:47:48,239 menos 0,44, tendría que ser 596 00:47:48,239 --> 00:47:50,480 menos 3 aproximadamente 597 00:47:50,480 --> 00:47:52,320 tiene que haber algún error 598 00:47:52,320 --> 00:47:53,039 por algún sitio 599 00:47:53,039 --> 00:47:58,650 bueno, está sonando ya 600 00:47:58,650 --> 00:48:01,090 confieso que me he desconcentrado bastante 601 00:48:01,090 --> 00:48:02,650 porque no consigo 602 00:48:02,650 --> 00:48:05,110 escribir y pintar con el aparato 603 00:48:05,110 --> 00:48:06,989 este, entonces 604 00:48:06,989 --> 00:48:10,510 os invito a que lo hagáis, de hecho 605 00:48:10,510 --> 00:48:11,690 yo lo voy a terminar 606 00:48:11,690 --> 00:48:15,090 y lo voy a colgar 607 00:48:15,090 --> 00:48:16,010 también la terminación 608 00:48:16,010 --> 00:48:18,429 del estudio de la curvatura 609 00:48:18,429 --> 00:48:20,989 para que lo tengáis, porque algo debo haber 610 00:48:20,989 --> 00:48:22,929 hecho mal por algún sitio en la segunda derivada 611 00:48:22,929 --> 00:48:24,530 porque ya digo, es que no 612 00:48:24,530 --> 00:48:28,829 ya estoy pintando con el dedo, no consigo que el bolígrafo escriba, entonces voy a reiniciar el sistema 613 00:48:28,829 --> 00:48:32,030 y lo voy a hacer otra vez. De todas maneras, todo lo que hemos hecho hasta ahora 614 00:48:32,030 --> 00:48:36,630 es lo que haríamos para hacer el estudio completo de una función. El estudio 615 00:48:36,630 --> 00:48:40,429 del dominio, de las asíntotas, de la monotonía, con ello 616 00:48:40,429 --> 00:48:44,469 con los puntos singulares haríamos los extremos relativos, los cortes 617 00:48:44,469 --> 00:48:48,389 con los ejes para poder ya definirlo completamente y con eso ya podemos deducir 618 00:48:48,389 --> 00:48:52,030 cuál es la curvatura, aunque no digamos exactamente dónde está el cambio de curvatura 619 00:48:52,030 --> 00:48:54,329 que eso es lo que quiero finalizar 620 00:48:54,329 --> 00:48:56,230 vale, venga, terminado aquí 621 00:48:56,230 --> 00:48:58,050 perdonad todos los problemas técnicos 622 00:48:58,050 --> 00:48:59,750 que me han despistado absolutamente 623 00:48:59,750 --> 00:49:01,130 una pregunta, Juan 624 00:49:01,130 --> 00:49:03,230 en la gráfica 625 00:49:03,230 --> 00:49:06,050 por ejemplo, el último intervalo 626 00:49:06,050 --> 00:49:07,809 ¿cómo sabes que va por encima de la 627 00:49:07,809 --> 00:49:09,130 asíntota horizontal? 628 00:49:10,030 --> 00:49:10,869 porque es decreciente 629 00:49:10,869 --> 00:49:14,210 vamos a ver si consigo ponerlo 630 00:49:14,210 --> 00:49:15,570 porque es decreciente 631 00:49:15,570 --> 00:49:18,010 entonces si es decreciente y ya has visto que es 632 00:49:18,010 --> 00:49:19,730 decreciente y tiene una asíntota 633 00:49:19,730 --> 00:49:21,989 no puede ser decreciente viniendo desde 634 00:49:21,989 --> 00:49:24,110 menos infinito, tiene que venir desde más infinito 635 00:49:24,110 --> 00:49:25,869 es 636 00:49:25,869 --> 00:49:28,349 claro, pero hay que decir, o sea, no puedes dibujar 637 00:49:28,349 --> 00:49:30,469 por la misma recta 638 00:49:30,469 --> 00:49:31,949 al intervalo de 639 00:49:31,949 --> 00:49:34,250 más raíz de 2 640 00:49:34,250 --> 00:49:35,849 hasta más infinito 641 00:49:35,849 --> 00:49:38,170 o sea, la misma recta pero dibujada 642 00:49:38,170 --> 00:49:39,110 por debajo de la asíntota 643 00:49:39,110 --> 00:49:42,210 pero tiene 644 00:49:42,210 --> 00:49:43,469 que tender a la asíntota 645 00:49:43,469 --> 00:49:45,929 como mucho lo que podría hacer es tener 646 00:49:45,929 --> 00:49:47,250 otro punto singular 647 00:49:47,250 --> 00:49:49,650 a ver si consigo dibujarlo 648 00:49:49,650 --> 00:49:49,929 que 649 00:49:49,929 --> 00:49:54,489 A ver, aquí mismo, voy a intentar pintarlo aquí mismo. 650 00:49:55,230 --> 00:49:57,829 Tú no puedes hacer que vaya por debajo de la asíntota, 651 00:49:58,090 --> 00:50:03,869 porque entonces tendría que volver a subir para tender otra vez a ser 1 en el infinito. 652 00:50:04,449 --> 00:50:06,809 O sea, lo único que puede hacer, no puede hacer otra cosa. 653 00:50:06,969 --> 00:50:10,110 Si no hay más puntos singulares, eso también es verdad, que hemos visto, 654 00:50:10,789 --> 00:50:15,369 no has encontrado ningún punto singular más allá del raíz de 2, 655 00:50:15,510 --> 00:50:19,150 lo único que puedo hacer es venir desde la asíntota, desde más infinito, 656 00:50:19,150 --> 00:50:22,349 y tender a la asíntota horizontal en i igual a 1 657 00:50:22,349 --> 00:50:23,510 tender por arriba 658 00:50:23,510 --> 00:50:26,070 no puede tender por abajo, es decir, no podría tender 659 00:50:26,070 --> 00:50:28,230 por aquí 660 00:50:28,230 --> 00:50:30,110 es decir, no podría hacer esto 661 00:50:30,110 --> 00:50:31,789 porque aquí tendría otro punto singular 662 00:50:31,789 --> 00:50:33,070 en el que habría otro mínimo 663 00:50:33,070 --> 00:50:35,809 solamente puede venir desde arriba 664 00:50:35,809 --> 00:50:37,510 a tender a la asíntota 665 00:50:37,510 --> 00:50:38,989 por arriba 666 00:50:38,989 --> 00:50:41,809 si es decreciente, porque ya ves que 667 00:50:41,809 --> 00:50:43,670 en esto que he pintado aquí, mal pintado 668 00:50:43,670 --> 00:50:45,510 aquí tendrías 669 00:50:45,510 --> 00:50:48,030 esto es una posibilidad, pero claro, esto implica que aquí tengas 670 00:50:48,030 --> 00:50:49,929 un mínimo, otro punto singular 671 00:50:49,929 --> 00:50:52,130 y a partir de este intervalo sea creciente 672 00:50:52,130 --> 00:50:53,369 o sea, no puede hacer otra cosa 673 00:50:53,369 --> 00:50:56,309 o sea, digamos que si es creciente, ¿qué pintarías 674 00:50:56,309 --> 00:50:57,809 por debajo, por ejemplo? 675 00:50:58,010 --> 00:50:59,889 si fuese creciente en ese intervalo 676 00:50:59,889 --> 00:51:01,849 si de la tabla 677 00:51:01,849 --> 00:51:03,929 viéramos que es creciente, entonces lo que haría 678 00:51:03,929 --> 00:51:04,590 sería esto, claro 679 00:51:04,590 --> 00:51:07,510 pero claro, como es decreciente 680 00:51:07,510 --> 00:51:09,750 entonces no tiene otra opción que ser la otra que hemos pintado 681 00:51:09,750 --> 00:51:11,670 al final es una cuestión de casi 682 00:51:11,670 --> 00:51:13,130 lógica de descartar 683 00:51:13,130 --> 00:51:15,989 vale, venga, pues intentaré colgar 684 00:51:15,989 --> 00:51:18,389 ya reiniciando el ordenador 685 00:51:18,389 --> 00:51:19,510 y con un poquito más de tranquilidad 686 00:51:19,510 --> 00:51:22,269 dónde está este punto en el que hay 687 00:51:22,269 --> 00:51:24,489 el cambio de curvatura 688 00:51:24,489 --> 00:51:25,550 vale 689 00:51:25,550 --> 00:51:28,289 venga chicos, pues nada, cortamos aquí 690 00:51:28,289 --> 00:51:30,329 y ya nos vemos mañana 691 00:51:30,329 --> 00:51:30,670 si eso 692 00:51:30,670 --> 00:51:34,289 venga, hasta luego chicos