1
00:00:00,870 --> 00:00:05,730
vamos a dedicar un primer tema a la derivada en

2
00:00:05,730 --> 00:00:09,960
el que estudiaremos su significado el concepto de derivada

3
00:00:12,180 --> 00:00:16,470
el concepto de derivada está relacionado con dos problemas clásicos

4
00:00:18,390 --> 00:00:19,020
por un lado

5
00:00:20,460 --> 00:00:23,010
el problema de la velocidad instantánea

6
00:00:23,820 --> 00:00:26,430
y por otro de la recta tangente a una curva

7
00:00:27,090 --> 00:00:30,630
en un punto ambos problemas responden al mismo patrón

8
00:00:31,770 --> 00:00:36,269
el problema de la razón instantánea de cambio sin embargo

9
00:00:36,270 --> 00:00:41,160
nosotros nos centraremos en el segundo problema que mantuvo ocupados

10
00:00:41,310 --> 00:00:43,320
a los matemáticos en el siglo diecisiete

11
00:00:44,580 --> 00:00:47,880
y nos dedicamos sobre todo a este problema en este

12
00:00:47,880 --> 00:00:51,840
primer tema no por el valor anecdótico sino porque nos

13
00:00:51,840 --> 00:00:57,270
va a proporcionar un significado geométrico que estará presente en

14
00:00:57,270 --> 00:00:59,370
todos los problemas y aplicaciones de la derivada

15
00:01:00,960 --> 00:01:06,030
históricamente ya desde los griegos el problema de calcular la

16
00:01:06,030 --> 00:01:09,420
recta tangente a determinado tipo de curvas moviendo las curvas

17
00:01:09,420 --> 00:01:15,900
cónicas estaba resuelto pero el problema general planteado en términos

18
00:01:16,200 --> 00:01:20,490
de la geometría cartesiana daos unos ejes x y

19
00:01:20,790 --> 00:01:23,310
y el gráfico de una función igual a f x

20
00:01:24,060 --> 00:01:27,690
obtener la ocasión de la recta tangente era un problema

21
00:01:28,470 --> 00:01:33,270
que permanecía abierto planteemos el problema del cálculo de la

22
00:01:33,270 --> 00:01:37,050
ecuación de la recta tangente en términos generales dawson's ejes

23
00:01:37,050 --> 00:01:37,830
cartesianos

24
00:01:39,090 --> 00:01:41,940
tendremos el gráfico de una función sobre esa función un

25
00:01:41,940 --> 00:01:42,510
punto

26
00:01:43,920 --> 00:01:48,150
y deseamos obtener la ecuación de la recta tangente en

27
00:01:48,150 --> 00:01:48,810
ese punto

28
00:01:50,070 --> 00:01:52,830
esta gente tendrá una ecuación

29
00:01:54,690 --> 00:01:59,400
para obtener esta ecuación vamos a proceder mediante aproximaciones sucesivas

30
00:02:00,540 --> 00:02:03,690
para ello sobre el gráfico igual a x colocamos un

31
00:02:03,690 --> 00:02:04,470
nuevo punto q

32
00:02:06,420 --> 00:02:10,740
ambos puntos para definir una recta secante

33
00:02:12,090 --> 00:02:17,040
esta recta secante podemos obtener su ecuación punto pendiente como

34
00:02:17,130 --> 00:02:20,580
menos pedos igual a m por x menos uno

35
00:02:21,990 --> 00:02:22,530
donde p

36
00:02:24,000 --> 00:02:27,210
será el punto base de la recta y la pendiente

37
00:02:27,240 --> 00:02:31,350
m vamos a terminar como la pendiente del vector que

38
00:02:31,350 --> 00:02:33,060
une t co

39
00:02:34,290 --> 00:02:38,700
esa pendiente viene dada a partir de las coordenadas de

40
00:02:38,730 --> 00:02:40,050
p y q

41
00:02:41,460 --> 00:02:45,960
como un consciente ser consciente de la diferencia de las

42
00:02:45,960 --> 00:02:50,517
coordenadas y bueno es la diferencia de las coordenadas x

43
00:02:51,000 --> 00:02:55,050
consciente de lo que la función sube o baja partido

44
00:02:55,050 --> 00:02:56,880
por lo que avanza

45
00:02:58,740 --> 00:03:03,870
si damos a los puntos unos valores para las coordenadas

46
00:03:03,900 --> 00:03:09,450
x del siguiente modo x cero y x cero massachusetts

47
00:03:10,560 --> 00:03:15,210
dónde va a ser la distancia que separa a las

48
00:03:15,210 --> 00:03:16,770
coordenadas x de los puntos

49
00:03:18,090 --> 00:03:21,750
tenemos que estas se pueden escribir ahora con ayuda

50
00:03:22,830 --> 00:03:27,600
dc como x f x cero para el punto p

51
00:03:28,650 --> 00:03:29,700
x cero massachusetts

52
00:03:30,780 --> 00:03:32,760
f x hidromasaje para el punto q

53
00:03:33,690 --> 00:03:36,120
nuestro consciente ahora quedará expresado

54
00:03:38,100 --> 00:03:42,780
todo en función de la coordenada x cero y el

55
00:03:42,780 --> 00:03:43,170
valor de

56
00:03:46,110 --> 00:03:50,700
veamos ahora cómo las aproximaciones sucesivas nos permiten definir la

57
00:03:50,700 --> 00:03:51,240
tangente

58
00:03:53,490 --> 00:03:56,550
si vamos trazando rectas secantes en las que el punto

59
00:03:56,550 --> 00:03:57,720
que co

60
00:03:59,070 --> 00:04:01,770
se vaya aproximando al punto p

61
00:04:03,180 --> 00:04:03,990
tendremos

62
00:04:05,550 --> 00:04:09,780
que al final estas rectas secantes se aproximan

63
00:04:11,340 --> 00:04:12,420
a la recta tangente

64
00:04:13,680 --> 00:04:14,130
es decir

65
00:04:15,780 --> 00:04:21,870
usando la terminología del cálculo infinitesimal que si q tiende

66
00:04:21,870 --> 00:04:22,230
a p

67
00:04:23,280 --> 00:04:27,570
las rectas secantes tienden a t a la recta

68
00:04:30,150 --> 00:04:31,620
esta gente que queremos determinar

69
00:04:34,500 --> 00:04:39,450
del mismo modo las pendientes de las rectas secantes tenderán

70
00:04:39,900 --> 00:04:40,890
o se aproximarán

71
00:04:42,120 --> 00:04:46,050
a la pendiente de la recta tangente que podemos denominar

72
00:04:46,290 --> 00:04:49,500
en barra gracias a la fórmula que hemos definido

73
00:04:50,670 --> 00:04:53,610
las coordenadas de los puntos los tres procesos

74
00:04:54,870 --> 00:04:56,040
son equivalentes

75
00:04:57,450 --> 00:05:02,760
a pedir que la distancia entre la coordenada x y

76
00:05:02,760 --> 00:05:07,110
la coordenada x de q tiende a cero si se

77
00:05:07,110 --> 00:05:07,890
hace pequeña

78
00:05:09,990 --> 00:05:11,880
q se acerca p

79
00:05:12,750 --> 00:05:13,950
y las rectas secantes

80
00:05:15,210 --> 00:05:18,927
se acercarán a la recta tangente por lo tanto con

81
00:05:18,927 --> 00:05:22,740
una dotación de límite tendremos que la pendiente que buscamos

82
00:05:23,250 --> 00:05:27,360
vendrá expresada como el límite del cociente definido anteriormente

83
00:05:28,590 --> 00:05:31,200
ese será el valor de la recta tangente

84
00:05:33,360 --> 00:05:34,260
y este valor de m

85
00:05:35,880 --> 00:05:39,420
lo escribiremos como efe prima de x w cero y

86
00:05:39,420 --> 00:05:41,970
será lo que llamaremos la derivada de efe

87
00:05:42,870 --> 00:05:46,110
en el punto x cero la derivada es en el

88
00:05:46,110 --> 00:05:50,550
punto de equis cero será el valor de la tangente

89
00:05:51,870 --> 00:05:55,620
de la pendiente de la recta tangente en dicho punto

90
00:05:56,430 --> 00:05:57,780
pongamos en práctica

91
00:05:58,830 --> 00:06:01,110
lo aprendido aplicándolo a un ejemplo

92
00:06:02,430 --> 00:06:06,420
vamos a considerar una función cuadrática igual equis cuadrado

93
00:06:07,740 --> 00:06:10,980
un punto que pertenece al gráfico de la función

94
00:06:12,090 --> 00:06:13,530
los cuatro

95
00:06:14,700 --> 00:06:17,460
nuestro objetivo es obtener el valor de rescatar gente

96
00:06:18,480 --> 00:06:20,910
gráfico esta función es una parábola

97
00:06:22,170 --> 00:06:26,673
sobre él colocamos el punto y queremos calcular esta receta

98
00:06:26,730 --> 00:06:30,720
gente la fórmula obtenido anteriormente

99
00:06:32,310 --> 00:06:33,750
en forma punto pendiente

100
00:06:35,250 --> 00:06:37,110
es esta si sustituimos

101
00:06:38,310 --> 00:06:42,510
los valores ahora conocidos p uno y p dos la

102
00:06:42,510 --> 00:06:45,960
fórmula que era escrita como menos cuatro igual a efe

103
00:06:45,960 --> 00:06:46,350
prima

104
00:06:47,850 --> 00:06:48,450
de dos

105
00:06:49,860 --> 00:06:50,880
por equis minutos

106
00:06:52,230 --> 00:06:56,940
por lo tanto cuando tengamos el valor de la derivada

107
00:06:59,190 --> 00:07:03,180
en el punto dos habremos determinado la ecuación de la

108
00:07:03,180 --> 00:07:07,590
recta tangente este valor viene dado por un límite

109
00:07:11,130 --> 00:07:12,630
y será el que nos permite calcular

110
00:07:14,130 --> 00:07:19,320
efe prima dos para ello escribimos el límite cuando tiende

111
00:07:19,320 --> 00:07:19,830
a cero

112
00:07:20,910 --> 00:07:22,260
defe dedos massachusetts

113
00:07:23,010 --> 00:07:27,240
menos efe de dos partido por ache sustituyendo

114
00:07:29,081 --> 00:07:29,700
elevando

115
00:07:31,110 --> 00:07:33,420
al cuadrado obtenemos

116
00:07:34,770 --> 00:07:35,610
que este límite

117
00:07:36,840 --> 00:07:37,800
se convierte

118
00:07:39,240 --> 00:07:40,080
en una ocasión

119
00:07:41,580 --> 00:07:42,510
en la que podemos

120
00:07:44,760 --> 00:07:49,410
simplificar los valores cuatro y menos cuatro y a continuación

121
00:07:49,950 --> 00:07:51,450
sacar factor común

122
00:07:53,310 --> 00:07:59,190
simplificando vous haces el número y denominador obtenemos que el

123
00:07:59,190 --> 00:08:02,760
límite es cuatro cero es decir

124
00:08:04,680 --> 00:08:05,700
tenemos por lo tanto

125
00:08:06,810 --> 00:08:10,920
el valor de la pendiente y habremos obtenido la ecuación

126
00:08:10,920 --> 00:08:11,910
de la recta tangente

127
00:08:15,210 --> 00:08:18,450
hm igual a cuatro por lo tanto la ecuación y

128
00:08:18,450 --> 00:08:22,260
menos cuatro igual a cuatro x menos dos

129
00:08:23,940 --> 00:08:25,020
cabe preguntarse ahora

130
00:08:26,430 --> 00:08:30,150
sí igual que hemos obtenido el valor de la derivada

131
00:08:30,570 --> 00:08:33,540
en el punto dos podríamos obtener el valor

132
00:08:34,680 --> 00:08:38,970
tres en el punto menos uno y en general la

133
00:08:38,970 --> 00:08:41,130
derivada en un punto cualquiera x

134
00:08:43,230 --> 00:08:47,280
bien se trata de repetir el cálculo de este límite

135
00:08:48,810 --> 00:08:49,890
si lo que queremos es

136
00:08:51,570 --> 00:08:54,210
calcular efe prima de x o lo que es lo

137
00:08:54,210 --> 00:08:57,630
mismo la derivada de la función x cuadrado

138
00:08:59,070 --> 00:09:00,090
en el desarrollo

139
00:09:01,470 --> 00:09:06,570
tendremos que sustituir el valor de dos por el valor

140
00:09:06,570 --> 00:09:07,050
de x

141
00:09:08,760 --> 00:09:13,320
i desarrollar los cálculos a partir de las expresiones de

142
00:09:13,320 --> 00:09:14,070
nuestra función

143
00:09:15,480 --> 00:09:19,200
sustituyendo estos valores de dos por x

144
00:09:20,580 --> 00:09:21,360
obtenemos

145
00:09:22,560 --> 00:09:23,370
qué límite

146
00:09:24,960 --> 00:09:25,440
queda

147
00:09:26,760 --> 00:09:28,320
volviendo a sacar factor común

148
00:09:30,810 --> 00:09:36,060
doce x más cero es decir el valor de límites

149
00:09:37,380 --> 00:09:37,980
dos x

150
00:09:39,600 --> 00:09:40,560
hemos obtenido así

151
00:09:41,820 --> 00:09:45,000
la derivada de la función x cuadrado

152
00:09:46,080 --> 00:09:50,820
deriva de la función equis cuadrado es una función estas

153
00:09:50,820 --> 00:09:52,650
funciones doce x

154
00:09:54,060 --> 00:09:58,200
este proceso en general es un proceso laborioso el del

155
00:09:58,230 --> 00:10:00,750
cálculo del límite

156
00:10:02,750 --> 00:10:05,330
como veremos en el tema siguiente cada vez que hayamos

157
00:10:05,330 --> 00:10:07,430
obtenido una derivada

158
00:10:09,680 --> 00:10:10,280
a partir

159
00:10:11,480 --> 00:10:16,550
de un proceso elemental en el que evaluamos un límite

160
00:10:17,000 --> 00:10:19,700
lo convertiremos en una regla eso era una regla de

161
00:10:19,700 --> 00:10:20,360
derivación

162
00:10:22,010 --> 00:10:24,260
y a partir de ese momento siempre que nos aparezca

163
00:10:24,860 --> 00:10:29,990
una función que responda a ese tipo aplicaremos la regla

164
00:10:29,990 --> 00:10:34,490
derivación para calcular la derivada sin necesidad de tener que

165
00:10:34,490 --> 00:10:37,670
hacer un cálculo con los límites