1
00:00:01,070 --> 00:00:20,489
Buenas, en este vídeo vamos a resolver la siguiente ecuación que nos proponen, la cual como vemos tiene grado mayor que 4 y tampoco puedo suponer tal cual está la ecuación que sea una ecuación de grado mayor que 2 de tipo especial, tipo bicuadrada u otra.

2
00:00:20,489 --> 00:00:32,929
Lo primero que debería hacer es despejar este segundo miembro, pasar todos los sumandos que tengo aquí, transponerlos al primer miembro y después decidir si es de algún tipo especial o no.

3
00:00:32,929 --> 00:00:54,710
Entonces en el primer miembro voy a dejar todos los sumandos que tengo, x al cuadrado, 8x al cubo, más x al cuadrado, menos 9x, más 10, y ahora con un poquito de cuidado voy a realizar la transposición y el producto de este paréntesis, que es lo primero que deberíamos hacer en realidad.

4
00:00:54,710 --> 00:01:03,490
hace. Este 3x al cubo yo me lo quito restando, menos 3x al cubo y aquí este paréntesis,

5
00:01:03,649 --> 00:01:09,670
bueno, menos 2 por x al cuadrado me va a dar menos 2x al cuadrado y bueno, pues puedo eliminarlo

6
00:01:09,670 --> 00:01:18,950
sumando 2x al cuadrado, ¿vale? Y este menos 2 multiplicando por menos 5 va a resultar

7
00:01:18,950 --> 00:01:23,569
más 10 en el segundo miembro. Si lo quiero eliminar del segundo miembro lo que tengo

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00:01:23,569 --> 00:01:29,950
que hacer es restar 10 unidades. Y por tanto en el segundo miembro no quedaría nada, porque

9
00:01:29,950 --> 00:01:36,469
he realizado las operaciones pertinentes, restar 3x al cubo, sumar 2x al cuadrado y

10
00:01:36,469 --> 00:01:43,870
restar 10 unidades para que desaparezcan todos los términos del segundo miembro. Voy a juntar

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00:01:43,870 --> 00:01:49,909
todo lo que tengo, por ejemplo, x a la cuarta solo tengo estas, x a la cuarta, x al cubo

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00:01:49,909 --> 00:02:04,209
pues tendré aquí 8x al cubo, junto con estas menos 3 tengo más 5x al cubo, x al cuadrado, pues aquí tengo una x al cuadrado y otras dos son 3x al cuadrado,

13
00:02:07,680 --> 00:02:19,860
x tengo menos 9 únicamente, pues tengo menos 9x y por último las unidades, 10 unidades con 10 unidades que se van, pues desaparecen.

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00:02:19,860 --> 00:02:36,360
¿De acuerdo? Si efectivamente lo que tengo es una ecuación de grado mayor que 4 y lo que resulta no es una bicuadrada. Los exponentes de la x son 4, 3, 2, 1, nada.

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00:02:36,360 --> 00:02:57,039
Lo que sí que puedo realizar, chicos, y es que cuando tengo una ecuación de grado mayor que 4, se suele trabajar así, es una vez que tengo todos los sumandos igualados a cero, esto lo puedo considerar un polinomio, polinomio vamos a llamarle p de x,

16
00:02:57,039 --> 00:03:08,319
Y bueno, pues si yo lo que busco son los valores de X que hacen que el polinomio se anule, sería exactamente lo mismo que buscar una raíz del polinomio.

17
00:03:08,680 --> 00:03:15,039
Así que, en realidad, voy a dedicarme a buscar una raíz de polinomio de la misma forma que lo hago al factorizar.

18
00:03:16,560 --> 00:03:23,159
En este caso, bueno, pues veremos qué tengo que hacer, si tengo que tirar por Ruffini o por otro método.

19
00:03:23,159 --> 00:03:35,800
En este caso, lo que me doy cuenta es que todos los sumandos, x a la cuarta, 5x al cubo, 3x al cuadrado, 9x, todos tienen al menos una x.

20
00:03:36,340 --> 00:03:40,759
Entonces lo suyo sería empezar sacando factor común la x.

21
00:03:41,680 --> 00:03:48,879
x al cubo más 5x al cuadrado más 3x menos 9.

22
00:03:48,879 --> 00:03:54,759
Esto ya supone el que yo conozca una de las soluciones

23
00:03:54,759 --> 00:04:02,960
Porque si la x vale 0, esta igualdad se va a cumplir

24
00:04:02,960 --> 00:04:10,560
Puesto que 0 por cualquier otra cosa que valga el paréntesis va a tener resultado 0

25
00:04:10,560 --> 00:04:14,099
Por lo tanto una de las soluciones sería x igual a 0

26
00:04:14,099 --> 00:04:26,920
solución, una de ellas, x igual a cero. El resto de las soluciones me las va a dar el polinomio que está dentro del paréntesis, ¿vale?

27
00:04:28,500 --> 00:04:37,839
Ya he visto que si esta x valía cero, la igualdad se cumplía, pero bueno, puede ser que el paréntesis también sea lo que valga cero.

28
00:04:37,839 --> 00:04:42,959
Entonces, cualquier otra cosa por el valor 0 también daría 0.

29
00:04:43,060 --> 00:04:49,100
Entonces, ahora sí voy a buscar raíces de este polinomio de grado 3.

30
00:04:49,759 --> 00:04:50,120
¿De acuerdo?

31
00:04:51,500 --> 00:04:59,339
Buscar raíces en un polinomio de grado 2 es muy fácil porque puedo utilizar directamente la fórmula de la ecuación de segundo grado.

32
00:04:59,800 --> 00:05:04,160
Cuando yo tengo un polinomio de grado 3, para buscar raíces suelo utilizar Ruffini.

33
00:05:04,160 --> 00:05:27,519
En Ruffini, lo único que realizamos es en esta caja, colocamos todos los coeficientes del polinomio, que si es de grado 3 habrá 4, no os olvidéis del término independiente, el de grado 3 es el 1, grado 2, 5, coeficiente de grado 1, 3 y el término independiente menos 9.

34
00:05:27,519 --> 00:05:41,800
¿Vale? Esto está bien que vosotros penséis que si tenéis un polinomio de grado tal, voy a tener tal más uno coeficientes, bueno, pues únicamente por controlar que lo estamos haciendo bien.

35
00:05:41,800 --> 00:05:55,680
Hay también otro truco que justamente se cumple en este caso, que es comprobar si la suma de todos los coeficientes me da 0. Es el caso, fijaos, 1 más 5 es 6, más 3 es 9, menos 9 es 0.

36
00:05:55,680 --> 00:06:02,639
Este caso me viene bastante bien porque lo único que implica es que la raíz es 1

37
00:06:02,639 --> 00:06:06,939
No tengo que ir tanteando, ya directamente tengo una de las raíces

38
00:06:06,939 --> 00:06:10,639
¿Por qué? Porque vosotros pensad

39
00:06:10,639 --> 00:06:15,759
Si yo sustituyera la x por el valor 1

40
00:06:15,759 --> 00:06:22,160
Lo único que tendría que hacer es juntar los valores de los coeficientes

41
00:06:22,160 --> 00:06:24,600
Los valores de los coeficientes son tal que estos

42
00:06:24,600 --> 00:06:39,819
Si yo lo sumo y me da 0 es porque 1 era una de estas raíces, ¿de acuerdo? Mirad, lo compruebo con Ruffini, bajo el 1, 1 por 1, 1, 5 y 1, 6, 6 por 1, 6, 3 y 6, 9, por 1, 9, menos 9 y 9, 0.

43
00:06:39,819 --> 00:06:48,379
Efectivamente, si yo tengo en el resto cero es porque el 1 era una de las raíces.

44
00:06:49,160 --> 00:06:54,579
Esto de aquí, ya sabemos que es raíz.

45
00:06:55,040 --> 00:07:03,660
En el supuesto caso de que este truco no se cumpla, ya sabéis que las raíces están escondidas en los divisores del término independiente.

46
00:07:03,660 --> 00:07:08,519
En este caso he tenido suerte y además no voy a seguir haciendo Ruffini.

47
00:07:08,519 --> 00:07:28,279
No os aconsejo que seguís haciendo Ruffini. ¿Por qué? Porque yo las otras dos raíces que me quedan, puesto que este polinomio es un polinomio de grado 3, como mucho tiene tres raíces y ya tengo una, las otras dos que me quedan están escondidas en el polinomio de grado 2 que me ha dejado Ruffini.

48
00:07:28,279 --> 00:07:38,279
Este polinomio de grado 2 sería, estos son sus coeficientes, pues sería x al cuadrado más 6x más 9.

49
00:07:38,639 --> 00:07:48,980
Es preferible realizar la fórmula de la ecuación de segundo grado, porque yo en realidad lo que necesito es que este polinomio valga 0.

50
00:07:48,980 --> 00:07:59,360
Pues bueno, es tal cual resolver una ecuación de segundo grado con la fórmula menos b más menos raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4ac partido de 2a.

51
00:07:59,959 --> 00:08:13,360
Pero en este caso voy a borrar este igual a 0 porque si yo lo que quiero es factorizar, en vez de buscar las raíces, factorizar este polinomio.

52
00:08:13,360 --> 00:08:21,300
Ya sabéis que, bueno, pues para factorizar buscamos raíces y también para buscar raíces factorizamos de esta siguiente forma.

53
00:08:21,980 --> 00:08:26,120
Ese polinomio es, vamos, factorizable en un solo paso.

54
00:08:26,819 --> 00:08:30,720
El paso es darte cuenta de que esto es una identidad notable.

55
00:08:31,019 --> 00:08:38,580
Fijaos, aquí tengo un cuadrado, aquí tengo otro cuadrado, justamente x al cuadrado es cuadrado de x,

56
00:08:38,580 --> 00:08:52,259
9 es cuadrado de 3 y el doble de 3 por x es justamente 6x. Esto de aquí es la identidad notable, la primera, la de suma al cuadrado, de x más 3 al cuadrado.

57
00:08:52,919 --> 00:09:07,000
Perfecto. Si vosotros conseguís factorizar un polinomio también tenéis sus raíces. Ya sabéis que por el teorema del factor cada raíz está asociada a un factor y cada factor está asociado a una raíz.

58
00:09:07,000 --> 00:09:28,340
En este caso, si yo tengo el factor x más 3 repetido, es porque tengo como raíz el número menos 3. Esta raíz sería raíz doble porque este factor aparece dos veces, como veis aquí elevado al cuadrado.

59
00:09:28,340 --> 00:09:43,779
Bueno, pues yo ya podría resolver esta ecuación, ya podría dar todas las soluciones. Mirad, esta ecuación es una ecuación de grado 4, como hemos dicho.

60
00:09:43,779 --> 00:10:04,539
Como mucho tendría cuatro soluciones y las tiene. Porque mirad, el factor común que he sacado aquí, x, ya hemos deducido que me daba la solución 0. Cada vez que pueda sacar factor común la x es porque x igual a 0 es una de las soluciones de la ecuación.

61
00:10:04,539 --> 00:10:18,220
La otra raíz, el valor x igual a 1, era raíz de este polinomio, por tanto lo hacía 0 y por tanto también resolvía la ecuación. Es otra de las soluciones.

62
00:10:18,220 --> 00:10:47,080
Y por último, este polinomio que he conseguido factorizar como x más 3, suponía que el valor x igual a menos 3 también hacía 0 esto y por tanto menos 3 también hace 0 este polinomio de aquí, el del paréntesis y por tanto también supone que es una de las soluciones de la ecuación.

63
00:10:47,080 --> 00:10:55,139
Bien, esta última solución podríamos indicar que es una solución doble, puesto que proviene de una raíz doble.

64
00:10:56,100 --> 00:11:02,940
Por tanto, las soluciones de esta ecuación serían 0, 1 y menos 3, menos 3, menos 3 dos veces, ¿de acuerdo?

65
00:11:03,659 --> 00:11:13,120
Y bueno, pues así es como hemos resuelto una ecuación de grado 4, pues convirtiéndola en un polinomio en el que hay que buscar sus raíces.

66
00:11:13,120 --> 00:11:14,919
vale, muy fácil

67
00:11:14,919 --> 00:11:17,700
espero que lo hayáis entendido

68
00:11:17,700 --> 00:11:19,399
y bueno, pues ya sabéis

69
00:11:19,399 --> 00:11:20,159
a practicar