1
00:00:00,180 --> 00:00:06,419
Vamos a hacer este ejercicio que es el número 17 del tema 8, que está en la página 167.

2
00:00:06,620 --> 00:00:08,880
Es un problema muy típico de examen.

3
00:00:09,580 --> 00:00:12,339
Me dicen considerar la matriz A que depende de un parámetro A

4
00:00:12,339 --> 00:00:17,100
y me dicen que para qué valores de A la matriz A tiene inversa.

5
00:00:17,600 --> 00:00:22,219
También me podría haber dicho que calcule los valores de A para que la matriz sea regular.

6
00:00:22,559 --> 00:00:25,600
Es lo que os decía, que tenemos que sabernos los nombres.

7
00:00:25,600 --> 00:00:30,739
La matriz A es cuadrada, por lo tanto esa primera propiedad la cumple

8
00:00:30,739 --> 00:00:35,259
La segunda es que el determinante para que exista inversa tiene que ser distinto de 0

9
00:00:35,259 --> 00:00:40,859
Así que lo primero que tenemos que hacer para el apartado A es calcular el determinante de A

10
00:00:40,859 --> 00:00:57,810
Determinante de A, aquí tenemos A cuadrado, 2A, 1A, A más 1, 1, 1, 2, 1

11
00:00:57,810 --> 00:01:01,670
Pues aplicamos ARRUS y ¿qué me queda?

12
00:01:01,670 --> 00:01:07,829
Diagonal principal, A cuadrado por A más 1 por 1, es decir, A cuadrado por A más 1

13
00:01:07,829 --> 00:01:10,689
el por 1 no lo voy a poner

14
00:01:10,689 --> 00:01:14,269
más 2A por 1 por 1 es 2A

15
00:01:14,269 --> 00:01:19,489
más A por 2 por 1 es otro 2A

16
00:01:19,489 --> 00:01:21,650
y ahora los que restamos

17
00:01:21,650 --> 00:01:22,989
diagonal secundaria

18
00:01:22,989 --> 00:01:26,530
1 por A más 1 por 1 es A más 1

19
00:01:26,530 --> 00:01:32,129
menos 2A por A por 1 es 2A cuadrado

20
00:01:32,129 --> 00:01:37,390
menos 1 por 2 por A cuadrado

21
00:01:37,390 --> 00:01:59,230
Pues menos 2 a cuadrado. Es decir, esto es, vamos a ir operando, a cuadrado por a es a cubo, más a cuadrado por 1 es a cuadrado, 2a más 2a es 4a, menos a más 1, un menos delante de un paréntesis,

22
00:01:59,230 --> 00:02:07,129
Esto es menos a menos 1 y menos 2a al cuadrado menos 2a al cuadrado menos 4a al cuadrado.

23
00:02:08,349 --> 00:02:22,189
Seguimos operando y nos queda a cubo, a al cuadrado menos 4a al cuadrado menos 3a al cuadrado,

24
00:02:23,449 --> 00:02:28,009
4a menos a más 3a menos 1.

25
00:02:29,229 --> 00:02:36,349
Este es el determinante de la matriz. Entonces, nosotros lo que queremos hacer es ver para qué valores este determinante es 0.

26
00:02:38,129 --> 00:02:43,009
Para los valores en los que el determinante sea 0, son para los que no existe la matriz.

27
00:02:44,069 --> 00:02:51,629
Es un polinomio de orden 3, una ecuación cúbica. Tenemos que hacer Ruffini para poder resolverlo.

28
00:02:52,330 --> 00:03:03,349
Entonces, a ver, por Ruffini, 1 menos 3, 3 menos 1, si os fijáis todos suman 0, por lo tanto eso significa que se puede dividir entre el 1.

29
00:03:03,870 --> 00:03:13,129
1 por 1 es 1, menos 3 más 1 es menos 2, 1 por menos 2 es más 2, 3 menos 2 es 1, 1 por 1 es 1, menos 1 más 1 es 0.

30
00:03:13,129 --> 00:03:26,129
¿Vale? Luego este polinomio factoriza como a menos 1 por a cuadrado menos 2a más 1 igual a 0

31
00:03:26,129 --> 00:03:37,250
A ver, podríamos seguir haciendo Ruffini porque se ve claramente que vuelve a dar 0 si lo sumo

32
00:03:37,250 --> 00:03:43,090
¿Vale? 1 por 1 es 1, menos 1, menos 1 es 0

33
00:03:43,090 --> 00:03:54,389
Y entonces me queda a menos 1 por a menos 1 por, y el que me queda abajo es otra vez, a menos 1 igual a 0.

34
00:03:55,330 --> 00:04:01,090
Es decir, en el fondo ese polinomio es a menos 1 elevado al cubo.

35
00:04:01,830 --> 00:04:06,069
Para que un producto sea 0, cada uno de los factores tiene que ser 0.

36
00:04:06,610 --> 00:04:10,509
En este caso, como es el mismo factor, me queda que a menos 1 es igual a 0.

37
00:04:10,509 --> 00:04:15,110
es una raíz triple, a es igual a 1, ¿vale?

38
00:04:15,310 --> 00:04:20,610
Si fueran otros números, pues nos habrían salido tres números, dos los que fueran.

39
00:04:21,629 --> 00:04:23,550
Por lo tanto, ahora, ¿qué es lo que tendríamos que ver?

40
00:04:23,889 --> 00:04:26,769
¿Cuál es el único número que hace que este determinante sea cero?

41
00:04:27,250 --> 00:04:28,250
El a igual a 1.

42
00:04:28,250 --> 00:04:36,269
Luego, entonces, ahora respondemos, si a es distinto de 1, ¿qué ocurre?

43
00:04:36,269 --> 00:04:38,490
que el determinante de A

44
00:04:38,490 --> 00:04:40,850
es distinto de 0

45
00:04:40,850 --> 00:04:42,029
y por lo tanto

46
00:04:42,029 --> 00:04:44,670
existe la inversa

47
00:04:44,670 --> 00:04:46,189
eso es

48
00:04:46,189 --> 00:04:48,490
discutir, justificar la respuesta

49
00:04:48,490 --> 00:04:49,009
¿vale?

50
00:04:49,730 --> 00:04:51,870
y ahora que me están pidiendo en el apartado B

51
00:04:51,870 --> 00:04:54,009
para A igual a 0

52
00:04:54,009 --> 00:04:56,689
haya la inversa, ya sabemos que para A igual a 0

53
00:04:56,689 --> 00:04:58,110
va a existir inversa

54
00:04:58,110 --> 00:05:00,290
porque el único valor para el que no existe inversa

55
00:05:00,290 --> 00:05:02,189
es el 1, también hay veces que también

56
00:05:02,189 --> 00:05:03,529
si queréis podemos ponerlo aquí

57
00:05:03,529 --> 00:05:05,629
si A es igual a 1

58
00:05:05,629 --> 00:05:08,870
significa que el determinante de A es 0

59
00:05:08,870 --> 00:05:14,250
y por lo tanto no existe A menos 1, ¿vale?

60
00:05:14,750 --> 00:05:17,410
Con poner 1 en el fondo serviría, pero podemos poner las dos.

61
00:05:18,149 --> 00:05:20,490
Entonces vamos a calcular la inversa.

62
00:05:21,110 --> 00:05:24,189
Para ello me voy a quedar aquí arriba con el determinante de A.

63
00:05:24,550 --> 00:05:34,670
El determinante de A era A cubo menos 3A cuadrado más 3A menos 1.

64
00:05:34,670 --> 00:05:40,329
¿Y para qué me quedó eso? Porque voy a borrar toda la parte de abajo para tener espacio para lo siguiente.

65
00:05:41,209 --> 00:05:46,089
Vale, ya he borrado la pizarra para que me quede todo, para tener todo el espacio.

66
00:05:46,649 --> 00:05:50,610
Entonces he mantenido el valor porque claro, ahora para calcular la inversa, para la igual a cero,

67
00:05:51,329 --> 00:05:54,430
no vuelvo a calcular el determinante, ya lo tengo calculado.

68
00:05:54,810 --> 00:05:59,310
Lo único que tengo que hacer es que si a es igual a cero, ¿cuánto vale el determinante de a?

69
00:05:59,310 --> 00:06:04,509
Pues sustituimos, cero menos cero más cero es cero y que me queda menos uno.

70
00:06:04,670 --> 00:06:09,029
que ya lo sabíamos, que existía la inversa para ese valor,

71
00:06:09,170 --> 00:06:11,870
pero si quieres también lo podemos volver a poner, es distinto de cero,

72
00:06:11,990 --> 00:06:16,490
por lo tanto existe a menos uno, cosa que sabíamos por el apartado A.

73
00:06:16,490 --> 00:06:20,009
Y ahora ya escribimos cómo nos quedaría la matriz A,

74
00:06:20,610 --> 00:06:31,610
para A igual cero es cero, cero, uno, cero, uno, dos, uno, uno, uno.

75
00:06:31,829 --> 00:06:33,610
Esta es mi matriz A.

76
00:06:33,610 --> 00:06:47,750
Pues a ver, para calcular la inversa, sabemos, lo voy a hacerlo aquí a la izquierda, a menos 1 era 1 partido por el determinante de a de la traspuesta de la adjunta.

77
00:06:48,750 --> 00:06:55,490
Pues lo hacemos todo de una vez. Esto sería 1 partido de menos 1 por la matriz.

78
00:06:55,490 --> 00:07:05,769
Vamos a poner los signos, más, menos, más, menos, más, menos, más, menos, más

79
00:07:05,769 --> 00:07:09,990
Y como ya voy a poner directamente la traspuesta

80
00:07:09,990 --> 00:07:13,949
Voy a empezar haciéndolos por la primera fila

81
00:07:13,949 --> 00:07:16,790
Y los voy a colocar en la primera columna

82
00:07:16,790 --> 00:07:20,649
Vamos a ir calculando los menores, ya que he puesto los signos de los adjuntos

83
00:07:20,649 --> 00:07:24,230
Entonces para el primer elemento, tacho, primera fila, primera columna

84
00:07:24,230 --> 00:07:29,810
me queda 1 por 1 menos 1 por 2, que sería menos 1, así que menos 1.

85
00:07:30,250 --> 00:07:39,170
El segundo tacho, primera fila, segunda columna, y me queda 0 por 1 es 0, 1 por 2, 2, así que me queda menos 2.

86
00:07:39,750 --> 00:07:44,490
Y lo ponemos aquí, que podríamos haber tachado ya directamente y haber puesto el más 2, ¿vale?

87
00:07:44,750 --> 00:07:51,990
Y ahora el tercer elemento, tacho primera fila, tercera columna, y me queda 0 por 1, 0, menos 1 por 1, menos 1.

88
00:07:51,990 --> 00:07:54,209
Y lo ponemos aquí

89
00:07:54,209 --> 00:07:56,529
Ahora voy a la segunda columna

90
00:07:56,529 --> 00:07:58,889
Tacho segunda columna, primera fila

91
00:07:58,889 --> 00:08:00,410
Y me queda 0 por 1 es 0

92
00:08:00,410 --> 00:08:01,970
Menos 1 por 1, 1

93
00:08:01,970 --> 00:08:04,949
Y ahora lo estoy poniendo en la segunda columna

94
00:08:04,949 --> 00:08:06,350
Segundo elemento

95
00:08:06,350 --> 00:08:08,350
Tacho segunda fila, segunda columna

96
00:08:08,350 --> 00:08:10,110
Y me queda 0 por 1, 0

97
00:08:10,110 --> 00:08:11,970
Menos 1 por 1, 1

98
00:08:11,970 --> 00:08:15,250
Menos 1 por 1, 1

99
00:08:15,250 --> 00:08:16,970
Así que me falta el menos, que me lo he comido

100
00:08:16,970 --> 00:08:18,949
Y el último elemento

101
00:08:18,949 --> 00:08:21,009
Tacho segunda fila, tercera columna

102
00:08:21,009 --> 00:08:22,189
Y me queda 0 por 1

103
00:08:22,189 --> 00:08:25,990
Bueno, tengo una fila de ceros, así que directamente es cero.

104
00:08:27,370 --> 00:08:34,970
Y por último, calculo los menores de la tercera fila y los pongo en la tercera columna.

105
00:08:35,549 --> 00:08:40,870
Tacho primera fila, primera columna y me queda cero por dos, cero, menos uno por uno, menos uno.

106
00:08:42,110 --> 00:08:46,149
Tercera fila, segunda columna, tengo una columna de ceros, así que va a ser cero.

107
00:08:46,149 --> 00:08:53,710
Y el último elemento, tacho tercera fila, tercera columna y me queda lo mismo, vuelvo a tener fila y columna de ceros, lo opuesto es cero.

108
00:08:54,190 --> 00:09:01,889
Por lo tanto, la matriz inversa va a ser, tengo que dividir o multiplicar todo por menos uno, así que es cambiar los signos que me quedan.

109
00:09:02,289 --> 00:09:06,690
Aquí me quedaría menos uno, luego es más uno, menos uno, más uno, menos uno, más uno.

110
00:09:07,110 --> 00:09:15,450
Ahí es más dos, luego menos dos, menos uno, más uno, el cero, que no le ponemos signo, menos uno, uno, cero y cero.

111
00:09:16,149 --> 00:09:21,389
Así que si no me he equivocado, esa sería la matriz inversa.

112
00:09:21,870 --> 00:09:25,429
Lo he estado repasando y he visto que efectivamente he cometido un fallo.

113
00:09:26,009 --> 00:09:28,009
Y es en este elemento.

114
00:09:29,830 --> 00:09:31,389
Se me ha olvidado poner el menos.

115
00:09:31,950 --> 00:09:34,350
Este elemento era de la segunda fila.

116
00:09:35,570 --> 00:09:38,809
Es el menor correspondiente a este elemento.

117
00:09:39,129 --> 00:09:42,450
Que teníamos que tachar esta fila y esta columna.

118
00:09:42,610 --> 00:09:43,230
¿Y qué me quedaba?

119
00:09:43,230 --> 00:09:46,029
0 por 1 es 0, menos 1 por 1

120
00:09:46,029 --> 00:09:47,250
Es decir, me quedaba menos 1

121
00:09:47,250 --> 00:09:49,389
Me he comido aquí el menos

122
00:09:49,389 --> 00:09:52,250
Porque el otro menos era por el signo del adjunto

123
00:09:52,250 --> 00:09:54,190
Por lo tanto, este era positivo

124
00:09:54,190 --> 00:09:55,929
Como teníamos aquí el menos

125
00:09:55,929 --> 00:09:57,149
Aquí me queda el menos

126
00:09:57,149 --> 00:09:58,769
¿Vale? Siempre conviene

127
00:09:58,769 --> 00:10:01,370
Ir, a ver, es lo que siempre os digo

128
00:10:01,370 --> 00:10:03,570
Vosotros lo vais haciendo del papel y vais tachando

129
00:10:03,570 --> 00:10:05,870
Yo lo estoy haciendo aquí un poco a ciegas

130
00:10:05,870 --> 00:10:08,169
Y bueno, pues se tienen fallos

131
00:10:08,169 --> 00:10:10,190
Pero bueno, siempre para un momentito

132
00:10:10,190 --> 00:10:12,149
Lo vuelvo a repasar y ya está

133
00:10:12,149 --> 00:10:15,690
Lo que espero es que en el momento que yo le haya estado diciendo

134
00:10:15,690 --> 00:10:20,629
Alguno os hayáis dado cuenta de que he cometido un fallo

135
00:10:20,629 --> 00:10:21,850
Eso es importante, ¿vale?

136
00:10:22,169 --> 00:10:25,190
Creo que por todo lo demás está correcto