1
00:00:01,780 --> 00:00:17,379
La función que vamos a estudiar ahora, el dominio, es la función y de x, que es el logaritmo neperiano del resultado de realizar ese polinomio, x al cubo más x al cuadrado menos x menos 1.

2
00:00:18,699 --> 00:00:25,519
Entonces, esta función, vamos a ver, como siempre, para establecer el dominio, ¿cuál es la condición?

3
00:00:26,100 --> 00:00:27,199
Se trata de un logaritmo.

4
00:00:27,699 --> 00:00:29,440
Estamos calculando un logaritmo.

5
00:00:30,160 --> 00:00:34,700
Entonces, la condición es que la expresión cuyo logaritmo hay que calcular,

6
00:00:36,020 --> 00:00:37,700
es decir, esta expresión que está aquí dentro,

7
00:00:39,119 --> 00:00:41,719
x al cubo más x al cuadrado menos x menos 1,

8
00:00:42,380 --> 00:00:43,659
tiene que ser un número positivo.

9
00:00:44,280 --> 00:00:47,600
Cuando yo sustituya aquí la x por un valor y haga este cálculo de aquí dentro,

10
00:00:48,299 --> 00:00:49,640
me tiene que dar un número positivo,

11
00:00:49,640 --> 00:00:54,420
porque si me da cero o negativo, el logaritmo no estaría definido.

12
00:00:54,420 --> 00:00:57,060
El logaritmo natural, en este caso, no estaría definido.

13
00:00:58,140 --> 00:01:11,689
Por lo tanto, esa es la condición que se transforma en que en ecuación, pues que esa expresión sea mayor que cero.

14
00:01:11,849 --> 00:01:13,549
Y ahora es mayor estricto.

15
00:01:14,189 --> 00:01:18,349
No puede ser cero, porque el logaritmo de cero no está definido.

16
00:01:20,349 --> 00:01:23,329
Entonces, ¿qué tenemos que hacer?

17
00:01:23,329 --> 00:01:31,689
Pues resolver esta inequación para averiguar cuáles son los puntos para los cuales puedo calcular este logaritmo.

18
00:01:33,310 --> 00:01:35,269
Vamos a resolver la inequación.

19
00:01:36,670 --> 00:01:44,310
Se trata de una inequación donde tenemos un polinomio, una desigualdad y luego cero.

20
00:01:44,310 --> 00:01:54,150
Es decir, buscamos los valores de la x para los cuales este polinomio tiene signo positivo.

21
00:01:55,310 --> 00:02:01,370
Entonces, ¿cómo se vuelven estas inequaciones? Pues factorizando y buscando los puntos críticos.

22
00:02:01,849 --> 00:02:03,590
Vamos a hacerlo utilizando Ruffini.

23
00:02:04,349 --> 00:02:07,950
Entonces colocamos los coeficientes que son 1, 1, menos 1 y menos 1.

24
00:02:07,950 --> 00:02:15,110
Y ahora vamos a probar a dividir entre x menos 1, poniendo aquí la raíz asociada que es 1.

25
00:02:15,550 --> 00:02:21,849
Que sabemos que esto sí que me va a dar, porque la suma de todos los coeficientes, 1 más 1 menos 1 menos 1 me da 0.

26
00:02:22,469 --> 00:02:25,469
Y esto me permite asegurarme que 1 es raíz.

27
00:02:26,330 --> 00:02:33,810
Entonces, realizamos Ruffini y efectivamente nos da resto 0, es decir, es un factor.

28
00:02:34,250 --> 00:02:35,849
x menos 1 es un factor.

29
00:02:35,849 --> 00:02:39,250
vale, entonces tenemos esta factorización

30
00:02:39,250 --> 00:02:42,129
x menos 1 por, y lo que me ha quedado aquí

31
00:02:42,129 --> 00:02:46,169
que es x al cuadrado más 2x más 1

32
00:02:46,169 --> 00:02:49,849
vale, y ahora este x al cuadrado más 2x más 1

33
00:02:49,849 --> 00:02:51,050
lo seguimos factorizando

34
00:02:51,050 --> 00:02:53,349
que se puede hacer con la ecuación de segundo grado

35
00:02:53,349 --> 00:02:58,250
pero en este caso vemos que es el desarrollo del cuadrado de x más 1

36
00:02:58,250 --> 00:03:00,289
es una identidad notable

37
00:03:00,289 --> 00:03:03,650
entonces nos queda esa factorización

38
00:03:03,650 --> 00:03:06,210
x menos 1 por x más 1 al cuadrado.

39
00:03:06,650 --> 00:03:08,909
¿Y cuáles son los puntos críticos?

40
00:03:09,389 --> 00:03:13,069
Pues los puntos críticos son las raíces asociadas a cada uno de sus factores,

41
00:03:13,610 --> 00:03:18,069
que son 1 aquí y menos 1 aquí, que es doble.

42
00:03:18,069 --> 00:03:20,729
Es doble porque está elevado al cuadrado.

43
00:03:23,379 --> 00:03:26,419
Entonces, estos son los puntos críticos, 1 y menos 1,

44
00:03:26,539 --> 00:03:30,120
que son los valores para los que esta expresión vale 0,

45
00:03:31,060 --> 00:03:32,439
y esta es la factorización.

46
00:03:32,439 --> 00:03:37,879
siguiente paso, pues ahora vamos a dividir la recta desde menos infinito a infinito

47
00:03:37,879 --> 00:03:42,300
en intervalos, utilizando los puntos críticos que hemos obtenido, el 1 y el menos 1

48
00:03:42,300 --> 00:03:46,400
y vamos a ver que signo tiene cada uno de estos factores, este y este

49
00:03:46,400 --> 00:03:48,560
y cuidado que este está elevado al cuadrado

50
00:03:48,560 --> 00:03:52,599
y cuál es el signo del producto de todos los factores

51
00:03:52,599 --> 00:03:57,419
entonces, vamos a hacer un poquito de hueco aquí

52
00:03:57,419 --> 00:04:09,819
Y entonces realizamos la tabla de menos infinito a más infinito, los puntos críticos menos 1 y 1, y tengo estos tres intervalos.

53
00:04:10,719 --> 00:04:16,920
¿Cuáles son los factores? Pues son dos factores, x menos 1 y x más 1 al cuadrado.

54
00:04:16,920 --> 00:04:27,500
Ahora, x menos 1 se anula entre menos infinito y menos 1, y entre menos 1 y 1.

55
00:04:28,160 --> 00:04:37,300
Y es positivo, se anula, no, perdón, es negativo, entre menos infinito y menos 1, y entre menos 1 y 1, y es positivo de 1 infinito.

56
00:04:38,560 --> 00:04:45,699
Y x más 1 cambia de signo, pero luego al estar elevado al cuadrado va a ser siempre positivo.

57
00:04:45,699 --> 00:04:48,379
Por lo tanto, esto es más, más y más en todos los casos.

58
00:04:49,740 --> 00:04:53,839
Vale, entonces el producto de estas dos cosas que me da este polinomio, ¿qué signo tiene?

59
00:04:53,939 --> 00:04:58,879
Pues multiplicamos los signos, menos por más, menos, menos por más, menos, más por más, más.

60
00:04:59,540 --> 00:05:05,000
Entonces, ¿cuáles de estos intervalos son solución de la inequación?

61
00:05:05,240 --> 00:05:08,839
Pues como la inequación es mayor que cero, es decir, positivo,

62
00:05:09,720 --> 00:05:13,420
este que es negativo, en este intervalo la expresión es negativa,

63
00:05:13,420 --> 00:05:22,019
luego los puntos de este intervalo no son solución, en este intervalo entre menos 1 y 1 la expresión es negativa,

64
00:05:22,379 --> 00:05:27,720
por lo tanto tampoco son solución, y los valores de la x entre 1 e infinito,

65
00:05:28,579 --> 00:05:33,339
la expresión me da un valor positivo que es mayor que 0, por lo tanto sí es solución.

66
00:05:34,579 --> 00:05:40,060
Entonces, ¿cuál es la solución? Pues la solución es ahora el intervalo abierto de 1 a infinito.

67
00:05:40,060 --> 00:05:43,779
¿Y por qué es abierto? Porque aquí el 0 no está incluido.

68
00:05:44,360 --> 00:05:50,060
Y el 1 es un punto crítico, por lo tanto es un valor que hace que esto valga 0.

69
00:05:50,720 --> 00:05:53,920
Y si esto vale 0, no es solución, porque no está incluida.

70
00:05:54,800 --> 00:05:59,000
Y ahora a partir de 1 infinito, ya hemos visto aquí que eso va a ser siempre positivo, por lo tanto sí.

71
00:05:59,500 --> 00:06:01,459
Luego está la solución de la inequación.

72
00:06:03,779 --> 00:06:07,620
Entonces colocamos aquí nuestra solución, es el intervalo de 1 infinito.

73
00:06:07,620 --> 00:06:12,519
Y ya por último lo único que tenemos que hacer es expresar el dominio, que es este conjunto.

74
00:06:12,720 --> 00:06:17,519
El dominio de esta función es el intervalo abierto de 1 a infinito.

75
00:06:17,860 --> 00:06:26,720
Porque cuando tengo un número más pequeño que 1, esto de aquí dentro es negativo y el logaritmo neperiano de algo negativo no lo podemos calcular.

76
00:06:28,220 --> 00:06:36,740
Y por último vamos a ver la gráfica de la función para ver que el dominio que obtendríamos analizando la gráfica

77
00:06:36,740 --> 00:06:39,600
coincide con el dominio que hemos obtenido analíticamente.

78
00:06:41,060 --> 00:06:42,660
Esta es la gráfica de la función.

79
00:06:45,829 --> 00:06:48,970
Y observamos que efectivamente, si analizamos esta gráfica,

80
00:06:49,649 --> 00:06:54,910
en 1 no está definida, luego el 1 no está en el dominio,

81
00:06:55,350 --> 00:06:58,569
lo que tiene es una asíntota, es decir, que cuanto más me acerco a 1,

82
00:06:59,009 --> 00:07:01,389
esta función se dispara hacia menos infinito.

83
00:07:02,370 --> 00:07:03,829
Pero el 1 no se alcanza.

84
00:07:04,170 --> 00:07:07,389
Luego el 1 no está en el dominio y a partir de ahí ya cualquier número de aquí

85
00:07:07,389 --> 00:07:08,550
si estaría en el dominio

86
00:07:08,550 --> 00:07:10,189
entonces el dominio de esta gráfica

87
00:07:10,189 --> 00:07:10,970
efectivamente es

88
00:07:10,970 --> 00:07:11,810
si la analizamos

89
00:07:11,810 --> 00:07:12,350
esta función

90
00:07:12,350 --> 00:07:13,649
analizando su gráfica

91
00:07:13,649 --> 00:07:14,870
es el intervalo

92
00:07:14,870 --> 00:07:15,689
uno infinito

93
00:07:15,689 --> 00:07:18,709
que es lo que habíamos obtenido

94
00:07:18,709 --> 00:07:19,509
analíticamente