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00:00:00,000 --> 00:00:05,280
Hola, en este video vamos a deducir la fórmula para calcular la distancia entre dos rectas

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00:00:05,280 --> 00:00:11,300
que se cruzan. En la imagen tenemos dos de estas rectas y podemos comprobar que si cogemos

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00:00:11,300 --> 00:00:17,200
un punto de cada una, un punto arbitrario de cada una de ellas, el segmento que los

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00:00:17,200 --> 00:00:23,800
une tiene una longitud que varía en función de los puntos. La distancia entre ambas rectas

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00:00:23,800 --> 00:00:29,480
es el menor de estos valores, que sin embargo no es fácil de determinar, no es fácil obtener.

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00:00:29,480 --> 00:00:33,480
A partir de las ecuaciones de las rectas, ¿cuáles son esos dos puntos que van a ser

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00:00:33,480 --> 00:00:40,680
los más próximos? La alternativa la podemos entender si hacemos ver los vectores directores

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00:00:40,680 --> 00:00:46,000
de las rectas, que también son fáciles de obtener a partir de sus ecuaciones. Y no sólo

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00:00:46,000 --> 00:00:54,280
esos vectores, sino los que aparecen en esos planos paralelos cuando trasladamos cada uno

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00:00:54,280 --> 00:01:00,160
de los vectores a la otra recta, es decir, aquí en la recta S hemos copiado el vector

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00:01:00,160 --> 00:01:06,920
director de R y viceversa en la recta R hemos copiado el vector director de S. Vemos entonces

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00:01:06,920 --> 00:01:11,720
que limitada entre estos planos paralelos se perfila la figura de un prisma, que no

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00:01:11,720 --> 00:01:22,080
es otro prisma que el que está definido precisamente por los vectores VR, aquí abajo, VS y este

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00:01:22,080 --> 00:01:30,000
vector que une a sub R con a sub S. La distancia que queremos calcular coincide con la altura

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00:01:30,000 --> 00:01:35,000
de ese prisma, y esto es independiente de los puntos elegidos, no importa qué puntos

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00:01:35,000 --> 00:01:41,760
elijamos, aunque el volumen del prisma y el área de su base se verán modificados, así

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00:01:41,760 --> 00:01:46,480
como el segmento a sub R, a sub S, la altura no se ve nunca modificada porque no es otra

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00:01:46,480 --> 00:01:53,360
que la distancia que hay entre esos dos planos paralelos. ¿Cómo podemos determinar entonces

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00:01:53,360 --> 00:02:01,640
la altura de ese prisma? Pues la idea es la siguiente, dado que la distancia coincide

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00:02:01,640 --> 00:02:06,560
con la altura, calcularemos la altura a partir de esta fórmula de la geometría elemental,

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00:02:06,560 --> 00:02:11,040
el volumen del prisma se puede obtener siempre como el área de la base por su altura, es

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00:02:11,040 --> 00:02:18,120
decir que la altura será igual a este cociente. Ambas cantidades, el volumen del paralelepípedo

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00:02:18,120 --> 00:02:22,760
y el área de la base, se pueden obtener a partir de los vectores que determinan el prisma.

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00:02:22,760 --> 00:02:27,160
Recordemos que el volumen de este paralelepípedo se puede obtener como el valor absoluto del

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00:02:27,160 --> 00:02:35,960
producto mixto formado precisamente por los vectores VR, VS y el que une dos puntos cualesquiera

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00:02:36,120 --> 00:02:44,160
de R y S. El área de la base, que sería el paralelogramo que obtenemos como cara inferior

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00:02:44,160 --> 00:02:51,560
de este prisma, se puede obtener como el módulo del producto vectorial de los vectores que

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00:02:51,560 --> 00:02:57,560
definen la cara inferior, que son precisamente VR y VS. Por lo tanto este cociente efectivamente

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00:02:57,560 --> 00:03:03,480
nos dará la distancia deseada. Observemos que todos los datos necesarios para aplicar

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00:03:03,480 --> 00:03:08,920
la fórmula se pueden obtener fácilmente de las ecuaciones de las rectas cuya distancia

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00:03:08,920 --> 00:03:13,880
queremos calcular, los vectores directores y los puntos de cada una de ellas.