1
00:00:00,560 --> 00:00:09,759
Hay otros ejemplos que están en la hoja que, aunque no sean de clase, se pueden deducir y se derivan de cosas que dimos en clase.

2
00:00:10,679 --> 00:00:14,839
Los tenéis corregidos en los ejercicios, pero los explico también en este vídeo.

3
00:00:16,420 --> 00:00:21,879
Me habéis preguntado por este límite en clase, es del ABAU, y en la hoja que os he dado no está bien.

4
00:00:22,920 --> 00:00:26,899
Pero os voy a dar una solución correcta por vídeo porque creo que es mejor.

5
00:00:26,899 --> 00:00:35,780
A ver, en un límite como este, pues lo mejor es calcular primero los límites naturales con la calculadora a ver qué pasa.

6
00:00:36,920 --> 00:00:43,899
Entonces, si lo calculamos en 0,1, pues esto nos da 1,997.

7
00:00:45,179 --> 00:00:50,299
Y si lo calculamos en menos 0,1, nos da menos 1,997.

8
00:00:51,159 --> 00:00:56,399
Esto es aproximadamente 2 y esto menos 2, con lo cual seguramente el límite no exista.

9
00:00:56,899 --> 00:01:02,899
Algo habrá. Ya con esto no hemos hecho nada, pero nos da una idea.

10
00:01:02,899 --> 00:01:13,900
Lo que se me ocurre que es más fácil en este caso es sacar factor común o bien meter la x dentro de la raíz.

11
00:01:13,900 --> 00:01:19,469
Con la x solo hay un problema y es el signo de la raíz cuadrada.

12
00:01:19,469 --> 00:01:42,870
A ver, si hacemos el límite cuando x tiende a 0, aquí tenemos, pues esto es x cuadrado por 4 menos x cuadrado, todo y entre x, y esto es el límite cuando x tiende a 0 de raíz cuadrada de x al cuadrado, 4 menos x al cuadrado entre x, y ahora bien, esto es el valor absoluto de x.

13
00:01:42,870 --> 00:01:47,000
Entonces, ¿y esto tiene límite?

14
00:01:48,680 --> 00:01:53,260
Eso es el límite cuando x tiende a 0 del resultado de x entre x

15
00:01:53,260 --> 00:02:03,079
por el límite cuando x tiende a 0 de 4 menos x al cuadrado

16
00:02:03,079 --> 00:02:07,900
Bueno, esto lo podemos calcular, esto vale raíz de 4 que vale 2

17
00:02:08,180 --> 00:02:14,599
Con lo cual, esto es el límite cuando x tiende a 0 de x entre x por 2

18
00:02:14,599 --> 00:02:20,460
es decir, dos veces el límite de x partido por x

19
00:02:20,460 --> 00:02:24,840
y esto lo conocemos, bueno, pues aquí directamente separamos

20
00:02:24,840 --> 00:02:31,960
a ver, eso dos veces el límite cuando x tiende a 0 por la izquierda

21
00:02:31,960 --> 00:02:33,460
del valor absoluto de x

22
00:02:33,460 --> 00:02:37,180
y dos veces el límite cuando x tiende por la derecha

23
00:02:37,180 --> 00:02:40,060
del valor absoluto de x entre x

24
00:02:40,479 --> 00:02:44,000
ahora bien, ¿cuánto vale el valor absoluto de x para x menor que 0?

25
00:02:44,000 --> 00:02:48,840
por menos x, dos veces el límite cuando x tiende a 0 por izquierda de menos x entre x

26
00:02:48,840 --> 00:02:53,080
y eso es menos 1, bueno, 2 por menos 1 que es menos 2

27
00:02:53,080 --> 00:02:57,300
y esto es dos veces el límite cuando x tiende a 0 por la derecha

28
00:02:57,300 --> 00:03:00,960
el valor absoluto de x cuando x es mayor que 0 es x

29
00:03:00,960 --> 00:03:05,340
2 por 1, el límite es 1, que es 2

30
00:03:05,340 --> 00:03:08,539
con lo cual no existe límite

31
00:03:08,539 --> 00:03:12,960
nos da lo que vimos empíricamente, lo que pasa es que esto no nos demuestra ni calcular el límite

32
00:03:12,960 --> 00:03:17,919
Eso es hacer una prueba a ver qué sale después.

33
00:03:21,039 --> 00:03:25,120
Un ejercicio que le hemos dado y que está en la hoja,

34
00:03:25,319 --> 00:03:29,080
que en el BAU, es hallar la recta tangente mínima pendiente.

35
00:03:30,199 --> 00:03:35,120
Bueno, pues si sabemos hallar la pendiente y sabemos calcular máximos y mínimos,

36
00:03:36,060 --> 00:03:37,020
es aplicar eso nada más.

37
00:03:37,979 --> 00:03:46,180
A ver, la función f de x es x cubo menos x cuadrado más 8x menos 3.

38
00:03:46,180 --> 00:03:58,060
Perdón, más 3. Su derivada es 3x cuadrado menos 2x más 8. Y su derivada segunda es 6x menos 2.

39
00:03:59,419 --> 00:04:06,060
Bien. ¿Qué nos piden? Nos piden calcular la pendiente, que es esta. Esta es la pendiente.

40
00:04:08,199 --> 00:04:15,500
¿Y cómo hallamos la pendiente máxima o mínima? Pues derivando la pendiente, que es la derivada segunda.

41
00:04:15,500 --> 00:04:18,199
Y después pues hallando los ceros

42
00:04:18,199 --> 00:04:20,060
Y viendo si son mínimos

43
00:04:20,060 --> 00:04:22,060
Igual que los problemas de maximización

44
00:04:22,060 --> 00:04:23,459
Bueno, pues lo hacemos

45
00:04:23,459 --> 00:04:25,480
Igualamos esto a cero

46
00:04:25,480 --> 00:04:26,379
Y eso se iguala a cero

47
00:04:26,379 --> 00:04:27,220
Si, solo si

48
00:04:27,220 --> 00:04:28,899
6x es igual a 2

49
00:04:28,899 --> 00:04:32,000
Lo que ocurre es que si solo x es igual a 2 estos

50
00:04:32,000 --> 00:04:33,519
Que es un tercio

51
00:04:33,519 --> 00:04:35,079
Y ya está

52
00:04:35,079 --> 00:04:38,079
Entonces ya tenemos el candidato a mínimo

53
00:04:38,079 --> 00:04:42,199
Lo siguiente es

54
00:04:42,199 --> 00:04:43,860
Ver si es un mínimo o no

55
00:04:43,860 --> 00:04:44,699
De esta función

56
00:04:44,699 --> 00:05:01,500
Entonces, cogemos la tabla, aquí tenemos g' y g', y tenemos un tercio, y la función entre menos infinito y un tercio, y entre un tercio e infinito.

57
00:05:03,399 --> 00:05:15,199
Podemos representar esta función, que en un tercio es una recta, y aquí es positiva y aquí es negativa, y ya sabemos que esos son los intervalos de crecimiento.

58
00:05:15,199 --> 00:05:21,540
Aquí es negativa, decreciente, aquí es positiva, decreciente

59
00:05:21,540 --> 00:05:25,879
Pero también podemos hacerlo calculando un valor entre medias

60
00:05:25,879 --> 00:05:32,860
Y hallando esto aquí, por ejemplo, en el 0, que vale menos 2

61
00:05:32,860 --> 00:05:38,699
Y por ejemplo en el 1, que es la primera prima de 1, que vale 4

62
00:05:38,699 --> 00:05:41,939
Entonces aquí es positivo y aquí es negativo

63
00:05:41,939 --> 00:05:46,980
Aquí vale 0 y esto nos indica que es un mínimo

64
00:05:46,980 --> 00:06:03,889
Por tanto, en x igual a un tercio está la recta tangente de mínima pendiente.

65
00:06:05,110 --> 00:06:06,209
Pues ya está.

66
00:06:09,529 --> 00:06:10,750
Vamos a hacerlo.

67
00:06:12,149 --> 00:06:15,649
Pues en x igual a un tercio, ¿cuánto parece dx?

68
00:06:15,649 --> 00:06:32,279
Pues cogemos la calculadora y lo calculamos. f nos da 151 partido por 27, por lo que es lo mismo 5,592 periodo.

69
00:06:32,279 --> 00:06:40,279
Si queréis redondear, 5,59, a veces haría 2,5, etc., pues redondamos hasta el 3.

70
00:06:40,279 --> 00:06:46,829
vale, ahora la derivada f' de x

71
00:06:46,829 --> 00:06:47,389
¿cuánto vale?

72
00:06:47,610 --> 00:06:49,250
ponemos la calculadora y nos da

73
00:06:49,250 --> 00:06:52,410
que esto es

74
00:06:52,410 --> 00:06:54,350
23 tercios

75
00:06:54,350 --> 00:06:55,149
por lo otro mismo

76
00:06:55,149 --> 00:06:57,550
7,6 periodo

77
00:06:57,550 --> 00:06:59,089
que por ejemplo podemos poner como

78
00:06:59,089 --> 00:07:01,689
7,667

79
00:07:01,689 --> 00:07:04,370
y ya con esto podemos calcular

80
00:07:04,370 --> 00:07:05,230
la recta tangente

81
00:07:05,230 --> 00:07:07,069
en un punto cualquiera

82
00:07:07,069 --> 00:07:08,389
la recta tangente

83
00:07:08,389 --> 00:07:10,250
en un punto pistero

84
00:07:10,250 --> 00:07:12,250
la recta tangente es

85
00:07:12,250 --> 00:07:31,209
Y igual a f de x0 más f' de x0 por x menos x0, que es 1 tercio, sería y es igual a f de x0, que sería 23 tercios, más f', que es 151 partido por 17, por x menos 1 tercio.

86
00:07:31,209 --> 00:07:42,790
Esto es igual a 23 tercios más 151 partido por 27X menos 151 partido por 81.

87
00:07:42,790 --> 00:07:53,279
Esto nos da 151 partido por 27X más, y ahora ponemos la fracción,

88
00:07:54,379 --> 00:08:09,079
23 por 27 es 621 menos 151, que nos da 151 partido por 27X menos 470 partido por 81.

89
00:08:09,079 --> 00:08:11,040
Entonces esa es la recta tangente.

90
00:08:11,980 --> 00:08:18,180
Y es igual a 151 partido por 27X menos 470 partido por 81.

91
00:08:18,180 --> 00:08:28,160
Si alguien quiere hacerlo con el reclutador directamente, pues también puede hacerlo.

92
00:08:28,160 --> 00:08:31,160
También hay un problema que sería de máxima a pendiente, que lo suele hacer por mínima,

93
00:08:31,160 --> 00:08:35,159
lo suele hacer por máxima. Sería lo mismo, solo que busca la máxima.

94
00:08:35,159 --> 00:08:40,159
Por ejemplo, si cogéis menos g , que sería menos f ,

95
00:08:40,159 --> 00:08:48,159
menos x cubo menos x cuadrado, perdón, más x cuadrado menos 8x menos 3,

96
00:08:48,159 --> 00:08:51,159
esta función tiene

97
00:08:51,159 --> 00:08:59,200
máxima pendiente y mínima mínima. Otro problema que aparece relacionado con

98
00:08:59,200 --> 00:09:06,200
Bolzano y el teorema de Rolle es ver cuando dos funciones se cortan y es que

99
00:09:06,200 --> 00:09:10,200
la idea es la siguiente ¿qué significa que dos funciones se cortan a un punto?

100
00:09:10,200 --> 00:09:15,200
significa que f es igual a g en un punto x.

101
00:09:15,200 --> 00:09:20,740
Bueno pues esto es lo mismo que decir que f de x menos g de x vale 0

102
00:09:20,740 --> 00:09:26,720
Con lo cual lo que vamos a hacer es definir una función h de x igual a f de x menos g de x

103
00:09:26,720 --> 00:09:35,379
Que en este caso sería x al cubo más 13x menos 6x cuadrado más 10

104
00:09:35,379 --> 00:09:37,120
La f y la g

105
00:09:37,120 --> 00:09:44,500
Que sería x al cubo menos 6x cuadrado más 13x menos 10

106
00:09:44,500 --> 00:09:49,960
y ver pues que esta función h tiene un solo cero

107
00:09:49,960 --> 00:09:51,080
y ya está

108
00:09:51,080 --> 00:09:53,399
vamos a verlo

109
00:09:53,399 --> 00:09:55,039
pues primero

110
00:09:55,039 --> 00:10:00,340
límite cuando x tiende a infinito de h de x

111
00:10:00,340 --> 00:10:06,519
x al cubo menos x y por su lado más 13x menos 10

112
00:10:06,519 --> 00:10:09,340
¿esto cuánto vale? pues infinito

113
00:10:09,340 --> 00:10:12,500
límite cuando x tiende a infinito de h de x

114
00:10:12,500 --> 00:10:13,820
perdón, a menos infinito

115
00:10:13,820 --> 00:10:16,539
¿cuánto es ese límite?

116
00:10:16,580 --> 00:10:24,740
cuando x tiende a menos infinito de x al cubo menos 6x cuadrado más 13x menos 10, lo importante es esto, que es menos infinito.

117
00:10:25,600 --> 00:10:44,580
Con lo cual, por el teorema de Bolzano, existe un c perteneciente a toda la recta real, tal que h de c vale 0.

118
00:10:45,860 --> 00:10:51,700
¿Qué nos queda ahora? Pues ver la unicidad que hay en un único, entonces para ello utilizamos el teorema de Rolle.

119
00:10:51,960 --> 00:11:02,120
¿Cuánto vale h' de x? Pues 3x cuadrado menos 12x más 13.

120
00:11:02,480 --> 00:11:05,960
¿Cómo vemos que no se anula nunca? Pues con la ecuación del segundo grado.

121
00:11:06,320 --> 00:11:22,120
x es igual a 12 más menos raíz cuadrada de 144 menos 4c, perdón, si menos 4c, que sería 13 por 3, que es 39, y luego por 4, lo que nos da 156.

122
00:11:22,120 --> 00:11:31,360
156, todo ello, entre 2a que es 6. Esto es 12, más o menos la raíz cuadrada de menos 8 partido por 6, y esto no existe.

123
00:11:32,279 --> 00:11:36,559
Por tanto, h' de x no se anula.

124
00:11:40,629 --> 00:11:56,990
Entonces, por el teorema de Rolle, como mucho, hay un c perteneciente a menos infinito infinito,

125
00:11:56,990 --> 00:12:14,139
tal que h de c es 0. Por lo tanto, uniendo estos dos teoremas tenemos que h de x se anula en un único punto.

126
00:12:14,600 --> 00:12:29,750
Eso quiere decir que f de x menos g de x es igual a 0 en un solo punto, o mejor dicho, en un único punto, que es lo mismo.

127
00:12:29,750 --> 00:12:45,279
es decir, que f de x es igual a g de x en un solo punto

128
00:12:45,279 --> 00:12:47,379
bueno, podéis pasar directamente de aquí a aquí

129
00:12:47,379 --> 00:12:51,679
y entonces ya está demostrado

130
00:12:51,679 --> 00:12:57,200
con lo cual la idea es definir esta función

131
00:12:57,200 --> 00:13:02,350
en la función pregunto por el dominio de esta función

132
00:13:02,350 --> 00:13:04,970
y luego los puntos donde no es variable y no es continua

133
00:13:05,889 --> 00:13:08,070
Bueno, en la bau se lo preguntan por el dominio.

134
00:13:08,289 --> 00:13:10,990
Lo otro lo dice por resolver el resultado de ese mundo.

135
00:13:11,889 --> 00:13:14,370
Lo que pasa es que en este caso se complica teóricamente el asunto.

136
00:13:15,230 --> 00:13:19,110
Así que, para evitar líos, voy a resolver solamente la parte del dominio.

137
00:13:20,809 --> 00:13:25,610
Entonces, pedimos que x6 menos 4x4 sea mayor o igual que 0.

138
00:13:26,429 --> 00:13:30,090
Factorizando estos x4 por x cuadrado menos 4.

139
00:13:30,730 --> 00:13:34,870
Y esta tiene factorización x4 por x menos 2 por x más 2.

140
00:13:35,710 --> 00:13:46,690
Bien, viendo que esto es x cuadrado menos 2 al cuadrado, que diferencia de cuadrados es diferencia por suma, ¿no?

141
00:13:48,149 --> 00:13:57,990
Y, o bien, pues, haciendo que es x cuadrado menos 4 igual a 0, x cuadrado es igual a 4, x es más o menos la cuadrada de 4 más menos 2.

142
00:13:58,889 --> 00:14:00,509
Sea como fuere, esta función es esta.

143
00:14:00,509 --> 00:14:22,570
Y si pedimos que sea mayor o igual que 0, eso lo podemos hacer con la tabla, del menos 2 al 0 y al 2, o bien representándola a ojo, menos 2, 2 y 0, viendo que como aquí tiene grado de 4, pues se aplasta bastante, y es positivo, negativo, positivo.

144
00:14:22,570 --> 00:14:26,909
de modo que los signos son positivo, negativo, negativo, positivo

145
00:14:26,909 --> 00:14:31,289
anulándose en el de menos 2, 0 y 2

146
00:14:31,289 --> 00:14:37,690
de modo que el dominio será los lugares donde esto está por encima del eje

147
00:14:37,690 --> 00:14:42,309
incluyendo esto, o bien donde es positiva, incluyendo los ceros

148
00:14:43,889 --> 00:14:48,950
el dominio de f sea desde menos infinito hasta menos 2

149
00:14:48,950 --> 00:14:52,990
unión el cero, que se pone entre llaves porque es un único punto

150
00:14:52,990 --> 00:14:55,049
unión de cero e infinito

151
00:14:55,049 --> 00:15:00,529
el tema de la derivabilidad, bueno continuidad es la función continua en su dominio

152
00:15:00,529 --> 00:15:04,889
pero el tema de la derivabilidad aquí es un poco más complicado

153
00:15:04,889 --> 00:15:08,690
así que no voy a decir nada por ahora y haré algún comentario

154
00:15:08,690 --> 00:15:09,830
después del examen