1
00:00:12,529 --> 00:00:23,469
Bueno, vamos a resolver el ejercicio del modelo que ha estado colgado en enero, desde enero en las universidades madrileñas,

2
00:00:24,469 --> 00:00:30,309
del modelo 2, que lo llamo yo, la opción A, el ejercicio 2, que es de análisis.

3
00:00:31,609 --> 00:00:39,950
Es un ejercicio, aquí tenemos el enunciado, se da la función, no funciona a trozos, hay que estudiar la continuidad,

4
00:00:39,950 --> 00:00:47,009
en el apartado B hallar las asíntotas y en el apartado C hallar un valor menor que 1

5
00:00:47,009 --> 00:00:53,850
es decir de la rama izquierda en la gráfica en el que la pendiente sea menos un medio

6
00:00:53,850 --> 00:00:57,009
y escribir la ecuación de la recta tangente.

7
00:00:57,009 --> 00:01:03,109
Para que lo veamos bien lo primero que voy a hacer como otras ocasiones es pintar la función en GeoGebra

8
00:01:03,109 --> 00:01:08,269
aquí la tenemos, se ve claramente que es continua en 1 ¿verdad?

9
00:01:08,269 --> 00:01:11,269
en realidad es esta función

10
00:01:11,269 --> 00:01:13,670
no penséis que porque viene tan seguidito

11
00:01:13,670 --> 00:01:16,390
simplemente querría decir que es continua y derivable

12
00:01:16,390 --> 00:01:18,829
aunque en este caso no nos preguntan la derivabilidad

13
00:01:18,829 --> 00:01:20,689
antes de ver las cuentas con GeoGebra

14
00:01:20,689 --> 00:01:23,769
pues vamos directamente a hacerlas nosotros

15
00:01:23,769 --> 00:01:28,489
y lo tengo aquí ya hecho

16
00:01:28,489 --> 00:01:30,109
entonces para estudiar la continuidad

17
00:01:30,109 --> 00:01:32,090
como en este caso que es muy importante

18
00:01:32,090 --> 00:01:35,790
que nos piden que la estudiemos

19
00:01:35,790 --> 00:01:37,909
en toda la función

20
00:01:37,909 --> 00:01:45,409
pues hay que hablar de las ramas, para eso empezamos diciendo que si la x es menor que 1

21
00:01:45,409 --> 00:01:50,349
la función f de x no es continua, en x igual a menos 1, ¿por qué?

22
00:01:50,450 --> 00:01:55,450
porque anula el denominador, no existe límite, hay un salto de discontinuidad infinita

23
00:01:55,450 --> 00:02:03,609
por tanto en menos 1 no es continua, si x es mayor que 1 la función es continua

24
00:02:03,609 --> 00:02:15,930
Porque tendría dos candidatos a ser discontinua, tendría dos candidatos, el 1 que anula el denominador de esa rama derecha y el 0 que anula el logaritmo neperiano de x.

25
00:02:16,210 --> 00:02:32,449
Entonces, como ninguno de esos dos puntos, ni 0 ni 1, están en el dominio de definición de la rama inferior o derecha, logaritmo neperiano de x partido de x menos 1, pues la función sí que sería continua.

26
00:02:32,449 --> 00:02:34,389
La segunda rama sí que sería continua.

27
00:02:36,189 --> 00:02:41,870
Además, ahora también, porque podríamos decir que una función es continua cuando es continua en todos sus puntos,

28
00:02:41,990 --> 00:02:44,849
como es discontinua en menos 1, como que ya hubiéramos terminado,

29
00:02:45,009 --> 00:02:47,550
pero yo pienso que hay que estudiar la continuidad en toda la función.

30
00:02:48,030 --> 00:02:53,550
Nos falta en x igual a 1, donde haremos lo de siempre, ¿verdad?

31
00:02:54,409 --> 00:02:59,669
¿Existe el límite cuando x tiende a 1 de f de x?

32
00:02:59,669 --> 00:03:15,629
Sería lo primero que tendríamos que mirar. Bueno, pues vamos a verlo. Si nosotros hacemos el límite cuando x tiende a 1 por la izquierda de f de x, tenemos que mirar en la rama superior o izquierda, que era 2 partido x más 1.

33
00:03:15,629 --> 00:03:19,030
2 partido de x más 1

34
00:03:19,030 --> 00:03:20,349
el límite aquí

35
00:03:20,349 --> 00:03:21,849
1 más 1 es 2

36
00:03:21,849 --> 00:03:25,090
y si hacemos el límite

37
00:03:25,090 --> 00:03:27,330
cuando x tiende a 1 por la derecha

38
00:03:27,330 --> 00:03:29,430
pues tenemos logaritmo neperiano de x

39
00:03:29,430 --> 00:03:30,810
partido de x menos 1

40
00:03:30,810 --> 00:03:35,469
bueno aquí lo que tenemos es un 0 partido por 0 indeterminación

41
00:03:35,469 --> 00:03:40,210
es decir, aparentemente no sabemos hacerlo

42
00:03:40,210 --> 00:03:43,830
porque además no se puede hacer descomponiendo

43
00:03:43,830 --> 00:03:55,719
la única manera de hacerlo es por L'Hôpital, así que si nosotros hacemos L'Hôpital, pues lo que vamos a tener es la derivada,

44
00:03:56,219 --> 00:04:05,360
recordad que para eso el logaritmo neperiano de x y x menos 1 tienen que ser continuas y derivables alrededor de 1, que lo son,

45
00:04:06,580 --> 00:04:13,379
entonces el límite de las, si existe el límite de las derivadas, existe el límite del cociente de las funciones.

46
00:04:13,379 --> 00:04:20,339
Bien, la derivada del logaritmo neperiano de x es 1 partido por x y la de x menos 1 es 1

47
00:04:20,339 --> 00:04:25,079
Si yo hago el límite cuando x tiende a 1, no hace falta ni que lo escriba de otra manera, da 1

48
00:04:25,079 --> 00:04:30,040
Como da lo mismo en los dos lados, pues es 1 el límite

49
00:04:30,040 --> 00:04:38,439
Y dado que también existe f de 1, que se sustituiría en la primera y da 1

50
00:04:38,439 --> 00:04:48,779
y que la tercera condición, los dos pasos coinciden, el límite cuando x tiende a 1 de f de x es igual que f de 1,

51
00:04:48,779 --> 00:04:53,639
pues la función es continua en x igual a 1.

52
00:04:54,160 --> 00:05:02,779
Resumiendo, que la función no es continua porque no es continua en menos 1,

53
00:05:03,540 --> 00:05:07,980
pero sí que es continua la rama de abajo en todo su dominio y es continua en.

54
00:05:08,439 --> 00:05:39,860
¿Vale? Pues ya tenemos el apartado A. Antes de terminarlo, pues lo podemos ver en GeoGebra. Aquí tenéis la rama superior, la rama inferior y en menos uno veis que da menos infinito e infinito y por tanto no tiene límite y por tanto es discontinua,

55
00:05:39,860 --> 00:05:42,600
mientras que en uno sí que es contínuo.

56
00:05:42,899 --> 00:05:45,699
Esto además nos va a valer ya para hallar la asíntota,

57
00:05:45,860 --> 00:05:47,620
que era la siguiente pregunta,

58
00:05:47,839 --> 00:05:51,740
que calcularamos las asíntotas, el apartado B.

59
00:05:51,879 --> 00:05:53,439
Entonces empezamos, como siempre,

60
00:05:54,019 --> 00:05:56,220
por estudiar las asíntotas verticales,

61
00:05:56,699 --> 00:05:59,779
y por supuesto tendríamos que...

62
00:05:59,779 --> 00:06:02,860
Sabéis que a mí me gusta poner siempre x igual a...

63
00:06:03,800 --> 00:06:07,839
donde el límite cuando x tiende a f de x,

64
00:06:07,839 --> 00:06:10,639
pues tiene que dar más o menos infinito.

65
00:06:11,220 --> 00:06:16,959
Ya hemos visto, repito, que cuando x tiende a 1

66
00:06:16,959 --> 00:06:20,660
lo vamos a hacer, el límite cuando x tiende a menos 1

67
00:06:20,660 --> 00:06:26,899
está aquí, arriba, si no me equivoco lo hemos hecho,

68
00:06:27,139 --> 00:06:29,240
lo veis ahí, menos infinito, infinito,

69
00:06:30,000 --> 00:06:32,680
pero bueno, lo vamos a volver a copiar,

70
00:06:33,639 --> 00:06:38,560
el límite cuando x tiende 2 partido por x más 1

71
00:06:38,560 --> 00:06:41,660
Hemos visto que era menos 1, algo

72
00:06:41,660 --> 00:06:43,939
Menos infinito

73
00:06:43,939 --> 00:06:48,360
Y el límite cuando x tiende a menos 1 por la derecha

74
00:06:48,360 --> 00:06:51,060
Más infinito

75
00:06:51,060 --> 00:06:55,120
Yo pondría que lo hemos hecho como se podría ver en el apartado

76
00:06:55,120 --> 00:06:58,199
Así que hay una asíntota vertical

77
00:06:58,199 --> 00:07:02,399
Que es una recta, recordad una asíntota siempre es una recta

78
00:07:02,399 --> 00:07:04,899
En x igual a menos 1

79
00:07:04,899 --> 00:07:07,459
y no hay ninguna

80
00:07:07,459 --> 00:07:09,540
asíntota vertical más

81
00:07:09,540 --> 00:07:10,779
ni para mayores que 1

82
00:07:10,779 --> 00:07:13,519
las asíntotas

83
00:07:13,519 --> 00:07:14,560
horizontales

84
00:07:14,560 --> 00:07:24,089
pues serían

85
00:07:24,089 --> 00:07:25,769
del tipo igual a b

86
00:07:25,769 --> 00:07:27,850
y aquí ya sabéis que yo

87
00:07:27,850 --> 00:07:29,250
siempre digo que en realidad

88
00:07:29,250 --> 00:07:31,389
deberíamos poner dos fórmulas

89
00:07:31,389 --> 00:07:32,850
por este más menos infinito

90
00:07:32,850 --> 00:07:35,569
en realidad son dos ejercicios

91
00:07:35,569 --> 00:07:37,290
completamente diferentes

92
00:07:37,290 --> 00:07:39,889
es más, eso se ve perfectamente

93
00:07:39,889 --> 00:07:41,129
en un ejemplo como este

94
00:07:41,129 --> 00:07:46,569
porque tenemos que son funciones diferentes

95
00:07:46,569 --> 00:07:49,149
el límite cuando x tiende a menos infinito

96
00:07:49,149 --> 00:07:54,730
de 2 partido x más 1

97
00:07:54,730 --> 00:07:59,470
pues como veis sería 0

98
00:07:59,470 --> 00:08:02,689
que por cierto, por si la quisiéramos pintar

99
00:08:02,689 --> 00:08:07,410
sería 0 y sería negativo

100
00:08:07,410 --> 00:08:08,709
así que 0 es súper menos

101
00:08:08,709 --> 00:08:14,850
y el límite, y por tanto habría ya una asíntota en y igual a cero, que quede claro,

102
00:08:15,790 --> 00:08:22,829
y el límite cuando x tiende a más infinito del logaritmo neperiano de x partido por x menos uno,

103
00:08:23,470 --> 00:08:30,290
pues el logaritmo neperiano de infinito es infinito, pero crece más lento que x,

104
00:08:31,029 --> 00:08:35,190
y por tanto esto también se va a acercar a cero, ¿de acuerdo?

105
00:08:35,190 --> 00:08:48,149
Esto también se va a acercar a cero. También lo podríamos hacer por lo pital, porque ya sabéis que demostramos que los límites infinito, partíbulo infinito, pues también se pueden hacer por lo pital.

106
00:08:48,950 --> 00:08:57,889
Siempre que cumplan las condiciones, las funciones. Pues es cero, pero aquí lo de arriba es positivo, lo de abajo es positivo, pues cero es súper más.

107
00:08:57,889 --> 00:09:01,950
Así que hay una asíntota en Y igual a cero.

108
00:09:03,350 --> 00:09:10,929
Al haber dos asíntotas horizontales, aunque tengan la misma ecuación,

109
00:09:12,370 --> 00:09:16,070
ni siquiera tiene sentido buscar las oblicuas,

110
00:09:19,139 --> 00:09:24,940
porque no puede coincidir en cada lado, en cada lado, horizontal y oblicua.

111
00:09:25,019 --> 00:09:28,399
Lo que sí que puede haber es una horizontal cuando X tiene menos infinito

112
00:09:28,399 --> 00:09:31,820
y una oblicua cuando X tiene más infinito.

113
00:09:31,919 --> 00:09:36,940
Muy bien, pues con esto habríamos terminado el apartado B.

114
00:09:36,940 --> 00:09:42,279
Vamos como siempre a verlo con GeoGebra, el A ya lo hemos hecho, ¿verdad?

115
00:09:42,980 --> 00:09:48,519
O sea, perdón, el B pero la vertical ya lo hemos hecho y el A pues sería ni igual a cero

116
00:09:48,519 --> 00:09:52,759
porque el límite de la rama izquierda cuando tiende a menos infinito es cero

117
00:09:52,759 --> 00:09:58,960
y cuando tiende a más infinito es cero, por tanto ya tenemos el apartado B.

118
00:09:58,960 --> 00:10:13,559
Y nos queda simplemente el apartado c, que como recordáis es un poquito más elaborado, era el valor de la rama 2 partido por x más 1 que hace que la pendiente sea menos 1.

119
00:10:13,559 --> 00:10:22,080
Bueno, pues para hacer el apartado C, obviamente, lo primero que tenemos que hacer es la derivada,

120
00:10:22,080 --> 00:10:29,559
si vamos a llamar g de x a 2 partido de x más 1, pues necesitamos g' de x.

121
00:10:30,220 --> 00:10:34,139
Ya sabéis que a mí esto no me gusta derivarlo por la fórmula del cociente.

122
00:10:34,820 --> 00:10:42,940
Esto es, en realidad, si voy a hacer un poco de hueco, esto es en realidad 2 por x más 1 elevado a menos 1.

123
00:10:43,559 --> 00:10:57,580
Entonces, con la regla de la cadena es mucho más fácil decir que esto queda 2 por menos 1 por x más 1 a la menos 2 y por la derivada de adentro que es 1.

124
00:10:57,580 --> 00:11:04,580
O sea, que esto es menos 2 partido x más 1 al cuadrado.

125
00:11:04,580 --> 00:11:21,299
¿Vale? Pues ahora lo que hay que hacer es que esa derivada, menos 2 partido x más 1 al cuadrado, sea igual a menos 1 medio, que es lo que me piden.

126
00:11:21,299 --> 00:11:44,320
Esta ecuación se puede resolver muy fácil, sería x más 1 al cuadrado igual a 4, así que x más 1 sería igual a más menos 2 y por tanto x sería igual a menos 3 o a 1, ¿vale?

127
00:11:44,320 --> 00:11:48,919
Sería 2, menos 1, 1 y menos 2, menos 1, menos 3.

128
00:11:49,559 --> 00:11:57,399
Esta no vale porque lógicamente no está entre los valores menores que menos 1,

129
00:11:57,519 --> 00:12:01,039
así que el punto buscado es el menos 3.

130
00:12:01,340 --> 00:12:06,879
Y una vez que hemos encontrado el menos 3, pues nos piden que demos la ecuación de la recta tangente.

131
00:12:07,279 --> 00:12:10,879
Recuerdo a todos que es la fórmula de la recta en forma punto pendiente,

132
00:12:10,879 --> 00:12:29,240
simplemente que la escribimos con unos valores concretos, ¿vale? Así que lo ponemos por x menos x, f de menos 3, pues si lo sustituimos,

133
00:12:29,240 --> 00:12:43,779
por menos 3 más 1, menos 2, 2 entre menos 2, más 1, igual al menos 1 medio, que ya teníamos, por x más 3.

134
00:12:43,960 --> 00:12:49,440
Y esta es la ecuación que me pide, y el punto que me pide.

135
00:12:49,639 --> 00:12:59,399
Si lo hacemos, como siempre, en GeoGebra, pues la tenemos aquí, como veis, en menos 3, menos 1,

136
00:12:59,399 --> 00:13:04,000
pues tenemos que esta recta tangente

137
00:13:04,000 --> 00:13:06,539
y como veis pues tiene dos cuadritos a la derecha

138
00:13:06,539 --> 00:13:10,240
un abajo pendiente menos un medio

139
00:13:10,240 --> 00:13:13,299
y hemos terminado