1
00:00:00,300 --> 00:00:03,140
Vamos ahora con el apartado b del ejercicio 1.

2
00:00:04,099 --> 00:00:07,419
Otro típico ejercicio en el que me dan una función definida a trozos

3
00:00:07,419 --> 00:00:09,279
y me piden calcular los valores de a y b

4
00:00:09,279 --> 00:00:12,179
para que la función sea derivable en x igual 2.

5
00:00:12,740 --> 00:00:16,239
Me podrían haber dicho también que sea derivable en todo su dominio,

6
00:00:16,660 --> 00:00:18,460
o para que fuera derivable en general.

7
00:00:19,320 --> 00:00:20,100
¿Qué es lo que ocurre?

8
00:00:20,179 --> 00:00:22,120
Cada uno de los trozos son funciones polinómicas,

9
00:00:22,260 --> 00:00:24,920
por lo tanto son tanto continuas como derivables.

10
00:00:25,039 --> 00:00:28,940
El único posible punto raro donde puedo tener problemas es exactamente en el 2,

11
00:00:28,940 --> 00:00:34,560
por eso es en el que me lo están pidiendo. Lo primero que tenemos que tener en cuenta para que una función sea derivable,

12
00:00:34,859 --> 00:00:43,759
la función tiene que ser continua. Por lo tanto, lo primero que tengo que estudiar es, o sea, o tengo que exigir que la función sea continua en x igual 2.

13
00:00:44,439 --> 00:00:54,859
Entonces, lo primero que queremos ver es que sea continua en x igual 2. ¿Y qué significa que sea continua en x igual 2?

14
00:00:54,859 --> 00:01:10,519
Pues que el límite cuando x tiende a 2 por la izquierda de la función es igual al límite cuando x tiende al 2 por la derecha de la función y tiene que coincidir con el valor de la función.

15
00:01:11,819 --> 00:01:23,420
Nos fijamos donde está el igual, en este caso está a la derecha, para los x mayores o iguales que 2, es decir, está en la parte de la derecha del 2 más.

16
00:01:23,420 --> 00:01:47,959
Por lo tanto empezamos primero calculando el límite por la izquierda, límite cuando x tiende a 2 por la izquierda, de ax cuadrado más 3x, sustituimos en el 2 y esto me queda 4a más 3 por 2, 6, f de 2 en este caso hemos dicho que coincide con el límite cuando x tiende al 2 por la derecha,

17
00:01:47,959 --> 00:01:58,280
de x cuadrado menos bx menos 4, sustituimos en el 2 y esto es 4 menos 2b menos 4

18
00:01:58,280 --> 00:02:04,500
y lo que hacemos es imponer que estos dos valores sean iguales para que la función sea continua

19
00:02:04,500 --> 00:02:14,259
y saco la primera ecuación, 4a más 6, quiero que sea 4 menos 2b menos 4, ¿vale?

20
00:02:14,259 --> 00:02:27,319
Podríamos haber operado antes, este 4 con este menos 4 se me va y me queda la ecuación, 4a más 2b igual a menos 6, ¿vale?

21
00:02:27,319 --> 00:02:34,740
Que incluso aquí lo podemos todo simplificar entre 2, pero como no sabemos cómo va a ser la otra ecuación, voy a esperar para simplificar y siempre tenemos tiempo.

22
00:02:35,479 --> 00:02:42,599
Vale, esto es el haber impuesto que sea continua, ahora lo que queremos es que sea derivable, ¿vale?

23
00:02:42,599 --> 00:02:45,900
Entonces lo primero, vamos a calcular cuánto sería la función derivada.

24
00:02:47,039 --> 00:02:53,300
f' de x, sabemos que la derivada de una función definida a trozos es derivar cada uno de los trozos,

25
00:02:53,419 --> 00:03:00,180
por lo tanto, la de arriba es 2ax más 3, cuando x es menor que 2,

26
00:03:01,080 --> 00:03:06,020
y la de abajo es 2x menos b, cuando x es mayor que 2.

27
00:03:06,120 --> 00:03:08,240
Recordad que no se pone el igual, ¿vale?

28
00:03:08,240 --> 00:03:13,800
porque no podemos poner el valor de la derivada en ese punto, es justamente los límites laterales si coinciden.

29
00:03:14,560 --> 00:03:20,379
Y entonces ahora, para que la función sea derivable, ¿vale?, que es lo que nosotros queremos,

30
00:03:20,740 --> 00:03:31,180
es decir, lo que queremos ahora es que f de x sea derivable en x igual 2,

31
00:03:31,699 --> 00:03:37,639
esto lo que quiere decir es que el límite, cuando x tiende a 2 por la izquierda,

32
00:03:37,639 --> 00:03:45,599
de f' de x tiene que ser igual al límite, cuando x tiende a 2 por la derecha, de f'

33
00:03:45,860 --> 00:03:50,639
de x. Pues calculamos los límites laterales, voy a hacer esto un poquito más pequeño.

34
00:03:56,430 --> 00:04:04,270
Entonces, a ver, hacemos límite cuando x tiende a 2 por la izquierda de f', en este

35
00:04:04,270 --> 00:04:14,900
caso es de 2 a x más 3. Sustituimos la x por 2 y que me queda 4a más 3. Calculo el

36
00:04:14,900 --> 00:04:23,779
límite por la derecha, 2 por la derecha y ahora es de 2x menos b. Sustituyo y esto es

37
00:04:23,779 --> 00:04:30,139
4 menos b. Como antes imponemos que estos dos valores sean iguales y saco la segunda

38
00:04:30,139 --> 00:04:41,779
la ecuación. Y me queda 4a más 3 igual a 4 menos b. O lo que es lo mismo, 4a más b

39
00:04:41,779 --> 00:04:50,980
igual a 4 menos 3 directamente sub. Y ya tengo, esta era mi primera ecuación y esta es mi

40
00:04:50,980 --> 00:04:55,920
segunda ecuación. Y ahora lo que tengo que hacer es resolver ese sistema. ¿Vale? Fijaos

41
00:04:55,920 --> 00:05:00,360
que he dicho que no la iba a simplificar, lo voy a poner aquí a la derecha aunque quede

42
00:05:00,360 --> 00:05:06,720
un poquito cutre. ¿Por qué? Porque, o sea, que no la iba a simplificar hasta saber cómo

43
00:05:06,720 --> 00:05:14,420
era la otra ecuación. Coincide que las dos son 4a, así que de lujo. Hacemos una reducción

44
00:05:14,420 --> 00:05:22,860
directa y resto. 4a menos 4a se me va, 2b menos b me queda b, menos 6 menos 1, menos

45
00:05:22,860 --> 00:05:28,100
7. Pues ya tenemos calculado el valor de b. Y ahora para calcular el valor de a, pues

46
00:05:28,100 --> 00:05:35,420
por ejemplo, en la segunda ecuación me queda que 4a es igual a 1 menos b, es decir, 1 menos

47
00:05:35,420 --> 00:05:46,560
menos 7, por lo tanto me queda que a es 8 entre 4, 2. Por lo tanto, para que la función

48
00:05:46,560 --> 00:05:54,660
sea derivable en x igual 2, b tiene que ser menos 7 y a tiene que ser 2, ¿vale? Esto lo tendríamos que escribir

49
00:05:54,660 --> 00:06:03,000
para que la función sea derivable en x igual 2, a igual 2 y b igual menos 7, ¿vale? Y ya estaría el ejercicio 1.