1 00:00:02,290 --> 00:00:17,929 Buenos días, hoy vamos a explicar cuál es la solución al examen y polinomios, o sea, a ecuaciones y polinomios que realizamos el pasado día 21 de diciembre de 2021. 2 00:00:18,609 --> 00:00:28,149 Como veréis, en la solución que yo aporto aquí hay más ejercicios de los que finalmente había en el examen, porque la última hora decidí quitar unos cuantos ejercicios, ¿vale? 3 00:00:28,149 --> 00:00:32,590 Por lo tanto, podéis cambiar la numeración y la puntuación. 4 00:00:33,770 --> 00:00:38,369 Por ejemplo, este primer ejercicio no lo teníais, pero aún así lo voy a comentar. 5 00:00:38,770 --> 00:00:45,070 Porque ya que hice la solución a estas novedades, pues lo dejo. 6 00:00:45,810 --> 00:00:56,770 Entonces, en el primer ejercicio lo que se nos pedía era utilizar la regla de Ruffini para llegar al valor de este polinomio en el punto x igual a menos 3. 7 00:00:56,770 --> 00:01:07,790 ¿Vale? Entonces muchos de vosotros lo que haríais directamente sería comprobar, es decir, calcular el valor del polinomio sustituyendo la x por menos 3. 8 00:01:08,069 --> 00:01:19,150 Es decir, como nos piden el valor del polinomio, el valor numérico del polinomio del punto menos 3, se puede sustituir x por menos 3 y nos daría menos 162. 9 00:01:19,370 --> 00:01:23,769 ¿Vale? Pero no es eso lo que nos pide el ejercicio. El ejercicio nos pide hacerlo por fin. 10 00:01:23,769 --> 00:01:27,530 Entonces voy a recordar un poco qué es el teorema del resto. 11 00:01:28,250 --> 00:01:40,409 Entonces todos sabéis, desde primaria incluso, que cuando nosotros hacemos una división entera de un número entre otro número, 12 00:01:40,849 --> 00:01:45,189 podemos decir que el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto. 13 00:01:46,629 --> 00:01:47,750 ¿Cuál es nuestro divisor? 14 00:01:47,750 --> 00:01:54,189 Pues en nuestro caso, cuando estamos dividiendo polinomios entre monomios del tipo x menos a 15 00:01:54,189 --> 00:01:56,829 El dividendo es x menos a, ¿vale? 16 00:01:57,810 --> 00:02:00,689 Bien, pues si mi dividendo es de este tipo, yo puedo decir 17 00:02:00,689 --> 00:02:04,230 O sea, el divisor, si mi divisor es del tipo x menos a 18 00:02:04,230 --> 00:02:09,810 Yo puedo decir que el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto 19 00:02:09,810 --> 00:02:12,129 Pero en este caso el dividendo es p de x 20 00:02:12,129 --> 00:02:16,849 Es decir, yo puedo decir que un polinomio cualquiera, cuando lo divido entre x menos a 21 00:02:16,849 --> 00:02:21,409 lo puedo expresar el polinomio como dividendo 22 00:02:21,409 --> 00:02:26,650 es decir, divisor x menos a por el cociente más el resto 23 00:02:26,650 --> 00:02:32,009 si en esta expresión del polinomio 24 00:02:32,009 --> 00:02:34,409 como divisor por el cociente más el resto 25 00:02:34,409 --> 00:02:37,689 sustituyo la x por a 26 00:02:37,689 --> 00:02:38,909 que es lo que me va a quedar 27 00:02:38,909 --> 00:02:41,270 me va a quedar que p de a es igual 28 00:02:41,270 --> 00:02:43,150 y donde dice x pongo a 29 00:02:43,150 --> 00:02:46,849 A menos A por el cociente más el resto 30 00:02:46,849 --> 00:02:48,169 A menos A es 0 31 00:02:48,169 --> 00:02:53,710 Por lo tanto, toda esta multiplicación es 0 32 00:02:53,710 --> 00:02:54,849 ¿Qué es lo único que me queda? 33 00:02:55,449 --> 00:02:56,729 P de A es igual a R 34 00:02:56,729 --> 00:03:01,710 Es decir, que el valor numérico del polinomio en el punto A 35 00:03:01,710 --> 00:03:06,629 Es igual al resto de dividir un polinomio entre X menos A 36 00:03:06,629 --> 00:03:07,889 Ese es el teorema del resto 37 00:03:07,889 --> 00:03:17,830 El valor numérico del polinomio en a es el resto de dividir un polinomio entre x menos a, ¿vale? 38 00:03:18,030 --> 00:03:23,009 ¿Cuánto será el valor numérico del polinomio en el punto x igual a menos 3? 39 00:03:23,370 --> 00:03:24,310 Pues lo hacemos por fin. 40 00:03:24,509 --> 00:03:26,050 Vamos a dividir el polinomio. 41 00:03:26,530 --> 00:03:34,110 Pongo aquí sus crucientes, que eran 3 menos 8 y 3, 3 menos 8, 3 y 0, 42 00:03:34,110 --> 00:03:36,889 porque le falta el término independiente, ¿vale? 43 00:03:36,889 --> 00:03:54,150 3 menos 8, 3, 0, y aquí pongo menos 3, porque me lo piden en el punto menos 3, es decir, aquí no cambio el signo, porque estoy dividiendo entre x menos a, es decir, estoy dividiendo entre x más a, ¿vale? 44 00:03:54,150 --> 00:04:01,229 Por lo tanto, aquí tendría que poner el mismo signo del punto en el que queremos hallar el valor numérico. 45 00:04:01,590 --> 00:04:03,909 Realizo la regla de Ruffini. 46 00:04:04,229 --> 00:04:14,069 Bajo el 3, 3 por menos 3, menos 9, menos 9, menos 8, menos 17, menos 17 por menos 3, 51. 47 00:04:14,729 --> 00:04:22,829 Y a la 3, más 51, 54, 54 por menos 3, menos 162, más 0, menos 162. 48 00:04:22,829 --> 00:04:29,970 por lo tanto el valor numérico del polinomio en el punto x igual a menos 3 sería menos 162 49 00:04:29,970 --> 00:04:40,930 y eso mismo se podría calcular sustituyendo x por menos 3 en la expresión del polinomio 50 00:04:40,930 --> 00:04:49,189 que era 3x al cubo menos 8x al cuadrado más 3 por x y vemos que nos daría menos 162 51 00:04:49,189 --> 00:04:57,529 ¿Vale? Bien, pues recordad que el valor numérico de un polinomio en un punto dado se puede calcular de dos maneras distintas. 52 00:04:58,089 --> 00:05:11,290 ¿Vale? Bien, ahora ya el segundo ejercicio de los que estaban inicialmente planteados y este era el primero de vuestro examen. 53 00:05:11,290 --> 00:05:18,790 ¿Vale? El primero del examen. Nos dice, indica sin realizar ninguna operación, es decir, y eso nos lo subraya, 54 00:05:19,250 --> 00:05:25,470 solo fijándote en el término independiente, si x igual a menos 3 podría ser raíz de cada uno de estos polinomios. 55 00:05:25,629 --> 00:05:32,829 Explica la razón. El primer polinomio es p de x es igual a x a la cuarta más 2x al cuadrado menos x más 8. 56 00:05:32,829 --> 00:05:41,029 El segundo polinomio es q de x que es igual a x al cubo más 3x al cuadrado menos 5x menos 27. 57 00:05:41,290 --> 00:05:49,430 ¿Por qué nos dicen que comprobemos si podrían ser raíces sin realizar ninguna operación? 58 00:05:50,449 --> 00:05:57,850 Vale, porque no nos están pidiendo que digamos si son raíces o no, solamente si podrían serlo. 59 00:05:58,189 --> 00:06:02,269 Entonces, para eso nos vamos a fijar en una condición necesaria. 60 00:06:02,269 --> 00:06:09,029 ¿Cuál era la condición necesaria para que un número entero fuera raíz de un polinomio? 61 00:06:09,029 --> 00:06:15,610 Para que un número entero, un número entero de menos 7, menos 5, 1, 8, sea raíz de un polinomio, 62 00:06:15,750 --> 00:06:20,410 tiene que ser ese número divisor del término independiente del polinomio. 63 00:06:21,050 --> 00:06:23,730 ¿Cuál es el término independiente del primer polinomio? 64 00:06:23,850 --> 00:06:24,490 Más 8. 65 00:06:25,089 --> 00:06:27,750 Y el del segundo polinomio, menos 27. 66 00:06:28,810 --> 00:06:31,589 Esta condición es necesaria, pero no es suficiente. 67 00:06:31,889 --> 00:06:33,110 Nos centramos en el caso A. 68 00:06:33,910 --> 00:06:38,449 ¿Podría ser menos 3 raíz del polinomio p de x? 69 00:06:38,449 --> 00:06:43,889 Pues vamos a ver si menos 3 es divisor del término independiente, que es 8, 70 00:06:44,689 --> 00:06:47,790 pero menos 3 no es divisor del término independiente, que es 8, 71 00:06:47,889 --> 00:06:53,910 por lo tanto, x igual a menos 3 no es raíz del polinomio, no satisface esa condición necesaria. 72 00:06:55,470 --> 00:06:59,750 ¿Qué tienen que cumplir? Las raíces enteras. 73 00:06:59,750 --> 00:07:10,009 Sí que podría tener una raíz fraccionaria, pero sabemos que esta raíz entera no va a ser nunca raíz del polinomio. 74 00:07:10,449 --> 00:07:18,189 En el segundo caso, menos 3 sí que es divisor del término independiente, menos 27. 75 00:07:18,569 --> 00:07:23,009 ¿Por qué? Porque menos 27 es igual a menos 3 por 9. 76 00:07:23,009 --> 00:07:26,649 menos 3 es divisor del término independiente 77 00:07:26,649 --> 00:07:28,329 por lo tanto, x igual a menos 3 78 00:07:28,329 --> 00:07:29,870 podría ser raíz 79 00:07:29,870 --> 00:07:31,269 pero habría que comprobarlo 80 00:07:31,269 --> 00:07:33,269 por la condición anterior es necesaria 81 00:07:33,269 --> 00:07:34,110 pero no es suficiente 82 00:07:34,110 --> 00:07:36,129 con esto bastaba para resolver 83 00:07:36,129 --> 00:07:38,250 este segundo ejercicio 84 00:07:38,250 --> 00:07:39,610 que era muy sencillo 85 00:07:39,610 --> 00:07:43,189 ahora, el tercer ejercicio 86 00:07:43,189 --> 00:07:44,910 de los que aquí os planteo 87 00:07:44,910 --> 00:07:50,220 era el segundo 88 00:07:50,220 --> 00:07:52,459 de los que finalmente 89 00:07:52,459 --> 00:07:53,939 se pusieron en el examen 90 00:07:53,939 --> 00:07:57,899 Y nos dice, simplifica esta fracción algebraica, 2,5 puntos. 91 00:07:58,480 --> 00:08:05,399 Entonces, tenemos en el numerador un polinomio de grado 3 y en el denominador otro polinomio de grado 3. 92 00:08:05,939 --> 00:08:17,540 Antes de nada, voy a comentar, os he puesto aquí la cara de susto o de pánico de Edvard Munch, muy famoso en este cuadro, 93 00:08:17,540 --> 00:08:24,839 porque he visto que algunos de vosotros, y no pocos, habéis simplificado esta fracción de esta manera, ¿vale? 94 00:08:25,459 --> 00:08:35,000 Entonces, os vuelvo a recordar, solo se puede simplificar numerador y denominador si están factorizados tanto el numerador como el denominador, ¿vale? 95 00:08:36,580 --> 00:08:45,080 Al igual que en la aritmética no simplificáis esto, no se os ocurre simplificar un numerador que tenga 3 al cuadrado más 5 al cubo menos 7 96 00:08:45,080 --> 00:08:52,559 y un denominador de 2 menos 5 al cubo más 7, no se os ocurre hacer esto, ¿vale? 97 00:08:53,019 --> 00:08:53,960 En algebra tampoco. 98 00:08:54,240 --> 00:08:59,899 Solamente se puede simplificar numerador y denominador si están factorizados, ¿vale? 99 00:08:59,899 --> 00:09:09,580 Es decir, si todo es un producto de factores y no tenemos ningún signo más que no esté metido dentro de paréntesis, ¿vale? 100 00:09:09,700 --> 00:09:11,899 Esto no se puede hacer nunca, ¿vale? 101 00:09:11,899 --> 00:09:29,139 Por lo tanto, y además, ¿qué es que nos lo decía el enunciado? Porque el enunciado era, en el examen que finalmente se puso, el enunciado era un poquito diferente, porque decía, factoriza, numerador y denominador, y simplifica esta fracción algebraica. 102 00:09:29,139 --> 00:09:48,980 Lo primero que nos pedían era factorizar. Nos daban más pistas para que ninguno hiciera esto. Cambié el enunciado y dije factoriza, numerador y denominador y simplifica esta reacción. Por lo tanto, lo primero que hay que hacer es factorizar, numerador y denominador. 103 00:09:49,460 --> 00:09:51,419 Recordamos los pasos para factorizar. 104 00:09:51,580 --> 00:09:54,120 Primero, sacábamos factor común si es que lo había. 105 00:09:54,679 --> 00:09:57,240 Segundo, buscábamos posibles identidades notables. 106 00:09:57,480 --> 00:10:02,419 Tercero, si nos quedaba un polinomio de grado 3 o superior, aplicábamos Ruffini. 107 00:10:02,820 --> 00:10:06,980 Y si tenemos un polinomio de grado 2, aplicábamos la ecuación de segundo grado. 108 00:10:06,980 --> 00:10:15,320 Bien, entonces esta es la fracción algebraica que tenemos que simplificar. 109 00:10:15,320 --> 00:10:19,700 He puesto de un color naranja el numerador y de un color verde el denominador. 110 00:10:22,000 --> 00:10:25,820 En el numerador, ¿qué podemos hacer? En el primer paso, buscar factores comunes. 111 00:10:26,179 --> 00:10:30,240 Entonces tenemos x cubo menos 5x cuadrado más 6x. 112 00:10:30,559 --> 00:10:38,299 ¿Hay algún factor común? Sí, la x. Por lo tanto, pongo aquí la x y a continuación un paréntesis. 113 00:10:38,840 --> 00:10:43,019 ¿Qué tengo que poner dentro del paréntesis para que al multiplicarlo por x me dé este numerador? 114 00:10:43,019 --> 00:10:57,019 Muy fácil, x cuadrado menos 5x más 6, de esa manera, x por x cuadrado me da x cubo, x por menos 5x me da menos 5x al cuadrado, y x por 6 me da 6x. 115 00:10:57,539 --> 00:10:59,419 Hasta ahí, todo sencillo. 116 00:10:59,960 --> 00:11:04,059 Siguiente paso que aplicaríamos, porque el primero ha sido sacar factor común. 117 00:11:04,879 --> 00:11:07,139 El segundo, buscar posibles identidades notables. 118 00:11:07,299 --> 00:11:08,840 ¿Tenemos aquí alguna identidad notable? 119 00:11:08,840 --> 00:11:32,620 No. ¿Por qué? Porque esto sería x al cuadrado menos 5x, ya no podría ser una identidad notable, no podría ser el cuadrado de una suma, porque el cuadrado de una suma, bueno, sí podría ser, pero tendría que ser el 6 al cuadrado del segundo término y ya esto sería raíz de 6. 120 00:11:32,620 --> 00:11:38,360 x más raíz de 6 al cuadrado, y no puede ser porque aquí no nos tendría que aparecer una raíz. 121 00:11:38,940 --> 00:11:41,440 Luego, esto no aparece una identidad notable. 122 00:11:42,720 --> 00:11:48,740 Y el tercer paso sería, si nos queda un polinomio de grado 3 o superior, aplicamos Ruffini. 123 00:11:48,919 --> 00:11:54,059 No es nuestro caso, pero si es el cuarto, nuestro caso sería el cuarto paso. 124 00:11:54,059 --> 00:11:58,700 Si tenemos un polinomio de grado 2, por lo tanto, aplicaríamos la fórmula de la ecuación del segundo grado. 125 00:11:58,700 --> 00:12:03,039 Tenemos que factorizar lo que está dentro del paréntesis 126 00:12:03,039 --> 00:12:04,759 Para eso igualamos a 0 127 00:12:04,759 --> 00:12:08,580 Y hallamos las raíces de x al cuadrado menos 5x más 6 igual a 0 128 00:12:08,580 --> 00:12:11,100 Esto es menos b 129 00:12:11,100 --> 00:12:14,000 Que b es menos 5 130 00:12:14,000 --> 00:12:17,519 Por lo tanto sería menos menos 5 más menos b al cuadrado 131 00:12:17,519 --> 00:12:19,960 Que es menos 5 al cuadrado 132 00:12:19,960 --> 00:12:23,399 Con paréntesis, no olvidéis los paréntesis 133 00:12:23,399 --> 00:12:25,879 Tanto aquí como dentro de la raíz 134 00:12:25,879 --> 00:12:43,600 que eso muchos de vosotros se los ha olvidado, menos 4ac, menos 4 por a, que a es el coeficiente de x al cuadrado, por c, c es el término independiente, partido por 2a, como a es 1, nos queda solamente 2, ¿vale? 135 00:12:43,600 --> 00:13:05,600 Es decir, esto es 5 más menos la raíz de 25 menos 24, 25 menos 24 es 1, es decir, 5 más menos la raíz de 1 que es 1, 5 más menos 1 partido por 2, y esto da 5 más 1, 6 entre 2 a 3, 5 menos 1, 4 entre 2, 4. 136 00:13:05,600 --> 00:13:20,220 Es decir, tenemos, ¿qué raíces va a tener el numerador? Pues va a tener por un lado x igual a 0. ¿Por qué? Porque como tenemos una x aquí delante, x igual a 0 va a ser una raíz de este polinomio. 137 00:13:20,220 --> 00:13:36,399 Pues lo pongo, x igual a 0. ¿Cuál será el factor que corresponde a x igual a 0? Pues x, ¿no? Porque es x menos 0. Bien, ahora pongo x igual a 3, que es otra raíz, y x igual a 2. 138 00:13:36,399 --> 00:13:57,440 ¿Cuáles son los factores que corresponden a esos valores? x igual a 3 y x igual a 2, pues será x menos 3, x menos 2, ¿vale? Por lo tanto, ¿cómo quedaría factorizado el numerador? Quedaría x, aquí está, por x menos 3 y por x menos 2, ¿vale? 139 00:13:57,440 --> 00:14:13,820 Ahí lo tenéis. Y he puesto en rojo los signos de multiplicación, ¿vale? Entre factores, para que os fijéis muy bien que solamente vamos a poder simplificar si tenemos el numerador y el denominador factorizados. 140 00:14:13,940 --> 00:14:23,000 Por eso les he cambiado el signo, o sea, de color a las operaciones. Ahora vamos a factorizar el denominador, que lo he puesto en verde, ¿vale? 141 00:14:23,000 --> 00:14:27,659 Entonces, el primer paso para factorizar un polinomio era ver si había factores comunes. 142 00:14:28,080 --> 00:14:34,159 En este denominador, en este polinomio, no tenemos ningún factor común, ¿vale? 143 00:14:34,419 --> 00:14:41,240 No tenemos la x como factor común, porque el 24, el término independiente, no tiene x, 144 00:14:41,240 --> 00:14:48,539 y los coeficientes tampoco van a tener ningún factor común, porque aquí tengo un 1, ¿vale? 145 00:14:48,539 --> 00:14:51,360 Es decir, el único factor común que podría haber es un 1. 146 00:14:52,600 --> 00:14:55,460 Es decir, nada, no tenemos ningún factor común. 147 00:14:56,100 --> 00:15:00,179 El segundo paso es ver si tenemos una identidad notable. 148 00:15:00,340 --> 00:15:06,600 Aquí no la tenemos, es evidente, porque esto es un polinomio de grado 3 y eso no es una identidad notable. 149 00:15:07,840 --> 00:15:12,419 Entonces, vamos al tercer paso para factorizar un polinomio. 150 00:15:12,840 --> 00:15:15,960 Si nos queda un polinomio de grado 3 o superior, aplicamos Ruffini. 151 00:15:15,960 --> 00:15:19,279 Vale, pues vamos a aplicar fin a este polinomio. 152 00:15:20,840 --> 00:15:23,700 ¿Por qué valores comenzábamos a probar? 153 00:15:24,460 --> 00:15:31,940 Pues vamos a probar con los divisores del término independiente, 154 00:15:32,039 --> 00:15:34,580 porque tal y como hemos explicado en el primer ejercicio, 155 00:15:35,899 --> 00:15:40,500 si un polinomio tiene raíces enteras, tienen que ser divisores del término independiente. 156 00:15:41,059 --> 00:15:43,639 ¿Qué divisores tiene 24? 157 00:15:43,639 --> 00:15:48,080 Pues tiene, en primer lugar, más menos 1 158 00:15:48,080 --> 00:15:53,299 ¿Y con quién iría emparejado un divisor que fuera más menos 1? 159 00:15:53,679 --> 00:15:55,000 Pues con más menos 24 160 00:15:55,000 --> 00:16:01,379 Porque si 1 es divisor, pues 24 es su pareja 161 00:16:01,379 --> 00:16:05,139 Porque 1 por 24 es 24 162 00:16:05,139 --> 00:16:10,100 O menos 1 por menos 24 da 24 163 00:16:10,100 --> 00:16:13,600 Siempre que probamos los divisores de un número cualquiera 164 00:16:13,600 --> 00:16:16,899 En aritmética, esto es de aritmética básica 165 00:16:16,899 --> 00:16:18,980 Siempre lo probamos por las parejas 166 00:16:18,980 --> 00:16:21,740 Es decir, 2 es divisor de 24 167 00:16:21,740 --> 00:16:23,539 ¿Y con quién iría el 24? 168 00:16:24,279 --> 00:16:25,539 Asociado con 12 169 00:16:25,539 --> 00:16:27,779 ¿Por qué? Porque 2 por 12 es 24 170 00:16:27,779 --> 00:16:30,639 Y menos 2 por menos 12 es 24 171 00:16:30,639 --> 00:16:32,919 El 3 es divisor del 24 también 172 00:16:32,919 --> 00:16:34,659 ¿Con quién me ha emparejado? Con el 8 173 00:16:34,659 --> 00:16:37,220 Porque 3 por 8 es 24 174 00:16:37,220 --> 00:16:39,759 Y menos 3 por menos 8 es 24 175 00:16:39,759 --> 00:16:41,860 El 4 también es divisor 176 00:16:41,860 --> 00:16:44,659 Porque 4 por 6 es 24 177 00:16:44,659 --> 00:16:46,940 Y menos 4 por menos 6 también lo es 178 00:16:46,940 --> 00:16:48,539 Y ya no hay más divisores 179 00:16:48,539 --> 00:16:50,399 El 5 no sería divisor 180 00:16:50,399 --> 00:16:51,860 El 7 tampoco 181 00:16:51,860 --> 00:16:54,299 El 6 sí, pero ya lo tenemos aquí 182 00:16:54,299 --> 00:16:56,639 Ya habríamos comprobado todos 183 00:16:56,639 --> 00:16:58,740 Es decir, todos los divisores 184 00:16:58,740 --> 00:17:01,460 Todas las raíces enteras 185 00:17:01,460 --> 00:17:02,500 Si es que las tiene 186 00:17:02,500 --> 00:17:04,400 Van a estar entre estos números 187 00:17:04,400 --> 00:17:06,839 Vamos a empezar probando por alguno 188 00:17:06,839 --> 00:17:09,680 Con el 1, por ejemplo 189 00:17:09,680 --> 00:17:11,460 El 1 antes de hacer Ruffini 190 00:17:11,460 --> 00:17:18,140 Echamos un vistazo aquí y sustituimos a ojo el valor numérico del polinomio del denominador. 191 00:17:18,539 --> 00:17:22,119 Si probamos con 1, para ver si hay raíz, es muy fácil. 192 00:17:22,500 --> 00:17:27,700 1 al cubo es 1, menos 1 al cuadrado, que es 1, esto sería 0. 193 00:17:28,660 --> 00:17:32,759 Y luego, menos 14x, para x igual a 1 sería menos 14. 194 00:17:33,339 --> 00:17:36,279 Menos 14 más 24 va a dar 10. 195 00:17:36,279 --> 00:17:41,140 Luego, ya vemos muy fácilmente que 1 no va a ser raíz del polinomio. 196 00:17:41,140 --> 00:17:44,680 de denominador. Probamos con menos 1 y esto quedará 197 00:17:44,680 --> 00:17:49,319 menos 1 y esto, porque menos 1 al cubo 198 00:17:49,319 --> 00:17:53,700 es menos 1, menos y menos 1 al cuadrado 199 00:17:53,700 --> 00:17:57,500 es 1. Luego esto va a ser menos 1, menos 1 200 00:17:57,500 --> 00:18:01,160 menos 2 y menos 14 por menos 1 201 00:18:01,160 --> 00:18:05,799 va a dar 14. Luego 14 menos 2 202 00:18:05,799 --> 00:18:09,319 12 más 24, nada, no va a ser tampoco 203 00:18:09,319 --> 00:18:14,940 igual a 0. Lo hemos probado con 1 y con menos 1. Vamos a probar con 2 abajo. Esto sería 204 00:18:14,940 --> 00:18:23,480 2 elevado a 3, que es 8, menos 2 elevado al cuadrado, que es 4. Esto nos daría 4. Y luego 205 00:18:23,480 --> 00:18:33,059 menos 14 por 2 sería menos 28. Menos 28 más 4, porque esto era 4, daría menos 24. Más 206 00:18:33,059 --> 00:18:38,039 24 sí daría 0. Vamos a comprobarlo de todos modos por fin. Entonces empezamos por 2. 207 00:18:39,319 --> 00:18:47,279 Y ponemos aquí, para x igual a 2, vamos a ver cuál sería el valor numérico del polinomio, ¿vale? 208 00:18:48,220 --> 00:18:53,480 Entonces, aquí vamos a hacer lo mismo que hemos hecho en el segundo ejercicio. 209 00:18:53,940 --> 00:18:57,559 Vamos a calcular el valor numérico del polinomio en x igual a 2. 210 00:18:57,680 --> 00:19:00,079 Y para eso aquí no cambiamos de signo, ¿vale? 211 00:19:02,240 --> 00:19:03,559 Lo tenéis aquí arriba. 212 00:19:03,559 --> 00:19:08,740 para calcular el valor numérico del polinomio 213 00:19:08,740 --> 00:19:11,740 en este número no cambiamos 214 00:19:11,740 --> 00:19:16,700 del valor aquí, cuando cambiamos es cuando dividimos entre x menos a 215 00:19:16,700 --> 00:19:18,220 entonces 216 00:19:18,220 --> 00:19:25,180 ponemos aquí los coeficientes del polinomio denominador 217 00:19:25,180 --> 00:19:28,539 como es x cubo menos x cuadrado será 1 218 00:19:28,539 --> 00:19:33,180 menos 1, vemos que no hay ningún término que falte 219 00:19:33,180 --> 00:19:38,319 Está el de x cubo, el de x cuadrado, el de x y el de 24, ¿vale? 220 00:19:38,440 --> 00:19:42,380 No tengo que poner un 0 en ningún sitio porque no me quedan huecos. 221 00:19:42,700 --> 00:19:52,160 Entonces, el primer coeficiente es 1, el segundo es menos 1, el tercero es menos 14 y este es el término independiente, 24, ¿vale? 222 00:19:52,500 --> 00:19:59,119 Ponemos la cruceta de Ruffini y aquí pongo 2, porque voy a empezar por 2, bajo el 1. 223 00:19:59,119 --> 00:20:02,359 1 por 2, 2. Lo pongo debajo del menos 1. 224 00:20:02,359 --> 00:20:17,019 Menos 1, más 2, 1. 1 por 2, 2. Y lo pongo debajo del menos 14. Menos 14, más 2, menos 12. Menos 12 por 2, menos 24. Y ahora, menos 24, menos 24, es 0. 225 00:20:17,140 --> 00:20:28,119 Vemos que el resto de dividir entre x menos 2, es decir, el valor numérico del polinomio en x igual a 2, es 0. Por lo tanto, base raíz, ¿vale? 226 00:20:28,119 --> 00:20:41,720 Bien, en vez de seguir con Ruffini, es más interesante o más fiable ver cuál es el cociente de la división, que sería el polinomio x al cuadrado más x menos 12, igualarlo a cero para hallar las raíces. 227 00:20:42,480 --> 00:20:45,180 Entonces, ¿cuáles serían las raíces que nosotros tendríamos aquí? 228 00:20:45,180 --> 00:20:48,220 aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado 229 00:20:48,220 --> 00:20:49,680 y sería menos b 230 00:20:49,680 --> 00:20:51,579 porque b es el término 231 00:20:51,579 --> 00:20:53,940 el coeficiente del término lineal 232 00:20:53,940 --> 00:20:55,079 el término en x 233 00:20:55,079 --> 00:20:56,980 que sería menos b que es menos 1 234 00:20:56,980 --> 00:20:58,680 más menos 1 al cuadrado 235 00:20:58,680 --> 00:21:00,160 menos 236 00:21:00,160 --> 00:21:01,940 aquí no he puesto al cuadrado 237 00:21:01,940 --> 00:21:03,160 pero esto porque es un 1 238 00:21:03,160 --> 00:21:06,480 menos 4 por a que es 1 239 00:21:06,480 --> 00:21:08,299 y por c que es menos 12 240 00:21:08,299 --> 00:21:10,839 eso sería menos 1 más menos 241 00:21:10,839 --> 00:21:12,400 1 menos 242 00:21:12,400 --> 00:21:13,980 4 por 1 es 4 243 00:21:13,980 --> 00:21:22,359 por 12, menos 48. Como lleva este signo menos, se convierte en 1 más 48, que es 49. Luego 244 00:21:22,359 --> 00:21:28,900 quedaría menos 1 más menos la raíz de 49, que es 7. Es decir, una solución sería menos 245 00:21:28,900 --> 00:21:39,970 1 más 7, 6, entre 2 a 3. Esa sería la solución de abajo. Y menos 1 menos 7 sería menos 8. 246 00:21:39,970 --> 00:21:48,609 Por lo tanto, las raíces del polinomio denominador serían x igual a 2 247 00:21:48,609 --> 00:21:57,829 ¿Vale? Porque sabemos que 2 va a ser raíz porque el valor numérico es 0 en ese punto 248 00:21:57,829 --> 00:21:59,970 Entonces, x igual a 2 es raíz 249 00:21:59,970 --> 00:22:03,049 ¿Cuál es el factor que le corresponde a x igual a 2? 250 00:22:03,049 --> 00:22:06,589 Pues x menos 2 251 00:22:06,589 --> 00:22:10,309 Luego, hemos visto que menos 4 es raíz 252 00:22:10,309 --> 00:22:16,170 Por lo tanto, el factor que le corresponde a x igual a menos 4 es x más 4 253 00:22:16,170 --> 00:22:19,269 Y aquí hemos visto que x igual a 3 es raíz 254 00:22:19,269 --> 00:22:29,609 Por lo tanto, el factor x menos 3 también habría que incluirlo para hacer nuestra factorización 255 00:22:29,609 --> 00:22:32,309 Entonces, ¿cómo quedaría factorizado el denominador? 256 00:22:32,309 --> 00:22:39,190 El denominador que diría x menos 2 por x más 4 por x menos 3. 257 00:22:39,369 --> 00:22:47,390 Y aquí también he recalcado con color rojo la operación que liga a todos estos factores. 258 00:22:48,230 --> 00:22:52,390 Solamente tenemos multiplicaciones en el numerador y en el denominador. 259 00:22:52,950 --> 00:22:58,789 Hay signos más y menos, pero están dentro de los paréntesis. 260 00:22:58,789 --> 00:23:08,809 Yo, lo primero que me encuentro en el numerador y en el denominador es multiplicación de factores, sólo multiplicación de factores. 261 00:23:09,049 --> 00:23:17,349 Si aquí tuviera un signo más, es decir, si aquí hubiera más un número o una expresión algebraica, ya no podría simplificar. 262 00:23:18,170 --> 00:23:23,170 Solamente tengo multiplicaciones. En ese caso, busco los factores que están arriba y abajo. 263 00:23:23,170 --> 00:23:30,009 Aquí tengo x menos 3, que se iría con este x menos 3, y aquí tengo x menos 2, que se iría con este x menos 2. 264 00:23:30,190 --> 00:23:34,230 Lo tacho y lo tacho y me queda x partido por x más 4, ¿vale? 265 00:23:35,329 --> 00:23:38,410 Esa sería la solución a este ejercicio. 266 00:23:40,269 --> 00:23:45,890 Bien, pasamos al siguiente ejercicio, que dice, resuelve las ecuaciones siguientes, ¿vale? 267 00:23:45,890 --> 00:23:56,849 Este sería vuestro tercer ejercicio, el tercer ejercicio del examen, y cambia las puntuaciones, por ejemplo, este en el examen valía dos puntos, ¿vale? 268 00:23:57,329 --> 00:24:13,549 Bien, entonces, ¿cómo se resuelve esta ecuación en la que nos encontramos en el miembro de la izquierda una fracción algebraica y en el miembro de la derecha dos fracciones algebraicas, ¿vale? 269 00:24:13,549 --> 00:24:23,230 Bueno, pues lo primero que vamos a hacer es operar y sumar las dos fracciones algebraicas que se encuentran a la derecha. 270 00:24:23,450 --> 00:24:34,450 Para ello hacemos el mínimo común múltiplo de los denominadores, que son x menos 2 y x más 1. 271 00:24:35,670 --> 00:24:40,849 ¿Cuál es el mínimo común múltiplo o el común denominador? Pues el producto de estos factores. 272 00:24:40,849 --> 00:24:45,069 Entonces hacemos x menos 2 por x más 1 273 00:24:45,069 --> 00:24:49,150 dividido entre este denominador, x menos 2 274 00:24:49,150 --> 00:24:51,490 ¿Qué me va a quedar? Pues x más 1 275 00:24:51,490 --> 00:24:56,410 Entonces en el numerador tengo que poner 276 00:24:56,410 --> 00:25:00,789 2x por lo que me queda, x más 1 277 00:25:00,789 --> 00:25:04,589 ¿Vale? Repito, ya sabemos que este va a ser 278 00:25:04,589 --> 00:25:08,730 x menos 2 por x más 1 va a ser el mínimo común múltiplo 279 00:25:08,730 --> 00:25:24,750 Es como cuando estábamos en una aritmética. Entonces, esto, es decir, el común del denominador entre este denominador me va a dar x más 1 multiplicado por 2x, me va a dar 2x por x más 1. 280 00:25:25,130 --> 00:25:36,089 Y es esencial que pongáis paréntesis. Esencial. Muchos de vosotros os habéis comido los paréntesis. ¿Vale? Es esencial ponernos aquí y aquí. Siempre. 281 00:25:36,089 --> 00:25:46,809 Para la segunda fracción, que tenemos x menos 2 por x más 1, dividido entre este denominador, que es x más 1, me va a quedar x menos 2. 282 00:25:47,230 --> 00:25:52,589 Y ahora lo multiplico por el numerador de la segunda fracción algebraica. 283 00:25:52,789 --> 00:25:56,190 Por lo tanto, me queda x menos 2 por x más 3. 284 00:25:56,730 --> 00:25:59,089 Todo con sus correspondientes paréntesis. 285 00:25:59,089 --> 00:26:04,210 Y ahora, tengo dos fracciones algebraicas iguales. 286 00:26:04,210 --> 00:26:11,410 Tengo una a la izquierda, que sería esta fracción algebraica, y esta fracción algebraica a la derecha. 287 00:26:11,710 --> 00:26:14,509 Los denominadores son iguales. 288 00:26:14,890 --> 00:26:21,170 En el de la izquierda tengo x-2 por x más 1 y en el de la derecha tengo x-2 por x más 1. 289 00:26:21,289 --> 00:26:25,109 Es decir, este numerador y este denominador son iguales. 290 00:26:25,490 --> 00:26:31,750 Por lo tanto, si dos fracciones son iguales y sus denominadores son iguales, 291 00:26:31,750 --> 00:26:35,769 Eso quiere decir que sus numeradores tienen que ser iguales, por lo que escribo. 292 00:26:36,250 --> 00:26:42,490 1 menos x es igual a 2x por x más 1 más x menos 2 por x más 3. 293 00:26:43,369 --> 00:26:45,049 Y ahora aplico la propiedad distributiva. 294 00:26:46,369 --> 00:26:50,250 Este monomio lo multiplico por este binomio. 295 00:26:50,250 --> 00:27:10,430 Entonces, el primero por el primero, el primer término, por el primer término, más, porque aquí tengo más, el primer término por el segundo término, es decir, 2x por x, 2x al cuadrado, más, 2x por 1, 2x, más. 296 00:27:10,430 --> 00:27:15,569 Y ahora aquí tengo el producto de dos binomios, que tienen cada uno de ellos dos términos. 297 00:27:15,930 --> 00:27:20,430 O sea, el primero por el primero, el primer término por el segundo término, 298 00:27:21,910 --> 00:27:28,130 el segundo término del primer binomio por el primer término del segundo binomio, 299 00:27:28,809 --> 00:27:34,549 y el segundo por el segundo, x por x, x al cuadrado, x por 3, 3x, 300 00:27:35,049 --> 00:27:38,829 menos 2 por x, menos 2x, menos 2 por 3, menos 6. 301 00:27:38,829 --> 00:27:43,349 Veo que tengo un 2x sumando y un 2x restando 302 00:27:43,349 --> 00:27:45,109 Los puedo simplificar, ¿vale? 303 00:27:46,250 --> 00:27:49,930 Dejo en el lado de la izquierda 304 00:27:49,930 --> 00:27:57,569 Es decir, voy a pasar estos dos términos al lado de la derecha 305 00:27:57,569 --> 00:27:58,089 ¿Vale? 306 00:27:59,390 --> 00:28:02,089 Para buscar la ecuación canónica del segundo grado 307 00:28:02,089 --> 00:28:02,890 ¿Vale? 308 00:28:02,890 --> 00:28:06,470 Entonces, como tengo aquí 2x al cuadrado más x al cuadrado 309 00:28:06,470 --> 00:28:14,670 eso va a ser 3x al cuadrado. Y ahora aquí tengo un 3x. Junto con esta x que estaba a la izquierda 310 00:28:14,670 --> 00:28:24,829 y pasaba sumando, voy a tener 4x. Y aquí tengo menos 6, menos 1, menos el 1 que estaba a la izquierda 311 00:28:24,829 --> 00:28:29,789 y que pasa restando, se me convierte en menos 7. Y aplico la ecuación de segundo grado. 312 00:28:29,789 --> 00:28:34,529 la fórmula general de resolución de ecuaciones de segundo grado 313 00:28:34,529 --> 00:28:38,150 x es igual a menos b más menos b al cuadrado 314 00:28:38,150 --> 00:28:41,390 con paréntesis, porque b aquí es 315 00:28:41,390 --> 00:28:48,470 menos b más menos 316 00:28:48,470 --> 00:28:52,869 b al cuadrado, ese signo no nos sobra 317 00:28:52,869 --> 00:28:56,630 porque b es 4, y los paréntesis también, perdón que me he equivocado 318 00:28:56,630 --> 00:29:01,069 aquí sí es menos b más menos 319 00:29:01,069 --> 00:29:03,029 La raíz cuadrada de b cuadrado 320 00:29:03,029 --> 00:29:05,109 Menos 4 por a 321 00:29:05,109 --> 00:29:05,849 Que es 3 322 00:29:05,849 --> 00:29:07,809 Y por c que es menos 7 323 00:29:07,809 --> 00:29:09,529 Aquí sí que hay que poner el paréntesis 324 00:29:09,529 --> 00:29:12,730 Entonces te quedaría menos 4 más menos 325 00:29:12,730 --> 00:29:14,910 16 menos 4 326 00:29:14,910 --> 00:29:15,950 Por 3, 12 327 00:29:15,950 --> 00:29:18,990 Por menos 7 sería menos 84 328 00:29:18,990 --> 00:29:20,150 Con este signo menos 329 00:29:20,150 --> 00:29:23,369 Menos menos da más 84 330 00:29:23,369 --> 00:29:25,109 Y 16 más 84 331 00:29:25,109 --> 00:29:26,069 Es 100 332 00:29:26,069 --> 00:29:28,690 Es decir, menos 4 más menos la raíz de 100 333 00:29:28,690 --> 00:29:29,450 Lo que es lo mismo 334 00:29:29,450 --> 00:29:36,789 menos 4 más menos 10. Y en el denominador ponemos 6 porque en la fórmula nos pide que pongamos 2a. 335 00:29:37,009 --> 00:29:45,970 Como a es 3, eso va a ser 6. Luego menos 4 más 10 es 6. Entre 6 a 1. 336 00:29:46,450 --> 00:29:53,069 Menos 4 menos 10, menos 14. Entre 6 da menos 14 sextos. 337 00:29:53,069 --> 00:29:56,930 Y menos 14 es esto, se puede simplificar a menos 7 tercios. 338 00:29:57,450 --> 00:30:06,829 Ahora comprobamos si en alguno de los denominadores se anularía para estos valores. 339 00:30:07,009 --> 00:30:13,990 Porque si se anula el denominador para alguna de las raíces, o sea, de las soluciones de la ecuación, 340 00:30:14,650 --> 00:30:16,970 esas soluciones no serían varias. 341 00:30:16,970 --> 00:30:25,890 Entonces vemos que estos denominadores solamente se anulan en x igual a 2 y x igual a menos 1. 342 00:30:27,849 --> 00:30:33,069 x igual a 2 y x igual a menos 1. 343 00:30:34,230 --> 00:30:45,549 Es decir, si yo sustituyo la x por 1, este factor sería menos 2, este sería 2, luego no sería 0, 344 00:30:45,549 --> 00:30:48,289 luego el 1 en principio valdría. 345 00:30:48,730 --> 00:30:50,509 Y menos 7 tercios, lo mismo. 346 00:30:50,650 --> 00:30:58,490 Si sustituyo la x por menos 7 tercios, aquí, aquí, aquí y aquí, no se van a anular los denominadores. 347 00:30:58,750 --> 00:31:01,289 Luego, estas soluciones son válidas. 348 00:31:01,690 --> 00:31:01,910 ¿Vale? 349 00:31:02,490 --> 00:31:03,049 Bien. 350 00:31:03,650 --> 00:31:10,690 Ahora vamos a la siguiente ecuación, que es la ecuación con radicales. 351 00:31:10,890 --> 00:31:11,109 ¿Vale? 352 00:31:11,549 --> 00:31:17,849 Es decir, tenemos aquí que la raíz cuadrada de x al cuadrado más 2x más 9, ¿vale? 353 00:31:17,849 --> 00:31:22,329 La raíz llegaba hasta el 9, menos 7 es igual a 2x. 354 00:31:23,390 --> 00:31:26,950 Esta era la segunda de las ecuaciones que vosotros tenéis, y valía un punto. 355 00:31:27,890 --> 00:31:31,210 ¿Cuál era el primer paso para resolver una ecuación con radicales? 356 00:31:31,269 --> 00:31:36,890 Pues lo primero es dejar a la raíz sola, en un lado del igual. 357 00:31:37,269 --> 00:31:39,829 Ahora mismo no está sola, porque tiene al menos 7. 358 00:31:40,210 --> 00:31:42,609 Por lo tanto, el menos 7 lo tenemos que pasar al otro lado. 359 00:31:42,609 --> 00:31:45,430 Lo pasamos al otro lado 360 00:31:45,430 --> 00:31:47,430 Y pasa sumando 361 00:31:47,430 --> 00:31:48,170 Y nos quedaría 362 00:31:48,170 --> 00:31:50,630 La raíz cuadrada de x al cuadrado 363 00:31:50,630 --> 00:31:53,829 Más 2x más 9 es igual a 2x más 7 364 00:31:53,829 --> 00:31:56,349 Y en ese caso es cuando elevamos al cuadrado 365 00:31:56,349 --> 00:31:58,450 Ahí ya sí elevamos 366 00:31:58,450 --> 00:31:59,190 Antes no 367 00:31:59,190 --> 00:32:02,210 Ha habido varios de vosotros que habéis elevado esto al cuadrado 368 00:32:02,210 --> 00:32:04,210 Directamente tal y como estaba 369 00:32:04,210 --> 00:32:05,150 Eso no está bien 370 00:32:05,150 --> 00:32:07,670 Hay que dejar la raíz sola 371 00:32:07,670 --> 00:32:08,930 ¿Vale? 372 00:32:08,970 --> 00:32:10,670 Entonces aquí elevamos al cuadrado 373 00:32:10,670 --> 00:32:13,990 aquí tenemos una raíz al cuadrado 374 00:32:13,990 --> 00:32:15,269 que a elevarla al cuadrado 375 00:32:15,269 --> 00:32:16,509 la raíz va a desaparecer 376 00:32:16,509 --> 00:32:19,750 y que vamos a tener en el segundo miembro 377 00:32:19,750 --> 00:32:20,369 de la igualdad 378 00:32:20,369 --> 00:32:23,109 un paréntesis en el que tenemos dentro 379 00:32:23,109 --> 00:32:25,650 A, dos términos 380 00:32:25,650 --> 00:32:27,470 A más B al cuadrado 381 00:32:27,470 --> 00:32:29,630 y aquí os he puesto de broma 382 00:32:29,630 --> 00:32:31,849 la cara de susto 383 00:32:31,849 --> 00:32:33,769 de este dibujo japonés 384 00:32:33,769 --> 00:32:35,670 que dice, oh no, identidad notable 385 00:32:35,670 --> 00:32:36,890 ¿por qué lo pongo así? 386 00:32:36,970 --> 00:32:38,890 porque a muchos de vosotros os da pánico 387 00:32:38,890 --> 00:32:43,130 O no veis muchas veces que estamos ante una identidad notable 388 00:32:43,130 --> 00:32:47,710 Y hacéis muchos de vosotros, o cometéis muchos de vosotros, muchos errores 389 00:32:47,710 --> 00:32:51,569 Le vais al cuadrado 1 más el cuadrado del segundo 390 00:32:51,569 --> 00:32:55,690 Y os olvidáis del doble producto del primero por el segundo 391 00:32:55,690 --> 00:32:58,349 Por eso os he puesto a esta chica ahí 392 00:32:58,349 --> 00:33:00,029 Bien, lo aplicamos 393 00:33:00,029 --> 00:33:04,789 x al cuadrado más 2x más 7, era la raíz al cuadrado 394 00:33:04,789 --> 00:33:07,029 Y esto es el cuadrado del primero 395 00:33:07,029 --> 00:33:10,309 ¿Vale? Con paréntesis 396 00:33:10,309 --> 00:33:13,170 Más el cuadrado del segundo 397 00:33:13,170 --> 00:33:16,829 Más el doble producto del primero por el segundo 398 00:33:16,829 --> 00:33:18,529 Del primer término por el segundo 399 00:33:18,529 --> 00:33:20,970 Esto es lo que muchos de vosotros os olvidáis 400 00:33:20,970 --> 00:33:24,529 ¿Vale? El doble producto del primero por el segundo 401 00:33:24,529 --> 00:33:27,329 ¿Vale? Entonces, ¿cómo quedaría esto? 402 00:33:28,150 --> 00:33:30,630 2x al cuadrado es 4x al cuadrado 403 00:33:30,630 --> 00:33:32,630 7 al cuadrado es 49 404 00:33:32,630 --> 00:33:35,650 Y 2 por 2x por 7 es 405 00:33:35,650 --> 00:33:44,730 2 por 2, 4, por 7, 28x. Agrupando términos. Lo voy a pasar, todo lo de la izquierda lo voy a pasar a la derecha. 406 00:33:45,410 --> 00:33:53,970 Voy a tener 4x al cuadrado menos x al cuadrado, 3x al cuadrado. 28x menos 2x me va a dar 26x. 407 00:33:54,910 --> 00:34:03,630 Y 49 menos 9 me va a dar 40, igual a 0. Aplico la fórmula general de la ecuación de segundo grado 408 00:34:03,630 --> 00:34:06,029 y entonces me queda menos b 409 00:34:06,029 --> 00:34:08,130 que b es 26 410 00:34:08,130 --> 00:34:10,489 me queda menos 26 más menos 411 00:34:10,489 --> 00:34:12,309 la raíz cuadrada de b al cuadrado 412 00:34:12,309 --> 00:34:13,869 menos 4 por a por c 413 00:34:13,869 --> 00:34:16,909 26 al cuadrado 414 00:34:16,909 --> 00:34:18,809 menos 4 por 3 415 00:34:18,809 --> 00:34:21,130 12 por 40 416 00:34:21,130 --> 00:34:21,949 por lo que d 417 00:34:21,949 --> 00:34:24,650 y esto queda menos 26 418 00:34:24,650 --> 00:34:26,809 más menos 14 dividido entre 6 419 00:34:26,809 --> 00:34:28,849 que esto da menos 40 420 00:34:28,849 --> 00:34:31,070 dividido entre 6 que es menos 20 tercios 421 00:34:31,070 --> 00:34:32,550 y 422 00:34:32,550 --> 00:34:39,650 Y menos 26 menos 14 dividido entre 6 va a dar menos 12 sextos, que esto es menos 2. 423 00:34:40,429 --> 00:34:51,250 Y tenéis que recordar que cuando estamos resolviendo ecuaciones con radicales hay que comprobar si los valores que obtenemos son efectivamente solución de la ecuación. 424 00:34:51,250 --> 00:35:00,710 Para ello hay que sustituir en la ecuación inicial, es decir, en esta, la x por los valores que nosotros hemos obtenido. 425 00:35:01,429 --> 00:35:02,389 Pues vamos con ello. 426 00:35:02,550 --> 00:35:14,150 Vamos a empezar por el de abajo. Para x igual a menos 2, ¿cuánto valdría la expresión de la izquierda? 427 00:35:14,150 --> 00:35:23,789 Que era raíz cuadrada de x al cuadrado, lo tenéis ahí, x al cuadrado más 2x más 9 menos 7. 428 00:35:24,309 --> 00:35:30,750 Por lo que hacemos x al cuadrado, o sea, raíz cuadrada de x al cuadrado y en vez de x pongo menos 2 como paréntesis. 429 00:35:30,750 --> 00:35:32,230 muy importante los paréntesis 430 00:35:32,230 --> 00:35:34,809 x al cuadrado más 2x 431 00:35:34,809 --> 00:35:35,809 que es menos 2 432 00:35:35,809 --> 00:35:44,179 aquí más 9 433 00:35:44,179 --> 00:35:46,239 ¿vale? más 9, eso sería 434 00:35:46,239 --> 00:35:48,900 4 menos 4 435 00:35:48,900 --> 00:35:50,760 ¿vale? porque esto es 4 436 00:35:50,760 --> 00:35:52,980 menos 4 437 00:35:52,980 --> 00:35:54,000 más 9 438 00:35:54,000 --> 00:35:56,480 eso es 3 439 00:35:56,480 --> 00:35:57,840 aquí hay una cosa 440 00:35:57,840 --> 00:35:59,619 que me he comido 441 00:35:59,619 --> 00:36:02,360 porque la expresión era 442 00:36:02,360 --> 00:36:06,789 x al cuadrado 443 00:36:06,789 --> 00:36:08,289 más 2x más 9 444 00:36:08,289 --> 00:36:12,010 Ah, que lo estoy haciendo, lo he hecho al revés, vale 445 00:36:12,010 --> 00:36:14,909 Yo estoy comprobando 446 00:36:14,909 --> 00:36:19,070 Eso sería el valor de la raíz, vale 447 00:36:19,070 --> 00:36:24,050 Y en el segundo miembro he puesto el más 7 448 00:36:24,050 --> 00:36:27,090 Que la ecuación original tendría que estar aquí restando, vale 449 00:36:27,090 --> 00:36:31,070 Es decir, yo estoy comprobando en esta expresión 450 00:36:31,070 --> 00:36:35,789 La raíz es igual a 2x más 7 en vez de en esta 451 00:36:35,789 --> 00:36:38,050 Que es lo mismo, vale 452 00:36:38,050 --> 00:36:55,750 Es decir, y ahora, lo otro que compruebo es 2x más 7, lo calculo a ver si me da lo mismo, y me sale menos 4 más 7, que es 3. Luego, x igual a menos 2 sería la solución, ¿vale? 453 00:36:56,130 --> 00:37:07,909 El 7, en vez de ponerlo aquí restando, lo he puesto aquí sumando. Hubiera sido mejor, por no alterar nada la expresión, haber dejado aquí el menos 7 y aquí no haberlo puesto, pero bueno, en este caso da lo mismo. 454 00:37:08,050 --> 00:37:19,889 Y ahora probamos con x igual a menos 20 tercios y vemos que por un lado obtenemos 19 tercios y por otro lado obtenemos menos 19 tercios. 455 00:37:20,050 --> 00:37:29,429 Por lo tanto, los valores, aunque en valor absoluto es el mismo, su signo es distinto. 456 00:37:29,570 --> 00:37:34,090 Por lo tanto, x igual a menos 20 tercios no sería la solución. 457 00:37:34,090 --> 00:37:53,889 ¿Vale? Bien. Ahora vamos con esta otra ecuación exponencial. ¿Vale? Aquí os he puesto que tenéis que repasar cómo se expresan las raíces como potencias de exponente fraccionario, porque muchos de vosotros os habéis liado. ¿Vale? 458 00:37:53,889 --> 00:38:02,530 ¿Cómo se expresa raíz cúbica de 4 como una potencia de exponente fraccionario? 459 00:38:02,989 --> 00:38:07,210 Bueno, porque lo primero que hacemos es descomponer el radicando 460 00:38:07,210 --> 00:38:11,489 Descomponer 4, 4 que es 2 al cuadrado, ¿vale? 461 00:38:11,489 --> 00:38:16,989 Pues mi primer paso es expresar 4 como una potencia 462 00:38:16,989 --> 00:38:20,489 Entonces, el miembro de la izquierda se queda igual 463 00:38:20,489 --> 00:38:24,090 2 elevado a x más 1 es igual a la raíz cúbica de 2 al cuadrado 464 00:38:24,090 --> 00:38:28,809 y ahora cuando tengo la raíz cúbica de 2 al cuadrado 465 00:38:28,809 --> 00:38:31,769 eso como se expresa como una fracción 466 00:38:31,769 --> 00:38:35,469 muy fácil, es decir, la raíz m 467 00:38:35,469 --> 00:38:40,070 un segundo, que voy a poner aquí la ecuación que no la he escrito 468 00:38:40,070 --> 00:38:46,570 vale, entonces lo que os he estado diciendo es 469 00:38:46,570 --> 00:38:50,230 que tenéis que recordar que la raíz 470 00:38:50,230 --> 00:39:04,050 m-ésima de a elevado a n es igual a a elevado a n partido por m, ¿vale? 471 00:39:04,409 --> 00:39:06,630 Bien, por lo tanto, ¿eso qué significa? 472 00:39:08,050 --> 00:39:16,630 Que la raíz cúbica de 2 elevado al cuadrado es igual a 2 elevado a 2 tercios, ¿vale? 473 00:39:16,630 --> 00:39:23,170 Por lo tanto, tengo dos potencias iguales, una potencia igual a otra potencia, 474 00:39:23,849 --> 00:39:28,909 en la que las bases son iguales, es decir, la base es 2, y aquí la base es 2. 475 00:39:30,329 --> 00:39:34,590 Dos potencias iguales de la misma base tienen que tener exponentes iguales. 476 00:39:34,590 --> 00:39:40,630 Yo puedo simplemente igualar x más 1 a 2 tercios, que es lo que hago aquí. 477 00:39:41,250 --> 00:39:44,929 Algunos de vosotros tacháis las bases, eso no queda muy elegante, 478 00:39:44,929 --> 00:39:50,250 Pero bueno, no es lo peor que se puede hacer. Quedamos en adelante simplemente igual a los exponentes. 479 00:39:50,929 --> 00:40:04,170 ¿Cómo se resuelve esta ecuación? Para mí lo más fácil y lo más sencillo es multiplicar tanto el lado de la izquierda como el lado de la derecha por el denominador común de las dos. 480 00:40:04,170 --> 00:40:20,269 Es decir, este denominador es 1 y este denominador es 3. Multiplico todo por 3 para quitar el denominador de la derecha. Me queda 3x más 3 es igual a 2. Paso el 3 que está sumando a la izquierda, lo paso restando a la derecha. 481 00:40:20,269 --> 00:40:28,909 Vale, aquí voy a poner el punto que se me ha olvidado, control F6, me falta un puntito, lo pongo, vale 482 00:40:28,909 --> 00:40:39,170 Entonces me queda 3X es igual a 2 menos 3, 3X es igual a menos 1 o X es igual a menos 1 tercio, esa es la solución, vale 483 00:40:39,170 --> 00:40:44,650 Siguiente ecuación exponencial, hay que hacer lo mismo o una cosa muy similar 484 00:40:44,650 --> 00:40:49,150 Que es llegar a una igualdad de potencias de la misma base 485 00:40:49,150 --> 00:40:56,650 por lo tanto como aquí la base en el lado de la izquierda es 5 486 00:40:56,650 --> 00:41:00,889 voy a ver si el lado de la derecha lo puedo expresar con una potencia de 5 487 00:41:00,889 --> 00:41:06,929 lo puedo hacer si descompongo 25 en factores 488 00:41:06,929 --> 00:41:09,289 25 es 5 al cuadrado 489 00:41:09,289 --> 00:41:13,550 pues entonces digo que el segundo miembro es 1 partido por 5 al cuadrado 490 00:41:13,550 --> 00:41:19,309 Y un 1 partido por 5 al cuadrado, que es 5 elevado a menos 2. 491 00:41:20,730 --> 00:41:22,570 Esto lo tenéis que recordar muy bien. 492 00:41:24,590 --> 00:41:32,969 1 dividido entre una potencia es lo mismo que esa potencia elevado al exponente cambiado de signo. 493 00:41:33,889 --> 00:41:38,269 Si aquí teníamos el exponente 2, ahora el exponente es menos 2. 494 00:41:39,650 --> 00:41:42,829 Y la potencia ha pasado del denominador al numerador. 495 00:41:43,550 --> 00:41:48,050 Entonces, ahora ya tengo dos potencias iguales de la misma base. 496 00:41:48,690 --> 00:41:53,869 Es decir, 5 elevado a 3x más 7 es igual a 5 elevado a menos 2. 497 00:41:55,789 --> 00:41:59,530 Por lo tanto, como las bases son iguales, los exponentes tienen que ser iguales. 498 00:42:00,050 --> 00:42:03,349 Igual a los exponentes, 3x más 7 es igual a menos 2. 499 00:42:04,230 --> 00:42:07,289 El 7 lo paso al otro lado y me queda menos 2 menos 7. 500 00:42:07,289 --> 00:42:09,590 Es decir, 3x es igual a menos 9. 501 00:42:10,269 --> 00:42:13,230 El 3 va saliendo, x es igual a menos 9 partido por 3. 502 00:42:13,230 --> 00:42:21,909 x es igual a menos 3. Siguiente ecuación, x a la cuarta menos 10x al cuadrado más 9 503 00:42:21,909 --> 00:42:28,789 es igual a 0. Tal y como digo, aquí se trata de una ecuación bicuadrada. Tenemos grado 504 00:42:28,789 --> 00:42:40,510 cuarto, falta el término de grado 3, tenemos término de grado 2, no tenemos término lineal, 505 00:42:40,510 --> 00:42:48,550 es decir, el término con x no existe, y si tenemos término independiente, estamos ante una ecuación b cuadrada. 506 00:42:50,429 --> 00:42:56,110 ¿Qué cambio realizamos? Pues realizamos el cambio x cuadrado igual a t. 507 00:42:57,750 --> 00:43:02,949 Con lo cual, si esto lo elevamos al cuadrado, nos quedaría x a la cuarta es igual a t cuadrado. 508 00:43:03,170 --> 00:43:10,449 Por lo tanto, ya sustituimos, nos queda t cuadrado menos 10x cuadrado, que pasa a ser menos 10t, 509 00:43:10,449 --> 00:43:14,070 menos 10t más 9 es igual a 0 510 00:43:14,070 --> 00:43:15,989 Resolvemos esta ecuación en t 511 00:43:15,989 --> 00:43:18,670 que es muy sencilla 512 00:43:18,670 --> 00:43:23,809 y obtenemos dos valores de t, 9 y 1 513 00:43:23,809 --> 00:43:25,969 Es decir, t es igual a 9 514 00:43:25,969 --> 00:43:29,210 por lo que es lo mismo x al cuadrado es igual a 9 515 00:43:29,210 --> 00:43:33,610 Hago raíces cuadradas ahora en los dos lados de la igualdad 516 00:43:33,610 --> 00:43:37,650 y me queda que x es igual a más menos la raíz de 9 517 00:43:37,650 --> 00:43:39,769 ¿Por qué ponemos más menos 9? 518 00:43:39,769 --> 00:43:49,530 porque en esta ecuación de aquí, x al cuadrado igual a 9, nos vale tanto que pongamos más raíz de 9 519 00:43:49,530 --> 00:43:53,210 como que pongamos menos raíz de 9, ¿sí? 520 00:43:53,570 --> 00:43:58,130 t igual a 1, lo mismo, quiere decir que x al cuadrado es 1, ¿por qué? 521 00:43:58,210 --> 00:44:02,110 porque habíamos hecho el cambio de variable x al cuadrado igual a t, ¿vale? 522 00:44:03,309 --> 00:44:08,210 ahora tomamos raíces cuadradas y nos queda que x es igual a más menos la raíz de 1 523 00:44:08,210 --> 00:44:16,570 Es decir, que tenemos cuatro soluciones. x es igual a 3, x es igual a menos 3, x es igual a 1, x es igual a menos 1. 524 00:44:16,849 --> 00:44:25,190 Cuatro raíces que coinciden con el grado 4 de la ecuación, lo cual es correcto. 525 00:44:25,650 --> 00:44:30,110 Por último, una ecuación logarítmica. Yo creo que es muy sencilla. 526 00:44:31,110 --> 00:44:37,829 Tenemos dos logaritmos de x igual al logaritmo de x menos 1 más el logaritmo de x más 2. 527 00:44:38,210 --> 00:44:43,949 Para ello, tenéis que recordar las propiedades de los logaritmos, que las voy a escribir aquí a continuación. 528 00:44:53,280 --> 00:44:58,699 Bien, ya he escrito aquí las propiedades de los logaritmos que vamos a utilizar. 529 00:44:58,699 --> 00:45:20,760 La primera es que si tenemos un número multiplicando a un logaritmo, podemos expresar ese producto como el logaritmo del argumento elevado al número por el que se estaba multiplicando el logaritmo. 530 00:45:20,760 --> 00:45:25,340 Es decir, n logaritmo de a es igual al logaritmo de a elevado a n. 531 00:45:27,340 --> 00:45:41,360 O si lo leemos de derecha a izquierda, se puede decir que el logaritmo de una potencia es igual al exponente de la potencia n por el logaritmo de la base de esa potencia. 532 00:45:41,360 --> 00:45:52,139 Luego, el logaritmo de un producto, el logaritmo de paréntesis a por b es igual al logaritmo de a más el logaritmo de b 533 00:45:52,139 --> 00:45:58,940 O lo que es lo mismo que el logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador 534 00:45:58,940 --> 00:46:02,699 Bien, pues aplicamos la primera de las propiedades que he escrito aquí 535 00:46:02,699 --> 00:46:07,960 2 logaritmo de x se puede expresar como logaritmo de x al cuadrado 536 00:46:07,960 --> 00:46:14,000 Y ahora aquí en el segundo miembro, en el miembro de la derecha, tengo logaritmo de x menos 1 más logaritmo de x más 2. 537 00:46:14,119 --> 00:46:16,619 Es decir, tengo una suma de dos logaritmos. 538 00:46:17,380 --> 00:46:28,139 Una suma de dos logaritmos es igual al logaritmo del producto, lo expreso como un producto, logaritmo de paréntesis, 539 00:46:28,139 --> 00:46:38,599 el primer argumento por el segundo argumento, logaritmo de x al cuadrado es igual a logaritmo de x menos 1 por x más 2. 540 00:46:40,179 --> 00:46:50,539 Por lo tanto, como tengo dos logaritmos iguales y las bases son iguales, porque estos son logaritmos decimales, porque no nos dice aquí nada, 541 00:46:51,400 --> 00:46:54,420 Eso quiere decir que los argumentos deben ser iguales. 542 00:46:54,699 --> 00:47:00,519 Que x al cuadrado debe ser igual a x menos 1 por x más 2. 543 00:47:01,480 --> 00:47:06,320 x al cuadrado tiene que ser igual a x menos 1 por x más 2. 544 00:47:07,039 --> 00:47:08,820 Aquí aplico la propiedad distributiva. 545 00:47:09,619 --> 00:47:16,380 El primer término del primer factor por el primer término del segundo factor. 546 00:47:16,380 --> 00:47:22,300 el primer término del primer factor 547 00:47:22,300 --> 00:47:24,980 por el segundo término del segundo factor 548 00:47:24,980 --> 00:47:26,960 y ahora aquí hay continuación 549 00:47:26,960 --> 00:47:29,179 en el segundo término del primer factor 550 00:47:29,179 --> 00:47:31,639 por el primer término del segundo factor 551 00:47:31,639 --> 00:47:33,000 y ahora la inversa 552 00:47:33,000 --> 00:47:36,119 entonces esto me queda x cuadrado más 2x 553 00:47:36,119 --> 00:47:39,320 menos x menos 2 554 00:47:39,320 --> 00:47:40,300 lo tengo todo aquí 555 00:47:40,300 --> 00:47:43,099 como tengo x al cuadrado a la izquierda y a la derecha 556 00:47:43,099 --> 00:47:44,059 lo puedo simplificar 557 00:47:44,059 --> 00:47:48,219 y ahora 2x menos x me da x menos 2 igual a 0 558 00:47:48,219 --> 00:47:59,760 0 es igual a x menos 2, paso el menos 2 que está restando a la derecha, lo paso sumando a la izquierda, que me queda x igual a 2 y ya lo tendríamos. 559 00:48:00,579 --> 00:48:14,199 Comprobamos que no se nos hace negativo ningún argumento, es decir, aquí tendríamos 2 logaritmo de 2 es igual a que al logaritmo de 2 menos 1, que es 0, 560 00:48:14,199 --> 00:48:16,940 pero no se nos hace negativo 561 00:48:16,940 --> 00:48:20,099 más el logaritmo de 2 más 2 562 00:48:20,099 --> 00:48:20,840 que es 4 563 00:48:20,840 --> 00:48:24,090 ¿vale? 564 00:48:24,769 --> 00:48:25,670 no es negativo 565 00:48:25,670 --> 00:48:28,190 y sería correcto 566 00:48:28,190 --> 00:48:31,130 porque 2 logaritmo de x sería lo mismo que 567 00:48:31,130 --> 00:48:33,889 logaritmo de 2 al cuadrado 568 00:48:33,889 --> 00:48:35,269 y esto sería 569 00:48:35,269 --> 00:48:37,570 logaritmo de 2 más 2 que es 4 570 00:48:37,570 --> 00:48:39,570 luego es correcta la solución 571 00:48:39,570 --> 00:48:41,969 y con eso habría terminado el ejercicio 572 00:48:41,969 --> 00:48:43,250 el examen 573 00:48:43,250 --> 00:48:43,769 ¿de acuerdo? 574 00:48:44,570 --> 00:48:44,889 bien