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00:00:12,339 --> 00:00:17,780
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:17,780 --> 00:00:22,620
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:22,620 --> 00:00:33,820
de la unidad AN2 dedicada a las aplicaciones de los límites. En la videoclase de hoy estudiaremos

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00:00:33,820 --> 00:00:50,439
analíticamente las asíndotas. En esta videoclase vamos a estudiar analíticamente las asíndotas

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00:00:50,439 --> 00:00:55,119
de una función. Si en la videoclase pasada lo que hacíamos era observar la gráfica de una

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00:00:55,119 --> 00:01:00,560
función y describir sus características, en este caso las asíntotas, gráficamente lo que veíamos

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00:01:00,560 --> 00:01:05,620
en la gráfica, en este caso lo que queremos hacer es el proceso contrario. De la función lo que

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00:01:05,620 --> 00:01:12,019
tenemos será la expresión algebraica, la fórmula, y analíticamente, utilizando el álgebra y el

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00:01:12,019 --> 00:01:16,799
cálculo sobre todo, lo que buscaremos son las ecuaciones de las asíntotas y con éstas haremos

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00:01:16,799 --> 00:01:21,939
la descripción y con ésta podremos hacer la representación gráfica. Así que en la videoclase

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00:01:21,939 --> 00:01:27,280
pasada íbamos de la gráfica a la descripción, en este caso de la fórmula con la descripción

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00:01:27,280 --> 00:01:32,000
pasaremos a hacer, o nuestro objetivo será poder en algún momento hacer la gráfica,

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00:01:32,079 --> 00:01:37,019
representar la gráfica de la función. Vamos a comenzar, como veis aquí, por las asíntotas

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00:01:37,019 --> 00:01:41,420
verticales. Os recuerdo que las asíntotas verticales eran rectas, verticales, y que

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00:01:41,420 --> 00:01:47,599
tenían todas ellas ecuación x igual a x0, la abstisa a la que corresponde esa recta

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00:01:47,599 --> 00:01:54,000
vertical. Pues bien, para que una función tenga en x igual a x0 una asíntota vertical, lo que debe

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00:01:54,000 --> 00:01:59,379
cumplirse es que alguno de los dos límites laterales, cuando x tendrá x0 por la izquierda,

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00:01:59,500 --> 00:02:05,700
por la derecha o bien ambos, sean infinitos, como veis aquí. Pongo infinito porque es lo mismo que

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00:02:05,700 --> 00:02:11,500
sea más infinito o menos infinito. Esto no supone ninguna diferencia. Existirá asíntota vertical.

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00:02:11,500 --> 00:02:17,800
E insisto, basta con que uno de los dos límites laterales sea infinito, más infinito o menos infinito.

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00:02:18,240 --> 00:02:24,960
Típicamente en los casos que nos encontremos serán ambos y no necesariamente serán ambos más infinito o ambos menos infinito,

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00:02:25,060 --> 00:02:28,500
sino que en muchas ocasiones será uno de ellos más y el otro menos infinito.

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00:02:29,659 --> 00:02:34,500
En cuanto a la posición relativa de la función con respecto de la asíntota, en este caso, en las asíntotas verticales,

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00:02:35,479 --> 00:02:39,219
lo que estamos interesados es ver si conforme nos aproximamos a la asíntota,

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00:02:39,219 --> 00:02:46,460
la función diverge hacia más infinito, es creciente, o diverge hacia menos infinito, es decreciente, siempre y cuando vayamos de izquierda a derecha.

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00:02:47,020 --> 00:02:50,120
Esto lo podremos hacer algebraica o numéricamente.

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00:02:50,840 --> 00:03:00,199
Y lo único que necesitamos es determinar, como decía, si la función diverge hacia más infinito o diverge hacia menos infinito, conforme nos aproximamos hacia la función.

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00:03:01,099 --> 00:03:06,099
Esto también podremos hacerlo no algebraica o numéricamente, sino utilizando la monotonía de la función.

29
00:03:06,099 --> 00:03:23,680
Cuando más adelante estudiemos dentro de una o dos unidades las derivadas y con ellas caractericemos la monotonía de la función, veremos que nos es posible determinar la forma en la que se aproxima la función a las asíntotas, la posición relativa, utilizando la monotonía.

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00:03:24,719 --> 00:03:31,740
Con esto que he comentado, ya podríamos resolver en clase estos ejemplos. Los resolveremos posiblemente en alguna videoclase posterior.

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00:03:33,669 --> 00:03:36,789
Pasamos a continuación al estudio de las asíntotas horizontales.

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00:03:37,169 --> 00:03:39,229
Como recordaréis, lo mencioné en la videoclase anterior,

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00:03:39,750 --> 00:03:44,909
éstas se determinan en los límites x tendiendo a menos infinito y x tendiendo a más infinito.

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00:03:45,669 --> 00:03:51,469
Pues bien, para que una función real de variable real f de x tenga asíntota horizontal en cualquiera de estos límites,

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00:03:51,810 --> 00:03:55,050
la ecuación y igual a y sub cero, ésta será la ordenada que estamos probando,

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00:03:55,750 --> 00:04:01,129
lo que necesitamos es que al determinar esos límites, cuando x tenda a menos infinito, cuando x tenda a más infinito,

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00:04:01,129 --> 00:04:07,129
obtengamos un valor finito igual a ese valor y sub cero. Si estos límites, cualquiera de ellos,

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00:04:07,129 --> 00:04:12,250
es infinito, en ese extremo no habrá asíntota horizontal. Si obtenemos un valor finito,

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00:04:12,250 --> 00:04:17,529
en ese caso sí habrá asíntota horizontal y la ecuación será igual al valor del límite que

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00:04:17,529 --> 00:04:22,569
hayamos obtenido. En lo que respecta a la posición relativa de la función con respecto de la asíntota,

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00:04:22,569 --> 00:04:27,569
en el caso de las asíntotas horizontales diremos que nos aproximamos, que la función se aproxima

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00:04:27,569 --> 00:04:34,129
a la asíntota bien por abajo, bien por arriba. Bien por abajo cuando tiende a este valor y sub 0

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00:04:34,129 --> 00:04:39,589
por valores desde valores más pequeños que y sub 0. Bien por arriba cuando la función va tomando

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00:04:39,589 --> 00:04:45,389
valores cada vez más próximos a este y sub 0 pero valores mayores, valores superiores a este. Esto

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00:04:45,389 --> 00:04:50,829
podremos hacerlo algebraica unimédicamente determinando los límites cuando x tiende a más

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00:04:50,829 --> 00:04:56,490
o a menos infinito donde exista la asíntota de la función menos la ecuación de la asíntota. Estos

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00:04:56,490 --> 00:05:02,490
límites serán 0, puesto que la función tiende a aproximarse infinitamente a la asíntota, pero lo

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00:05:02,490 --> 00:05:08,589
que tenemos que hacer es determinar el signo, si es 0 positivo, 0 desde arriba, o 0 negativo, 0 desde

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00:05:08,589 --> 00:05:13,730
abajo. También se puede hacer hallando algebraico-numéricamente los propios límites de la

50
00:05:13,730 --> 00:05:19,790
función y determinando si son estos valores y0 que he mencionado anteriormente, pero si es y0

51
00:05:19,790 --> 00:05:24,569
desde valores superiores o y0 desde valores inferiores. En algunas ocasiones esto es más

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00:05:24,569 --> 00:05:29,389
fácil o se puede hacer fácilmente en comparación con la anterior. En cualquier caso, igual que

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00:05:29,389 --> 00:05:35,709
mencioné en el caso de las asíndotas verticales, podremos mediante la monotonía de la función que

54
00:05:35,709 --> 00:05:41,110
estudiaremos con las derivadas determinar qué es lo que ocurre, cómo se aproxima la función a la

55
00:05:41,110 --> 00:05:47,370
asíndota en cualquiera de los dos límites, uno el otro o los dos. Con esto que hemos mencionado ya

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00:05:47,370 --> 00:05:52,589
se puede resolver estos ejemplos que resolveremos en clase, posiblemente resolveremos en alguna

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00:05:52,589 --> 00:05:59,819
habido clase posterior. En lo que respecta a las asíntotas oblicuas, para decidir si existen o no

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00:05:59,819 --> 00:06:05,339
en cualquiera de los límites x tendiendo a menos infinito, x tendiendo a más infinito, necesitamos

59
00:06:05,339 --> 00:06:11,199
calcular dos límites. En primer lugar, un límite que llamaremos m, límite cuando x tende a menos

60
00:06:11,199 --> 00:06:17,160
infinito o a menos infinito, del cociente de la función entre x, que debe ser un número real,

61
00:06:17,339 --> 00:06:23,439
debe no ser infinito. Si obtenemos infinito, podemos descartar que haya asíntota oblicua en

62
00:06:23,439 --> 00:06:29,180
el límite que estamos calculando. Calculado este valor de m que tome un valor finito, calcularemos

63
00:06:29,180 --> 00:06:34,480
n como el límite cuando x tende a menos infinito o a más infinito, insisto, dependiendo de en cuál

64
00:06:34,480 --> 00:06:39,800
de los dos extremos estemos determinando la existencia de la asiento tablicua, de la función

65
00:06:39,800 --> 00:06:46,540
menos m por xm, este valor que hemos determinado anteriormente. Igualmente, para que exista asiento

66
00:06:46,540 --> 00:06:52,980
tablicua, no sólo m sino también n deben tomar valores finitos. Si uno de estos dos límites es

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00:06:52,980 --> 00:06:58,220
infinito, entonces la función no tiene asíntota oblicua en donde estemos determinando los

68
00:06:58,220 --> 00:07:03,160
límites. En caso afirmativo, la ecuación de la asíntota oblicua será y igual a m,

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00:07:03,399 --> 00:07:09,300
este primer valor numérico que hemos determinado de esta manera, por x más n, el segundo valor

70
00:07:09,300 --> 00:07:13,959
que hemos determinado de esta manera. En lo que respecta a la posición relativa de la

71
00:07:13,959 --> 00:07:18,980
función con respecto de la asíntota, podremos determinarla hallando algebraicamente o numéricamente

72
00:07:18,980 --> 00:07:24,819
los límites en más o en menos infinito, dependiendo de dónde queramos hacer el estudio, de la función

73
00:07:24,819 --> 00:07:30,860
menos la ecuación de la asíntota, menos m por x más n, obtendremos valores que serán cero y veremos

74
00:07:30,860 --> 00:07:36,379
si son cero desde valores positivos, en cuyo caso se aproximará desde arriba, o cero desde valores

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00:07:36,379 --> 00:07:41,199
negativos, en cuyo caso se aproximará por abajo. O bien, como he mencionado también en los casos

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00:07:41,199 --> 00:07:45,660
anteriores, mediante la monotonía de la función, para lo cual tendremos que haber llegado a la

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00:07:45,660 --> 00:07:50,540
unidad de derivadas y de sus aplicaciones. Con esto que hemos visto ya se podría estudiar

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00:07:50,540 --> 00:07:55,420
analíticamente las asíntotas oblicuas de estas funciones, que veremos en clase, posiblemente

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00:07:55,420 --> 00:08:02,490
veremos en alguna videoclase posterior. Vamos a finalizar esta videoclase caracterizando ciertas

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00:08:02,490 --> 00:08:06,990
funciones elementales, aquellas que son las más probables que nos vayamos a encontrar a lo largo

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00:08:06,990 --> 00:08:11,889
de este curso. Son las funciones polinómicas y las funciones racionales. En el caso de las

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00:08:11,889 --> 00:08:16,009
funciones polinómicas son las más sencillas, puesto que no tienen asíntotas de ningún tipo.

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00:08:16,009 --> 00:08:24,050
Y así que, si se nos pide estudiar analíticamente las asíntotas de esta función f de x, por el hecho de ser polinómica, no tiene asíntotas de ningún tipo.

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00:08:24,310 --> 00:08:25,149
Es así de sencillo.

85
00:08:25,750 --> 00:08:32,509
En el caso de las funciones racionales, como ves aquí, podrían tener asíntotas verticales en los ceros del denominador,

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00:08:32,809 --> 00:08:39,549
siempre y cuando no sean simultáneamente ceros del numerador, y en ese caso, al calcular los límites, nos saliera un valor finito, no infinito,

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00:08:39,669 --> 00:08:42,850
en cuyo caso la función tendría un punto vacío, pero eso no es una asíntota.

88
00:08:43,629 --> 00:08:49,610
Así pues, si tuviéramos que estudiar las asíntotas verticales de estas funciones g y h,

89
00:08:50,529 --> 00:08:57,210
g podría tener asíntotas verticales en x igual a 0, x igual a menos 1, los dos ceros del denominador,

90
00:08:57,610 --> 00:09:02,370
y la función h podría tener una asíntota vertical en x igual a 2, el cero del denominador.

91
00:09:02,970 --> 00:09:07,509
Habría que calcular los límites y comprobar si son infinito, en cuyo caso sí hay asíntota vertical,

92
00:09:07,509 --> 00:09:11,169
o bien un valor finito, en cuyo caso no lo hay, habrá un punto vacío.

93
00:09:12,029 --> 00:09:26,009
En lo que respecta a las asíndotas horizontales y oblicuas, de existir en uno de los límites x tendiendo a más infinito o a menos infinito una asíndota, en el otro extremo también la habrá y será la misma, esto es, con la misma ecuación.

94
00:09:26,289 --> 00:09:40,769
Por eso menciono, tienen la misma asíndota horizontal en ambos límites x tendiendo a más o a menos infinito, tienen la misma asíndota oblicua en ambos límites x tendiendo a más o a menos infinito, porque de existir será la misma en ambos dos extremos. Obvio no habrá ninguna en ninguno de los dos.

95
00:09:41,169 --> 00:09:48,169
Bueno, podemos caracterizar si hay asíntota horizontal u oblicua sin más que comparar los grados del numerador y del denominador.

96
00:09:48,529 --> 00:09:55,149
Como veis aquí, para que haya asíntota horizontal necesitamos que el grado del numerador no sea mayor que el del denominador,

97
00:09:55,289 --> 00:09:59,809
esto es, el grado del numerador tiene que ser menor o igual que el del denominador.

98
00:10:00,049 --> 00:10:03,929
En ese caso, sí habrá asíntota horizontal, la misma en ambos límites.

99
00:10:04,629 --> 00:10:10,870
En cuanto a asíntota oblicua, necesitamos que el grado del numerador sea una unidad, exactamente un denominador.

100
00:10:11,169 --> 00:10:19,049
Así pues, no habrá asíntotas ni horizontales ni oblicuas en los casos en los que el grado del numerador sea más de una unidad mayor que el del denominador.

101
00:10:19,210 --> 00:10:22,929
En cualquier otro caso, habrá asíntota oblicua o bien habrá asíntota horizontal.

102
00:10:23,990 --> 00:10:29,470
En el caso de esta función g de x, vemos como el grado del numerador es menor que el grado del denominador,

103
00:10:30,070 --> 00:10:35,429
así que en este caso g de x tendrá asíntotas horizontales, la misma cuando x tendrá más y a menos infinito.

104
00:10:36,070 --> 00:10:41,129
Esta función h de x, vemos como el grado del numerador es una unidad mayor que el del denominador,

105
00:10:41,169 --> 00:10:47,669
Así pues, no tendrá asíndotas horizontales y sí tendrá asíndotas oblicuas, la misma, cuando X tendrá más y a menos infinito.

106
00:10:48,570 --> 00:10:57,269
Estos ejemplos los resolveremos con más cuidado, evidentemente únicamente G y H en clase, podrán ser resueltos en el futuro en alguna videoclase posterior.

107
00:11:00,240 --> 00:11:05,840
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

108
00:11:06,580 --> 00:11:10,659
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

109
00:11:11,519 --> 00:11:16,240
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

110
00:11:16,799 --> 00:11:18,200
Un saludo y hasta pronto.