1
00:00:03,120 --> 00:00:08,740
estábamos haciendo el otro día este ejercicio en clase y se nos resiste un

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00:00:08,740 --> 00:00:13,599
poquito y por eso he realizado este vídeo es un ejercicio de la pau de

3
00:00:13,599 --> 00:00:21,000
madrid de junio del 2014 del examen de coincidentes en el modelo a el ejercicio

4
00:00:21,000 --> 00:00:27,460
3 el apartado a porque el apartado b era de esferas y ya no merece la pena si

5
00:00:27,460 --> 00:00:32,939
quiera ponerlo. Entonces, bueno, pues nos dan un plano y nos piden obtener las rectas

6
00:00:32,939 --> 00:00:40,520
que pasan por el origen de coordenadas, son paralelas a este plano y cortan al plano Z0

7
00:00:40,520 --> 00:00:45,479
con un ángulo de 45 grados. Al final es un problema de geometría que se convierte en

8
00:00:45,479 --> 00:00:52,079
un problema de álgebra. Si pintamos el plano 2X menos Y más Z igual a 1, ahí le tenemos,

9
00:00:52,079 --> 00:00:55,880
en realidad lo que queremos es que las rectas

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00:00:55,880 --> 00:00:58,979
tienen que estar en un plano paralelo a este que pasan por el 0, 0, 0

11
00:00:58,979 --> 00:01:01,780
solo existe uno, que es este

12
00:01:01,780 --> 00:01:04,900
así que resulta que obligamos

13
00:01:04,900 --> 00:01:08,799
lo sacamos haciendo que pase por el 0, 0, 0

14
00:01:08,799 --> 00:01:10,939
y sea paralelo

15
00:01:10,939 --> 00:01:14,700
y obligamos a que las rectas que buscamos

16
00:01:14,700 --> 00:01:16,920
estén en este plano

17
00:01:16,920 --> 00:01:20,019
ahí tienen que estar las rectas que buscamos

18
00:01:20,019 --> 00:01:22,939
también hemos pintado el plano Z0

19
00:01:22,939 --> 00:01:24,500
pero como coincide con el plano gris

20
00:01:24,500 --> 00:01:26,760
he preferido ponerle oculto

21
00:01:26,760 --> 00:01:28,200
aunque dejarlo ahí creado

22
00:01:28,200 --> 00:01:31,659
para si hay que hacer algún cálculo

23
00:01:31,659 --> 00:01:32,760
de acuerdo

24
00:01:32,760 --> 00:01:33,519
entonces

25
00:01:33,519 --> 00:01:37,379
pues he preferido dejarlo así

26
00:01:37,379 --> 00:01:38,120
bien

27
00:01:38,120 --> 00:01:40,900
para hacerlo con GeoGebra

28
00:01:40,900 --> 00:01:42,200
para que los chicos lo entendieran

29
00:01:42,200 --> 00:01:44,299
se me ocurrió pintar un punto P

30
00:01:44,299 --> 00:01:47,680
que esté obligatoriamente

31
00:01:47,680 --> 00:01:49,040
con la opción de GeoGebra

32
00:01:49,040 --> 00:01:52,900
punto en el plano, de acuerdo

33
00:01:52,900 --> 00:01:56,299
ese punto solo se puede mover por el plano

34
00:01:56,299 --> 00:02:01,000
hacerle una recta que pase por el 0,0,0 y vemos que

35
00:02:01,000 --> 00:02:04,920
efectivamente forma 45 grados, pero bueno, ese punto P

36
00:02:04,920 --> 00:02:07,379
yo lo he obtenido, digamos que así

37
00:02:07,379 --> 00:02:11,580
jugando, hasta que me dio

38
00:02:11,580 --> 00:02:16,219
a veces es fácil, a veces es difícil

39
00:02:16,219 --> 00:02:24,180
Pero vemos que por aquí debería haber otro también que diera 45, o sea que realmente buscamos dos rectas, ¿no?

40
00:02:25,360 --> 00:02:39,139
También podemos ver con GeoGebra, lo bueno que tiene, que si yo hago la representación en 2D, pues se entiende bien, ¿no?

41
00:02:39,139 --> 00:02:48,960
Aquí el punto P también se puede mover hasta que estuvieran las coordenadas que quisiéramos para los 45.

42
00:02:48,960 --> 00:02:50,960
No me va a salir, o sea que...

43
00:02:50,960 --> 00:02:58,919
Bien, pero bueno, esto evidentemente no se puede hacer así y no vale para un examen de la PAU.

44
00:02:59,439 --> 00:03:02,639
Lo que nosotros vamos a hacer es convertir esto en un ejercicio de álgebra,

45
00:03:02,639 --> 00:03:16,240
He utilizado la fórmula de autoescalar, cogiendo el vector director de la recta, que me lo he inventado, 1, 2 o 3, y el vector normal al plano z igual a 0, que es 0, 0, 1.

46
00:03:16,240 --> 00:03:39,900
Bueno, pues haciendo sus cuentas, el coseno de 90 menos alfa es el seno de alfa, os recuerdo que es 90 menos alfa porque el vector normal es perpendicular al plano, entonces para que forme el ángulo con el plano, pues es 90 menos alfa, que en este caso es indiferente porque al ser 45 grados su complementario vuelve a ser 45 grados.

47
00:03:39,900 --> 00:03:45,680
Pero bueno, trabajamos con esta ecuación y llegamos a esta ecuación.

48
00:03:45,819 --> 00:03:51,300
U1 al cuadrado más U2 al cuadrado menos U3 al cuadrado tiene que ser cero.

49
00:03:51,419 --> 00:03:54,360
Esto lo hemos obtenido elevando aquí al cuadrado y pasando todo a un lado.

50
00:03:57,039 --> 00:03:58,639
Entonces ya tenemos una ecuación.

51
00:03:58,900 --> 00:04:05,819
Si hacemos ahora lo mismo sabiendo que tiene que formar 90 grados con el vector normal a este plano

52
00:04:05,819 --> 00:04:09,800
para ser paralelo, para estar incluido en el plano verde,

53
00:04:09,900 --> 00:04:18,759
Bien, pues hacemos exactamente lo mismo, lo único que aquí al estar igualado a cero los denominadores se van, sale bastante más sencillo, ¿verdad?

54
00:04:19,180 --> 00:04:27,879
Y nos queda que la tercera componente del vector director del plano tiene que cumplir esto para ser perpendicular.

55
00:04:27,879 --> 00:04:46,160
Entonces parece que tenemos dos ecuaciones con tres incógnitas, lo cual nos indica un sistema de ecuaciones que tendrá solución con parámetros que efectivamente serán las dos rectas que buscamos, aunque no es evidente desde luego ni geométricamente ni para los alumnos.

56
00:04:46,160 --> 00:04:49,639
si hacemos por sustitución

57
00:04:49,639 --> 00:04:50,920
metemos U3 aquí

58
00:04:50,920 --> 00:04:52,720
y trabajamos un poquito

59
00:04:52,720 --> 00:04:55,800
pues llegamos a la conclusión

60
00:04:55,800 --> 00:04:57,339
de que el producto de estas dos cosas

61
00:04:57,339 --> 00:04:58,540
tiene que ser cero

62
00:04:58,540 --> 00:05:01,240
por el teorema de Varsinson que llamo yo

63
00:05:01,240 --> 00:05:03,519
o la primera es cero o la segunda es cero

64
00:05:03,519 --> 00:05:05,420
así que

65
00:05:05,420 --> 00:05:07,019
si la primera es cero

66
00:05:07,019 --> 00:05:10,040
sustituyendo aquí

67
00:05:10,040 --> 00:05:11,740
si U1 es cero

68
00:05:11,740 --> 00:05:13,319
pues U3 nos queda U2

69
00:05:13,319 --> 00:05:17,660
y parametrizando pues nos queda 0 lambda lambda

70
00:05:17,660 --> 00:05:20,639
que sería la primera recta solución

71
00:05:20,639 --> 00:05:22,839
y si el paréntesis es 0

72
00:05:22,839 --> 00:05:25,560
menos 3u sub 1 más 4u sub 2 es igual a 0

73
00:05:25,560 --> 00:05:28,060
despejando u sub 2 en función de u sub 1

74
00:05:28,060 --> 00:05:33,019
y sustituyendo esto en esta fórmula

75
00:05:33,019 --> 00:05:36,100
pues nos queda también u sub 3 en función de u sub 1

76
00:05:36,100 --> 00:05:37,819
parametrizando con mu

77
00:05:37,819 --> 00:05:42,120
pues nos queda la recta mu 3 cuartos de mu menos 5 cuartos de mu

78
00:05:42,120 --> 00:06:09,240
A esto, que sería la parte del vector, habría que sumarle el punto, pero como el punto es 0, 0, 0, pues más sencillo. Estas son las dos rectas. Si las pinto, pues como podemos ver aquí, las he puesto, tenemos las dos rectas, con el vector 0, 1, 1 y con el vector 1, 3 cuartos menos 5 cuartos.

79
00:06:09,240 --> 00:06:11,480
1, 3 cuartos menos 5 cuartos

80
00:06:11,480 --> 00:06:14,620
y aquí tenemos, ya da igual que se vea que no

81
00:06:14,620 --> 00:06:18,360
nuestras dos rectas y vemos como forman con el plano

82
00:06:18,360 --> 00:06:19,819
fijaros como son los ángulos

83
00:06:19,819 --> 00:06:24,720
los ángulos no están sobre el plano verde lógicamente

84
00:06:24,720 --> 00:06:27,720
sino son, de hecho podríamos ocultar el plano verde

85
00:06:27,720 --> 00:06:31,879
y vemos que son con el Z0

86
00:06:31,879 --> 00:06:34,279
ahora podríamos poner el Z0

87
00:06:34,279 --> 00:06:37,699
aunque yo creo que se ve mejor sin él

88
00:06:37,699 --> 00:06:44,199
porque como es el gris, pues ahí están los ángulos y que hemos aceptado que es la solución.

89
00:06:44,720 --> 00:06:50,100
¿De acuerdo? Pues ya tenemos un ejercicio menos que se nos resiste.